七年级下学期期末模拟卷（苏科版七下全册）-备战2023-2024学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（苏科版）

七年级下学期期末模拟卷 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．2024年夏季奥运会将在法国巴黎举行，平移如图所示的巴黎奥运会图标可以得到的图形是（　　） A． B． C． D． 2．以下是对钝角三角形ABC中BC边上的高的四种画法，其中画法正确的是（　　） A． B． C． D． 3．为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入体育社团．图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，则∠E的度数是（　　） A．70° B．60° C．40° D．30° 4．如图，有三种不同的小球，质量分别为a、b、c，放置在天平的托盘中，结果天平右侧向下倾斜，则可得到（　　） A．a＞b B．a＞c C．c＞b D．b＞c 5．（中国古代数学问题）5头牛和2只羊，共值银10两；2头牛和5只羊，共值银8两，问一头牛和一只羊各值银几两？设一头牛值银x两，一只羊值银y两，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 6．已知不等式组的解集是﹣1＜x＜0，则（a+b）2024的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．2024 7．如图，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝60°，点E、F在边AB、AC上，沿EF向内折叠△AEF得到△DEF，则图中∠1+∠2等于（　　） A．80° B．90° C．100° D．120° 8．如图，点E，F分别为长方形纸片ABCD的边AB，CD上的点，将长方形纸片沿EF翻折，点C，B分别落在点C'，B'处．若∠DFC'＝α，则∠FEA﹣∠AEB'的度数为（　　） A．45α B．60α C．90α D．90α 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg左右，0.00003用科学记数法可表示为 　 　． 10．命题“若a2＞0，则a＞0”，能说明该命题是假命题的反例是a＝　 　．（写出一个即可） 11．若9x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值为 　 　． 12．若 x•xa•xb•xc＝x2024（x≠1），则a+b+c＝　 　． 13．若不等式（m﹣2024）x＞m﹣2024两边同时除以（m﹣2024），得x＜1，则m的取值范围是 　 　． 14．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED的度数是　 　． 15．已知实数a，b，满足a+b＝6，ab＝7，则a2b+ab2的值为 　 　． 16．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，若△ABC的面积等于8，则△BEF的面积为 　 　． 17．如图，已知AB∥CD，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F．当∠ABM∠ABF，∠CDM∠CDF时，请你写出∠M与∠E之间的关系　 　． 18．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，⋅⋅⋅，∠A2020BC的平分线与∠A2020CD的平分线交于点A2021，得∠A2021，则∠A2021＝　 　． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）计算： （1）a2•a4+（2a3）2﹣a8÷a2； （2）|﹣2|﹣（2﹣π）0+（）﹣1． 20．（8分）分解因式： （1）2x3﹣2x2yxy2； （2）﹣a3+4a2b﹣4ab2． 21．（8分）解方程组或不等式组： （1）； （2）． 22．（6分）先化简，再求值：[（2a﹣b）2+（2a+b）（2a﹣b）]÷2a，其中a、b满足|a+1|+（b﹣2）2＝0． 23．（8分）超市购进A、B两种商品，购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元． （1）求A、B两种商品每件进价分别是多少元？ （2）若该商店购进A、B两种商品共200件，都标价10元出售，售出一部分商品后降价促销，以标价的八折售完所有剩余商品，以10元售出的商品件数比购进A种商品的件数少30件，该商店此次销售A、B两种商品共获利不少于640元，求至少购进A种商品多少件？ 24．（8分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，O为AB中点，且O在格点上． （1）请仅用无刻度直尺完成下列画图：过点O画线段BC的垂线，垂足为D；过点D画AB的平行线交AC于点E（先用铅笔画图，确定后用黑色签字笔描黑）． （2）已知∠B＝45°，则（1）所得的∠ODE的度数为 　 　°． 25．（8分）阅读理解： 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：2x﹣1＝3的解为x＝2，的解集为﹣3≤x＜4，不难发现x＝2在﹣3≤x＜4的范围内，所以2x﹣1＝3是的“子方程”． 问题解决： （1）在方程①3x﹣1＝0，②，③2x+3（x+2）＝21中，不等式组的“子方程”是 　 　．（填序号） （2）若关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组的“子方程”，求k的取值范围； （3）若方程2x+4＝0，1都是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围． 26．（10分）已知直线EF与直线AB，CD分别交于点E、F两点，∠AEF和∠CFE的角平分线交于点P，且∠AEP+∠CFP＝90° （1）如图1，求证：AB∥CD； （2）如图2，∠PEF和∠PFM的角平分线交于点Q，求∠Q的度数； （3）如图3，若∠AEP：∠CFP＝2：1，延长线段EP得射线EP1，延长线段FP得FP2，射线EP1绕点E以每秒15°的速度逆时针旋转360°后停止，射线FP2绕点F以每秒3°的速度顺时针旋转180°后停止．设它们同时转动t秒，问？t为多少时，射线EP1∥FP2． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级下学期期末模拟卷 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．2024年夏季奥运会将在法国巴黎举行，平移如图所示的巴黎奥运会图标可以得到的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据图形平移的性质解答即可． 【解答】解：由图形可知，选项D与原图形完全相同． 故选：D． 【点评】本题考查的是生活中的平移现象，掌握在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换是解题的关键． 2．以下是对钝角三角形ABC中BC边上的高的四种画法，其中画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的高的定义，即可解答． 【解答】解：以上是对钝角三角形ABC中BC边的高的四种画法，其中画法正确的是， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键． 3．为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入体育社团．图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，则∠E的度数是（　　） A．70° B．60° C．40° D．30° 【分析】延长DC交AE于点M，根据平行线的性质求出∠EAB＝∠EMD＝80°，根据三角形外角性质求解即可． 【解答】解：延长DC交AE于点M，如图2， ∵AB∥CD，∠EAB＝80°， ∴∠EAB＝∠EMD＝80°， ∵∠ECD＝∠E+∠EMD，∠ECD＝110°， ∴∠E＝30°， 故选：D． 【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键． 4．如图，有三种不同的小球，质量分别为a、b、c，放置在天平的托盘中，结果天平右侧向下倾斜，则可得到（　　） A．a＞b B．a＞c C．c＞b D．b＞c 【分析】在天平的两边同时去掉相同的小球，可得答案． 【解答】解：根据图形，天平两边同时去掉一个a和一个c，得到b＞c， 故选：D． 【点评】此题考查的是不等式的性质，不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变． 5．（中国古代数学问题）5头牛和2只羊，共值银10两；2头牛和5只羊，共值银8两，问一头牛和一只羊各值银几两？设一头牛值银x两，一只羊值银y两，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两”，得到2个等量关系，即可列出方程组． 【解答】解：由题意可得， 故选：B． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组． 6．已知不等式组的解集是﹣1＜x＜0，则（a+b）2024的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．2024 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集求得a、b的值，再代入计算即可． 【解答】解：由x﹣a＞1得：x＞a+1， 由x+1＜b得：x＜b﹣1， ∵解集为﹣1＜x＜0， ∴a+1＝﹣1，b﹣1＝0， 解得a＝﹣2，b＝1， 则原式＝（﹣2+1）2024＝（﹣1）2024＝1， 故选：B． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 7．如图，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝60°，点E、F在边AB、AC上，沿EF向内折叠△AEF得到△DEF，则图中∠1+∠2等于（　　） A．80° B．90° C．100° D．120° 【分析】利用三角形内角和定理，先求出∠A，再利用翻折变换的性质求出∠AED+∠AFD＝130°×2＝260°，再根据∠AED+∠1+∠AFD+∠2＝360°，即可求解． 【解答】解：在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝60°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣60°＝50°， ∵沿EF向内折叠△AEF得到△DEF， ∴∠D＝∠A＝50°，∠AEF＝∠DEF，∠AFE＝DFE， 在△DEF中，∠DEF+∠DFE＝180°﹣∠D＝180°﹣50°＝130°， ∴∠AED+∠AFD＝130°×2＝260°， ∵∠AED+∠1+∠AFD+∠2＝360°， ∴∠1+∠2＝100°， 故选：C． 【点评】本题考查了翻折变换的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握翻折变换的性质和三角形内角和定理． 8．如图，点E，F分别为长方形纸片ABCD的边AB，CD上的点，将长方形纸片沿EF翻折，点C，B分别落在点C'，B'处．若∠DFC'＝α，则∠FEA﹣∠AEB'的度数为（　　） A．45α B．60α C．90α D．90α 【分析】根据折叠的性质得到∠CFE＝∠C′FE，∠BEF＝∠B′EF，再根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【解答】解：根据折叠的性质得到，∠CFE＝∠C′FE，∠BEF＝∠B′EF， ∵∠DFC'＝α，∠CFE＝∠C′FE， ∴∠CFE＝∠C′FE（180°﹣α）＝90°α， ∵∠BEF＝∠B′EF，CD∥AB， ∴∠BEF＝∠B′EF＝∠DFE＝180°﹣∠CFE＝180°﹣（90°α）＝90°α，∠FEA＝∠CFE＝90°α， ∴∠AEB'＝∠FEB′﹣∠FEA＝90°α﹣（90°α）＝α， ∴∠FEA﹣∠AEB'＝90°α﹣α＝90°α， 故选：D． 【点评】此题考查了折叠的性质，熟记折叠的性质是解题的关键． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg左右，0.00003用科学记数法可表示为 　3×10﹣5　． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【解答】解：0.00003＝3×10﹣5． 故答案为：3×10﹣5． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 10．命题“若a2＞0，则a＞0”，能说明该命题是假命题的反例是a＝　﹣1（答案不唯一）　．（写出一个即可） 【分析】举一个数，满足题设，但不能得到答案即可． 【解答】解：当a＝﹣1时，满足题设a2＞0，但﹣1＜0， ∴命题“若a2＞0，则a＞0“是假命题， 故答案为：﹣1（答案不唯一）． 【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握举反例的方法：满足题设，但不能得到答案． 11．若9x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值为 　±12　． 【分析】根据完全平方公式即可求得答案． 【解答】解：∵9x2+kx+4是一个完全平方式， ∴kx＝±（2×3x×2）＝±12x， ∴k＝±12， 故答案为：±12． 【点评】本题考查完全平方公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 12．若 x•xa•xb•xc＝x2024（x≠1），则a+b+c＝　2023　． 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算，进而得出答案． 【解答】解：∵x•xa•xb•xc＝x2024， ∴1+a+b+c＝2024， ∴a+b+c＝2023． 故答案为：2023． 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 13．若不等式（m﹣2024）x＞m﹣2024两边同时除以（m﹣2024），得x＜1，则m的取值范围是 　m＜2024　． 【分析】根据不等式的性质可得：m﹣2024＜0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：m﹣2024＜0， 解得：m＜2024， 故答案为：m＜2024． 【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 14．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED的度数是　100°　． 【分析】根据多边形的外角和定理即可求得与∠AED相邻的外角，从而求解． 【解答】解：根据多边形外角和定理得到：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°， ∴∠5＝360﹣4×70＝80°， ∴∠AED＝180﹣∠5＝180﹣80＝100°． 【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理． 15．已知实数a，b，满足a+b＝6，ab＝7，则a2b+ab2的值为 　42　． 【分析】利用因式分解得到ab（a+b），然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵a+b＝6，ab＝7， ∴a2b+ab2 ＝ab（a+b） ＝7×6 ＝42． 故答案为：42． 【点评】本题考查了因式分解． 16．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，若△ABC的面积等于8，则△BEF的面积为 　2　． 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分即可求得． 【解答】解：∵点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点， ∴AE＝DEAD，EF＝CFCE，BD＝DCBC， ∵△ABC的面积等于8， ∴S△ABD＝S△ACD4， S△ABE＝S△BED2，S△AEC＝S△CDES△ACD＝2， ∴S△BEC＝S△BDE+S△CDE＝2+2＝4， ∴S△BEF＝S△BCFS△BEC2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了三角形的面积，等底同高的两个三角形的面积相等是解题的关键． 17．如图，已知AB∥CD，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F．当∠ABM∠ABF，∠CDM∠CDF时，请你写出∠M与∠E之间的关系　6∠BMD+∠BED＝360°．　． 【分析】首先作EG∥AB，MH∥AB，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE+∠BED＝360°，∠BMD＝∠ABM+∠CDM，再利用角平分线的定义及已知条件得到∠ABE＝6∠ABM，∠CDE＝6∠CDM，最后得出6∠BMD+∠BED＝360°即可得解． 【解答】解：过点E作EN∥AB，过点M作MH∥AB， ∵AB∥CD， ∴EN∥CD，MH∥CD， ∴∠ABE+∠BEN＝180°，∠CDE+∠DEN＝180°， ∴∠ABE+∠BEN+∠CDE+∠DEN＝360°， 即∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°， ∵∠ABM∠ABF，∠CDM∠CDF， ∴∠ABF＝3∠ABM，∠CDF＝3∠CDM， ∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F， ∴∠ABE＝6∠ABM，∠CDE＝6∠CDM， ∴6∠ABM+6∠CDM+∠BED＝360°， ∵MH∥AB，MH∥CD， ∴∠ABM＝∠BMH，∠CDM＝∠DMH， ∴∠BMD＝∠BMH+∠DMH＝∠ABM+∠CDM， ∴6∠BMD+∠BED＝360°， 故答案为：6∠BMD+∠BED＝360°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质和四边形的内角和，关键在于掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质． 18．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，⋅⋅⋅，∠A2020BC的平分线与∠A2020CD的平分线交于点A2021，得∠A2021，则∠A2021＝　　． 【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义进行计算，得出规律后可直接得出答案． 【解答】解：∵BA1、CA1分别是∠ABC、∠ACD的平分线， ∴∠ABA1＝∠A1BC∠ABC，∠ACA1＝∠A1CD∠ACD， 又∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC， ∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC ∠ACD∠ABC （∠ACD﹣∠ABC） ∠A α； 同理∠A2∠A1＝（）2α， ∠A3＝＝（）3α， ∠A4＝＝（）4α， … ∠A2021＝（）2021α， 即∠A2021， 故答案为：． 【点评】本题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义，掌握三角形内角和是180°，一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是正确解答的前提． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）计算： （1）a2•a4+（2a3）2﹣a8÷a2； （2）|﹣2|﹣（2﹣π）0+（）﹣1． 【分析】（1）幂的混合运算，先算乘方，然后算乘除，最后算加减； （2）实数的混合运算，先分别化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，然后再计算． 【解答】解：（1）原式＝a6+4a6﹣a6 ＝4a6； （2）原式＝2﹣1﹣3 ＝﹣2． 【点评】本题考查实数的混合运算，幂的混合运算以及负整数指数幂，零指数幂，掌握运算顺序和计算法则是解题关键． 20．（8分）分解因式： （1）2x3﹣2x2yxy2； （2）﹣a3+4a2b﹣4ab2． 【分析】（1）先提取公因式，再由完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，再由完全平方公式进行因式分解即可． 【解答】解：（1）2x3﹣2x2yxy2 ＝x（2x2﹣2xyy2） ＝x（xy2）； （2）﹣a3+4a2b﹣4ab2 ＝﹣a（a2﹣4ab+4b2） ＝﹣a（a﹣2b2）． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 21．（8分）解方程组或不等式组： （1）； （2）． 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：（1）， ①﹣②×2，得：y＝5， 将y＝5代入①，得：6x+25＝31， 解得x＝1， 则方程组的解为； （2）解不等式3（x+2）+5（x﹣4）＜2，得：x＜2， 解不等式2（x+2）1，得：x≥﹣3， 则不等式组的解集为﹣3≤x＜2． 【点评】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 22．（6分）先化简，再求值：[（2a﹣b）2+（2a+b）（2a﹣b）]÷2a，其中a、b满足|a+1|+（b﹣2）2＝0． 【分析】原式括号中利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值． 【解答】解：原式＝（4a2﹣4ab+b2+4a2﹣b2）÷2a ＝（8a2﹣4ab）÷2a ＝4a﹣2b， 由|a+1|+（b﹣2）2＝0，得：a+1＝0，b﹣2＝0， 解得：a＝﹣1，b＝2， 当a＝﹣1，b＝2时， 4a﹣2b＝4×（﹣1）﹣2×2 ＝﹣4﹣4 ＝﹣8． 【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 23．（8分）超市购进A、B两种商品，购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元． （1）求A、B两种商品每件进价分别是多少元？ （2）若该商店购进A、B两种商品共200件，都标价10元出售，售出一部分商品后降价促销，以标价的八折售完所有剩余商品，以10元售出的商品件数比购进A种商品的件数少30件，该商店此次销售A、B两种商品共获利不少于640元，求至少购进A种商品多少件？ 【分析】（1）根据“购进4件甲种商品比购进5件乙种商品少用10元，购进20件甲种商品和10件乙种商品共用去160元”列出方程组解答即可； （2）设购进甲种商品a件，则乙种商品（200﹣a） 件，“利润不少于640元”列出不等式解答即可． 【解答】（1）设A甲种商品每件进价x元，B乙种商品每件进价y元， 根据题意，得，解得：， 答：A种商品每件进价5元，B种商品每件进价6元． （2）设A种商品购进a件，则乙种商品（200﹣a）件， 根据题意，得10（a﹣30）+0.8×10[200﹣（a﹣30）]﹣5a﹣6（200﹣a）≥640， 解得：a≥100， 答：至少购进A种商品100件． 【点评】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的不等或等量关系． 24．（8分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，O为AB中点，且O在格点上． （1）请仅用无刻度直尺完成下列画图：过点O画线段BC的垂线，垂足为D；过点D画AB的平行线交AC于点E（先用铅笔画图，确定后用黑色签字笔描黑）． （2）已知∠B＝45°，则（1）所得的∠ODE的度数为 　45　°． 【分析】（1）根据题意画出图形； （2）利用平行线的性质求出∠EDC＝45°，可得结论． 【解答】解：（1）图形如图所示： （2）∵OD⊥BC， ∴∠ODC＝90°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC＝∠B＝45°， ∴∠ODE＝90°﹣45°＝45°． 故答案为：45． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 25．（8分）阅读理解： 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：2x﹣1＝3的解为x＝2，的解集为﹣3≤x＜4，不难发现x＝2在﹣3≤x＜4的范围内，所以2x﹣1＝3是的“子方程”． 问题解决： （1）在方程①3x﹣1＝0，②，③2x+3（x+2）＝21中，不等式组的“子方程”是 　③　．（填序号） （2）若关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组的“子方程”，求k的取值范围； （3）若方程2x+4＝0，1都是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围． 【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出x，最后根据“子方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可； （3）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义即可解答． 【解答】解：（1）①3x﹣1＝0， 解得：x， ②， 解得：x， ③2x+3（x+2）＝21， 解得：x＝3， ， 解不等式①得：x＞2， 解不等式②得：x≤5， ∴原不等式组的解集为：2＜x≤5， ∴不等式组的“子方程”是：③， 故答案为：③； （2）， 解不等式①得：x， 解不等式②得：x≤3， ∴原不等式组的解集为：x≤3， 2x﹣k＝2， 解得：x， ∵方程2x﹣k＝2是不等式组的“子方程”， ∴3， 解得：3＜k≤4； （3）2x+4＝0， 解得：x＝﹣2， 1， 解得：x＝﹣1， ， 解不等式①得：x≥m﹣5， 解不等式②得：x＜m﹣3， ∴原不等式组的解集为：m﹣5≤x＜m﹣3， ∵方程2x+4＝0，1都是关于x的不等式组的“子方程”， ∴， 解得：2＜m≤3． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“子方程”是解题的关键． 26．（10分）已知直线EF与直线AB，CD分别交于点E、F两点，∠AEF和∠CFE的角平分线交于点P，且∠AEP+∠CFP＝90° （1）如图1，求证：AB∥CD； （2）如图2，∠PEF和∠PFM的角平分线交于点Q，求∠Q的度数； （3）如图3，若∠AEP：∠CFP＝2：1，延长线段EP得射线EP1，延长线段FP得FP2，射线EP1绕点E以每秒15°的速度逆时针旋转360°后停止，射线FP2绕点F以每秒3°的速度顺时针旋转180°后停止．设它们同时转动t秒，问？t为多少时，射线EP1∥FP2． 【分析】（1）由角平分线的定义，可知∠AEP＝∠PEF，∠PFE＝∠CFP，再由已知可求∠AEF+∠PFC＝180°，根据同旁内角互补两直线平行即可证明； （2）设∠PEQ＝α，由角平分线的定义可分别求∠AEP＝2α，∠QEF＝∠PEQ＝α，则可求∠PFE＝90°﹣2α，∠PFM＝90°+2α，∠PFQ＝45°+α，再由三角形内角和可得∠Q＝180°﹣∠QEF﹣∠EFQ＝45°； （3）分两种情况讨论：∠P1EF＝∠P2FE时，∠P1EF＝15°t﹣60°，∠P2FE＝30°﹣3°t，则15°t﹣60°＝30°﹣3°t；∠P1EF+∠EFP2＝180°时，∠P1EF＝15°t﹣60°，∠EFP2＝3°t﹣30°，则15°t﹣60°+3°t﹣30°＝180°，分别求出t即可． 【解答】（1）证明：∵∠AEF和∠CFE的角平分线交于点P， ∴∠AEP＝∠PEF，∠PFE＝∠CFP， ∵∠AEP+∠CFP＝90°， ∴∠AEF+∠PFC＝180°， ∴AB∥CD； （2）解：设∠PEQ＝α， ∵PE平分∠AEF， ∴∠AEP＝2α， ∵EQ平分∠PEF， ∴∠QEF＝∠PEQ＝α， ∵∠EPF＝90°， ∴∠PFE＝90°﹣2α， ∴∠PFM＝180°﹣（90°﹣2α）＝90°+2α， ∵FQ平分∠PFM， ∴∠PFQ＝45°+α， ∴∠Q＝180°﹣∠QEF﹣∠EFQ＝180°﹣α﹣（90°﹣2α）﹣（45°+α）＝45°； （3）解：如图1，EP1∥FP2时， ∵∠AEP：∠CFP＝2：1，∠AEP+∠CFP＝90°， ∴∠AEP＝60°，∠CFP＝30°， ∴∠P1EF＝15°t﹣60°，∠P2FE＝30°﹣3°t， ∵EP1∥FP2， ∴∠P1EF＝∠P2FE， ∴15°t﹣60°＝30°﹣3°t， ∴t＝5； 如图2，EP1∥FP2时， ∴∠P1EF＝15°t﹣60°，∠EFP2＝3°t﹣30°， ∵EP1∥FP2， ∴∠P1EF+∠EFP2＝180°， ∴15°t﹣60°+3°t﹣30°＝180°， ∴t＝15； 综上所述：当t＝5或15时，射线EP1∥FP2． 【点评】本题考查平行线的性质，熟练两直线平行角之间的关系，根据射线的运动情况画出符合题意的图是解题的关键． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$