专题06 矩形6种常考题型归类-【好题汇编】备战2023-2024学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（云南专用）

专题06 矩形 根据矩形的性质求线段长 1．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，在矩形中，平分，则的周长为（    ）    A．34 B． C．19 D． 2．（21-22八年级下·云南临沧·期末）如图，在矩形中，，，作的中垂线分别与、交于点E、F，则的长为（    ） A． B． C． D．5 3．（21-22八年级下·云南红河·期末）如图，在矩形ABCD中，，，点E在AB延长线上，且，连接DE，则DE的长为（    ） A．6 B． C． D．8 4．（21-22八年级下·云南昆明·期末）如图，在矩形ABCD纸片中，E为AD上一点，将沿CE翻折至．若点F恰好落在AB上，，，则（    ） A．5.8 B．5 C．4.8 D．3 5．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点，，，垂足为，若，则的长为 ． 6．（22-23八年级下·云南红河·期末）已知，如图，在矩形中，，动点从点出发，沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)求矩形的对角线的长； (2)当为直角三角形时，求的值． 矩形与折叠问题 7．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，将长方形纸片的一边折叠后，使点落在边上的点处，为折痕，已知，则的长为（    ）．    A． B．3 C． D．4 8．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，四边形是矩形，点是边上的一点，将矩形沿直线折叠，顶点恰好与边上的点重合，已知，则的长为（    ）    A． B． C． D． 9．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，在矩形中，，，是上一点，沿折叠，使点恰好落在轴的点处．点坐标是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图．将矩形沿直线折叠，顶点A落在边上F处，已知，．则的长是 ．    11．（21-22八年级下·云南昭通·期末）如图，在矩形纸片ABCD中，，点E、F分别是AB和CD的中点，H为BC上的一点，现将△ABH沿AH折叠，使点B落在直线EF上的点G处，当△ADG为等腰三角形时， ． 12．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，，求的长． 斜边的中线等于斜边的一半 13．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）如图，在中，，，分别是边，的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 14．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，在中，、分别为、的中点，点在上，且，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 15．（22-23八年级下·云南红河·期末）在直角三角形中，为中点，，则度数为（    ） A． B． C． D． 16．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，已知中，，那么边上的中线的长为（    ）    A． B．6 C． D．4 17．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，在中，是边上的中点，，则 ． 18．（22-23八年级下·云南临沧·期末）在中，，，若点为的中点，则的度数为 ． 19．（22-23八年级下·云南临沧·期末）如图，在平行四边形中，点P是边上一点（不与A、B重合），过点P作交AD于点Q，连接，且．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，取的中点M，且，求的长． 证明四边形是矩形 20．（22-23八年级下·云南保山·期末）如图'，在中，过点作于点，点在边上，且，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求证：平分． 21．（22-23八年级下·云南临沧·期末）如图，在中，，，点在边上运动（不与、两点重合），，．    (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，当线段最短时，，求此时的值． 22．（21-22八年级下·云南昆明·期末）如图，在四边形中，，，，M、N是线段上两动点，M点从点A出发，以每秒的速度沿方向运动，N点从点D出发，以每秒的速度沿方向运动，M、N同时出发，同时停止，当M运动到点B时，M、N同时停止运动，设运动时间为t秒．    (1)求的长； (2)当t为何值时，四边形为平行四边形？ (3)在M、N运动的过程中，是否存在四边形是矩形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 23．（22-23八年级下·云南昭通·期末）如图，已知四边形是平行四边形，并且．    (1)求证：四边形为矩形； (2)点是边的中点，为边上一点，，若，，求的长． 24．（22-23八年级下·云南大理·期末）在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF=9，BF=12，DF=15，求证：AF平分∠DAB． 根据矩形的性质与判定求线段长 25．（22-23八年级下·云南昭通·期末）如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，则的最小值为（    ） A．2.4 B．4.8 C．5 D．6 26．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，M是AD的中点．若BC=8，OB=5，则OM的长为 ． 27．（21-22八年级下·云南昆明·期末）如图，四边形中，，，对角线，相交于点，且为等边三角形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求边的长． 28．（20-21八年级下·云南保山·期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E在BC延长线上，AE平分∠BAD交CD于点F，点G为EF的中点，连接BG，CG，DG，△ABE的面积为S，△BGD的周长为l． （1）求证：DF＝BC； （2）若GF＝GC，试判断△DFG与△BCG是否全等，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若EC＝2，S＝32，求l． 29．（22-23八年级下·云南曲靖·期末）如图，在中，，，为边上的高，过点作，过点作，与交于点，与交于点，连结．    （1）求证：四边形是矩形； （2）求四边形的周长． 根据矩形的性质与判定求面积 30．（22-23八年级下·昆明·阶段练习）如图，点是矩形内任一点，若，．则图中阴影部分的面积为 ． 31．（22-23八年级下·云南玉溪·期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC上一点，∠DAE的角平分线AF交CD于点G，交BC的延长线于点F，连接EG，△AGE的面积为S． （1）求证：AE＝EF； （2）若EG⊥AF，试探究线段AE，EC，AD之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若∠AEG＝∠AGD，AB＝12，AD＝9，求S的值． 32．（2024·云南·二模）已如，如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E，连接DE交AB于点O． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）若BC=8，AO=，求四边形AEBC的面积． 33．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图1，在中，是边上一点，且，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，连接. （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若，，求四边形的面积. 34．（22-23九年级上·云南保山·期末）如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：OE⊥DC． （2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积． 1．（22-23八年级下·云南昆明·期末）矩形不一定具有的特征是（    ） A．对角线垂直 B．对角线相等 C．四个角都是直角 D．对角线互相平分 2．（20-21八年级下·云南昆明·期末）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则OM+OB的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（21-22八年级下·云南保山·期末）如图，在矩形纸片中，，，将其折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A．4 B．5 C． D．3.5 4．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，在中、点D是的中点，连接．若，则的长是（　　）    A．2 B．3 C．4 D．5 5．（21-22八年级下·云南玉溪·期末）如图，在中，，，，D是的中点，则的长为(   ) A．7.5 B．7 C．6.5 D．6 6．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，要使平行四边形为矩形，则可添加的条件是（   ） A． B． C． D． 7．（22-23八年级下·山东济宁·期中）如图．在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（　　） A．4.8 B．5 C．3.6 D．5.4 8．（22-23八年级下·云南临沧·期末）矩形的对角线、相交于点，，，作，，、相交于点，则四边形的面积为 ． 9．（20-21八年级下·云南大理·期末）如图，矩形的对角线与相交于点，、分别为、的中点，若，则的长度为 ． 10．（21-22八年级下·云南昆明·期末）如图，在中，，点D是AB的中点，，，则 ． 11．（20-21八年级下·云南昆明·期末）如图，E、F分别是矩形ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形． 12．（21-22八年级下·云南红河·期末）如图，在中，于点D，于点E，AD与CE相交于点F，连接DE． (1)若，，，求． (2)若，，求． 13．（19-20八年级下·云南怒江·期末）如图，是等腰三角形，为底边的中点，若且等于的一半，求证：四边形是矩形． 14．（22-23八年级下·吉林四平·期末）如图，的对角线相交于点O，是等边三角形，． (1)求证：是矩形； (2)求四边形的面积． 15．（22-23八年级下·重庆北碚·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，点E是的中点，过点E作，交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 16．（21-22八年级下·广西南宁·期末）如图，在平行四边形中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 矩形 根据矩形的性质求线段长 1．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，在矩形中，平分，则的周长为（    ）    A．34 B． C．19 D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质可得，利用勾股定理求得，由角平分线的定义可得，从而可得，即，再利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质、角平分线的定义、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 2．（21-22八年级下·云南临沧·期末）如图，在矩形中，，，作的中垂线分别与、交于点E、F，则的长为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】利用矩形的性质得出∠A＝∠C＝90°，BC＝AD＝8，AB＝CD＝6，由BD的中垂线分别与AD、BC边交于点E、F，得到BF＝DF，设BF＝DF＝x，则CF＝8﹣x，进而利用勾股定理得出方程解答即可． 【详解】解：连接DF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠C＝90°，BC＝AD＝8，AB＝CD＝6，, ∵BD的中垂线分别与AD、BC边交于点E、F， ∴BF＝DF， 设BF＝DF＝x，则CF＝8﹣x， 在Rt△DCF中，， 即， 解得：x， 即BF， 故选：B． 【点睛】此题考查矩形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，关键是根据矩形的性质和勾股定理解答． 3．（21-22八年级下·云南红河·期末）如图，在矩形ABCD中，，，点E在AB延长线上，且，连接DE，则DE的长为（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可得AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，由可得∠ACB=30°，从而求出BE=AC=，由勾股定理可求出AD=BC=3，最后再根据勾股定理求出DE的长即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°， ∵， ∴∠ACB=30°， ∵ ∴ 在Rt△ABC中， ∴AD=BC=3， ∵ ∴ 在Rt△DAE中，DE= 故选：A 【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质以及直角三角形的性质，正确掌握相关性质是解答本题的关键． 4．（21-22八年级下·云南昆明·期末）如图，在矩形ABCD纸片中，E为AD上一点，将沿CE翻折至．若点F恰好落在AB上，，，则（    ） A．5.8 B．5 C．4.8 D．3 【答案】A 【分析】设AE＝x，则DE＝10﹣x＝EF，在Rt△AEF中，由勾股定理列方程即可解得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝10， 设AE＝x，则DE＝AD﹣AE＝10﹣x， ∵△CDE沿CE翻折至△CFE， ∴EF＝DE＝10﹣x， 在Rt△AEF中，AF2+AE2＝EF2， ∴42+x2＝（10﹣x）2， 解得x＝4.2， ∴AE＝4.2， ∴DE＝AD－AE＝5.8， 故选：A． 【点睛】本题考查矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用勾股定理． 5．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点，，，垂足为，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据矩形的性质及题意可得，从而证明为等边三角形，再根据等边三角形的性质及垂直的定义可得，然后根据含度角的直角三角形的性质得出，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：四边形为矩形， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定及性质、含度角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握矩形性质和等边三角形的性质是解题的关键． 6．（22-23八年级下·云南红河·期末）已知，如图，在矩形中，，动点从点出发，沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)求矩形的对角线的长； (2)当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1)矩形的对角线的长 (2)当为直角三角形时，的值为6或 【分析】（1）利用勾股定理求解即可得； （2）先求出，再分①当，②当两种情况，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ． 在中，． 由勾股定理得． 矩形的对角线的长． （2）由题意知． ①当时，此时，点与点重合，如图，． ． ②当时，如图， ， ． 在中，． ．① 在中，． ．① 联立等式①②），消去，得． 解得． 综上所述，当为直角三角形时，的值为6或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 矩形与折叠问题 7．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，将长方形纸片的一边折叠后，使点落在边上的点处，为折痕，已知，则的长为（    ）．    A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】由矩形的性质可得，，，由折叠的性质可得：，，由勾股定理可得，则，设，则，由得到，求解即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形，， ，，， 由折叠的性质可得：，， ， ， 设，则， ， ， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 8．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，四边形是矩形，点是边上的一点，将矩形沿直线折叠，顶点恰好与边上的点重合，已知，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠的性质得出的长，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质知：， 在中，由勾股定理可得：， 故选：． 【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理和折叠性质是解题的关键． 9．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，在矩形中，，，是上一点，沿折叠，使点恰好落在轴的点处．点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形和折叠的性质可知，，，，，由勾股定理，得到，进而得到，设，则，再利用勾股定理列方程，求出，从而得出，即可求出点坐标． 【详解】解：在矩形中，，， ，，， 是上一点， 点的横坐标为15， 由折叠的性质可知，，， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，即点的纵坐标为4， 点坐标是， 故选：D 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题关键． 10．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图．将矩形沿直线折叠，顶点A落在边上F处，已知，．则的长是 ．    【答案】4 【分析】由折叠的性质得出的长，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质知：； 在中，，， 由勾股定理可得： ， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理，掌握图形翻折不变性的性质是解题的关键． 11．（21-22八年级下·云南昭通·期末）如图，在矩形纸片ABCD中，，点E、F分别是AB和CD的中点，H为BC上的一点，现将△ABH沿AH折叠，使点B落在直线EF上的点G处，当△ADG为等腰三角形时， ． 【答案】3或或 【分析】如图（见解析），分类考虑为等腰三角形：①当时，利用矩形性质可得，根据折叠性质可得，结合勾股定理可求，再利用等腰三角形的三线合一即可得；②当时，利用折叠性质可得，由此即可得；③当时； 由勾股定理可得，设，则，在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， 在矩形中，，点分别是的中点， 四边形为矩形，，， ，， 四边形为矩形， ， 由折叠的性质得：， ， 由题意，分以下三种情况： ①当时，为等腰三角形， （等腰三角形的三线合一）； ②当时，为等腰三角形， ； ③当时，为等腰三角形， 设，则， 在中，，即， 解得， 即； 综上，或或， 故答案为：3或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形、矩形与折叠问题，勾股定理等知识点，熟练掌握矩形与折叠的性质，并正确分三种情况讨论是解题关键． 12．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换，矩形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．设，则，根据勾股定理求出的值即可． 【详解】解：设，则， 由折叠性质可知， 在中，根据勾股定理得： ， ， ， 故的长为． 斜边的中线等于斜边的一半 13．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）如图，在中，，，分别是边，的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：，分别是，的中点，， ， 在中，是的中点，， ， 由勾股定理得：， 故选：C 14．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，在中，、分别为、的中点，点在上，且，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的中位线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握中位线的性质是解题关键． 根据题意求出，的长，即可求出． 【详解】解：、分别为、的中点， 是的中位线， ， ， 是直角三角形， ， ， 故选：． 15．（22-23八年级下·云南红河·期末）在直角三角形中，为中点，，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据为中点，，可得，进而得出，再根据三角形外角性质，即可得到度数． 【详解】解：如图，    为中点，， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，三角形的外角性质，解题时注意：三角形内角和是． 16．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，已知中，，那么边上的中线的长为（    ）    A． B．6 C． D．4 【答案】C 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题即可． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，即， ∵是边上的中线， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 17．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，在中，是边上的中点，，则 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出，根据直角三角形斜边上中线的性质可得答案． 【详解】解：在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 18．（22-23八年级下·云南临沧·期末）在中，，，若点为的中点，则的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】由直角三角形斜边中线的性质得到，推出，又，即可求出． 【详解】解：如图，    ，点为的中点， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，等腰三角形的性质，关键是由直角三角形斜边中线的性质得到． 19．（22-23八年级下·云南临沧·期末）如图，在平行四边形中，点P是边上一点（不与A、B重合），过点P作交AD于点Q，连接，且．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，取的中点M，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）先证出，即可解决问题； （2）先证，再证，得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ，， 为的中点， ， ， ， 同理：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 证明四边形是矩形 20．（22-23八年级下·云南保山·期末）如图'，在中，过点作于点，点在边上，且，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得的关系，根据平行四边形的判定，可得是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案； （2）根据平行线的性质，可得，根据等腰三角形的判定与性质，可得，根据角平分线的判定，可得答案. 【详解】（1）∵四边形是平行四边形, ∴， 又∵, ∴四边形是平行四边形. ∵, ∴, ∴四边形是矩形. （2）由知四边形是矩形, ∴. 在 中,, ， ∵,, ∴, ∴. ∵, ∴, ∴, ∴平分. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定及勾股定理，掌握矩形的判定和性质是解题的关键. 21．（22-23八年级下·云南临沧·期末）如图，在中，，，点在边上运动（不与、两点重合），，．    (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，当线段最短时，，求此时的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由矩形的判定可得结论； （2）由矩形的性质可得，则当有最小值时，有最小值，由勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形 （2）解：如图，连接，   四边形是矩形， ， 当有最小值时，有最小值， 点在边上运动不与、两点重合， 当时，有最小值， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，证明四边形是矩形是解题的关键． 22．（21-22八年级下·云南昆明·期末）如图，在四边形中，，，，M、N是线段上两动点，M点从点A出发，以每秒的速度沿方向运动，N点从点D出发，以每秒的速度沿方向运动，M、N同时出发，同时停止，当M运动到点B时，M、N同时停止运动，设运动时间为t秒．    (1)求的长； (2)当t为何值时，四边形为平行四边形？ (3)在M、N运动的过程中，是否存在四边形是矩形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当秒时，四边形是平行四边形 (3)存在，当 【分析】（1）过点作的平行线交于点，又由，即可证明四边形是平行四边形，则，，在直角三角形中，由勾股定理得到，即可得到的长； （2）根据当时，四边形是平行四边形，得到，解方程即可得到答案； （3）当时，四边形是矩形，得到，解得秒，当秒时，分别求出和的长，得到，即可证明四边形是平行四边形，又由，即可得到四边形是矩形．结论成立． 【详解】（1）解：如图，过点作的平行线交于点，   ， 四边形是平行四边形， ，， 在直角三角形中，， ． （2）如图，   ， 当时，四边形是平行四边形， 即：， 秒， 当秒时，四边形是平行四边形． （3）如图，    在、运动的过程中，存在四边形是矩形， 理由如下： 当时，四边形是矩形， ， 解得秒， 当秒时，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定、勾股定理、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质、矩形的判定是解题的关键． 23．（22-23八年级下·云南昭通·期末）如图，已知四边形是平行四边形，并且．    (1)求证：四边形为矩形； (2)点是边的中点，为边上一点，，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“有一内角为直角的平行四边形是矩形”进行证明； （2）延长，交于点，证明，得出，再证明即可，设，根据勾股定理得出：，列出方程，解方程求出，得的长度． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 又， ， 平行四边形为矩形； （2）解：延长，交于点，    四边形是矩形， ，， ，， 是边的中点， ， 在和中，， ， ，， ，， ， ． 若，， 设， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，即． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理的运用；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线证明三角形全等和运用勾股定理才能得出结果． 24．（22-23八年级下·云南大理·期末）在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF=9，BF=12，DF=15，求证：AF平分∠DAB． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出DF∥BE，根据平行四边形的判定得出四边形DEBF为平行四边形，再加上条件∠DEB=90，即可判定矩形； （2）根据矩形的性质求出∠BFC=90°，根据勾股定理求出BC，求出AD=DF，推出∠DAF=∠DFA，求出∠DAF=∠BAF，即可得出答案． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC∥AB，即DF∥BE， 又∵DF=BE， ∴四边形DEBF为平行四边形 又∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴四边形DEBF为矩形； （2）∵四边形DEBF为矩形， ∴∠BFC=90°， RtΔBCF中   CF=9，BF=12， ∴BC===15， ∴AD=BC=15， ∴AD=DF=15， ∴∠DAF=∠DFA， ∵AB∥CD， ∴∠FAB=∠DFA， ∴∠FAB=∠DAF， ∴AF平分∠DAB． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，平行线的性质，角平分线定义的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 根据矩形的性质与判定求线段长 25．（22-23八年级下·云南昭通·期末）如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，则的最小值为（    ） A．2.4 B．4.8 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先证明 再证明四边形AEPF是矩形，连接PA，当AP⊥CB时，AP最小，可得EF最小，再利用三角形面积解答即可． 【详解】解：连接PA， ， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴∠PEA=∠PFA=∠BAC=90°， ∴四边形AEPF是矩形， ∴EF=PA， ∴当PA最小时，EF也最小， 即当AP⊥CB时，PA最小， ∴PA的最小值为： ． ∴线段EF长的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答． 26．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，M是AD的中点．若BC=8，OB=5，则OM的长为 ． 【答案】3 【分析】首先由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后由勾股定理求得AB的长，即CD的长，又由M是AD的中点，可得OM是△ACD的中位线，进而求得答案． 【详解】解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB=5， ∴AC=2OB=10， ∴CD=AB=， ∵M是AD的中点， ∴OM=CD=3． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质．注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC的长是关键． 27．（21-22八年级下·云南昆明·期末）如图，四边形中，，，对角线，相交于点，且为等边三角形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求边的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先证明四边形为平行四边形，得出，，再证出，即可得出结论； （2）由矩形的性质得，，再由等边三角形的性质得出，然后由勾股定理即可得出结果． 【详解】（1）∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形ABCD是矩形． （2）∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质与判定是解本题的关键． 28．（20-21八年级下·云南保山·期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E在BC延长线上，AE平分∠BAD交CD于点F，点G为EF的中点，连接BG，CG，DG，△ABE的面积为S，△BGD的周长为l． （1）求证：DF＝BC； （2）若GF＝GC，试判断△DFG与△BCG是否全等，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若EC＝2，S＝32，求l． 【答案】（1）见解析；（2）△DFG≌△BCG ，见解析；（3） 【分析】（1）因为四边形 ABCD 是平行四边形，推出，由AE 平分， ， DF =DA，即可求解． （2）因为点G 为 EF 的中点，GF = GC ， GE = GF =GC ，推出，，由四边形 ABCD 是平行四边形，再推出，即可证明△DFG≌△BCG（SAS）． （3）推出四边形 ABCD 是矩形，，得到△ECF 和△ABE 是等腰直角三角形，证明在Rt△ABC 中，，，在等腰直角三角形 BGD 中推出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD= BC AB // DC ， ∴． ∵ AE 平分， ∴， ∴， ∴ DF =DA， ∴ DF =BC． （2）解：△DFG≌△BCG． 理由：∵点G 为 EF 的中点，GF = GC ， ∴ GE = GF =GC ， ∴， ∴， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD // BC ， ∴， ∴， ∴． 在△DFG 和△BCG 中， ∴△DFG≌△BCG（SAS）． （3）解：由（2）知，∠DCB=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形， 由（2）知， ∴△ECF和△ABE是等腰直角三角形， ∴CG⊥EF，即∠CGB+∠BGF=90° ∴△BGD 是等腰直角三角形． 在等腰直角三角形 ABE 中， ∴ AB = BE =8 ． 在Rt△ABC 中，， 在等腰直角三角形 BGD 中， 【点睛】此题主要考查平行四边形的性质和矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握它们的性质和判定定理是解题的关键． 29．（22-23八年级下·云南曲靖·期末）如图，在中，，，为边上的高，过点作，过点作，与交于点，与交于点，连结．    （1）求证：四边形是矩形； （2）求四边形的周长． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1）利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形AEBD是矩形． （2）在Rt△ADC中，由勾股定理可以求得AD的长度，由等腰三角形的性质求得BD的长度，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AC， ∴四边形AEDC是平行四边形． ∴AE＝CD． 在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高， ∴∠ADB＝90°，BD＝CD． ∴BD＝AE． ∴四边形AEBD是矩形． （2）解：在Rt△ADC中，∠ADB＝90°，AC＝9，BD＝CD＝BC＝3， ∴AD＝． ∴四边形AEBD的周长＝．    【点睛】本题考查了矩形的判定与性质和勾股定理，根据“等腰三角形的性质和有一内角为直角的平行四边形为矩形”推知平行四边形AEBD是矩形是解题的难点． 根据矩形的性质与判定求面积 30．（22-23八年级下·昆明·阶段练习）如图，点是矩形内任一点，若，．则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于矩形面积的一半；即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=7， 设两个阴影部分三角形的底为AD，BC，高分别为h1，h2，则h1+h2=AB， ∴S△ADE+S△BCE=AD•h1+BC•h2=AD（h1+h2）=AD•AB， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 31．（22-23八年级下·云南玉溪·期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC上一点，∠DAE的角平分线AF交CD于点G，交BC的延长线于点F，连接EG，△AGE的面积为S． （1）求证：AE＝EF； （2）若EG⊥AF，试探究线段AE，EC，AD之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若∠AEG＝∠AGD，AB＝12，AD＝9，求S的值． 【答案】（1）见解析；（2）AE=EC+AD，理由见解析；（3）39 【分析】（1）根据平行四边形的性质可推出∠DAG=∠F，再结合角平分线定义可得出∠DAG=∠EAF，则∠EAF=∠F，即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质可得AG=FG，再由全等三角形的判定与性质可证得AD=FC，即可推出AE=EC+AD； （3）由已知角的等量关系及EG⊥AF可得∠D=90°，由此可证得平行四边形ABCD是矩形，再利用全等三角形、矩形的性质及勾股定理可求出CG=DG=6，EF=13，则可由三角形面积公式求解结果． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠DAG=∠F． ∵AF平分∠DAE， ∴∠DAG=∠EAF． ∴∠EAF=∠F． ∴AE=EF． （2）解：AE=EC+AD；理由是： ∵AE=EF，EG⊥AF， ∴AG=FG． ∵AD∥BC， ∴∠D=∠FCG． 又∵∠AGD=∠FGC， ∴△AGD≌△FGC． ∴AD=FC． ∴EF=EC+FC=EC+AD． ∴AE=EC+AD． （3）解：∵EG⊥AF， ∴∠AGE=90°． ∴∠AEG+∠EAG=90°． ∵∠DAG=∠EAG，∠AEG＝∠AGD， ∴∠AGD+∠DAG=90°． ∴∠D=90°． ∴平行四边形ABCD是矩形． ∴∠B=∠BCD=90°，CD=AB=12，BC=AD=9． ∵△AGD≌△FGC， ∴CG=DG=6，CF=AD=9． 设CE=x，则EF=9+x=AE，BE=9-x， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：122+（9-x）2=（9+x）2， 解得x=4， ∴EF=9+x=13． ∵AG=FG， ∴S=S△EFG=EF•CG=×13×6=39． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形与矩形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识点并能灵活运用所学知识是解题的关键． 32．（2024·云南·二模）已如，如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E，连接DE交AB于点O． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）若BC=8，AO=，求四边形AEBC的面积． 【答案】（1）见解析；（2）18 【分析】（1）只要证明四边形ADBE是平行四边形，且∠ADB=90°即可； （2）求出AB、AD，利用梯形的面积公式解答即可． 【详解】（1）∵AE∥BC，BE∥AD， ∴四边形ADBE是平行四边形．   ∵AB=AC，AD是BC边的中线， ∴AD⊥BC． 即∠ADB=90°． ∴四边形ADBE为矩形． （2）∵在矩形ADBE中， AO=， ∴DE=AB= 5． ∵D是BC的中点， ∴AE=DB=4， ∴根据勾股定理 ， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，属于中考常考题型． 33．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图1，在中，是边上一点，且，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，连接. （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若，，求四边形的面积. 【答案】（1）详见解析；（2）60； 【分析】（1）先证明得出AF=CD,再证得AF=BD, 又因为 ，可得四边形是平行四边形； （2）由等腰三角形三线合一性质得，从而得出平行四边形是矩形．再得用勾股定理求出AD，即可得出矩形面积． 【详解】（1）证明：∵， ∴，            ∵点为的中点， ∴，               在和中， ∴，      ∴，          ∵， ∴ 又∵ ∴ 四边形是平行四边形．        （2）解： ∵， ∴，    又∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． 在中， ∴      【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，考查了平行四边形和距形的判定，等腰三角形和勾股定理的应用． 34．（22-23九年级上·云南保山·期末）如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：OE⊥DC． （2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）4 【分析】(1)要证OE⊥DC，可先证四边形OCED是菱形．由DE∥AC，CE∥BD，可得四边形OCED是平行四边形；又因为ABCD是矩形，所以OC=OD．有一组邻边相等的平行四边形是菱形． (2)由(1)得出△ODC是等边三角形,所以DC=OD=OC=2,由四边形ABCD是矩形,得到AC=2CO=4,在Rt△ADC中，由勾股定理得AD=2，再利用矩形面积公式即可解答. 【详解】(1)证明：∵DE∥AC,CE∥BD ∴DE∥OC,CE∥OD ∴四边形ODEC是平行四边形 ∵四边形ODEC是矩形 ∴OD=OC ∴四边形ODEC是菱形 ∴OE⊥DC (2)解：∵DE=2,由（1）知，四边形ODEC是菱形 ∴OD=OC=DE=2 ∵∠AOD=120° ∴∠DOC=60° ∴△ODC是等边三角形 ∴DC=OD=OC=2 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=2CO=4 在Rt△ADC中，由勾股定理得AD=2 ∴S矩形ABCD=2×2=4． 【点睛】此题主要考查菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，综合利用了矩形和菱形的性质．还考查了等边三角形的判定和性质. 1．（22-23八年级下·云南昆明·期末）矩形不一定具有的特征是（    ） A．对角线垂直 B．对角线相等 C．四个角都是直角 D．对角线互相平分 【答案】A 【分析】根据矩形的性质进行求解即可． 【详解】解：矩形具有的性质有对角线相等，四个角都是直角，对角线互相平分，矩形不一定具有对角线垂直的性质， 故选A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟知矩形的性质是解题的关键． 2．（20-21八年级下·云南昆明·期末）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则OM+OB的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】由矩形ABCD中，AB=5，AD=12，可求得BC与CD的长，然后由勾股定理求得AC的长，再由三角形中位线的性质求得OM的长，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，求得OB的长，继而可求解． 【详解】解：∵矩形ABCD中，AB=5，AD=12，O是矩形ABCD的对角线AC的中点， ∴BC=AD=12，CD=AB=5，∠ABC=90°，OA=OC， ∴AC==13， ∴OB=OA=OC=AC=6.5， ∵M是AD的中点， ∴OM=CD=2.5， ∴OM+OB=6.5+2.5=9． 故选：C． 【点睛】此题考查了矩形的性质、三角形中位线的性质、勾股定理以及直角三角形斜边的中线的性质． 3．（21-22八年级下·云南保山·期末）如图，在矩形纸片中，，，将其折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A．4 B．5 C． D．3.5 【答案】A 【分析】由矩形的性质可得∠A=90°，首先折叠的性质可得、、=90°,设=，则BF=9-x，在Rt△中，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°， 由翻折的性质可知，、、=90° 设=，则BF=9-x， ∵在Rt△中， ∴解得， ∴CF=4． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 4．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，在中、点D是的中点，连接．若，则的长是（　　）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质，即可解答． 【详解】解：在中、点D是的中点，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 5．（21-22八年级下·云南玉溪·期末）如图，在中，，，，D是的中点，则的长为(   ) A．7.5 B．7 C．6.5 D．6 【答案】B 【分析】先求解可得cm，再利用直角三角形斜边上的中线的性质可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， （cm）， ∵D是的中点， ∴（cm）． 故选B 【点睛】本题考查的是含角的直角三角形性质，直角三角形斜边上的中线的性质，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解本题的关键． 6．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，要使平行四边形为矩形，则可添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 根据矩形的判定方法，只有选项满足条件，由此得到答案． 【详解】解：需要添加的条件是：，理由如下： 四边形是平行四边形， 又对角线相等的平行四边形是矩形， 时，平行四边形为矩形， 故选：． 7．（22-23八年级下·山东济宁·期中）如图．在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（　　） A．4.8 B．5 C．3.6 D．5.4 【答案】A 【分析】由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【详解】解：，且， ， ， ， 四边形是矩形． 如图，连接，则，   当时，的值最小，此时，的面积， ， 的最小值为； 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，本题属于中考常考题型． 8．（22-23八年级下·云南临沧·期末）矩形的对角线、相交于点，，，作，，、相交于点，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】先证四边形是平行四边形，可得，由矩形的面积公式可求解． 【详解】解：如图， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，掌握矩形的面积计算公式是解题的关键． 9．（20-21八年级下·云南大理·期末）如图，矩形的对角线与相交于点，、分别为、的中点，若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】首先根据中位线的性质求出OD的长度，然后根据矩形的对角线相等且互相平分得到AC=BD=2OD，即可求出AC的长度． 【详解】解：∵、分别为、的中点， ∴PQ是△AOD的中位线， ∴OD=2PQ=5． 又∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD=2OD=25=10． 故答案为：10． 【点睛】此题考查了三角形中位线的性质，矩形对角线的性质．解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质，矩形对角线的性质． 10．（21-22八年级下·云南昆明·期末）如图，在中，，点D是AB的中点，，，则 ． 【答案】6 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AB的长，再直接利用勾股定理得出BC的长． 【详解】解：∵点D是斜边AB的中点，， ∴AB=2CD=10． ∵，AC=8， ∴BC===6， 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形的性质，正确掌握直角三角形的性质是解题关键． 11．（20-21八年级下·云南昆明·期末）如图，E、F分别是矩形ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】见解析． 【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，且AD=BC，推出AF∥EC，AF=EC，根据平行四边形的判定推出即可； 【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，且AD=BC， ∴AF∥EC， ∵BE=DF， ∴AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形； 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的性质、矩形的性质．注意：平行四边形的对边平行且相等，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 12．（21-22八年级下·云南红河·期末）如图，在中，于点D，于点E，AD与CE相交于点F，连接DE． (1)若，，，求． (2)若，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求出AB，再根据三角形面积公式计算即可； （2）取的中点G，连接，根据直角三角形斜边中线的性质可得，则，求出，进而可得，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴； （2）如图，取的中点G，连接， ∵，， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，通过作辅助线构造出直角三角形斜边上的中线是解题的关键． 13．（19-20八年级下·云南怒江·期末）如图，是等腰三角形，为底边的中点，若且等于的一半，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】依据“对边平行且相等”的四边形是平行四边形判定四边形ADCE是平行四边形，又由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得结论． 【详解】证明：∵且等于的一半， ∴AE∥CD, ∵D为BC的中点， ∴BD=DC， ∴AE=DC； ∴四边形ADCE是平行四边形， 又∵是等腰三角形，D为BC的中点， ∴AD⊥CD， ∴ ∴平行四边形ADCE为矩形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 14．（22-23八年级下·吉林四平·期末）如图，的对角线相交于点O，是等边三角形，． (1)求证：是矩形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）本题考查等边三角形的性质，矩形的判定，根据等边三角形性质求出，根据平行四边形的性质求出，，求出，根据矩形的判定得出即可； （2）本题考查矩形的性质，勾股定理，求出、根据勾股定理求出，根据面积公式求出即可； 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，（不符合题意舍去）， ∴的面积是． 15．（22-23八年级下·重庆北碚·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，点E是的中点，过点E作，交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证是的中位线，得，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质和中位线定理可得，．利用勾股定理可知，从而得到，最后利用矩形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴，． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵，即，， ∴， ∴四边形是矩形． （2）∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴． 在中，，， ∴， ∴ ∴四边形的面积是：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 16．（21-22八年级下·广西南宁·期末）如图，在平行四边形中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据线段的和差关系可得，根据平行四边形的性质可得，，即可得出，，可证明四边形为平行四边形，根据即可得结论； （2）根据矩形的性质可得，进而可得为直角三角形，利用“面积法”可求出的长，进而可得的长． 【详解】（1）证明：， ，即， ∵四边形是平行四边形， ，， ， 又， ∴四边形为平行四边形， ， ， ∴平行四边形为矩形； （2）解：由(1)知，四边形为矩形， ，， ，，， ， 为直角三角形，， ， ，即， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$