专题04 函数导数综合应用（四大题型）-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编（天津专用）

专题04 函数导数综合应用 考点一、利用定义判断单调性 考点二、利用导数判断单调性 考点三、函数的极值、最值 考点四、函数的零点和恒成立问题 利用定义判断单调性 1．（22-23高二下·天津红桥·期末）已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)若，判断在的单调性，并证明（定义法、导数法均可）； (3)若，，判断函数的零点个数，并说明理由. 2．（22-23高二下·天津·期末）函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)解关于的不等式． 利用导数判断单调性 3．（22-23高二下·天津·期末）已知函数其中为常数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 4．（22-23高二下·天津·期末）已知函数，且． (1)求实数a的值及曲线在点处的切线方程； (2)当时，求f(x)的最大值． 5．（22-23高二下·天津·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 6．（22-23高二下·天津滨海新·期末）已知函数，（其中为常数） (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)设函数，若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 7．（22-23高二下·天津·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设为的导函数，讨论在区间上的单调性； (3)证明：对任意的，有. 8．（22-23高二下·天津和平·期末）已知函数； (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)证明：当，且时，． 9．（22-23高二下·天津·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间; (2)比较与的大小,并加以证明. 函数的极值、最值 10．（22-23高二下·天津和平·期末）已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极大值． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值，以及相应的值． 11．（22-23高二下·天津·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的极值； (2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 12．（22-23高二下·天津西青·期末）已知函数在处有极值 (1)求的值并判断是极大值点还是极小值点； (2)求函数在区间上的最值． 13．（22-23高二下·天津·期末）已知函数（，且）的图象经过点. (1)求的值； (2)求在区间上的最大值； (3)若函数，求证：在区间内存在零点. 14．（22-23高二下·天津红桥·阶段练习）已知函数. (1)若是的极值点，求的值； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围. 恒成立和零点问题 15．（22-23高二下·天津河西·期末）已知函数． (1)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若不等式对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围； (3)若方程有两个大于1的不等实数根，求实数a的取值范围． 16．（22-23高二下·天津和平·期末）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，，且，曲线在这两个零点处的切线交于点，求证：小于和的等差中项； (3)求证：，. 17．（22-23高二下·天津·期末）已知函数． (1)证明：当时，恒成立； (2)若且，证明：，． 18．（22-23高二下·天津·期末）已知是函数的一个极值点. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围. 19．（22-23高二下·天津西青·期末）已知函数，（且） (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明：； (3)，若在上恒成立，求实数取值范围． 20．（22-23高二下·天津河西·期末）设函数（其中e是自然对数的底数），，已知它们在处有相同的切线． (1)求函数，的解析式； (2)求函数在上的最小值； (3)若对，恒成立求实数k的取值范围． 21．（22-23高二下·天津·期末）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求的取值范围； (3)已知函数，对任意的，求证：. 22．（22-23高二下·天津滨海新·期末）已知函数，. (1)若，求m的值及函数的极值； (2)讨论函数的单调性： (3)若对定义域内的任意x，都有恒成立，求整数m的最小值. 23．（22-23高二下·天津·期末）已知，设函数的表达式为（其中） (1)设，，当时，求x的取值范围； (2)设，，集合，记，若在D上为严格增函数且对D上的任意两个变量s，t，均有成立，求c的取值范围； (3)当，，时，记，其中n为正整数．求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 函数导数综合应用 考点一、利用定义判断单调性 考点二、利用导数判断单调性 考点三、函数的极值、最值 考点四、函数的零点和恒成立问题 利用定义判断单调性 1．（22-23高二下·天津红桥·期末）已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)若，判断在的单调性，并证明（定义法、导数法均可）； (3)若，，判断函数的零点个数，并说明理由. 【详解】（1）由题意知：的定义域为， ∵， ∴为定义在上的奇函数； （2）方法一：若，在上单调递减， 任取， ， ∵，∴，∴，又，∴， ∴在上单调递减. 证明二：， ∵， ∴在上小于0， ∴在上单调递减. （3）当时，，∴． 令，则，， 令，解得： 由在上单调递增，∴当时，， ∴有两个不同的零点. 2．（22-23高二下·天津·期末）函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)解关于的不等式． 【详解】（1）为定义在上的奇函数，，解得：， ，解得：； 当，时，， ，满足为奇函数； 综上所述：. （2）在上单调递增； 证明如下：任取， ； ，，，，， 在上单调递增. （3）为定义在上的奇函数，由得：， 又在上单调递增，，解得：， 不等式的解集为. 利用导数判断单调性 3．（22-23高二下·天津·期末）已知函数其中为常数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【详解】（1）当时，，则 ，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， （2）的定义域为， 由，得， 当时，，当时，， 所以的递增区间为，递减区间为， （3）由（2）可知当取得最大值， 因为对任意，不等式恒成立， 所以，即，， 解得或， 即的取值范围为. 4．（22-23高二下·天津·期末）已知函数，且． (1)求实数a的值及曲线在点处的切线方程； (2)当时，求f(x)的最大值． 【详解】（1）由题意可得，所以，即， 所以，，所以，. 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）由(1)得， 令，则或． 列表得： x ﹣2 ﹣1 1 2 ＋ 0 ﹣ 0 ＋ f(x) ﹣2 2 ﹣2 2 所以当时，在时取得极小值，在时取得极大值，且，故的最大值为2. 5．（22-23高二下·天津·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 【详解】（1）由，得， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）设切点为，由（1）得， 所以切线方程为， 因为切线经过原点， 所以， 所以，． 则， 所以所求的切线方程为，切点为． 6．（22-23高二下·天津滨海新·期末）已知函数，（其中为常数） (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)设函数，若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，则， 此时， 所以，又， 所以切点为： 所以此时切线方程为． （2）因为． 从而，列表如下： 1 0 0 递增 有极大值 递减 有极小值 递增 所以的单调递增区间是和；的单调递减区间是 （3）函数， 有， 设 当函数在区间上为单调递增时， 等价于在上恒成立， 由函数开口向下，对称轴为， 所以问题转化为只要即可， 即， 实数c的取值范围． 7．（22-23高二下·天津·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设为的导函数，讨论在区间上的单调性； (3)证明：对任意的，有. 【详解】（1），即切点坐标为， 又， ∴切线斜率， ∴切线方程为：； （2）因为， 所以， 令， 则， ∴在上单调递增，∴， ∴在上恒成立，∴在上单调递增； （3）原不等式等价于， 令，，即证， ∵， ， 由（2）知在上单调递增， ∴，∴， ∴在上单调递增，又因为， ∴，所以命题得证. 8．（22-23高二下·天津和平·期末）已知函数； (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)证明：当，且时，． 【详解】（1）当时，则，，所以， 所以切线方程为. （2）因为的定义域为， 则， 当，即时恒成立，所以在上单调递增， 当，即时，当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时恒成立，所以在上单调递增， 当时，当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 综上可得：当时在上单调递增； 当时在上单调递增，在上单调递减； 当时在上单调递增，在上单调递减； （3）要证，即证， 即证， 即证， 令，，则， 所以在区间单调递增，所以当时，， 即当时，． 令，，则在时恒成立， 所以当，且时，单调递增， 因为时，，，且， 所以当，且时，，即． 所以当，且时，． 【点睛】关键点睛：本题主要考查了用导数研究函数的单调性，以及用导数证明不等式问题，解决本题的关键在于构造函数，用其单调性去证明不等式. 9．（22-23高二下·天津·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间; (2)比较与的大小,并加以证明. 试题解析：解：（1）， 令，得，； 令，得或； 令，得. 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （2）. 证明如下： 设 ，∵为增函数， ∴可设，∵，，∴. 当时，；当时，. ∴ ， 又，∴， ∴ . ∵，∴， ∴，. 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 函数的极值、最值 10．（22-23高二下·天津和平·期末）已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极大值． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值，以及相应的值． 【详解】（1）因为，所以， 依题意，即，解得， 所以，经检验符合题意. （2）由（1）可得，， 则， 所以当或时， 当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 又，，，， 所以当或时，当时. 11．（22-23高二下·天津·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的极值； (2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【详解】（1）解：当时，，则， 令，得，令，得 ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴函数的极大值为，无极小值； （2）解： 当，，则是增函数. 当时，则是减函数， ∴的最大值为， ∵恒成立， ∴，解得， ∴的取值范围为. 12．（22-23高二下·天津西青·期末）已知函数在处有极值 (1)求的值并判断是极大值点还是极小值点； (2)求函数在区间上的最值． 【详解】（1）因为函数，故， 由于函数在处有极值，故， 此时， 当或时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 则为的极小值点，符合题意， 故，且为的极小值点. （2）由（1）可知在单调递减，在单调递增， 故是函数在区间上的极小值也是最小值， 由可知函数在区间上的最大值为4. 13．（22-23高二下·天津·期末）已知函数（，且）的图象经过点. (1)求的值； (2)求在区间上的最大值； (3)若函数，求证：在区间内存在零点. 【详解】（1）因为函数，且的图象经过点， 所以，所以. （2）因为，所以， 所以在区间上单调递减， 所以在区间上的最大值是， 所以在区间上的最大值是. （3）因为，所以， 因为，， 所以， 又在区间上的图象是一条连续的曲线， 由零点存在性定理可得：在区间内存在零点. 14．（22-23高二下·天津红桥·阶段练习）已知函数. (1)若是的极值点，求的值； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围. 【详解】（1）因为 则，即，所以，经检验符合题意 （2），则. 当时，，在上单调递增； 当时，由，得， 若，则；若，则. 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为； 当时，函数的增区间为，减区间为. （3）当时，由可得，令，其中， 则直线与函数在上的图像有两个交点， ，当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减. 所以，函数的极大值为，且，，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图像有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 恒成立和零点问题 15．（22-23高二下·天津河西·期末）已知函数． (1)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若不等式对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围； (3)若方程有两个大于1的不等实数根，求实数a的取值范围． 【详解】（1）二次函数的对称轴为， 因为函数在上单调递增，因此，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）依题意，，即，解得， 所以实数a的取值范围是. （3）依题意，，即，解得， 所以实数a的取值范围是. 16．（22-23高二下·天津和平·期末）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，，且，曲线在这两个零点处的切线交于点，求证：小于和的等差中项； (3)求证：，. 【详解】（1）的定义域为， 当时，，在上单调递减； 当时，令，又因为，可解得 单调递增， 单调递减； （2）因为函数有两个零点,而单调函数至多只有一个零点，根据（1）可知. ， 所以曲线在和处的切线分别是： . 联立两条切线解得：. 要证小于和的等差中项，即证，整理得： 由题意得 即证   令，即证. 令. 所以在单调递减，所以 所以得证，故小于和的等差中项得证. （3） ， ， 当 时， ， 时， ， 在x=0处取得最小值 ，知： 在上恒成立， 所以 ，当且仅当x=0时等号成立， 令 ， 代入上面不等式得： ，即 ， ； 综上，. 【点睛】关键点点睛: 关键点是令把二元函数变成一元函数，构造函数求导函数根据性质解题即可. 17．（22-23高二下·天津·期末）已知函数． (1)证明：当时，恒成立； (2)若且，证明：，． 【详解】（1）由已知，当时，， 函数的定义域为，且， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以， 所以恒成立； （2）因为，， 所以，其定义域为 所以， 令，可得或， 又，所以， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 因为，， 所以，由(1)知，， 因为，所以， 所以， 要证明，只需证明， 只需证明， 只需证明， 令， 则， 设， 则， 所以函数单调递增，即函数单调递增， 而，故当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 所以，当且仅当时等号成立， 但，故， 所以. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数证明不等式，关键点在于找到变量间的关系，将二元问题转化为一元问题，考查转化思想和逻辑推理能力，属于难题. 18．（22-23高二下·天津·期末）已知是函数的一个极值点. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围. 【详解】试题分析：（1）先求导，再由是函数的一个极值点即求解；（2）由（2）确定，再由和求得单调区间；（3）由（2）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，，可得的极大值为，极小值为，再由直线与函数的图象有个交点则须有求解． 试题解析：（1）因为， 所以，因此 （2）由（1）知， ， ． 当时，， 当时，， 所以的单调增区间是，的单调减区间是 （3）由（2）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时， 所以的极大值为，极小值为， 当时， 所以在在三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当， 因此，的取值范围为 考点：（1）函数在某点取得极值的条件；（2）利用导数研究函数的单调性. 19．（22-23高二下·天津西青·期末）已知函数，（且） (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明：； (3)，若在上恒成立，求实数取值范围． 【详解】（1）由题意得函数的定义域为， ， 当时，，则在上单调递增； 当时，令，则， 当时，，则，在上单调递减； 当时，，则，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）证明：当时，， 要证明，即证明：，即证； 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故时的极大值点，也是最大值点， 则，即， 故. （3）由题意得， 在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故， 故 【点睛】方法点睛：（1）利用导数证明不等式时，转化为函数的最值问题解决，即整理变形，构造函数，从而利用导数求解；（2）不等式恒成立问题要参变分离，构造函数，转化为函数最值问题求解. 20．（22-23高二下·天津河西·期末）设函数（其中e是自然对数的底数），，已知它们在处有相同的切线． (1)求函数，的解析式； (2)求函数在上的最小值； (3)若对，恒成立求实数k的取值范围． 【详解】（1）函数，， 则有，， 由题意，两函数在处有相同的切线， 因为，，则， ，解得，， 所以，． （2），由得；由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以， 当时，f（x）在上单调递减，在上单调递增， 所以． 当时，在上单调递增， 所以， 所以， （3）令， 由题意知当时，， 因为，恒成立， 所以，所以． ， 因为，由，得，所以； 由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， ①当，即时，在上单调递增， ，不满足． ②当，即时，由①知，，满足． ③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，满足． 综上所述，满足题意的实数k的取值范围为． 【点睛】1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 21．（22-23高二下·天津·期末）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求的取值范围； (3)已知函数，对任意的，求证：. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，，则， 令，则， 所以在上递增， 因为，所以当时，，即，当时，，即， 所以在上递增，在上递减； （2）由，得， 即， 所以， 令， 则 ， ①若，即时，当时，， 所以在上递增，而， 所以当时，，不合题意； ②若，即时， 当或时，，当时， ， 所以在上递增，在和上递减， 因为，所以当且仅当，即， 所以当时，， ③若，即时，， 由于，所以由②可得， 所以当时，， 综上，的取值范围为； （3） ， 则， 当时，，所以在上递增， 所以，所以， 所以， 令（），则（）， 即（）， 所以，（）， 所以，即， 同理得，，…，， 所以， 所以. 【点睛】关键点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数讨论函数的单调性，考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，第（3）问解题的关键是利用导数判断出在上递增，则可得，然后令，转化为，（），再给依次增加1，得到个不等式相加可得结论，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 22．（22-23高二下·天津滨海新·期末）已知函数，. (1)若，求m的值及函数的极值； (2)讨论函数的单调性： (3)若对定义域内的任意x，都有恒成立，求整数m的最小值. 【详解】（1）的定义域为， 因为，，则， 解得. 当时，，. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 所以在时取得极大值且极大值为，无极小值． （2）因为， 当时，在上恒成立，此时在上单调递增； 当时， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减， （3）解法一：若对定义域内的任意x，都有恒成立， 所以，即在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则. 设，则 所以在上单调递减， 因为，， 所以，使得，即. 当时，， 当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 因为，所以 故整数m的最小值为1 解法二：若对定义域内的任意x，都有恒成立， 由（2）可知，当时，在上单调递增， 因为，显然不符合对定义域内的任意x，都有恒成立 由（2）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以有最大值. 若对定义域内的任意x，都有恒成立，只需要即可. 设，显然在上单调递减， 因为，， 所以要使，只需要整数， 故整数m的最小值为1 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的极值，考查利用导数解决函数的单调性，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是将问题转化为在上恒成立，然后构造函数，利用导数求出其最大值，即可得到的范围，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 23．（22-23高二下·天津·期末）已知，设函数的表达式为（其中） (1)设，，当时，求x的取值范围； (2)设，，集合，记，若在D上为严格增函数且对D上的任意两个变量s，t，均有成立，求c的取值范围； (3)当，，时，记，其中n为正整数．求证：． 【详解】（1）由题设，则，即，故， 又，则，所以. （2）由题设，要使D上的任意两个变量s，t均有成立， 所以在上成立， 又在D上为严格增函数，即， 同时在上恒成立， 由解析式知：在上递减，只需，故， 由且，，即在上递减， 所以，故，可得. 综上，； （3）由题设，则且，，故， 所以， 而， ， 所以， 又，且，当且仅当时等号成立， 所以，同理，.......，且均在时等号成立， 所以， 综上，，即成立. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$