专题04 勾股定理及逆定理的应用9种常考题型归类-【好题汇编】备战2023-2024学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（云南专用）

专题04 勾股定理及逆定理的应用 以弦图为背景的计算题 1．（23-24八年级下·云南·阶段练习）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为100，则小正方形的面积为（    ） A．4 B．9 C．96 D．6 2．（23-24八年级上·玉溪·期中）如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则的值是（　　） A．10 B．8 C．7 D．5 3．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，由四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形与一个小正方形，这就是我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创作的一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．设直角三角形较长的直角边的长为，较短的直角边的长为，若斜边长为，，则中间小正方形的面积为 ．    4．（22-23八年级下·昆明·期末）弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，那么的值是 ． 5．（2023·云南·模拟）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么的值是 ． 用勾股定理构造图形解决问题 6．（21-22八年级下·云南红河·期末）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线AB单向单排通过校门口，测温仪C与直线AB的距离为3m，已知测温仪的有效测温距离为5m，则学生沿直线AB行走时测温的区域长度为（    ） A．4m B．5m C．6m D．8m 7．（23-24八年级上·云南昆明·期末）葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常饶着树干盘旋而上，还有一手绝招，就是它绕树盘上升的路线，总是沿着最短路线一盘旋前进的．如图，如果树的周长为 5cm，从点 A 绕一圈到 B 点，葛藤升高 12cm，则它爬行路程是（    ） A．5cm B．12 cm C．17 cm D．13cm 8．（23-24八年级上·云南·单元测试）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当它把绳子的下端拉开4 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（  ） A．7 m B．7.5 m C．8 m D．9 m 9．（23-24八年级上·云南·期中）如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，其实他们仅仅少走了 步路，却踩伤了花草（假设2步为1米）． 10．（23-24八年级下·云南·课后作业）八(2)班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE，他们进行了如下操作： ①测得BD的长度为15米；(注：BD⊥CE) ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高1.6米． 求风筝的高度CE. 勾股定理与无理数 11．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，数轴上的点A对应的实数是0，点B对应的实数是1，过点B作于点B，使得，连接，以点A为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D对应的实数是（　　）      A．1.2 B．1.3 C． D． 12．（22-23八年级下·云南德宏·期末）如图，已知的两条直角边，，以O为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点P，则点P所表示的数介于（     ）    A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 13．（21-22八年级下·云南临沧·期末）如图，在矩形中，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数是（    ） A． B． C． D． 14．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，数轴上点B表示的数为2，过点B作于点B，且，以原点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点A，则点A表示的实数是 ． 勾股定理求最短路径 15．（22-23八年级下·云南红河·期末）已知长方体的长、宽、高分别为6，3，5，一只蚂蚁从A处出发到P处寻觅到食物的最短路径为（    ）    A． B． C． D． 16．（21-22八年级下·云南昆明·期末）如图，正方体的棱长为，点为一条棱的中点．蚂蚁在正方体侧面爬行，从点爬到点的最短路程是（    ）    A． B． C． D． 17．（22-23八年级上·昆明·期中）长方体的长为，宽为，高为，点B离点C，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是 ． 18．（22-23八年级下·云南昆明·期末）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．    (1)定理证明： 图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理； (2)问题解决： 如图2，圆柱的底面半径为，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米？（结果保留π） 19．（21-22八年级下·云南红河·期末）如图，亮亮在A处看护羊群吃草，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC=200m，BD=100m，CD=400m，亮亮从A处把羊群赶到河边饮水后回家，作图说明亮亮如何行走路程最短，并求出亮亮走的最短路程． 勾股定理的应用 20．（20-21八年级下·云南昆明·期末）如图，一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度为多少尺?（    ）（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，其中的丈、尺是长度单位，1丈=10尺） A．4尺 B．4.5尺 C．4.55尺 D．5尺 21．（20-21八年级下·云南保山·期末）如图，“今有竹高两丈五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高两丈五尺（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部五尺远，则折断处离地面的高度为（　　） A．5尺 B．25尺 C．13尺 D．12尺 22．（21-22八年级下·云南昆明·期末）如图，韩彬同学从家（记作点A）出发向北偏东30°的方向行走了4000米到达超市（记作点B），然后再从超市出发向南偏东60°的方向行走3000米到达卢飞同学家（记作点C），则韩彬家到卢飞家的距离为（    ） A．5000米 B．6000米 C．7000米 D．8000米 23．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是，则h的取值范围是 ． 24．（22-23八年级下·曲靖·期末）燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：    ①测得的长度为8米；（注：） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的王明身高米； (1)求风筝的垂直高度． (2)若王明同学想让风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 25．（21-22八年级上·云南文山·期末）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB． 26．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，已知，两艘船同时从港口出发，船以40km/h的速度向东航行，船以的速度向北航行，它们离开港口后相距多远？    27．（23-24八年级上·云南文山·期末）如图， 经过村和村的笔直公路旁有一块山地正在开发， 现需要在处进行爆破．已知处与村的距离为900米， 处与村的距离为1200米，且． (1)求两村的距离； (2)为了安全起见，爆破点 周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁? 请说明理由． 判断三边能否构成直角三角形 28．（22-23八年级下·云南迪庆·期末）下列各组数中不能组成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 29．（22-23八年级下·云南玉溪·期末）在中，，则该三角形为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 30．（22-23八年级下·云南临沧·期末）以下列各组数作为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 31．（22-23八年级下·云南昆明·期末）的三边长分别为，，，那么 （填“是”或“不是”）直角三角形． 32．（23-24八年级上·云南玉溪·期末）如图，点M，N分别是边长为的等边边上的动点，点M从顶点A沿向点C运动，点N同时从顶点C沿向点B运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为1秒，连接交于点D. (1)如图甲，求证：； (2)如图乙，连接，若，探究与之间的数量关系，并证明； (3)如图丙，在点M，N运动的过程中，是否存在以点M，N，C为顶点的三角形是直角三角形的情况，若存在，请直接写出对应的运动时间t的值；若不存在，请说明理由. 33．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都在格点上，请判断的形状，并说明理由．    甲、乙两位同学运用所学知识，都说明了是直角三角形，请你根据甲、乙两位同学的思路，补全解答过程． 甲同学说：“学习了勾股定理，已知三角形的三边，可根据勾股定理逆定理判断三角形的形状．” 解：是直角三角形，理由如下： 在网格中由勾股定理可以算出：，，， ______，______， ______． ______． 是角三角形． 乙同学说：“我可以运用全等三角形的相关知识，说明是直角三角形．” 解：是直角三角形，理由如下： 如图，由网格可知：，，， 在和中， （______） ______． 又在中，， ______， ， 是直角三角形． 34．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，在等腰中，，D是BC边延长线上的一点，且 ，．    (1)分别求和的长． (2)求证：是直角三角形． 在网格中判断直角三角形 35．（20-21八年级下·云南昆明·期末）如图所示，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，下列结论错误的是（　　） A．BC＝ B．AB＝5 C．AC⊥BC于点C D．∠CBA＝60° 36．（23-24八年级上·云南·阶段练习）如图，图中小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，则是（   ）    A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 37．（21-22八年级下·昆明·期末）如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点，，为格点，点为与网格线的交点，则 ． 38．（21-22八年级下·玉溪·期中）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD＋∠CBE的度数为 ．    39．（22-23八年级下·云南昆明·期末）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，如图所示，点A，B，O都在格点上，求的度数．    40．（23-24八年级下·云南·阶段练习）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，求： （1）△ABC的周长； （2）△ABC是直角三角形吗？为什么？ 利用勾股定理的逆定理求解 41．（22-23八年级下·昆明·期中）如图，，点A在点O的北偏西40°方向，则点B在点O的（    ） A．北偏东40° B．北偏东50° C．东偏北60° D．东偏北70° 42．（22-23八年级上·四川雅安·期末）已知三角形的三边长为，则这个三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 43．（20-21八年级下·云南德宏·期末）在△中，已知，，边上的中线，过点作⊥，垂足为点，则的长度是 ． 44．（21-22八年级下·云南红河·期末）如图，点E在梯形ABCD的边BC上，∠B=∠C=90°，CD=CE=1，AE=2，AD=． (1)求∠AEC的度数． (2)求梯形ABCD的面积． 45．（21-22八年级下·云南临沧·期末）计算及推理： (1)计算：； (2)若的三边a、b、c，且，试说明是直角三角形． 勾股定理逆定理的实际应用 46．（20-21八年级下·大理·期末）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向航行60海里到达点A处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点B处，若A、B两点相距100海里，则渔船在港口南偏西 °的方向． 47．（22-23八年级下·云南迪庆·期末）为深入学习贯彻党的二十大精神，贯彻落实习近平总书记关于教育的重要论述和重要指示批示精神，迪庆州某中学计划在如图阴影区域展示学生的学习心得．现测得，，，，．试求阴影部分的面积． 48．（23-24八年级上·云南文山·期末）“劳动基地”是培养学生劳动意识和创新精神的重要平台，某校在校园一角开辟了一块四边形的“劳动基地”，如图，经过测量得知：，，，，． (1)连接，判断的形状并说明理由； (2)若在该基地上种植蔬菜，每平方米需要费用3元，试问种满这块基地共需费用多少元？ 49．（21-22八年级下·云南德宏·期末）如图，中伊俄三国海上联合演习于年月日至日在阿曼湾海域举行，演习中，一、二号两艘航母护卫舰从港口同时出发，各自沿一固定方向航行，一号舰以海里/小时速度航行，二号舰沿南偏东方向以海里/小时的速度航行，离开港口小时后它们分别到达，两点，且相距海里，请求出一号舰沿哪个方向航行．    50．（20-21八年级下·云南昆明·期末）如图，学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，连接，测出m，m，m，m，，求需要绿化部分的面积． 1．（22-23八年级下·安徽·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为625，则小正方形的边长为（    ）    A．7 B．24 C．17 D．25 2．（22-23八年级下·北京房山·期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，如果图中勾，弦，则小正方形的面积为（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 3．（22-23八年级下·山东济宁·期末）如图，某超市在门口离地高米的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图，人只要移至距该门铃米及米以内时，门铃会自动发出语音“欢迎光临”．如图②，一个身高米的顾客走到处，门铃恰好自动响起，则的长为（    ）    A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 4．（22-23八年级下·河北邢台·期末）如图，矩形的边在数轴上，点A表示数0，点表示数4，．以点A为圆心，长为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的数为（    ）    A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·广西玉林·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离（杯壁厚度不计）为（　　）    A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·河南开封·期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为 （滑轮上方的部分忽略不计）（    ）    A． B． C． D． 7．（22-23八年级下·河南商丘·期末）将一根长的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为，则不可以是（    ）    A．7 B．15 C．16 D．17 8．（22-23八年级下·北京丰台·期中）在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23八年级下·全国·期末）如图，长方形的边在数轴上，若点A与数轴上表示数的点重合，点D与数轴上表示数的点重合，，以点A为圆心，对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为 ． 10．（22-23八年级下·新疆喀什·期末）如图，矩形中，，，动点E在矩形的边上运动，连接，作点A关于的对称点P，连接，则的最小值为 ．    11．（22-23八年级下·湖北咸宁·期末）如图，一梯子斜靠在竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也沿水平方向向外滑动，梯子到的位置，则梯子的长度为 ．    12．（22-23八年级下·四川自贡·期末）有一棵9米高的大树距离地面4米处折断．（未完全断开），则大树顶端触地点距大树的距离为 米． 13．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，是内一点，连接、，且．已知，，，．则图中阴影部分的面积为 ．    14．（22-23八年级上·河南周口·期末）图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状．    (1)小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程； (2)当，时，求图2中空白部分的面积． 15．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向上，轮船从B处继续向正东方向航行100海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向上．在小岛A处周围80海里范围内均有暗礁，小船继续向正东方向航行是否有触礁危险？请说明理由．    16．（22-23八年级下·浙江台州·期末）如图，池塘边有两点A，B，点C是与方向成直角的方向上一点，测得．求A，B两点间的距离．    17．（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离，到公路上另一停靠站的距离，停靠站之间的距离为，为方便运输货物，现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且．    (1)请判断的形状，并说明理由； (2)求修建的公路的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 勾股定理及逆定理的应用 以弦图为背景的计算题 1．（23-24八年级下·云南·阶段练习）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为100，则小正方形的面积为（    ） A．4 B．9 C．96 D．6 【答案】A 【分析】观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为100，可以得出4个直角三角形的面积，进而求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵大正方形的面积为100， ∴， ∴， ∴小正方形的面积为． 故选：A． 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用、正方形的性质以及完全平方式等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2．（23-24八年级上·玉溪·期中）如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则的值是（　　） A．10 B．8 C．7 D．5 【答案】B 【分析】设大正方形的边长为c，则c2＝20，小正方形的面积（a−b）2＝4，再由勾股定理a2＋b2＝c2，从而可得出ab的值． 【详解】解：设大正方形的边长为c，则c2＝20，小正方形的面积（a−b）2＝4， ∵a2＋b2＝c2＝20，（a−b）2＝4， ∴a2＋b2−2ab＝4，即20−2ab＝4．　　 ∴ab＝8． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，要注意的是本题中求不出两直角边的值，注意完全平方公式的灵活运用，有一定难度． 3．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，由四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形与一个小正方形，这就是我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创作的一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．设直角三角形较长的直角边的长为，较短的直角边的长为，若斜边长为，，则中间小正方形的面积为 ．    【答案】1 【分析】根据勾股定理可得到，用x和y表示出来中间小正方形的边长为，则小正方形的面积为，根据完全平方公式展开即可求得结果． 【详解】解：∵直角三角形较长的直角边的长为，较短的直角边的长为，若斜边长为， ∴， 由图可得中间小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为， ∵，， 即， 所以中间小正方形的面积为1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了勾股定理、完全平方公式，掌握完全平方公式是解答此题的关键 4．（22-23八年级下·昆明·期末）弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，那么的值是 ． 【答案】 【分析】根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解． 【详解】解：如图， ∵大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为， ∴， ∴， ∴直角三角形的面积是， 又∵直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理以及完全平方式，运用了恒等的变形的解题方法．正确根据图形的关系求得和的值是关键． 5．（2023·云南·模拟）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么的值是 ． 【答案】1. 【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a-b）2=a2-2ab+b2即可求解． 【详解】解：根据勾股定理可得a2+b2=13， 四个直角三角形的面积是： ab×4=13-1=12，即：2ab=12， 则（a-b）2=a2-2ab+b2=13-12=1． 故答案为1． 【点睛】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a2+b2和ab的值是关键． 用勾股定理构造图形解决问题 6．（21-22八年级下·云南红河·期末）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线AB单向单排通过校门口，测温仪C与直线AB的距离为3m，已知测温仪的有效测温距离为5m，则学生沿直线AB行走时测温的区域长度为（    ） A．4m B．5m C．6m D．8m 【答案】D 【分析】根据题干画出图形，即可求出答案，图形见详解 【详解】如图 根据题干条件， ， ， ，则根据勾股定理 ，则 ． 故答案选D 【点睛】本题考查勾股数的应用，需熟记常见的勾股数，利用图形更容易求出答案． 7．（23-24八年级上·云南昆明·期末）葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常饶着树干盘旋而上，还有一手绝招，就是它绕树盘上升的路线，总是沿着最短路线一盘旋前进的．如图，如果树的周长为 5cm，从点 A 绕一圈到 B 点，葛藤升高 12cm，则它爬行路程是（    ） A．5cm B．12 cm C．17 cm D．13cm 【答案】D 【分析】将立体图形转化为平面图形，利用勾股定理解决问题即可． 【详解】解：如果树的周长为5cm，绕一圈升高12cm，则葛藤绕树爬行的最短路线为： ＝13 厘米． 故选：D 【点睛】本题考查平面展开﹣最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 8．（23-24八年级上·云南·单元测试）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当它把绳子的下端拉开4 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（  ） A．7 m B．7.5 m C．8 m D．9 m 【答案】B 【分析】根据题意，画出图形，设旗杆AB=x米，则AC=（x+1）米，在Rt△ABC中，根据勾股定理的方程（x+1）2=x2+42，解方程求得x的值即可. 【详解】如图所示： 设旗杆AB=x米，则AC=（x+1）米， 在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+1）2=x2+42， 解得：x=7.5． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的基本思路是是画出示意图，利用勾股定理列方程求解． 9．（23-24八年级上·云南·期中）如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，其实他们仅仅少走了 步路，却踩伤了花草（假设2步为1米）． 【答案】 【分析】根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意得，“路”的长度，即步， 是步，是步，共步， ∴少走了步， 故答案为：步． 【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题的关键． 10．（23-24八年级下·云南·课后作业）八(2)班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE，他们进行了如下操作： ①测得BD的长度为15米；(注：BD⊥CE) ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高1.6米． 求风筝的高度CE. 【答案】风筝的高度CE为21.6米． 【分析】利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度． 【详解】解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD＝＝＝20(米)． ∴CE＝CD＋DE＝20＋1.6＝21.6(米)． 答：风筝的高度CE为21.6米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 勾股定理与无理数 11．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，数轴上的点A对应的实数是0，点B对应的实数是1，过点B作于点B，使得，连接，以点A为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D对应的实数是（　　）      A．1.2 B．1.3 C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理即可算出的长，根据据题意可得由点A对应的实数是0，即可得出答案． 【详解】解：在中， ， 根据题意可得，， 点D所对应的实数是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数在数轴上的表示方法进行求解是解决本题的关键． 12．（22-23八年级下·云南德宏·期末）如图，已知的两条直角边，，以O为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点P，则点P所表示的数介于（     ）    A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出的长度，得出点P表示的数，再用夹逼法估算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点P表示的数为， ∵， ∴点P表示的数介于3和4之间， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，无理数的估算，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，以及用夹逼法估算无理数的方法． 13．（21-22八年级下·云南临沧·期末）如图，在矩形中，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用矩形的性质得AD=BC=1，再由勾股定理求出AC的长，最后根据AM=AC，可得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=1，∠ABC=90° 在Rt△ABC中，AC=， ∴AM=AC=， ∴点M表示的数是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，实数与数轴等知识，利用勾股定理求出AC的长是解题的关键． 14．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，数轴上点B表示的数为2，过点B作于点B，且，以原点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点A，则点A表示的实数是 ． 【答案】 【分析】直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案． 【详解】解：， ， 是直角三角形， ，， ， 点表示的实数是：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键． 勾股定理求最短路径 15．（22-23八年级下·云南红河·期末）已知长方体的长、宽、高分别为6，3，5，一只蚂蚁从A处出发到P处寻觅到食物的最短路径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线． 【详解】解：长方体的展开图如下图所示：            图1：展开前面右面， 由勾股定理得； 图2：展开前面上面， 由勾股定理得； 图3：展开左面上面， 由勾股定理得； 因为， 所以一只蚂蚁从A处出发到P处寻觅到食物的最短路径为， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平面展开−最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 16．（21-22八年级下·云南昆明·期末）如图，正方体的棱长为，点为一条棱的中点．蚂蚁在正方体侧面爬行，从点爬到点的最短路程是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁的起点和终点，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，由题意可知，，    则蚂蚁爬行的最短路程为， 故选：D． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题、勾股定理，掌握两点之间线段最短，找到起点和终点是解题的关键． 17．（22-23八年级上·昆明·期中）长方体的长为，宽为，高为，点B离点C，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键． 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 蚂蚁爬行的最短距离是． 故答案为：． 18．（22-23八年级下·云南昆明·期末）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．    (1)定理证明： 图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理； (2)问题解决： 如图2，圆柱的底面半径为，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米？（结果保留π） 【答案】(1)见解析 (2)从点A爬到点B的最短路程是厘米 【分析】（1）利用阴影部分的面积大正方形面积直角三角形面积额即可得答案； （2）画出圆柱侧面展开图矩形，利用勾股定理即可得答案． 【详解】（1）阴影部分的面积大正方形面积直角三角形面积， ， ， ； （2）画出圆柱侧面展开图：   根据圆柱底面半径为，得出， 高为， ， 从点爬到点的最短路程是厘米． 【点睛】本题考查勾股定理证明，掌握面积法是解题关键． 19．（21-22八年级下·云南红河·期末）如图，亮亮在A处看护羊群吃草，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC=200m，BD=100m，CD=400m，亮亮从A处把羊群赶到河边饮水后回家，作图说明亮亮如何行走路程最短，并求出亮亮走的最短路程． 【答案】图见解析，亮亮走的最短路程为 【分析】作点B关于河岸的对称点E，连接AE交CD于点P，过点E作EF⊥AC，垂足为F，由轴对称的性质和两点之间线段最短可知AE的长度即为最短路程． 【详解】解：作点B关于河岸的对称点E，连接AE交CD于点P，如图所示： 由轴对称的性质可知：PB=PE，DE=DB， ∴PA+PB=AP+PE， 由两点之间线段最短可知，当点A、P、E在一条直线上时，PA+PB最短，故亮亮的行走路线为A−P−B时，路程最短； 过点E作EF⊥AC，垂足为F，如图所示，故四边形EDCF为矩形， ∴EF=CD=400m，CF=ED=BD=100m， 最短路程为： PA+PB=AE 答：亮亮走的最短路程为． 【点睛】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用，明确当点A、P、E在一条直线上时PA+PB最短是解题的关键． 勾股定理的应用 20．（20-21八年级下·云南昆明·期末）如图，一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度为多少尺?（    ）（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，其中的丈、尺是长度单位，1丈=10尺） A．4尺 B．4.5尺 C．4.55尺 D．5尺 【答案】C 【分析】竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可． 【详解】解：1丈=10尺 设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 答：折断处离地面的高度是4.55尺， 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 21．（20-21八年级下·云南保山·期末）如图，“今有竹高两丈五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高两丈五尺（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部五尺远，则折断处离地面的高度为（　　） A．5尺 B．25尺 C．13尺 D．12尺 【答案】D 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（25-x）尺．利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（25-x）尺， 根据勾股定理得：x2+52=（25-x）2 解得：x=12． 答：原处还有12尺高的竹子． 故选：D． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 22．（21-22八年级下·云南昆明·期末）如图，韩彬同学从家（记作点A）出发向北偏东30°的方向行走了4000米到达超市（记作点B），然后再从超市出发向南偏东60°的方向行走3000米到达卢飞同学家（记作点C），则韩彬家到卢飞家的距离为（    ） A．5000米 B．6000米 C．7000米 D．8000米 【答案】A 【分析】根据题意可得∠ABC=90°，AB=4000米，BC=3000米，然后利用勾股定理求得AC． 【详解】解：如图，连接AC， 依题意得：∠ABC=30°+60°=90°，AB=4000米，BC=3000米， 则由勾股定理，得米， 即韩彬家到卢飞家的距离为5000米． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理在实际生活中的运用，关键构造直角三角形，然后根据勾股定理求解． 23．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是，则h的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意可知，h最长是筷子的长度减去杯子的高度，h最短是筷子的长度减去杯子斜边长度，利用勾股定理求出杯子的斜边长度，即可求出h的取值范围． 【详解】解：由题意可知，h最长是筷子的长度减去杯子的高度，即， h最短是筷子的长度减去杯子斜边长度， 由勾股定理得，杯子的斜边长度，即， h的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意解题关键． 24．（22-23八年级下·曲靖·期末）燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：    ①测得的长度为8米；（注：） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的王明身高米； (1)求风筝的垂直高度． (2)若王明同学想让风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米； (2)7米． 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为米； （2）解：连接，由题意得，米，    ， （米）， （米）， 他应该往回收线7米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，解题的关键是能从实际问题中抽象出直角三角形． 25．（21-22八年级上·云南文山·期末）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB． 【答案】3米 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x米，则斜边为（8x）米．利用勾股定理解题即可． 【详解】解：由题意知BC＋AC＝8，∠CBA＝90°， ∴设BC长为x米，则AC长为（）米， ∴在Rt△CBA中，有， 即：， 解得：， ∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 26．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，已知，两艘船同时从港口出发，船以40km/h的速度向东航行，船以的速度向北航行，它们离开港口后相距多远？    【答案】 【分析】由题意知：两条船的航向构成了直角．再根据路程速度时间，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，两艘船同时从港口出发，船以40km/h的速度向东航行；船以的速度向北航行， ∴，它们离开港口后，，， ∴， 故它们离开港口后相距． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角问题，得出，的长是解题关键． 27．（23-24八年级上·云南文山·期末）如图， 经过村和村的笔直公路旁有一块山地正在开发， 现需要在处进行爆破．已知处与村的距离为900米， 处与村的距离为1200米，且． (1)求两村的距离； (2)为了安全起见，爆破点 周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁? 请说明理由． 【答案】(1)米 (2)没有危险不需要封锁，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的实际应用、等面积法求线段长，根据题意，数形结合，利用勾股定理及等面积法求出线段长即可得到答案，熟练掌握勾股定理及等面积法是解决问题的关键． （1）根据题意，数形结合，利用勾股定理求解即可得到答案； （2）过点作，如图所示，利用等面积法求出，根据题意比较即可得到答案． 【详解】（1）解：处与村的距离为900米， 处与村的距离为1200米，且， ， 答：两村的距离为米； （2）解：没有危险不需要封锁， 理由如下： 过点作，如图所示： 利用面积相等得到，即，解得， 爆破点 周围半径750米范围内不得进入，， 在进行爆破时，公路段没有危险不需要封锁． 判断三边能否构成直角三角形 28．（22-23八年级下·云南迪庆·期末）下列各组数中不能组成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，解答此题关键是掌握勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理的逆定理分别计算各个选项，选出正确的答案． 【详解】解：、，能组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、，能组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 29．（22-23八年级下·云南玉溪·期末）在中，，则该三角形为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理判定该三角形为直角三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴该三角形是直角三角形， 故选B． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，正确掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 30．（22-23八年级下·云南临沧·期末）以下列各组数作为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：、， 不能构成直角三角形，不符合题意； B、， 不能构成直角三角形，不符合题意； C、， 能构成直角三角形，符合题意； D、， 不能构成直角三角形，不符合题意． 故选： 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 31．（22-23八年级下·云南昆明·期末）的三边长分别为，，，那么 （填“是”或“不是”）直角三角形． 【答案】是 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：， 是直角三角形． 故答案为：是． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．会根据勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形是解题的关键． 32．（23-24八年级上·云南玉溪·期末）如图，点M，N分别是边长为的等边边上的动点，点M从顶点A沿向点C运动，点N同时从顶点C沿向点B运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为1秒，连接交于点D. (1)如图甲，求证：； (2)如图乙，连接，若，探究与之间的数量关系，并证明； (3)如图丙，在点M，N运动的过程中，是否存在以点M，N，C为顶点的三角形是直角三角形的情况，若存在，请直接写出对应的运动时间t的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 (3)或，理由见详解 【分析】 （1）根据可证明； （2）在上截取，证明，得出，证出，则可得出结论； （3）分两种情况，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：证明：∵点M从顶点A沿向点C运动，点N同时从顶点C沿向点B运动，它们的速度都为， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：， 理由如下：在上截取， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：存在．或， 理由如下， 由题意可得， ∴ ∵以点为顶点的三角形是直角三角形， 当时， ∵， ∴， ∴ 即 解得：， 当， ∵， ∴， ∴ 即： 解得：， 综上所述，或，时，以点为顶点的三角形是直角三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 33．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都在格点上，请判断的形状，并说明理由．    甲、乙两位同学运用所学知识，都说明了是直角三角形，请你根据甲、乙两位同学的思路，补全解答过程． 甲同学说：“学习了勾股定理，已知三角形的三边，可根据勾股定理逆定理判断三角形的形状．” 解：是直角三角形，理由如下： 在网格中由勾股定理可以算出：，，， ______，______， ______． ______． 是角三角形． 乙同学说：“我可以运用全等三角形的相关知识，说明是直角三角形．” 解：是直角三角形，理由如下： 如图，由网格可知：，，， 在和中， （______） ______． 又在中，， ______， ， 是直角三角形． 【答案】，，，，，， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，解决本题的关键是能熟记知识点的内容．根据甲同学根据勾股定理和勾股定理的逆定理得出；乙同学运用全等三角形的相关知识得出，进而解答即可． 【详解】甲同学：解：是直角三角形，理由如下： 在网格中由勾股定理可以算出：，，， ，， ， ， 是角三角形． 乙同学：解：是直角三角形，理由如下： 如图，由网格可知：，，， 在和中， ． ． 又在中，， ， ， 是直角三角形． 故答案为：，，，，，，． 34．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，在等腰中，，D是BC边延长线上的一点，且 ，．    (1)分别求和的长． (2)求证：是直角三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）过点A作，垂足为E，设，由题意 ，，，，，分别利用勾股定理在和中构造方程，得到，求出，则和的长可解． （2）分别表示、、证明即可． 【详解】（1）如图，过点A作，垂足为E，设． ．    在和中， ， ， ， 解得， ． （2）证明： ． ， ， ， ∴是直角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，解答过程中利用勾股定理构造方程求出未知数据是解题关键． 在网格中判断直角三角形 35．（20-21八年级下·云南昆明·期末）如图所示，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，下列结论错误的是（　　） A．BC＝ B．AB＝5 C．AC⊥BC于点C D．∠CBA＝60° 【答案】D 【分析】利用勾股定理求出三边长，再依据勾股定理逆定理判断出∠ACB＝90°即可得出答案． 【详解】解：由勾股定理可得：AB＝， AC＝， BC＝， ∵AC2+BC2＝（2）2+（）2＝25，AB2＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC， 故A、B、C都正确，不符合题意， ∵AB，BC＝， ∴ ∴ ∴∠ABC≠60°， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和其逆定理，运用勾股定理求出三边长是解题的关键． 36．（23-24八年级上·云南·阶段练习）如图，图中小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，则是（   ）    A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出各边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状即可． 【详解】解：由图形可知：；；， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 37．（21-22八年级下·昆明·期末）如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点，，为格点，点为与网格线的交点，则 ． 【答案】/45度 【分析】连接，，设与交于点，根据勾股定理的逆定理先证明是等腰直角三角形，从而可得，再根据题意可得，然后利用三角形的外角，进行计算即可解答． 【详解】解：如图：连接，，设与交于点， 由题意得： ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ， 是的一个外角， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、平行线的性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线． 38．（21-22八年级下·玉溪·期中）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD＋∠CBE的度数为 ．    【答案】45° 【分析】取网格点M、N、F，连接AM、AN、BM、MF、BN，根据网格线可得到∠ABD+∠CBE=∠MAB，再根据勾股定理的逆定理证明△ABM是直角三角形，且AM=BM，即可得解． 【详解】取网格点M、N、F，连接AM、AN、BM、MF、BN，如图， 根据网格线可知NB=1=MF，AN=3，AF=2， 由网格图可知∠CBE=∠FAM，∠ABD=∠NAB， 则∠ABD+∠CBE=∠MAB， 在Rt△ANB中，有， 同理可求得：， ∵， ∴△ABM是直角三角形，且AM=BM， ∴∠MAB=45°， 即：∠ABD+∠CBE=45°， 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了勾股定理即勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识，求得∠ABD+∠CBE=∠MAB是解答本题的关键． 39．（22-23八年级下·云南昆明·期末）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，如图所示，点A，B，O都在格点上，求的度数．    【答案】 【分析】连接，运用勾股定理可求，，于是，得证是等腰直角三角形，从而得出． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴．    【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的运用，在网格图中选定合适的直角三角形运用勾股定理求线段长是解题的关键． 40．（23-24八年级下·云南·阶段练习）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，求： （1）△ABC的周长； （2）△ABC是直角三角形吗？为什么？ 【答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形，见解析 【分析】（1）在小方格中，利用勾股定理可求得AB、AC、BC边长； （2）判断AB、AC、BC三边是否符合勾股定理逆定理即可． 【详解】解：（1）依题意 AB=；AC=；BC=； ∴△ABC的周长是= （2）△ABC是直角三角形.理由如下： 在△ABC中 ∵； ∴ ∴△ABC是直角三角形 【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理，解题关键是求解出三角形三边长． 利用勾股定理的逆定理求解 41．（22-23八年级下·昆明·期中）如图，，点A在点O的北偏西40°方向，则点B在点O的（    ） A．北偏东40° B．北偏东50° C．东偏北60° D．东偏北70° 【答案】B 【分析】先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，求出，然后再求出40°的余角即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 由题意得：， ∴点B在点O的北偏东50°方向， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理，与方向角有关的计算．解题的关键是利用勾股定理逆定理得到． 42．（22-23八年级上·四川雅安·期末）已知三角形的三边长为，则这个三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理，可得该三角形为直角三角形，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：三角形的三边长为， ∵， ∴该三角形为直角三角形，且两直角边分为为，斜边为， ∴该三角形的面积为， 故选：． 【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理的运用，掌握勾股定理逆定理判定三角形是否是直角三角形是解题的关键． 43．（20-21八年级下·云南德宏·期末）在△中，已知，，边上的中线，过点作⊥，垂足为点，则的长度是 ． 【答案】 【分析】首先根据题意画出图像，根据勾股定理逆定理得出△ABD是直角三角形，即再用勾股定理求出AC的长，在Rt△ADC中，利用等面积法即可求得DE的长． 【详解】根据题意，画出图形，如图， ∵AD是的中线， ∴， 在中， ∵， ∴ ∴是直角三角形，且 ∴ 在中， ， ∵， ∴ 解得，， 故填：． 【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理，解题关键是根据题意画出图形，结合勾股定理和勾股定理逆定理进行求解． 44．（21-22八年级下·云南红河·期末）如图，点E在梯形ABCD的边BC上，∠B=∠C=90°，CD=CE=1，AE=2，AD=． (1)求∠AEC的度数． (2)求梯形ABCD的面积． 【答案】(1)135° (2)4.5 【分析】（1）连接DE，根据等腰直角三角形的性质求出∠DEC=45°，根据勾股定理求出DE，根据勾股定理的逆定理求出∠AED=90°，计算即可； （2）根据等腰直角三角形的性质求出AB、BE，根据梯形的面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：如图，连接， ，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理，得． ，， ，， ， 是直角三角形， ， ． （2）由（1）得， ． ， ， ． 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理求出∠AED=90°是解题的关键． 45．（21-22八年级下·云南临沧·期末）计算及推理： (1)计算：； (2)若的三边a、b、c，且，试说明是直角三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先算乘方，二次根式的乘法，负整数指数幂，零指数幂，二次根式的化简，最后算加减即可； （2）利用勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：原式= =； （2）∵a+b=4，ab=1，c=， ∴a2+b2 =（a+b）2-2ab =42-2×1 =14， ∵c=， ∴c2=（）2=14， ∴a2+b2=c2， ∴△ABC是直角三角形． 【点睛】本题主要考查二次根式的加减法，勾股定理的逆定理，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 勾股定理逆定理的实际应用 46．（20-21八年级下·大理·期末）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向航行60海里到达点A处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点B处，若A、B两点相距100海里，则渔船在港口南偏西 °的方向． 【答案】70 【分析】求出OA2+OB2＝AB2，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB＝90°，根据平角定义求出即可． 【详解】解：∵OA＝60海里，OB＝80海里，AB＝100海里， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴∠AOB＝90° ∵∠NOA＝20°， ∴∠BOS＝180°﹣20°﹣90°＝70°， 故渔船在港口南偏西70°的方向， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能根据勾股定理的逆定理求出∠AOB=90°是解此题的关键． 47．（22-23八年级下·云南迪庆·期末）为深入学习贯彻党的二十大精神，贯彻落实习近平总书记关于教育的重要论述和重要指示批示精神，迪庆州某中学计划在如图阴影区域展示学生的学习心得．现测得，，，，．试求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识．先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，进而可得出结论． 【详解】解：如图，连接． 在中，，，， ， ，，， ， 是直角三角形，且， 阴影部分的面积． 48．（23-24八年级上·云南文山·期末）“劳动基地”是培养学生劳动意识和创新精神的重要平台，某校在校园一角开辟了一块四边形的“劳动基地”，如图，经过测量得知：，，，，． (1)连接，判断的形状并说明理由； (2)若在该基地上种植蔬菜，每平方米需要费用3元，试问种满这块基地共需费用多少元？ 【答案】(1)直角三角形，理由见解析 (2)432元 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理即可得出结论； （2）求出四边形的面积，即可解决问题． 【详解】（1） 是直角三角形，理由如下： 如图，连接， ，，， ， ，，， ， 是直角三角形，且； （2）由（1）可知，， ， ， 即四边形的面积为， （元）， 答：种满这块基地共需费用432元． 49．（21-22八年级下·云南德宏·期末）如图，中伊俄三国海上联合演习于年月日至日在阿曼湾海域举行，演习中，一、二号两艘航母护卫舰从港口同时出发，各自沿一固定方向航行，一号舰以海里/小时速度航行，二号舰沿南偏东方向以海里/小时的速度航行，离开港口小时后它们分别到达，两点，且相距海里，请求出一号舰沿哪个方向航行．    【答案】一号舰沿南偏西30°方向航行 【分析】根据题意可得，海里，海里，海里，然后根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形，从而可得，进而可求出，最后根据方向角的定义即可解答． 【详解】解：如图，依题意得： ，    ∵ ∴，， ∴， ∴， ∴ ， 由二号舰沿南偏东方向航行可知， ∴ ， 即一号舰沿南偏西方向航行． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，方向角，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 50．（20-21八年级下·云南昆明·期末）如图，学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，连接，测出m，m，m，m，，求需要绿化部分的面积． 【答案】24 【分析】先根据勾股定理计算出的长，再证明是直角三角形，最后用的面积减去的面积即可求出阴影部分的面积. 【详解】     在Rt中，， 中，      是直角三角形，且 ∴需要绿化部分的面积为24 【点睛】本题主要考查了勾股定理和逆定理.解题的关键是要判定是直角三角形，然后再计算阴影部分的面积. 1．（22-23八年级下·安徽·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为625，则小正方形的边长为（    ）    A．7 B．24 C．17 D．25 【答案】C 【分析】勾股定理得：，又，由此即可求出，因此小正方形的边长为17． 【详解】解：由题意知小正方形的边长是，由勾股定理得：， ， ， 小正方形的边长为17． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2．（22-23八年级下·北京房山·期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，如果图中勾，弦，则小正方形的面积为（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】首先根据勾股定理求出，然后利用正方形的面积公式求解即可． 【详解】∵勾，弦， ∴ ∴小正方形的面积为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出勾股关系． 3．（22-23八年级下·山东济宁·期末）如图，某超市在门口离地高米的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图，人只要移至距该门铃米及米以内时，门铃会自动发出语音“欢迎光临”．如图②，一个身高米的顾客走到处，门铃恰好自动响起，则的长为（    ）    A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【答案】C 【分析】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：由题意可知．米，米，米， 由勾股定理得（米）， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是善于观察题目的信息． 4．（22-23八年级下·河北邢台·期末）如图，矩形的边在数轴上，点A表示数0，点表示数4，．以点A为圆心，长为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理计算出的长度，进而求得该点与点A的距离，再根据点A表示的数，可得该点表示的数． 【详解】解：由题意得：， ∵，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴点表示的数为， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方． 5．（22-23八年级下·广西玉林·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离（杯壁厚度不计）为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图（见解析），将杯子侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，作，交延长线于点，    则， 由两点之间线段最短可知，当点、F、B在同一条直线上时，取得最小值，最小值为的长度， 由题意可知，，， 则， 即蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为， 故选：D． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，将立体图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 6．（22-23八年级下·河南开封·期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为 （滑轮上方的部分忽略不计）（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意画出示意图，设棋杆的高度为x，可得，，，在中利用勾股定理可求出x． 【详解】解：设旗杆高度为x米，则，， 在中，由勾股定理得即 解得： ∴旗杆的高度为17米． 故选：D．   【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线． 7．（22-23八年级下·河南商丘·期末）将一根长的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为，则不可以是（    ）    A．7 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围． 【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长，    ， 如图2所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，    在中，，， ， 此时， 的取值范围是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 8．（22-23八年级下·北京丰台·期中）在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理可判断A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断C、D 是否是直角三角形． 【详解】解：A中，而根据三角形内角和定理， ∴，故A、B是直角三角形； C中设， ∵， ， ，故C不是直角三角形； D中符合勾股定理逆定理，故D是直角三角形． 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理，判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断． 9．（22-23八年级下·全国·期末）如图，长方形的边在数轴上，若点A与数轴上表示数的点重合，点D与数轴上表示数的点重合，，以点A为圆心，对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理计算出的长度，进而求得该点与点A的距离，再根据点A表示的数为，可得该点表示的数． 【详解】解：在长方形中，， ∴， 则点A到该交点的距离为， ∵点A表示的数为， ∴该点表示的数为：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方． 10．（22-23八年级下·新疆喀什·期末）如图，矩形中，，，动点E在矩形的边上运动，连接，作点A关于的对称点P，连接，则的最小值为 ．    【答案】1 【分析】点P在以D为圆心，为半径的圆上运动，连接，交于，则即为最小值，利用勾股定理求出的值即可． 【详解】解：点A关于的对称点P， ， 点P在以D为圆心，为半径的圆上运动，连接，交于，如图所示：    为最小值，且， 在中，，，， ， ， 的最小值为1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，巧妙借助辅助线，找到即为最小值是解题的关键． 11．（22-23八年级下·湖北咸宁·期末）如图，一梯子斜靠在竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也沿水平方向向外滑动，梯子到的位置，则梯子的长度为 ．    【答案】 【分析】设，利用勾股定理用表示出和的长，进而求出的值，然后由勾股定理求出的长度． 【详解】解：设， 由题意得：，，， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴ ， 即梯子的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 12．（22-23八年级下·四川自贡·期末）有一棵9米高的大树距离地面4米处折断．（未完全断开），则大树顶端触地点距大树的距离为 米． 【答案】3 【分析】根据题意构建直角三角形，利用勾股定理解答． 【详解】解：在中，为斜边， 已知米，米， 则， 即， 解得：． 故大树顶端触地点距大树的距离为3米． 故答案为：3．    【点睛】此题考查了直角三角形的性质及勾股定理的应用，要根据题意画出图形即可解答． 13．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，是内一点，连接、，且．已知，，，．则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】先根据勾股定理求出，然后根据勾股定理的逆定理，得是直角三角形，根据阴影部分的面积等于，即可． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， 设阴影部分的面积， ∴， ∴， ∴设阴影部分的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用和勾股定理的逆定理． 14．（22-23八年级上·河南周口·期末）图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状．    (1)小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程； (2)当，时，求图2中空白部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】（1）根据图形可得，图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积；也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积；两种表示方法面积相等，即可求证； （2）根据图形可得空白部分面积等于以c为边的正方形的面积-两个直角三角形的面积，将，代入求解即可． 【详解】（1）解：图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积， 即， 也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积， 即， ∴，即． （2）解：当时，， 由图可知，空白部分面积=以c为边的正方形的面积-两个直角三角形的面积， 即：空白部分面积为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键是根据图形，得出图形面积的两种不同表示方法． 15．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向上，轮船从B处继续向正东方向航行100海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向上．在小岛A处周围80海里范围内均有暗礁，小船继续向正东方向航行是否有触礁危险？请说明理由．    【答案】无触礁危险．理由见解析 【分析】过点A作垂直于的延长线于点D，由题意得到，在根据勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：无触礁危险．过点A作垂直于的延长线于点D    结合题意可知，， ， ， ， 在中，， ， ， ， 继续前行无触礁危险 【点睛】本题主要考查用勾股定理解直角三角形，掌握勾股定理是解题的关键． 16．（22-23八年级下·浙江台州·期末）如图，池塘边有两点A，B，点C是与方向成直角的方向上一点，测得．求A，B两点间的距离．    【答案】A，B两点间的距离是 【分析】直接由勾股定理求出AB的长即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴， 答：A，B两点间的距离是． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理求出的长． 17．（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离，到公路上另一停靠站的距离，停靠站之间的距离为，为方便运输货物，现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且．    (1)请判断的形状，并说明理由； (2)求修建的公路的长． 【答案】(1)是直角三角形．理由见解析 (2)修建的公路的长为 【分析】 （1）根据勾股定理的逆定理得，再根据三角形面积公式即可求解； （2）根据勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】（1））是直角三角形．理由如下： ， ∴， 是直角三角形； （2）， ， 即修建的公路的长为． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$