专题03 一元一次不等式期末题型汇编【九大题型+过关检测卷】-《期末复习题型》2023-2024学年七年级数学下册期末重点复习攻略（华东师大版）

专题03 一元一次不等式期末题型汇编之九大题型 目录 【题型一 不等式的基本性质】 1 【题型二 一元一次不等式的定义】 3 【题型三 求一元一次不等式的解集】 4 【题型四 根据一元一次不等式的解集求参数】 6 【题型五 方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题】 8 【题型六 求一元一次不等式组的解集】 9 【题型七 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】 12 【题型八 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】 14 【题型九 二元一次方程组与不等式（组）解决实际问题】 15 【过关检测卷】 19 【期末题型】 【题型一 不等式的基本性质】 例题：（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）若，则下列式子中一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·四川凉山·期末）已知，下列变形一定正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型二 一元一次不等式的定义】 例题：（23-24八年级上·湖南·期末）下列不等式是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·山东泰安·期末）下列式子是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·福建福州·期末）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【题型三 求一元一次不等式的解集】 例题：（23-24七年级上·江苏苏州·期末）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）解不等式: ，并把它的解集在数轴上表示出来. 2．（22-23七年级下·吉林白山·期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 3．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）小米同学求解一元一次不等式的过程： 解不等式：. 解：去分母，得.第一步 去括号，得.第二步 移项，得.第三步 合并同类项，得.第四步 系数化为1，得.第五步 所以原不等式的解为. (1)该解题过程中从第_________步开始出现错误； (2)请你按照上面演算步骤写出正确的解答过程. 【题型四 根据一元一次不等式的解集求参数】 例题：（22-23八年级上·江西南昌·期末）已知关于的不等式的解集如图所示，则的值为 ． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·宁夏银川·期末）关于x的不等式的解集为，则k的取值范围为 ． 2．（22-23八年级下·宁夏中卫·期末）不等式的解集为，则 【题型五 方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题】 例题：（23-24八年级上·宁夏银川·期末）已知方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·四川乐山·期末）已知关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围是 ． 2．（23-24八年级上·广西贵港·期末）关于的二元一次方程组的解满足不等式，则的取值范围是 ． 【题型六 求一元一次不等式组的解集】 例题：（23-24七年级下·贵州黔南·期末）解不等式组，并在数轴表示不等式组的解集． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式组，把不等式组的解集在数轴上表示出来；    2．（22-23七年级下·云南昆明·期末）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 3．（22-23八年级下·四川达州·期末）解不等式组，并写出它的非负整数解． 4．（22-23七年级下·辽宁葫芦岛·期末）解不等式组把解集在数轴上表示出来．并写出其整数解    【题型七 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】 例题：（22-23七年级下·黑龙江佳木斯·期末）关于x的不等式组的整数解有5个，则a的取值范围是 【变式训练】 1．（22-23八年级下·四川成都·期末）若关于x的不等式组的整数解只有2，3，4，且a，b均为整数，则的最大值为 ． 2．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于x的不等式组的解集中至少有个整数解，则整数的最小值是 ． 【题型八 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】 例题：（22-23八年级下·四川成都·期末）已知一元一次不等式组的解集为．则的取值范围是 . 【变式训练】 1．（22-23七年级下·重庆长寿·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围为 ． 2．（22-23七年级下·重庆万州·期末）若关于x的不等式组的解集为，则的值为 ． 【题型九 二元一次方程组与不等式（组）解决实际问题】 例题：（23-24八年级上·湖南怀化·期末）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元． (1)求篮球和足球的单价分别是多少元． (2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5460元，那么有哪几种购买方案？ 【变式训练】 1．（22-23七年级下·内蒙古通辽·期末）在疫情期间，重庆某医药公司往武汉运送医药物资，若用辆型车辆和辆型车辆装满物资一次可以运送吨；用辆型车辆和辆型车辆装满物资一次可以运送吨根据以上信息，解答下列问题： (1)通过列方程组求出：辆型车辆和辆型车辆都装满物资一次分别运多少吨？ (2)该医药公司准备将一批医药物资一次性运输至武汉，于是从租车公司租用了和两种型号车辆共辆，其中型车辆每辆要付费元，型车辆每辆要付费元，若付费总金额不超过元，且物资不少于吨，请问怎么安排车辆总费用最少？ 2．（22-23七年级下·四川凉山·期末）某体育用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳根，乙种跳绳5根，需要元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要元． (1)求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？ (2)若该体育用品店刚好用了元购进这两种跳绳，考虑顾客需求，要求购进甲种跳绳的数量不少于乙种跳绳数量的3倍，且乙种跳绳数量不少于根，那么该文具店共有哪几种购买方案？ (3)若该体育用品店销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【过关检测卷】 一、单选题 1．（22-23八年级上·浙江湖州·期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级下·吉林长春·期中）将质量分别为的物体放入天平中，两个天平均保持平衡，则下列不等关系成立的是（    ）    A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·山东菏泽·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（23-24七年级上·重庆梁平·期末）若关于x的一元一次方程有正整数解，则符合条件的整数的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 5．（22-23七年级下·宁夏石嘴山·期末）已知关于x、y的方程组其中，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的解：②当时，x、y的值互为相反数；③若，则；④是方程组的解．其中上面结论正确的个数（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二、填空题 6．（22-23七年级下·江苏连云港·期末）“数m不小于2”可以用式子表示为 ． 7．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）不等式的正整数解为 ． 8．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）关于的方程组，的解满足，且m为正数，则m的取值范围是 ． 9．（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若实数m使关于x的不等式组有解且至多有2个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则满足条件的所有整数m的和为 ． 10．（22-23七年级下·重庆南川·期末）如果整数使得关于的不等式组有解，且使得关于，的二元一次方程组的解为整数（，均为整数），则符合条件的所有整数的和为 ． 三、解答题 11．（22-23七年级下·重庆南川·期末）解不等式（组） (1)，并写出的最小整数解． (2)解不等式组 12．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）解下面的不等式组： (1)； (2)． 13．（2023七年级下·全国·专题练习）（1）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一： 填空：①以上解题过程中，第二步是依据 ___________（运算律）进行变形的． ②第 ___________步开始出现错误．这一步错误的原因是 ___________． 任务二：请直接写出该不等式的正确解集．解集：____________． 14．（22-23七年级下·云南玉溪·期末）解不等式组清按下列步骤完成解答． (1)解不等式①，得：____________； (2)解不等式②，得：____________． (3)在直线上建立数轴，并将不等式①和②的解集表示在数轴上：____________ (4)利用数轴，可以直观看出两个不等式解集的公共部分，从而得到原不等式组的解集为：____________． 15．（22-23七年级下·天津和平·期末）已知关于、的方程组的解满足为非负数，为负数． (1)求的取值范围； (2)化简： (3)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解为． 16．（22-23七年级下·贵州黔西·期末）某学校为了绿化校园环境，计划分两次购进樟树和桂花树两种树苗，第一次购进樟树苗20棵，桂花树苗10棵，共花费3000元：第二次购进樟树苗24棵，桂花树苗8棵，共花费2800元．（两次购进的两种树苗各自的单价均不变） (1)两种树苗的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购进两种树苗共40棵，但总费用不超过3800元，且购买樟树苗的数量不超过桂花树苗数量的3倍、问：共有哪几种购买方案？ 17．（22-23七年级下·福建福州·期末）随着新能源汽车的普及，为节省运输成本，某汽车运营公司计划购进A型与B型两种品牌的新能源汽车，若购进A型汽车2辆，B型汽车3辆，共花费140万元：若购进A型汽车8辆，B型汽车14辆，共花费620万元， (1)A型与B型汽车每辆的进价分别是多少万元？ (2)该公司计划购进A型与B型两种汽车共10辆，费用不超过290万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你列举出所有购买方案． 18．（21-22七年级下·湖北荆州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 ；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元一次不等式期末题型汇编之九大题型 目录 【题型一 不等式的基本性质】 1 【题型二 一元一次不等式的定义】 3 【题型三 求一元一次不等式的解集】 4 【题型四 根据一元一次不等式的解集求参数】 6 【题型五 方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题】 8 【题型六 求一元一次不等式组的解集】 9 【题型七 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】 12 【题型八 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】 14 【题型九 二元一次方程组与不等式（组）解决实际问题】 15 【过关检测卷】 19 【期末题型】 【题型一 不等式的基本性质】 例题：（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）若，则下列式子中一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、， 故不符合题意； B、， 故不符合题意； C、， 故符合题意； D、， 的符号不确定 不一定成立 故不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·四川凉山·期末）已知，下列变形一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，不等式性质一：不等式两边同时加上可减去同一个数或整式，不等号不变；不等式性质二：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号不变；不等式性质三：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向． 根据不等式的性质，逐项判定即可． 【详解】解：∵， A. ，故此选项不符合题意； B. 不能推出，故此选项不符合题意；     C. 当时，当时，当时，故此选项不符合题意；     D. 一定成立，故此选项符合题意， 故选：D． 2．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质．根据不等式的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．若，则，故本选项错误，不符合题意； B．若，则，故本选项错误，不符合题意； C．若，，则，故本选项错误，不符合题意； D．若，，则，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【题型二 一元一次不等式的定义】 例题：（23-24八年级上·湖南·期末）下列不等式是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义．熟练掌握含有一个未知数，未知数的次数是 1 的不等式，叫作一元一次不等式是解题的关键． 根据一元一次不等式的定义进行判断作答即可． 【详解】A中不含未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意； B中是一元一次不等式，故符合题意； C中中含有两个未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意； D中未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式，故不符合题意． 故选：B． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·山东泰安·期末）下列式子是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只含有一次未知数，且未知数的最高次数为1的不等式叫一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义可直接判断求解． 【详解】解：A、此不等式中不是整式，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； B、此不等式是一元一次不等式，故此选项符合题意； C、此不等式含有2个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； D、此不等式最高次数是2次，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．要注意：一元一次不等式中必须只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，并且不等式左右两边必须是整式． 2．（22-23七年级下·福建福州·期末）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的三个特点：不等式的两边都是整式；只含个未知数；未知数的最高次数为次，进行求解即可． 【详解】解：不含未知数，错误； B.符合一元一次不等式的定义，正确； C.分母含未知数，错误； D.含有两个未知数，错误． 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，熟记一元一次不等式的三个特点是关键． 【题型三 求一元一次不等式的解集】 例题：（23-24七年级上·江苏苏州·期末）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析． 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式解集，先去分母，再移项，合并同类项，求出x的取值范围在数轴上表示出来即可． 【详解】解：去分母，得， 移项，合并同类项，得， 分母化为1，得． 在数轴上表示如下： ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）解不等式: ，并把它的解集在数轴上表示出来. 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把的系数化为1，再把不等式的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 2．（22-23七年级下·吉林白山·期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】先根据不等式的解法求解不等式，然后把解集在数轴上表示出来． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：， 在数轴上表示为： 【点睛】本题考查了解简单不等式的能力，以及在数轴上表示不等式的解集，解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 3．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）小米同学求解一元一次不等式的过程： 解不等式：. 解：去分母，得.第一步 去括号，得.第二步 移项，得.第三步 合并同类项，得.第四步 系数化为1，得.第五步 所以原不等式的解为. (1)该解题过程中从第_________步开始出现错误； (2)请你按照上面演算步骤写出正确的解答过程. 【答案】(1)一 (2)见详解 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键； （1）根据去分母可进行求解； （2）根据一元一次不等式的解法可进行求解． 【详解】（1）由题意可知解题过程中从第一步开始出现错误； 故答案为一； （2）解： 去分母得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴原不等式的解集为． 【题型四 根据一元一次不等式的解集求参数】 例题：（22-23八年级上·江西南昌·期末）已知关于的不等式的解集如图所示，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质：系数化解得不等式，然后根据数轴可知不等式的解，即可解得的值． 【详解】合并同类项，得，结合题图把系数化为1，得，则有=，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式的知识，掌握解关于的不等式是解决本题的关键． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·宁夏银川·期末）关于x的不等式的解集为，则k的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】根据不等式的性质，不等式的两边同乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，可得答案． 【详解】解：不等式的解集为， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的性质，解一元一次不等式，掌握不等式性质，不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变是解题关键． 2．（22-23八年级下·宁夏中卫·期末）不等式的解集为，则 【答案】 【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算可得，然后根据已知易得，从而可得，最后把m的值代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∵不等式的解集为， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【题型五 方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题】 例题：（23-24八年级上·宁夏银川·期末）已知方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组及解一元一次不等式．两式相加求得，再由得出的取值范围即可． 【详解】解：， ①②得，， 解得； ， 解得． 故答案为：． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·四川乐山·期末）已知关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】方程变形后求出解，根据解为负数求出m的范围即可． 【详解】解：方程， 移项得：， ∴ 根据题意得：， 解得：， 所以m的取值范围是． 【点睛】点评：本题考查了一元一次方程的解，解一元一次不等式，解题的关键是把字母m看作一个常数来解，本题是常见的题型要求掌握． 2．（23-24八年级上·广西贵港·期末）关于的二元一次方程组的解满足不等式，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解．先利用整体的思想求出，从而可得，进而可得，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：， ①②得：， 解得：， ， ， 解得：， 故答案为：． 【题型六 求一元一次不等式组的解集】 例题：（23-24七年级下·贵州黔南·期末）解不等式组，并在数轴表示不等式组的解集． 【答案】，数轴表示见解析． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】解：解得，， 解得，， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示不等式组的解集如图所示： 【变式训练】 1．（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式组，把不等式组的解集在数轴上表示出来；    【答案】画图见解析，不等式组的解集是． 【分析】 本题主要考查了一元一次不等式组的求解，以及用数轴表示解集，熟练掌握解不等式组的方法与步骤是关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到来确定不等式组的解集． 【详解】 解： 解不等式①得：． 解不等式②得：， 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．    ∴ 不等式组的解集是． 2．（22-23七年级下·云南昆明·期末）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： 3．（22-23八年级下·四川达州·期末）解不等式组，并写出它的非负整数解． 【答案】非负整数解为：，，，； 【分析】本题考查解不等式组，先解不等式①②，再由同大取大，同小取小，相交取中间相背无解直接求解即可得到答案； 【详解】解： 解不等式得， ， 解不等式得， ， ∴不等式组的解集为：， 它的非负整数解为：，，，． 4．（22-23七年级下·辽宁葫芦岛·期末）解不等式组把解集在数轴上表示出来．并写出其整数解    【答案】，图见解析，整数解为3，4，5，6，7，8 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示，再结合数轴找出整数解即可． 【详解】， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 故不等式组的解集为：， 把解集在数轴上表示出来为：    则整数解是：3，4，5，6，7，8． 【题型七 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】 例题：（22-23七年级下·黑龙江佳木斯·期末）关于x的不等式组的整数解有5个，则a的取值范围是 【答案】/ 【分析】先表示出不等式组的解集，再由整数解的个数，可得a的取值范围． 【详解】解：由， 解得：， ∵不等式组的整数解共有5个， 则其整数解为：，，，0，1， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解等知识点，关键是能根据不等式组的解集和已知得出a的取值范围． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·四川成都·期末）若关于x的不等式组的整数解只有2，3，4，且a，b均为整数，则的最大值为 ． 【答案】10 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵整数解只有2，3，4， ∴， 解得：， ∵a，b均为整数， ∴当时， 最大值为：． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，根据整数解只有2，3，4找到不等关系是解题关键． 2．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于x的不等式组的解集中至少有个整数解，则整数的最小值是 ． 【答案】 【分析】表示出不等式组的解集，由解集中至少有个整数解，确定出的范围，进而求出整数的最小值即可． 【详解】解：不等式组整理得：， 解得：， 不等式组解集中至少有个整数解，即至少个整数解为，，，， ， 则整数的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 【题型八 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】 例题：（22-23八年级下·四川成都·期末）已知一元一次不等式组的解集为．则的取值范围是 . 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．根据不等式组取解集的方法确定出的范围即可． 【详解】解：解不等式，得， 因为一元一次不等式组的解集为． 所以． 故答案为：． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·重庆长寿·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了，求出a的取值范围是多少即可． 【详解】解：解第一个一元一次不等式得：， 关于x的不等式组无解， 则a的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的解集，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 2．（22-23七年级下·重庆万州·期末）若关于x的不等式组的解集为，则的值为 ． 【答案】 【分析】解出不等式组的解集，根据题意，可以求出，的值，代入即可求值． 【详解】由， 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组解集为：， ∴，， 解得：，， 则：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组． 【题型九 二元一次方程组与不等式（组）解决实际问题】 例题：（23-24八年级上·湖南怀化·期末）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元． (1)求篮球和足球的单价分别是多少元． (2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5460元，那么有哪几种购买方案？ 【答案】(1)篮球和足球的单价分别是120元，90元 (2)有三种购买方案：方案一：购买篮球30个，足球20个；方案二：购买篮球31个，足球19个；方案三：购买篮球32个，足球18个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设篮球和足球的单价分别是x元，y元，根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元列出方程组求解即可； （2）设购买篮球m个，则购买足球个，根据购买费用不超过5460元，且篮球不少于30个列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设篮球和足球的单价分别是x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：篮球和足球的单价分别是120元，90元； （2）解：设购买篮球m个，则购买足球个， 由题意得，， 解得， ∵m为正整数， ∴m的值可以为30或31或32， ∴有三种购买方案：方案一：购买篮球30个，足球20个；方案二：购买篮球31个，足球19个；方案三：购买篮球32个，足球18个． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·内蒙古通辽·期末）在疫情期间，重庆某医药公司往武汉运送医药物资，若用辆型车辆和辆型车辆装满物资一次可以运送吨；用辆型车辆和辆型车辆装满物资一次可以运送吨根据以上信息，解答下列问题： (1)通过列方程组求出：辆型车辆和辆型车辆都装满物资一次分别运多少吨？ (2)该医药公司准备将一批医药物资一次性运输至武汉，于是从租车公司租用了和两种型号车辆共辆，其中型车辆每辆要付费元，型车辆每辆要付费元，若付费总金额不超过元，且物资不少于吨，请问怎么安排车辆总费用最少？ 【答案】(1)辆型车辆装满物资一次运吨，辆型车辆装满物资一次运吨 (2)当安排辆型车，辆型车时，总费用最少 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系和不等关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组． （1）设辆型车辆装满物资一次运吨，辆型车辆装满物资一次运吨，根据“用辆型车辆和辆型车辆装满物资一次可以运送吨；用辆型车辆和辆型车辆装满物资一次可以运送吨”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设安排辆型车，则安排辆型车，根据“付费总金额不超过元，且物资不少于吨”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各租车方案，再求出各租车方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设辆型车辆装满物资一次运吨，辆型车辆装满物资一次运吨， 根据题意得：， 解得：． 答：辆型车辆装满物资一次运吨，辆型车辆装满物资一次运吨； （2）解：设安排辆型车，则安排辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为，， 共有种租车方案， 方案：安排辆型车，辆型车，所需总费用为；（元） ； 方案：安排辆型车，辆型车，所需总费用为（元）． ∵， 当安排辆型车，辆型车时，总费用最少． 2．（22-23七年级下·四川凉山·期末）某体育用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳根，乙种跳绳5根，需要元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要元． (1)求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？ (2)若该体育用品店刚好用了元购进这两种跳绳，考虑顾客需求，要求购进甲种跳绳的数量不少于乙种跳绳数量的3倍，且乙种跳绳数量不少于根，那么该文具店共有哪几种购买方案？ (3)若该体育用品店销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)购进甲种跳绳每根需要元，购进乙种跳绳每根需要元 (2)有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案②购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案③购进甲种跳绳根，乙种跳绳根 (3)购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，获利最大，最大利润是元 【分析】（1）设购进甲种跳绳每根需要a元，购进乙种跳绳每根需要b元，然后根据题意建立二元一次方程组求出其解即可； （2）设购进甲种跳绳x个，则购进乙种跳绳个，然后根据题意建立不等式组求出其解即可； （3）根据（2）的结论，结合题意，分别求得利润，比较即可求解． 【详解】（1）解：设购进甲种跳绳每根需要a元，购进乙种跳绳每根需要b元，由题意得： ，解得：， 答：购进甲种跳绳每根需要元，购进乙种跳绳每根需要元． （2）解：设购进甲种跳绳x个，则购进乙种跳绳个，根据题意得， 解得：， ∵为正整数， ∴， 当时，， 当时，，不是整数，不符合题意，舍去， 当时，， 当时，，不是整数，不符合题意，舍去， 当时，， 答：该商店有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案②购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案③购进甲种跳绳根，乙种跳绳根； （3）解：∵销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元， 由（2）可知，方案①：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，则利润为； 方案②：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，则利润为； 方案③：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，则利润为； ∵， ∴方案③：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，获利最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（22-23八年级上·浙江湖州·期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，进而判断得出即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； B、是一元一次不等式，符合题意； C、不含未知数，是不等关系，不是一元一次不等式，不符合题意； D、未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，正确把握一元一次不等式的要素是解决问题的关键．． 2．（22-23九年级下·吉林长春·期中）将质量分别为的物体放入天平中，两个天平均保持平衡，则下列不等关系成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题图得到的数量关系，进而即可求解； 【详解】解：由题图知，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查代数式之间的大小比较，正确理解题意是解题的关键． 3．（22-23八年级下·山东菏泽·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】解：去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 在数轴上表示如下：    故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 4．（23-24七年级上·重庆梁平·期末）若关于x的一元一次方程有正整数解，则符合条件的整数的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，表示出方程的解，由方程的解为正整数，列不等式，结合为整数得出的所有值，取最小值即可得答案．正确表示出方程的解是解题关键． 【详解】解： 去分母得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵一元一次方程有正整数解， ∴， ∴的值为、、、， ∵为整数， ∴的值为、、、， ∴整数的最小值为， 故选：A． 5．（22-23七年级下·宁夏石嘴山·期末）已知关于x、y的方程组其中，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的解：②当时，x、y的值互为相反数；③若，则；④是方程组的解．其中上面结论正确的个数（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】D 【分析】将代入原方程组并解二元一次方程组即可判断①；将代入原方程组并解二元一次方程组即可判断②；解原方程组，求出a的范围，继而得出y的范围，即可判断③；将代入原方程组求出a的值，即可判断④． 【详解】当时，方程组为， 解得， ∴，故①不正确； 当时，方程组为， 解得，x、y的值不是相反数，故②不正确； 解方程组，得 若，即， 解得， ∵， ∴ 则，故③不正确； 把代入原方程组，可得，不合题意，故④不正确； 综上，结论正确的个数为0个， 故选：D． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，熟练掌握解方程和不等式的方法是解题的关键． 二、填空题 6．（22-23七年级下·江苏连云港·期末）“数m不小于2”可以用式子表示为 ． 【答案】 【分析】根据题意列出不等式即可． 【详解】解：“数m不小于2”可以用式子表示为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列不等式，解题的关键是熟练掌握表示不等关系的词：“不大于”，“不小于”，“大于”，“小于”． 7．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）不等式的正整数解为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了求不等式的整数解，正确求得该不等式的解集是解题关键．按照去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤解该不等式，然后根据正整数的定义，即可获得答案． 【详解】解：， 去分母，可得 ， 去括号，可得 ， 移项、合并同类项，可得 ， 系数化为1，可得， 所以，该不等式的正整数解为1． 故答案为：1． 8．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）关于的方程组，的解满足，且m为正数，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】观察方程组的系数，可知两式相加求得，结合，m为正数求解即可． 【详解】解：， ，得， 即， ， ， ， 解得， m为正数， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，观察方程组的系数，选择合适的解法是关键． 9．（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若实数m使关于x的不等式组有解且至多有2个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则满足条件的所有整数m的和为 ． 【答案】15 【分析】根据不等式组求出的范围，然后再根据方程求出的范围，从而确定的的可能值，再求和． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解且至多有2个整数解， ， ， 解方程，得：， 方程的解为非负数， ， 解得：， ∴， 或5或6， 满足条件的所有整数的和为． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，准确熟练地解一元一次方程和一元一次不等式组是解题的关键． 10．（22-23七年级下·重庆南川·期末）如果整数使得关于的不等式组有解，且使得关于，的二元一次方程组的解为整数（，均为整数），则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质解不等式组，根据不等式组的解集的情况求出整数的取值范围，根据解二元一次方程组的方法求出关于，的值，根据二元一次方程组的解为整数，通过试根的方法判定整数的值，由此即可求解． 【详解】解：， 由①得，；由②得，； ∵关于的不等式组有解， ∴， ， 得，，则， ∴， 把代入③得，，解得，， ∴关于，的二元一次方程组的解为，且，均为整数， 由不等式有解得，， ∴当时，，，符合题意； 当时，，中，分母为零，无意义，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； 综上所述，符合题意得的值有：， ∴符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，不等式组解集，二元一次方程组的解的综合，掌握不等式的性质解不等式组，求不等式组的解集，解二元一次方程组的方法及解的情况等知识是解题的关键． 三、解答题 11．（22-23七年级下·重庆南川·期末）解不等式（组） (1)，并写出的最小整数解． (2)解不等式组 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据一元一次不等式的解法可进行求解； （2）根据一元一次不等式组的解法可进行求解． 【详解】（1）解： 化简得：， 去括号得：， 解得：； ∴的最小整数解为； （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式（组）的解法，熟练掌握其解法是解题的关键． 12．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）解下面的不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式组． （1）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即可； （2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即可； 掌握解一元一次不等式的步骤，正确的计算，是解题的关键． 【详解】（1）解：， 解①得，， 解②得，， ∴不等式组的解集为． （2）， 解①得，， 解②得，， ∴不等式组的解集为． 13．（2023七年级下·全国·专题练习）（1）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一： 填空：①以上解题过程中，第二步是依据 ___________（运算律）进行变形的． ②第 ___________步开始出现错误．这一步错误的原因是 ___________． 任务二：请直接写出该不等式的正确解集．解集：____________． 【答案】任务一：①乘法分配律（或分配律）；②五,不等式两边都除以，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的基本性质3）；任务二：． 【分析】按照含有分母的一元一次不等式解法步骤进行，求出不等式的解集，即可完成任务一与任务二． 【详解】解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律进行变形的； ②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边都除以，不等号的方向没有改变； 故答案为：①乘法分配律（或分配律），②五，不等式两边都除以，不等号的方向没有改变． 任务二：该不等式的正确解集是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，这里先去分母比较简单，掌握不等式的性质是关键． 14．（22-23七年级下·云南玉溪·期末）解不等式组清按下列步骤完成解答． (1)解不等式①，得：____________； (2)解不等式②，得：____________． (3)在直线上建立数轴，并将不等式①和②的解集表示在数轴上：____________ (4)利用数轴，可以直观看出两个不等式解集的公共部分，从而得到原不等式组的解集为：____________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】分别解这两个不等式，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，找到解集的公共部分即可得到原不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 移项，得：， 合并同类型，得：， 系数化为1，得：， 解不等式①，得：， 故答案为：； （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 解不等式②，得：， 故答案为：； （3）解：将不等式①和②的解集表示在数轴上： （4）直观看出两个不等式解集的公共部分，从而得到原不等式组的解集为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，体现了数形结合的思想，在数轴上找到解集的公共部分是解题的关键． 15．（22-23七年级下·天津和平·期末）已知关于、的方程组的解满足为非负数，为负数． (1)求的取值范围； (2)化简： (3)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解为． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先解方程组，根据方程组的解满足为非负数，为负数，可得不等式组，解不等式组即可求得的范围； （2）根据（1）中的取值范围，化简绝对值，合并同类项即可求解； （3）根据不等式的解集是，可得，即可得到m的取值范围，进而求得m的值． 【详解】（1）解： 由，得： 解得：， 把代入①，得： 解得：， ，， ， 解得：， 故的取值范围为； （2）解：， ，， ； （3）解：， 整理，得， ， ， ， ， 为整数， 或． 【点睛】此题主要考查了加减消元法解二元一次方程组，化简绝对值，一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，理解题意，利用不等式或不等式组解决问题是关键． 16．（22-23七年级下·贵州黔西·期末）某学校为了绿化校园环境，计划分两次购进樟树和桂花树两种树苗，第一次购进樟树苗20棵，桂花树苗10棵，共花费3000元：第二次购进樟树苗24棵，桂花树苗8棵，共花费2800元．（两次购进的两种树苗各自的单价均不变） (1)两种树苗的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购进两种树苗共40棵，但总费用不超过3800元，且购买樟树苗的数量不超过桂花树苗数量的3倍、问：共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)樟树苗的单价为50元，桂花树苗的单价为200元 (2)有三种方案：①购进桂花树苗10棵，购进樟树苗30棵；②购进桂花树苗11棵，购进樟树苗29棵；③购进桂花树苗12棵，购进樟树苗28棵 【分析】（1）设樟树苗和桂花树苗的单价分别为x、y，由题意可得，列出关于x、y的二元一次方程组，进而求解即可； （2）设购进桂花树苗m棵，则购进樟树苗棵，由题意可得，求出m的取值范围，由m为整数，可得m可取10、11、12，即可求解． 【详解】（1）解：设樟树苗和桂花树苗的单价分别为x、y，由题意可得， ， 解得， 答：樟树苗的单价为50元，桂花树苗的单价为200元； （2）解：设购进桂花树苗m棵，则购进樟树苗棵，由题意可得， ， 解得， ∵m为整数， ∴m可取10、11、12， ∴有三种方案：①购进桂花树苗10棵，购进樟树苗30棵；②购进桂花树苗11棵，购进樟树苗29棵；③购进桂花树苗12棵，购进樟树苗28棵． 【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，理解题意，找出等量关系列出方程组和不等式组是解题的关键． 17．（22-23七年级下·福建福州·期末）随着新能源汽车的普及，为节省运输成本，某汽车运营公司计划购进A型与B型两种品牌的新能源汽车，若购进A型汽车2辆，B型汽车3辆，共花费140万元：若购进A型汽车8辆，B型汽车14辆，共花费620万元， (1)A型与B型汽车每辆的进价分别是多少万元？ (2)该公司计划购进A型与B型两种汽车共10辆，费用不超过290万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你列举出所有购买方案． 【答案】(1)25；30 (2)方案一：购进2辆A型汽车，8辆B型汽车；方案一：购进3辆A型汽车，7辆B型汽车；方案一：购进4辆A型汽车，6辆B型汽车 【分析】（1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据“若购进A型汽车2辆，B型汽车3辆，共花费140万元：若购进A型汽车8辆，B型汽车14辆，共花费620万元”，即可得出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车，利用总价=单价×数量，即可得出关于m，n的不等式组，即可求出各购买方案． 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：每辆A型汽车的进价为25万元，每辆B型汽车的进价为30万元； （2）解：设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车， 根据题意得：， 解得：， 方案一：购进2辆A型汽车，8辆B型汽车； 方案一：购进3辆A型汽车，7辆B型汽车； 方案一：购进4辆A型汽车，6辆B型汽车． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及不等式的运用，解题的关键是读清题意，建立相应的方程． 18．（21-22七年级下·湖北荆州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 ；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围． 【答案】(1)③； (2)． 【分析】（1）求得每个方程的解以及不等式组的解集，根据“子方程”的定义进行判断即可； （2）求得方程的解以及不等式组的解集，根据“子方程”的定义，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：解不等式组可得 由可得，则不是不等式组的“子方程”； 由可得，则不是不等式组的“子方程”； 由可得，而，即在范围内，所以是不等式组的“子方程”； 故答案为：③； （2）解不等式组可得 由可得， 由题意可得： 解得 即的取值范围为． 【点睛】此题考查了一元一次方程的求解，不等式组的求解，解题的关键是理解“子方程”的定义，正确的求解方程与不等式组． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$