第13讲 椭圆-【暑假预科讲义】2024年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

第13讲 椭圆 【人教A版2019】 ·模块一 椭圆的标准方程 ·模块二 椭圆的焦点三角形 ·模块三 椭圆的简单几何性质 ·模块四 课后作业 模块一 椭圆的标准方程 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫 作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}. 2．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 椭圆在坐标 系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待 定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点 在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答. 【考点1 椭圆定义及辨析】 【例1.1】（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）设是椭圆上的点，若是椭圆的两个焦点，则等于（　　） A．4 B．5 C．8 D．10 【解题思路】根据椭圆的定义即可得解. 【解答过程】由椭圆，得，则， 所以. 故选：C. 【例1.2】（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）为椭圆上一点，到左焦点的距离为，则到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先用表示，然后根据椭圆的定义判断出三角形是直角三角形，从而求得. 【解答过程】椭圆即， 所以，所以左焦点为. 到左焦点的距离为，则到右焦点的距离为， ，所以三角形是直角三角形， 且，所以到原点的距离. 故选：B. 【变式1.1】（23-24高二上·湖南常德·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据椭圆定义可知，即可求得. 【解答过程】由方程可知， 因为是椭圆上一点，由椭圆定义可知， 所以. 故选：D. 【变式1.2】（23-24高二上·河北邯郸·期中）已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据余弦定理可得，进而根据同角关系可得，由等面积法，结合三角形面积公式即可求解. 【解答过程】由椭圆可得，，，所以，， 所以，故. 在中，， 因为，且，所以， 设P的坐标为，且， 所以，所以点P到y轴的距离为. 故选：C.    【考点2 曲线方程与椭圆】 【例2.1】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）若方程表示椭圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由方程表示椭圆列不等式组求参数范围即可. 【解答过程】由题设. 故选：C. 【例2.2】（23-24高二上·江西赣州·阶段练习）设表示的是椭圆；，则p是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据椭圆方程的特征以及充分条件必要条件的概念可得结果. 【解答过程】若表示的是椭圆，则且，即成立； 反例：当时，表示的是圆，即不成立； 即p是成立的充分不必要条件， 故选：A. 【变式2.1】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，则的范围（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据方程表示焦点在轴上的椭圆列式可得结果. 【解答过程】依题意有：，解得， 故选：A. 【变式2.2】（23-24高二上·安徽芜湖·期中）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（    ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 【解题思路】利用椭圆方程与椭圆位置特征逐项分析、计算即可判断作答. 【解答过程】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误； 焦点在轴上时，，解得，D错误，C正确； 焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误. 故选：C. 【考点3 椭圆方程的求解】 【例3.1】（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）已知椭圆的焦点为，，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为6，则椭圆的标准方程是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可求出及焦点位置，即可写出椭圆的标准方程. 【解答过程】由题意椭圆的焦点在轴上，且， ∴， ∴椭圆的标准方程是. 故选：D. 【例3.2】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，P为椭圆上一点，的最大值为3，且，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意得，根据椭圆的定义可得，结合计算即可求解. 【解答过程】因为的最大值为3，所以． 因为，所以，即，所以，． 又，所以，所以椭圆的标准方程为 故选：B. 【变式3.1】（23-24高二上·北京顺义·期中）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据椭圆定义可得a，根据焦点坐标可得c，然后由求出即可得方程. 【解答过程】由椭圆定义可知，，得， 又椭圆的两个焦点是和， 所以椭圆焦点在x轴上，且，所以， 所以，所求椭圆的标准方程为. 故选：C. 【变式3.2】（23-24高二上·山东烟台·期末）以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据焦点在x轴上，c=1，且过点，用排除法可得.也可待定系数法求解，或根据椭圆定义求2a可得. 【解答过程】因为焦点在x轴上，所以C不正确；又因为c=1，故排除D；将代入得，故A错误，所以选B. 故选：B. 【考点4 椭圆的动点轨迹方程的求法】 【例4.1】（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）设满足：，则的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．不存在 【解题思路】设，，即可得到，根据椭圆的定义判断即可. 【解答过程】设，，则，， 由，即， 又，所以， 根据椭圆的定义可知点的轨迹是以，为焦点的椭圆。 故选：B. 【例4.2】（23-24高二上·四川南充·期末）设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 【解题思路】根据椭圆的定义可判断动点的轨迹. 【解答过程】因为，，所以， 所以，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆. 故选：A. 【变式4.1】（23-24高二上·江苏常州·期中）若动点满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 将方程转化为，利用椭圆定义法求标准方程. 【解答过程】已知动点满足方程， 设，且， 则有， 故点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 且中心在原点，焦点在轴，即点的轨迹轨迹方程为椭圆的标准方程， 则，， 故所求轨迹方程为, 故选：B. 【变式4.2】（23-24高二上·福建厦门·期中）在圆的上任取一点，过作轴的垂线段，垂足为D，并延长至M，使得，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，设，则，然后代入圆的方程，化简即可得到结果. 【解答过程】   设，则，又点在圆上，所以， 化简可得，所以点M的轨迹方程是. 故选：C. 模块二 椭圆的焦点三角形 1．椭圆的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个三角形焦 点三角形，如图所示. (2)焦点三角形的常用公式 ①焦点三角形的周长L=2a+2c. ②在中，由余弦定理可得. ③设，，则. 【考点1 椭圆中的焦点三角形问题】 【例1.1】（23-24高二上·广东珠海·期中）已知椭圆两个焦点为分别为、，过的直线交该椭圆于A、B两点，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【解题思路】由图形及椭圆定义可得答案. 【解答过程】由椭圆方程可得：， 的周长为. 故选：D. 【例1.2】（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）设，是椭圆C：的两个焦点，点P是C上的一点，且，则的面积为（    ） A．3 B． C．9 D． 【解题思路】由题设可得，应用余弦定理、椭圆定义求得，最后应用三角形面积公式求面积. 【解答过程】由题设，，可得， ， 由，，则，即， 所以的面积. 故选：B. 【变式1.1】（23-24高二上·江西·期中）设椭圆：（）的左、右焦点为，.若点在上，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【解题思路】 先根据点在上求得椭圆方程；再根据椭圆的定义求解即可. 【解答过程】 由于点在上，所以，得，， 所以椭圆：，则，. 由椭圆的定义，，而， 所以的周长为. 故选：B. 【变式1.2】（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）在椭圆中，已知焦距为4，椭圆上的一点P与两个焦点，的距离的和等于8，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意利用余弦定理求，结合面积公式运算求解. 【解答过程】由题意可知：，，，即， 在中，由余弦定理得：， 即，解得，则， 所以的面积， 故选：D． 模块三 椭圆的简单几何性质 1．椭圆的范围 设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围. (1)从形的角度看：椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形框里. (2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b. 2．椭圆的对称性 (1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. (2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点 P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心. 3．椭圆的顶点与长轴、短轴 以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例. (1)顶点 令x=0，得y=b；令y=0，得x=a. 这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、 y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点. (2)长轴、短轴 线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴. 长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长. 4．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接 近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 【考点1 利用椭圆的几何性质求标准方程】 【例1.1】（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知椭圆的长轴长为4，离心率为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 根据长轴以及离心率即可求解. 【解答过程】由长轴长为4，可得，又离心率为，即， 解得，故， 所以椭圆方程为， 故选：A. 【例1.2】（23-24高二上·天津·期末）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由椭圆的离心率和长轴长，结合可得椭圆标准方程. 【解答过程】由题意得，解得，所以椭圆方程为：， 故选：A. 【变式1.1】（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的方程为，离心率，则下列选项中不满足条件的为（　　） A． B． C． D．x2+4y2＝1 【解题思路】分别求出各椭圆方程的a,b,c验证是否满足离心率为即可判断得出结果 【解答过程】由，可得a＝2，b＝1，∴c＝＝，故离心率，故A正确； 由，可得a＝2，b＝，∴c＝＝，故离心率e＝＝，故B正确； 由，可得a＝，b＝1，∴c＝＝1，故离心率e＝＝，故C不正确； 由x2+4y2＝1，可得x2+＝1，可得a＝1，b＝，c＝＝，故离心率e＝，故D正确． 故选：C． 【变式1.2】（23-24高二上·广西玉林·期中）已知椭圆：的离心率为，，分别为的左、右焦点，为上一点，若的面积等于2，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用椭圆离心率，可设，，在中结合余弦定理，面积公式可以求出，进而求出椭圆方程. 【解答过程】因为椭圆离心率为，故可设，， 则椭圆的方程为. 由椭圆的定义可知，， 在中，， 由余弦定理可知， 所以， 即， 所以， 又因为，， 所以， 所以， 解得， 所以椭圆的方程为. 故选：C. 【考点2 椭圆的焦距与长轴、短轴】 【例2.1】（23-24高二上·宁夏银川·期末）椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，化简椭圆的方程为，结合椭圆的几何性质，即可求解. 【解答过程】由椭圆，可化为， 可得，则， 又由椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的焦点坐标为. 故选：C. 【例2.2】（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）椭圆与的（    ） A．长轴的长相等 B．短轴的长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【解题思路】分别求出两个椭圆的长轴长，短轴长，焦距和离心率即可得到答案． 【解答过程】椭圆的焦点在上， 则长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为， 椭圆的焦点在上， 则长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为， 所以两椭圆的焦距相等． 故选：D． 【变式2.1】（23-24高二上·四川成都·期末）已知椭圆C:，则椭圆C的长轴长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【解题思路】根据椭圆方程先判断焦点位置，再确定的值，即得长轴长. 【解答过程】由椭圆C:知椭圆焦点在轴上，故，解得，故椭圆C的长轴长为. 故选：C. 【变式2.2】（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知椭圆的焦点分别为，点在椭圆上，于，，，则椭圆的长轴长为（    ） A．6 B．3 C． D． 【解题思路】利用椭圆的性质，根据，，可得，，求解，然后推出椭圆的长轴长． 【解答过程】 椭圆的焦点分别为，点在椭圆上， 于，，， 可得，，， 解得， 所以所求椭圆的长轴长为， 故选：A． 【考点3 求椭圆的离心率或其取值范围】 【例3.1】（21-22高二上·陕西铜川·期末）已知椭圆的短轴长为2，焦距为，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题求出b、c、a，即可求出离心率. 【解答过程】由题的， 所以， 所以离心率为， 故选：C. 【例3.2】（23-24高二上·江苏淮安·期末）已知椭圆的右焦点为，上、下顶点分别为，，是的中点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据等腰三角形三线合一可得，再根据的关系可得离心率. 【解答过程】由已知，且是的中点 则，即， 所以， 即， 所以. 故选：C. 【变式3.1】（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知是椭圆的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上， 为等腰三角形，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求得直线的方程：根据题意求得点坐标，根据，即可求得椭圆的离心率． 【解答过程】如图所示，直线的方程为：， 直线的方程为：，即． 联立，解得，， △为等腰三角形，， ． ，化简得． ． 故选：B. 【变式3.2】（23-24高二上·山东济宁·阶段练习）设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，由椭圆定义和勾股定理得到，换元后得到，根据二次函数单调性求出，得到离心率的取值范围. 【解答过程】设，，由椭圆的定义可得，， 可设，可得，即有，① 由，可得，即为，② 由，可得，令，可得， 即有，由， 可得，即， 则时，取得最小值；或4时，取得最大值. 即有，得. 故选：C. 【考点4 根据椭圆的离心率求参数】 【例4.1】（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若椭圆的离心率为，则（    ） A．3或 B． C．3或 D．或 【解题思路】根据焦点位置分类讨论，利用离心率计算求解即可. 【解答过程】若椭圆焦点在上，则， 所以，故， 解得， 若椭圆焦点在上，则， 所以，故， 解得，综上，或. 故选：C. 【例4.2】（2024·河南·二模）设椭圆的离心率为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】 根据充分、必要性定义，结合椭圆方程，讨论判断充分性，由离心率定义判断必要性，即可得答案. 【解答过程】当时，则；当时，则； 所以推不出，充分性不成立； 当时，则，必要性成立； 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式4.1】（23-24高二上·重庆沙坪坝·期末）已知椭圆的离心率，则的值可能是（    ） A．3 B．7 C．3或 D．7或 【解题思路】根据给定的方程，按焦点位置分类求解作答. 【解答过程】椭圆的离心率， 当椭圆焦点在x轴上时，，即，，解得， 当椭圆焦点在y轴上时，，即，，解得， 所以的值可能是3或. 故选：C. 【变式4.2】（2023·全国·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【解答过程】由，得， 因此，而， 所以. 故选：A. 【考点5 椭圆中的最值问题】 【例5.1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左焦点为为上任意一点，则的最大值为（    ） A．5 B．9 C．10 D．18 【解题思路】 由标准方程求得，设并利用两点间距离公式可得，结合二次函数性质可求得其最大值为9. 【解答过程】易知， 设，则，可得， 所以 ； 由二次函数性质可得当时，取得最大值为9. 故选：B. 【例5.2】（23-24高二上·湖北·期中）点是椭圆 上任一动点，定点，F为右焦点，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【解题思路】利用椭圆的定义与三角形两边之差小于第三边的性质即可得解. 【解答过程】依题意，设为椭圆的左焦点， 因为椭圆 ，则，， 所以， 故选：D． 【变式5.1】（23-24高二上·福建宁德·期末）已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】由题意得圆的圆心是椭圆的左焦点，利用圆和椭圆的定义，结合图象得到，然后由即可求解. 【解答过程】如图，由题意，椭圆的焦点为，， 则圆的圆心是椭圆的左焦点，由椭圆定义得，所以， 又， 所以. 故选：B. 【变式5.2】（23-24高二上·河南焦作·期中）已知椭圆的右焦点为，点，点是上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．10 D． 【解题思路】若为椭圆左焦点且，由椭圆定义有，结合，即可求最小值. 【解答过程】若为椭圆左焦点且，则，故， 所以， 而，所以，仅当共线时取等号， 综上，的最小值为，取值条件为共线且在之间. 故选：B. 【考点6 椭圆的实际应用问题】 【例6.1】（2024·内蒙古赤峰·一模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据椭圆定义和光的反射定理，以及角平分线定理可得 【解答过程】由已知得，， 由椭圆定义可得， 根据光的反射定理可得为的角平分线， 由正弦定理， 所以，，又 所以 即. 故选：D. 【例6.2】（23-24高二上·北京西城·期末）如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】 根据题意可得桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，求直线被椭圆所截得的弦长，代入椭圆方程即可求解. 【解答过程】以图中水面所在的直线为轴，水面的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：， 当水位上升时，水面的宽度也即当时，直线被椭圆所截的弦长. 把代入椭圆方程可得：， 所以当水位上升时，水面的宽度为， 故选：. 【变式6.1】（2024·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立如图所示平面直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，即可求出离心率. 【解答过程】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系， 设椭圆方程为， 令，即，解得，依题意可得， 所以，所以，所以． 故选：D． 【变式6.2】（23-24高二上·陕西渭南·期末）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为R的球体，近地点离地面的距离为r，则远地点离地面的距离l为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据椭圆离心率以及卫星近地点离地面的距离列方程,求解得出椭圆的长半轴和半焦距，即可求得答案. 【解答过程】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系，    则椭圆方程为， 则，且，解得，， 故该卫星远地点离地面的距离为 ， 又，所以. 故选：D. 模块四 课后作业 一、单选题 1．（23-24高二上·四川宜宾·期末）椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先确定焦点所在的位置，再求出即可得解. 【解答过程】椭圆的焦点在轴上， ，所以， 所以椭圆的焦点坐标为. 故选：D. 2．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（   ） A．6 B．3 C．4 D．2 【解题思路】根据椭圆的定义即可求出. 【解答过程】由椭圆，得，即，设左焦点为，右焦点为， 则，因为，所以，即点到左焦点的距离为2. 故选:D. 3．（2024高二·全国·专题练习）如果方程表示的曲线为椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【解题思路】 根据题意，结合椭圆的标准方程，列出不等式，即可求解. 【解答过程】若方程为椭圆方程，则满足，解得且. 故选：D. 4．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【解题思路】由题意可得关于的方程，解方程即可得解. 【解答过程】椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，，解得． 故选：A． 5．（23-24高二上·北京·阶段练习）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由焦点和短半轴长，待定系数法求椭圆方程. 【解答过程】椭圆化成标准方程为，焦点在轴上， 设所求椭圆方程为， 依题意有，所以，所求椭圆方程为. 故选：B. 6．（23-24高二上·浙江杭州·期中）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，为左焦点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用椭圆的定义可得出的周长. 【解答过程】对于椭圆，， 由题意可知，的周长为 . 故选：A. 7．（23-24高三上·广西柳州·阶段练习）嫦娥奔月是中华民族的千年梦想，2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为，已知远月点到月球表面的最近距离为，则（    ）    A．圆形轨道的周长为 B．月球半径为 C．近月点与远月点的距离为 D．椭圆轨道的离心率为 【解题思路】根据题意，结合椭圆的定义和几何性质，逐项判定，即可求解. 【解答过程】由题意知，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道，环绕周期为， 可得环绕的圆形轨道周长为，半径为，所以A错误； 则月球半径为，所以B错误； 则近月点与远月点的距离为，所以C正确； 设椭圆方程为，则， 解得， 所以椭圆的离心率为，所以D错误. 故选：C. 8．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知是椭圆的左，右焦点，点在椭圆上，为直角三角形，的中点为的面积为，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】利用已知面积关系，建立方程，求解离心率即可. 【解答过程】   由，则， 又，所以， 则，得，即， 因为，所以， 在中，，即， 又，所以， 所以，即，则. 故选：B. 二、多选题 9．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）已知椭圆，则（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的焦距为6 C．椭圆的短半轴长为 D．椭圆的离心率为 【解题思路】利用椭圆的标准方程分析其性质即可得解. 【解答过程】因为椭圆，所以，且椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆的长轴长为，焦距为6，短半轴长为，离心率. 故选：BD. 10．（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）已知点P是椭圆上的一点，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（    ） A．存在点P，使得 B． C．的周长为定值6 D． 【解题思路】BC选项，由椭圆定义得到，，从而得到三角形周长；A选项，由余弦定理和基本不等式得到，结合的单调性得到，A错误；D选项，设，则，表达出，求出. 【解答过程】BC选项，因为， 由椭圆定义得，， 故的周长为，BC正确； A选项，由余弦定理得 ， 因为，当且仅当时等号成立， 所以， 因为在上单调递减，且， 所以，故不存在点P，使得，A错误； D选项，设，则，，， 故， 因为，所以，，D正确.    故选：BCD. 三、填空题 11．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 ． 【解题思路】根据椭圆的标准方程求解即可. 【解答过程】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，故. 故答案为：. 12．（23-24高二上·吉林延边·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上的一点，延长交椭圆于点，且为等边三角形，则椭圆的离心率为 ． 【解题思路】根据椭圆的定义可得，则，求得，结合余弦定理计算可得，即可求解. 【解答过程】由椭圆的定义知，的周长为 ， 因为为等边三角形，所以， 所以，又，所以． 在中，由余弦定理得， 整理得，，所以 ． 故答案为：. 四、解答题 13．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在轴上，且经过两个点和； (2)经过点. 【解题思路】（1）设出焦点在轴上椭圆的标准方程，利用待定系数法求解即可； （2）由于椭圆的焦点所在位置不确定可设为：，然后利用待定系数法求解即可. 【解答过程】（1）焦点在轴上的椭圆方程设为：. 由于椭圆经过两个点和， 所以，解得， 所以所求的椭圆的标准方程为. （2）设椭圆的方程为：， 由于椭圆经过点， ，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 14．（23-24高二上·广东·阶段练习）已知椭圆. (1)求椭圆的长轴长，短轴长及离心率； (2)求与椭圆有相同的焦点，且过点的椭圆的标准方程． 【解题思路】（1）根据已知条件求得，从而求得长轴长，短轴长及离心率； （2）先求得焦点坐标，然后设出所求椭圆的方程，通过代入点来求得正确答案. 【解答过程】（1）由题可知， 所以椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率为. （2）因为椭圆的焦点为， 所以与其有相同的焦点的椭圆的方程可设为， 其中， 所以椭圆的方程为， 将代入得， 解得，或（舍）， 所以椭圆的标准方程为． 15．（23-24高二·全国·课后作业）已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最大值与最小值． 【解题思路】(1)由题意可知：根据三角形的性质，即可求得然后得到的最大值与最小值； (2)利用椭圆的定义表示出，根据椭圆的定义及三角形三边的关系，即可求得答案． 【解答过程】（1）由椭圆可知，，， 则，，    则，当且仅当、、三点共线时成立， 所以， 所以的最大值与最小值分别为和； （2），，， 设是椭圆上任一点，由，， ， 等号仅当时成立，此时、、共线， 由， ， 等号仅当时成立，此时、、共线， 故的最大值与最小值为． 16．（23-24高二上·北京西城·期中）设椭圆：的两个焦点为，，点在椭圆上，且，，． (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，且的面积为，求点的坐标． 【解题思路】（1）根据椭圆定义，结合勾股定理进行求解即可； （2）根据三角形面积公式进行求解即可. 【解答过程】（1）因为点在椭圆上， 所以， 因为，，． 所以， 所以，即椭圆的方程为； （2）设，因为的面积为， 所以， 因为点在椭圆上， 所以， 所以点的坐标为或或或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 椭圆 【人教A版2019】 ·模块一 椭圆的标准方程 ·模块二 椭圆的焦点三角形 ·模块三 椭圆的简单几何性质 ·模块四 课后作业 模块一 椭圆的标准方程 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫 作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}. 2．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 椭圆在坐标 系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待 定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点 在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答. 【考点1 椭圆定义及辨析】 【例1.1】（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）设是椭圆上的点，若是椭圆的两个焦点，则等于（　　） A．4 B．5 C．8 D．10 【例1.2】（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）为椭圆上一点，到左焦点的距离为，则到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高二上·湖南常德·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1.2】（23-24高二上·河北邯郸·期中）已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为（   ） A． B． C． D． 【考点2 曲线方程与椭圆】 【例2.1】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）若方程表示椭圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高二上·江西赣州·阶段练习）设表示的是椭圆；，则p是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2.1】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，则的范围（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高二上·安徽芜湖·期中）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（    ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 【考点3 椭圆方程的求解】 【例3.1】（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）已知椭圆的焦点为，，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为6，则椭圆的标准方程是（ ） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，P为椭圆上一点，的最大值为3，且，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高二上·北京顺义·期中）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高二上·山东烟台·期末）以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【考点4 椭圆的动点轨迹方程的求法】 【例4.1】（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）设满足：，则的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．不存在 【例4.2】（23-24高二上·四川南充·期末）设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 【变式4.1】（23-24高二上·江苏常州·期中）若动点满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（23-24高二上·福建厦门·期中）在圆的上任取一点，过作轴的垂线段，垂足为D，并延长至M，使得，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 模块二 椭圆的焦点三角形 1．椭圆的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个三角形焦 点三角形，如图所示. (2)焦点三角形的常用公式 ①焦点三角形的周长L=2a+2c. ②在中，由余弦定理可得. ③设，，则. 【考点1 椭圆中的焦点三角形问题】 【例1.1】（23-24高二上·广东珠海·期中）已知椭圆两个焦点为分别为、，过的直线交该椭圆于A、B两点，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【例1.2】（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）设，是椭圆C：的两个焦点，点P是C上的一点，且，则的面积为（    ） A．3 B． C．9 D． 【变式1.1】（23-24高二上·江西·期中）设椭圆：（）的左、右焦点为，.若点在上，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式1.2】（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）在椭圆中，已知焦距为4，椭圆上的一点P与两个焦点，的距离的和等于8，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 模块三 椭圆的简单几何性质 1．椭圆的范围 设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围. (1)从形的角度看：椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形框里. (2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b. 2．椭圆的对称性 (1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. (2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点 P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心. 3．椭圆的顶点与长轴、短轴 以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例. (1)顶点 令x=0，得y=b；令y=0，得x=a. 这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、 y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点. (2)长轴、短轴 线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴. 长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长. 4．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接 近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 【考点1 利用椭圆的几何性质求标准方程】 【例1.1】（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知椭圆的长轴长为4，离心率为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高二上·天津·期末）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的方程为，离心率，则下列选项中不满足条件的为（　　） A． B． C． D．x2+4y2＝1 【变式1.2】（23-24高二上·广西玉林·期中）已知椭圆：的离心率为，，分别为的左、右焦点，为上一点，若的面积等于2，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【考点2 椭圆的焦距与长轴、短轴】 【例2.1】（23-24高二上·宁夏银川·期末）椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）椭圆与的（    ） A．长轴的长相等 B．短轴的长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【变式2.1】（23-24高二上·四川成都·期末）已知椭圆C:，则椭圆C的长轴长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【变式2.2】（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知椭圆的焦点分别为，点在椭圆上，于，，，则椭圆的长轴长为（    ） A．6 B．3 C． D． 【考点3 求椭圆的离心率或其取值范围】 【例3.1】（21-22高二上·陕西铜川·期末）已知椭圆的短轴长为2，焦距为，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高二上·江苏淮安·期末）已知椭圆的右焦点为，上、下顶点分别为，，是的中点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知是椭圆的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上， 为等腰三角形，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高二上·山东济宁·阶段练习）设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点4 根据椭圆的离心率求参数】 【例4.1】（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）若椭圆的离心率为，则（    ） A．3或 B． C．3或 D．或 【例4.2】（2024·河南·二模）设椭圆的离心率为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4.1】（23-24高二上·重庆沙坪坝·期末）已知椭圆的离心率，则的值可能是（    ） A．3 B．7 C．3或 D．7或 【变式4.2】（2023·全国·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【考点5 椭圆中的最值问题】 【例5.1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左焦点为为上任意一点，则的最大值为（    ） A．5 B．9 C．10 D．18 【例5.2】（23-24高二上·湖北·期中）点是椭圆 上任一动点，定点，F为右焦点，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【变式5.1】（23-24高二上·福建宁德·期末）已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5.2】（23-24高二上·河南焦作·期中）已知椭圆的右焦点为，点，点是上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．10 D． 【考点6 椭圆的实际应用问题】 【例6.1】（2024·内蒙古赤峰·一模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则（    ） A． B． C． D． 【例6.2】（23-24高二上·北京西城·期末）如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（    ）    A． B． C． D． 【变式6.1】（2024·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（23-24高二上·陕西渭南·期末）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为R的球体，近地点离地面的距离为r，则远地点离地面的距离l为（    ）    A． B． C． D． 模块四 课后作业 一、单选题 1．（23-24高二上·四川宜宾·期末）椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（   ） A．6 B．3 C．4 D．2 3．（2024高二·全国·专题练习）如果方程表示的曲线为椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 4．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 5．（23-24高二上·北京·阶段练习）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·浙江杭州·期中）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，为左焦点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·广西柳州·阶段练习）嫦娥奔月是中华民族的千年梦想，2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为，已知远月点到月球表面的最近距离为，则（    ）    A．圆形轨道的周长为 B．月球半径为 C．近月点与远月点的距离为 D．椭圆轨道的离心率为 8．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知是椭圆的左，右焦点，点在椭圆上，为直角三角形，的中点为的面积为，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 9．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）已知椭圆，则（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的焦距为6 C．椭圆的短半轴长为 D．椭圆的离心率为 10．（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）已知点P是椭圆上的一点，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（    ） A．存在点P，使得 B． C．的周长为定值6 D． 三、填空题 11．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 ． 12．（23-24高二上·吉林延边·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上的一点，延长交椭圆于点，且为等边三角形，则椭圆的离心率为 ． 四、解答题 13．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在轴上，且经过两个点和； (2)经过点. 14．（23-24高二上·广东·阶段练习）已知椭圆. (1)求椭圆的长轴长，短轴长及离心率； (2)求与椭圆有相同的焦点，且过点的椭圆的标准方程． 15．（23-24高二·全国·课后作业）已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最大值与最小值． 16．（23-24高二上·北京西城·期中）设椭圆：的两个焦点为，，点在椭圆上，且，，． (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，且的面积为，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$