专题03 勾股定理6种常考题型归类-【好题汇编】备战2023-2024学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（云南专用）

专题03 勾股定理 用勾股定理解三角形 1．（23-24八年级上·云南文山·期末）如图，是斜边的高，则（    ）    A．3 B． C． D．5 2．（23-24八年级上·云南保山·期末）如图，已知点和点，在x轴上确定点P，使得为等腰三角形，则满足条件的点P共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．（21-22八年级下·云南红河·期末）已知，等腰三角形中，，，则底边上的高长为（    ） A．5 B．6 C． D． 4．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，在中，，斜边，计算的值等于（    ）    A．36 B．72 C．24 D．12 5．（22-23八年级下·云南曲靖·期末）如图，在中，，，，将折叠，使点与点重合，得折痕，则的周长等于 cm．      6．（22-23八年级下·云南昆明·期末）在中，，， ． 7．（23-24八年级上·云南文山·期末）如图， 经过村和村的笔直公路旁有一块山地正在开发， 现需要在处进行爆破．已知处与村的距离为900米， 处与村的距离为1200米，且． (1)求两村的距离； (2)为了安全起见，爆破点 周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁? 请说明理由． 8．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．    (1)请画出关于轴的对称图形，并写出点的坐标是______； (2)在轴上找一点，使得周长最小，请画出； (3)若是以为底边的等腰三角形，且点在轴上，则点的坐标是______． 9．（22-23八年级下·云南·期末）如图，在中，，平分，交于点D，，．    (1)求点D到直线的距离； (2)求线段的长． 已知两点坐标求两点距离 10．（12-13八年级下·云南红河·期末）在直角坐标系中，点P（2，－3）到原点的距离是（   ） A． B． C． D．2 11．（12-13八年级上·云南普洱·期末）点M（﹣3，4）离原点的距离是多少单位长度（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 12．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内且点，连接，在y轴上找一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P有 个．    13．（20-21八年级下·云南西双版纳·期末）如图，已知P是平面直角坐标系中的一点，其坐标为(6，8)，则点P到原点的距离是 ． 14．（2014·吉林·云南模拟）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为 ． 勾股树(数)问题 15．（22-23八年级上·云南文山·期末）下面三组数中是勾股数的一组是（   ） A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．9，16，25 D．18，24，30 16．（23-24八年级上·江西抚州·期中）下列各组数据为勾股数的是（    ） A．，， B．2，3，4 C．1，， D．5，12，13 17．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（    ） a b c 3 4 5 8 6 10 15 8 17 24 10 26 … … … x 14 y A．67 B．34 C．98 D．73 18．（22-23八年级下·云南·期末）生活处处有数学：在五一出游时，小明在沙滩上捡到一个美丽的海螺，经仔细观察海螺的花纹后画出如图所示的蝶旋线，该螺旋线由一系列直角三角形组成，请推断第n个三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 19．（22-23八年级下·云南·单元测试）如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C，D的边长分别是6，8，3，4，则最大正方形E的面积是 ． 20．（22-23八年级下·云南昆明·期末）（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么，，（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么，，（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 以直角三角形三边为边长的图形面积 21．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为6和9，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．15 D．20 22．（21-22八年级上·昆明·期中）如图，在四边形中，，分别以四边为边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（22-23八年级下·云南曲靖·期末）已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是(   ) A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1 24．（23-24八年级上·云南文山·期末）如图，以的三边为直径分别向外作半圆，若，，则 ． 25．（21-22八年级下·云南德宏·期末）如图，以直角三角形三边为边长向外作正方形A，B，C，其中正方形A，B的面积分别是9，16，则正方形C的面积是 ．    26．（21-22八年级下·云南昆明·期末）勾股定理是中国几何的根源，中华数学的精髓，诸如开方术、方程术、天元术等技艺的诞生与发展，寻根探源，都与勾股定理有着密切关系，在一次数学活动中，数学小组发现如下图形：在中，，图中以AC、BC、AB为边的四边形都是正方形，并且经测量得到三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为 ． 勾股定理与网格问题 27．（2024·云南·模拟）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）    A． B． C． D． 28．（23-24七年级上·昆明·期中）如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，按图中方式画圆弧交数轴于点A，则点A表示的数是 ． 29．（23-24八年级上·云南文山·期末）如图，在所给正方形网格（小正方形的边长都是 1） 图中完成下列各题． (1)画出格点 关于直线对称的图形 ； (2)判断 的形状，并说明理由． 30．（23-24八年级上·云南文山·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长都是1，和 关于直线对称． (1)请在图中把和补充完整； (2)求线段的长． 勾股定理与折叠问题 31．（21-22八年级下·云南昆明·期末）如图，将矩形ABCD沿直线DE折叠，顶点A落在BC边上F处，已知，，则BF的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 32．（22-23八年级下·云南迪庆·期末）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，D为BC边上的一点，现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（ ） A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm 33．（23-24八年级上·昆明·期中）如图长方形中，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则△的面积为（    ） A．6 B． C． D．12 34．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，在中，，点D为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，则的长为 ． 35．（22-23八年级上·曲靖·期中）如图，中，，将折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 ． 36．（22-23八年级下·普洱·期中）如图，在中，，，，D为上的一点，将沿折叠，使点C恰好落在上的点E处，求的长． 37．（22-23八年级下·云南文山·期末）如图，在长方形中，，在上存在一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上，设此点为，若的面积为30，求的长． 1．（22-23八年级下·河北邢台·期末）如图，钓鱼竿的长为m，露在水面上的鱼线长为m．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为m，则的长为（   ） A．m B．m C．m D． m 2．（22-23八年级下·辽宁抚顺·期末）在中，，，是的中点，则的面积为（    ） A．12 B．24 C．10 D．20 3．（22-23八年级上·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（    ） A．1 B． C． D．3 4．（22-23八年级上·陕西咸阳·期末）下列各组数，是勾股数的一组是（     ） A．8，15，17 B．13，14，15 C．3，5， D．1，， 5．（22-23八年级上·四川成都·期末）下列命题中，假命题是（    ） A．实数和数轴上的点是一一对应的 B．，，是一组勾股数 C．有公共顶点且相等的两个角是对顶角 D．函数中自变量x的取值范围是 6．（22-23八年级下·湖南益阳·期末）如图，以直角三角形的各边为一边，在直角三角形的外侧作正方形，若正方形A、B的面积分别为9、25，则原直角三角形的面积为（    ）    A．4 B．6 C．12 D．16 7．（22-23八年级下·河北承德·期末）如图：网格中每个正方形边长为1，表示长的线段是（    ）    A． B． C． D． 8．（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在边长为4的等边中，点P为边上任意一点，于点B，于点F，则的长 ．    9．（22-23八年级上·浙江湖州·期末）如图，是直角三角形，，分别以、为边向两侧作正方形．若两个正方形的面积之和为，即，则 ．    10．（20-21八年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是 ． 11．（22-23八年级下·甘肃陇南·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别足、、、，则正方形的边长是 ．    12．（21-22八年级下·浙江台州·期末）如图，在Rt△ABC中，，分别以AB，BC，AC为边向上作正方形，其中阴影部分面积之和为8，则四边形EDAF的面积为 ． 13．（23-24八年级上·全国·期末）在如图的网格中，每个小正方形的边长均为1，三个正方形A、B、C的面积分别用、、表示，则图中， ， ， ．请写出、、之间的关系式： ． 14．（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的长为 ．    15．（22-23八年级下·浙江台州·期末）如图，池塘边有两点A，B，点C是与方向成直角的方向上一点，测得．求A，B两点间的距离．    16．（22-23八年级下·山西忻州·期末）阅读与思考 阅读下列材料并完成相应的任务． 我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在课本中我们已经了解到“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”． 以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法： 方法1：若m为奇数，则，和是勾股数． 方法2：若任取两个正整数m和，则，，是勾股数． 任务： (1)在以上两种方法中任选一种，证明以a，b，c为边长的是直角三角形． (2)学校园林设计师按照如图所示的方式摆放兰花，已知这四个直角三角形全等，且直角三角形的三边是勾股数，较短的直角边长为，要求在每个直角三角形的三个顶点处需要摆放一盆兰花，每个直角三角形的三条边间隔1米摆放一盆兰花，请你计算出总共需要的兰花数量．    17．（22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点（网格线的交点）上，求点到边的距离．    18．（22-23八年级上·河南南阳·期末）把一长方形纸片按图所示折叠，使顶点B与点D重合，折痕为，若，，重叠部分的面积为多少？    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 勾股定理 用勾股定理解三角形 1．（23-24八年级上·云南文山·期末）如图，是斜边的高，则（    ）    A．3 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查等积法求线段的长与勾股定理．先由勾股定理计算出，再根据等面积法求解即可，掌握等积法，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是斜边的高， ∴， ∴， ∴； 故选C． 2．（23-24八年级上·云南保山·期末）如图，已知点和点，在x轴上确定点P，使得为等腰三角形，则满足条件的点P共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理和等腰三角形的性质分别进行求解即可，此题考查了勾股定理、等腰三角形的性质等知识，数形结合是解题的关键． 【详解】解:如图， ∵点和点， ∴， 当时， 则点满足题意， 当点在原点时，，即点满足题意， 当时， 则点满足题意， 当时， 则点满足题意， 综上可知，满足条件的点P共有4个， 故选：B 3．（21-22八年级下·云南红河·期末）已知，等腰三角形中，，，则底边上的高长为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质得到，再由勾股定理求出答案． 【详解】解：，，， ， 在中，由勾股定理可得， ．    故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 4．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，在中，，斜边，计算的值等于（    ）    A．36 B．72 C．24 D．12 【答案】B 【分析】利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理求得是解题的关键． 5．（22-23八年级下·云南曲靖·期末）如图，在中，，，，将折叠，使点与点重合，得折痕，则的周长等于 cm．      【答案】17 【分析】根据勾股定理，可得的长，根据翻折的性质，可得与的关系，根据三角形的周长公式，可得答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理，得， 由翻折的性质，得． 的周长． 故答案为：17． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等． 6．（22-23八年级下·云南昆明·期末）在中，，， ． 【答案】 【分析】已知，根据勾股定理可得，可求得，然后可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 7．（23-24八年级上·云南文山·期末）如图， 经过村和村的笔直公路旁有一块山地正在开发， 现需要在处进行爆破．已知处与村的距离为900米， 处与村的距离为1200米，且． (1)求两村的距离； (2)为了安全起见，爆破点 周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁? 请说明理由． 【答案】(1)米 (2)没有危险不需要封锁，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的实际应用、等面积法求线段长，根据题意，数形结合，利用勾股定理及等面积法求出线段长即可得到答案，熟练掌握勾股定理及等面积法是解决问题的关键． （1）根据题意，数形结合，利用勾股定理求解即可得到答案； （2）过点作，如图所示，利用等面积法求出，根据题意比较即可得到答案． 【详解】（1）解：处与村的距离为900米， 处与村的距离为1200米，且， ， 答：两村的距离为米； （2）解：没有危险不需要封锁， 理由如下： 过点作，如图所示： 利用面积相等得到，即，解得， 爆破点 周围半径750米范围内不得进入，， 在进行爆破时，公路段没有危险不需要封锁． 8．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．    (1)请画出关于轴的对称图形，并写出点的坐标是______； (2)在轴上找一点，使得周长最小，请画出； (3)若是以为底边的等腰三角形，且点在轴上，则点的坐标是______． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查的知识点是画轴对称图形、勾股定理、等腰三角形的定义，解题关键是掌握平面直角坐标系中求解图形面积的方法、轴对称的性质、利用两点之间直线段最短求得最短距离． （1）关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标为原纵坐标的相反数，连接对称点即可； （2）如图，取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，此时最小， （3）设，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）如图，取点关于轴的对称点， 连接，交轴于点，连接，此时最小， 最小，即周长最小．则即为所求． （3）解：设 依题意，， ∴ 解得：或 ∴的坐标为：或． 故答案为：或． 9．（22-23八年级下·云南·期末）如图，在中，，平分，交于点D，，．    (1)求点D到直线的距离； (2)求线段的长． 【答案】(1)点D到的距离为1.5 (2)的长为3 【分析】（1）过点D作于点E，根据角平分线的性质，即可求解； （2）首先利用证明，得出，然后在中利用勾股定理求出，最后在中利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】（1）解：过点D作于点E，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴点D到的距离为1.5； （2）解∶在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， ∴在中，，， ∴， 解得：， ∴的长为3． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握和运用角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质是解决本题的关键． 已知两点坐标求两点距离 10．（12-13八年级下·云南红河·期末）在直角坐标系中，点P（2，－3）到原点的距离是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】试题分析：根据平面直角坐标系中点P（2，－3），利用勾股定理，即可求出点P到原点的距离． 解：∵在平面直角坐标系中，点P（2，－3） ∴点P到原点的距离 故选C. 考点：勾股定理，点的坐标 点评：勾股定理是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握. 11．（12-13八年级上·云南普洱·期末）点M（﹣3，4）离原点的距离是多少单位长度（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】根据勾股定理，即可求出点M离原点的距离. 【详解】点M（-3,4）离原点的距离是 故选C. 【点睛】本题考查了勾股定理及坐标与图形，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 12．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内且点，连接，在y轴上找一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P有 个．    【答案】4 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，两点间的距离公式，分类讨论是解决问题的关键．先求出，设点P的坐标为，表示出的长，根据是等腰三角形分三种情况进行讨论：①，②，③，根据每一种情况求出点P的坐标即可得出符合条件的点P的个数． 【详解】解：点， ， 点P在y轴上， 设点P的坐标为， ， 又是等腰三角形， 有三种情况： ①当时， 则， 整理得：， ， 由，解得， 此时点P与原点O重合，故不合题意，舍去， 由，解得：， 此时点P的坐标为； ②当时， 则， 解得：，或， 此时点P的坐标为或； ③当时， 则， 整理得：， 解得：， 此时点P的坐标为． 综上所述：符合条件的点P有4个，其坐标分别是或或或． 故答案为：4． 13．（20-21八年级下·云南西双版纳·期末）如图，已知P是平面直角坐标系中的一点，其坐标为(6，8)，则点P到原点的距离是 ． 【答案】10 【分析】根据题意和图形，利用勾股定理，可以计算出点P到原点的距离． 【详解】解：∵P是平面直角坐标系中的一点，其坐标为（6，8）， ∴点P到原点的距离是：＝10， 故答案为：10． 【点睛】此题利用直角坐标系中坐标点考查两点间的距离，涉及勾股定理． 14．（2014·吉林·云南模拟）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为 ． 【答案】（﹣1，0） 【分析】根据勾股定理求出AB的长，由AB=AC即可求出C点坐标． 【详解】解：∵A(4，0)，B(0，3)， ∴OA=4，OB=3， ∴AB==5 ∴AC=5， ∴点C的横坐标为：4-5=-1，纵坐标为：0， ∴点C的坐标为(-1，0). 故答案为(-1，0). 【点睛】本题考查了勾股定理和坐标与图形性质的应用， 解此题的关键是求出的长， 注意： 在直角三角形中， 两直角边的平方和等于斜边的平方 ． 勾股树(数)问题 15．（22-23八年级上·云南文山·期末）下面三组数中是勾股数的一组是（   ） A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．9，16，25 D．18，24，30 【答案】D 【分析】本题考查勾股数，判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证较小两数的平方和是否等于最大数的平方．解题的关键是掌握勾股数的定义． 【详解】解：A、1.5和2.5不是正整数，是小数，故选项不符合题意； B、 ，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意． 故选：D． 16．（23-24八年级上·江西抚州·期中）下列各组数据为勾股数的是（    ） A．，， B．2，3，4 C．1，， D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，解题的关键是根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数进行判断． 【详解】解：A、，，不是正整数，则不是勾股数，故不合题意； B、，故不是勾股数，不合题意； C、1，，不是正整数，则不是勾股数，故不合题意； D、，故为勾股数，符合题意； 故选：D． 17．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（    ） a b c 3 4 5 8 6 10 15 8 17 24 10 26 … … … x 14 y A．67 B．34 C．98 D．73 【答案】C 【分析】依据每列数的规律，即可得到，，，进而得出的值． 【详解】解：由题可得，，，， ，，，（且n为正整数） 当时， 解得：， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数． 18．（22-23八年级下·云南·期末）生活处处有数学：在五一出游时，小明在沙滩上捡到一个美丽的海螺，经仔细观察海螺的花纹后画出如图所示的蝶旋线，该螺旋线由一系列直角三角形组成，请推断第n个三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理分别求出、，根据三角形的面积公式分别求出第一个、第二个、第三个三角形的面积，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：第1个三角形的面积， 由勾股定理得，， 则第2个三角形的面积， ， 则第3个三角形的面积， 则第个三角形的面积， 故选． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 19．（22-23八年级下·云南·单元测试）如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C，D的边长分别是6，8，3，4，则最大正方形E的面积是 ． 【答案】125 【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积． 【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知 SE=SF+SG =SA+SB+SC+SD =62+82+32+42 =125 故答案为：125． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟悉勾股定理的几何意义． 20．（22-23八年级下·云南昆明·期末）（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么，，（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么，，（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】（1），，（k是正整数）是一组勾股数，理由见解析；（2），，（k是正整数）是一组勾股数，理由见解析 【分析】（1）计算，，是否满足即可解答； （2）计算，，是否满足即可解答． 【详解】（1）解：，，（k是正整数）是一组勾股数，理由如下： ∵k是正整数， ∴，，都是正整数， ∵， ∴，，（k是正整数）是一组勾股数； （2）解：，，（k是正整数）是一组勾股数，理由如下： ∵a，b，c是一组勾股数，且k是正整数， ∴，，是三个正整数， ∵， ∴， ∴，，（k是正整数）是一组勾股数． 【点睛】本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和等于最长边的平方． 以直角三角形三边为边长的图形面积 21．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为6和9，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．15 D．20 【答案】C 【分析】先根据AAS证明，由此得，在中，根据勾股定理可得，等量代换可得，即可求出b的面积． 【详解】 如图，中， ． ， ， ． 又， ， ． ， ， ， 即． 故选：C 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和勾股定理，证明是解题的关键． 22．（21-22八年级上·昆明·期中）如图，在四边形中，，分别以四边为边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，依此即可求解． 【详解】解：连接， 由勾股定理得， ∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系． 23．（22-23八年级下·云南曲靖·期末）已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是(   ) A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1 【答案】A 【分析】连续使用勾股定理求直角边和斜边，然后再求面积，观察发现规律，即可正确作答. 【详解】解：∵△ABC是边长为1的等腰直角三角形 ， ∴ ∴第n个等腰直角三角形的面积是 ， 故答案为A. 【点睛】本题的难点是运用勾股定理求直角三角形的直角边，同时观察、发现也是解答本题的关键. 24．（23-24八年级上·云南文山·期末）如图，以的三边为直径分别向外作半圆，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，先分别表示出，再结合勾股定理即可求解，正确表示出半圆的面积是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 25．（21-22八年级下·云南德宏·期末）如图，以直角三角形三边为边长向外作正方形A，B，C，其中正方形A，B的面积分别是9，16，则正方形C的面积是 ．    【答案】25 【分析】根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵A、B、C均为正方形， ∴， ∵已知的三角形为直角三角形， ∴， 故答案为：25．    【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 26．（21-22八年级下·云南昆明·期末）勾股定理是中国几何的根源，中华数学的精髓，诸如开方术、方程术、天元术等技艺的诞生与发展，寻根探源，都与勾股定理有着密切关系，在一次数学活动中，数学小组发现如下图形：在中，，图中以AC、BC、AB为边的四边形都是正方形，并且经测量得到三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为 ． 【答案】625 【分析】由勾股定理得，直接代入计算即可． 【详解】在△ABC中，， 由勾股定理得， ∴225+400=S， ∴S=625， 故答案为：625． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． 勾股定理与网格问题 27．（2024·云南·模拟）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可． 【详解】解：由勾股定理得：AC＝＝， ∵S△ABC＝3×3﹣＝， ∴， ∴， ∴BD＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键． 28．（23-24七年级上·昆明·期中）如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，按图中方式画圆弧交数轴于点A，则点A表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，根据勾股定理求出圆弧的半径即正方形的边长，再结合数轴得到点A表示的数． 【详解】解：圆弧的半径为， ∴A点表示数． 故答案为：． 29．（23-24八年级上·云南文山·期末）如图，在所给正方形网格（小正方形的边长都是 1） 图中完成下列各题． (1)画出格点 关于直线对称的图形 ； (2)判断 的形状，并说明理由． 【答案】(1)作图见解析 (2)等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查对称作图及等腰三角形定义，掌握网格中对称点作图方法、网格中利用勾股定理求线段长是解决问题的关键． （1）根据对称性，作出的顶点关于线对称的点，连接线段即可得到； （2）在网格中，利用勾股定理求出的三边长，根据等腰三角形定义即可确定答案． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）解：是等腰三角形， 理由如下：如图所示： ；；； ， 是等腰直角三角形． 30．（23-24八年级上·云南文山·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长都是1，和 关于直线对称． (1)请在图中把和补充完整； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题主要考查了补画轴对称图形，勾股定理： （1）根据轴对称图形的特点进行作图即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，和即为所求； （2）解：由网格的特点和勾股定理可得． 勾股定理与折叠问题 31．（21-22八年级下·云南昆明·期末）如图，将矩形ABCD沿直线DE折叠，顶点A落在BC边上F处，已知，，则BF的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由折叠的性质得到，，根据勾股定理求出BF的长即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知：，， 在中，，， 由勾股定理可得：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和折叠的性质，理解折叠的性质是解答关键． 32．（22-23八年级下·云南迪庆·期末）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，D为BC边上的一点，现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（ ） A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm 【答案】C 【分析】首先由勾股定理求得AB=10，然后由翻折的性质求得BE=4，设DC=，则BD=，在△BDE中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】在Rt△ABC中，由勾股定理可知： AB=， 由折叠的性质可知：DC=DE，AC=AE=6，∠DEA=∠C=90°， ∴BE=AB-AE=10-6=4，∠DEB=90°， 设DC=x，则BD=8-x，DE=x， 在Rt△BED中，由勾股定理得：BE2+DE2=BD2， 即42+x2=(8-x)2， 解得：x=3， ∴CD=3． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解决问题的关键． 33．（23-24八年级上·昆明·期中）如图长方形中，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则△的面积为（    ） A．6 B． C． D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，通过平行线的性质和折叠的性质证明，得到，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，则． 【详解】解：由折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选B． 34．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，在中，，点D为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．由勾股定理求出，由折叠的性质得出，，得出，设则在中，由勾股定理得出方程，可求长，由勾股定理可求的长． 【详解】解：由折叠可知：，， 在中，由勾股定理得： ∴ 设则 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 35．（22-23八年级上·曲靖·期中）如图，中，，将折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 ． 【答案】4 【分析】设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设，由折叠的性质可得， 是的中点， ， 在中，， 解得． 故线段的长为4． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合运用以上知识是解题的关键． 36．（22-23八年级下·普洱·期中）如图，在中，，，，D为上的一点，将沿折叠，使点C恰好落在上的点E处，求的长． 【答案】 【分析】首先根据勾股定理求出，然后根据折叠的性质和勾股定理列方程求解即可． 【详解】∵，，， ∴， ∵将沿折叠，使点C恰好落在上的点E处， ∴，，， ∴， ∴设，则， ∴在，，即， ∴解得：， ∴． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，此类题目熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． 37．（22-23八年级下·云南文山·期末）如图，在长方形中，，在上存在一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上，设此点为，若的面积为30，求的长． 【答案】 【分析】利用△ABF的面积为30cm2，可得到BF=12，由勾股定理得，AF=13，由折叠的性质知，EF=DE，AD=AF=13，结合Rt△EFC中，由CF2+CE2=EF2设未知数列方程可求得EF的值． 【详解】解：由折叠可知，． 由，， 得． 在中，由勾股定理， 所以，． 设，则，， 在中，由勾股定理，得， 即，解得． 所以的长为． 【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握基本性质是解题的关键．熟知折叠属于轴对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 1．（22-23八年级下·河北邢台·期末）如图，钓鱼竿的长为m，露在水面上的鱼线长为m．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为m，则的长为（   ） A．m B．m C．m D． m 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是利用数形结合的思想并掌握勾股定理． 根据勾股定理进行计算即可得． 【详解】解∶ 在中，m，m， 根据勾股定理得， m 在中，m，m， 根据勾股定理得， m， ∴ m， 故选∶A． 2．（22-23八年级下·辽宁抚顺·期末）在中，，，是的中点，则的面积为（    ） A．12 B．24 C．10 D．20 【答案】A 【分析】如图，过作于证明再利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：如图，过作于 ，    ∴ ∴ 故选A． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，证明是解本题的关键． 3．（22-23八年级上·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】点到轴的距离为，到轴的距离为，然后根据勾股定理，计算到原点的距离为． 【详解】解：点到原点的距离为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了点的坐标意义、勾股定理，利用勾股定理计算点到原点的距离是解题关键． 4．（22-23八年级上·陕西咸阳·期末）下列各组数，是勾股数的一组是（     ） A．8，15，17 B．13，14，15 C．3，5， D．1，， 【答案】A 【分析】根据勾股数的定义：满足的一组正整数，进行判断即可． 【详解】解：A、，且8，15，17为正整数，是勾股数，符合题意； B、，不是勾股数，不符合题意； C、不是整数，不符合题意； D、，是分数，不是整数，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查勾股数．熟练掌握勾股数的定义，是解题的关键． 5．（22-23八年级上·四川成都·期末）下列命题中，假命题是（    ） A．实数和数轴上的点是一一对应的 B．，，是一组勾股数 C．有公共顶点且相等的两个角是对顶角 D．函数中自变量x的取值范围是 【答案】C 【分析】分别根据实数与数轴上点的对应关系、勾股数的定义、对顶角的定义以及二次根式的被开方数为非负数，结合命题真假的判断方法进行逐项判断即可． 【详解】解：A、实数和数轴上的点是一一对应的是正确的，是真命题，不符合题意； B、∵，∴，又a、b、c为正整数，∴，，是一组勾股数，是真命题，不符合题意； C、有公共顶点且相等的两个角不一定是对顶角，故此选项是假命题，符合题意； D、函数中自变量x的取值范围是，是真命题，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查判断命题的真假，涉及了实数与数轴上点的对应关系、勾股数、对顶角以及二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的数学知识和定理是解答的关键． 6．（22-23八年级下·湖南益阳·期末）如图，以直角三角形的各边为一边，在直角三角形的外侧作正方形，若正方形A、B的面积分别为9、25，则原直角三角形的面积为（    ）    A．4 B．6 C．12 D．16 【答案】B 【分析】先根据正方形面积公式求出的长，再利用勾股定理求出的长，最后利用三角形面积公式，即可求出原直角三角形的面积． 【详解】解：如图，直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为， 正方形A、B的面积分别为9、25， ，， 、是正数， ，， 由勾股定理得：， 原直角三角形的面积为， 故选：B．    【点睛】本题考查了正方形面积公式，勾股定理，直角三角形面积公式解题关键是掌握直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 7．（22-23八年级下·河北承德·期末）如图：网格中每个正方形边长为1，表示长的线段是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出每条线段的长，再进行判断即可． 【详解】解：由勾股定理得， ， ， ， 表示应为线段． 故选：B． 【点睛】本题考查在网格中表示无理数的长，掌握勾股定理求线段的长是解题关键． 8．（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在边长为4的等边中，点P为边上任意一点，于点B，于点F，则的长 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形面积的计算方法、勾股定理等知识，通过作辅助线，根据三角形面积相等得出是解题的关键．连接，作交于点，由得，再根据等边三角形的性质以及勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，作交于点，    则， 即， 为等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 9．（22-23八年级上·浙江湖州·期末）如图，是直角三角形，，分别以、为边向两侧作正方形．若两个正方形的面积之和为，即，则 ．    【答案】6 【分析】根据勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6； 【点睛】本题考查勾股定：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 10．（20-21八年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是 ． 【答案】 【分析】直接根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：∵点P的坐标为， ∴它到原点的距离． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 11．（22-23八年级下·甘肃陇南·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别足、、、，则正方形的边长是 ．    【答案】 【分析】标记正方形、，分别设正方形、、的边长为、、，由勾股定理得出，，，代入计算出，即最大正方形的面积为． 【详解】解：如下图，标记正方形、，分别设正方形、、的边长为、、，    则由勾股定理得：，，， 即最大正方形的面积为：， 则最大正方形E的边长为 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 12．（21-22八年级下·浙江台州·期末）如图，在Rt△ABC中，，分别以AB，BC，AC为边向上作正方形，其中阴影部分面积之和为8，则四边形EDAF的面积为 ． 【答案】4 【分析】由勾股定理可得，即，可得，然后证明△DBC≌△FEB，求出即可解决问题． 【详解】解：如图， ∵在Rt△ABC中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴∠ABC＋∠ACB＝90°， ∵∠EBC＝∠EBF＋∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝∠EBF，即∠DCB＝∠FBE， 又∵BC＝EB，∠DBC＝∠E， ∴△DBC≌△FEB（ASA）， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，证明△DBC≌△FEB，求出是解题的关键． 13．（23-24八年级上·全国·期末）在如图的网格中，每个小正方形的边长均为1，三个正方形A、B、C的面积分别用、、表示，则图中， ， ， ．请写出、、之间的关系式： ． 【答案】 2 3 25 【分析】本题考查了正方形的面积以及勾股定理的运用，难度较小，正确掌握勾股定理是解题的关键．根据网格特征以及勾股定理进行求解，即可作答． 【详解】解：依题意，，， ∵在如图的网格中，每个小正方形的边长均为1， ∴根据勾股定理，得正方形C的边长为， ∴， ∵正方形A的面积为，正方形B的面积为，， ∴， 故答案为：2，3，25，． 14．（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的长为 ．    【答案】 【分析】此题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是掌握翻折前后对应线段相等，另外要熟练运用勾股定理解直角三角形． 【详解】解：根据折叠可知，， 设，则， 在中，，即， 解得：． ∴的长为． 故答案为：． 15．（22-23八年级下·浙江台州·期末）如图，池塘边有两点A，B，点C是与方向成直角的方向上一点，测得．求A，B两点间的距离．    【答案】A，B两点间的距离是 【分析】直接由勾股定理求出AB的长即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴， 答：A，B两点间的距离是． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理求出的长． 16．（22-23八年级下·山西忻州·期末）阅读与思考 阅读下列材料并完成相应的任务． 我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在课本中我们已经了解到“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”． 以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法： 方法1：若m为奇数，则，和是勾股数． 方法2：若任取两个正整数m和，则，，是勾股数． 任务： (1)在以上两种方法中任选一种，证明以a，b，c为边长的是直角三角形． (2)学校园林设计师按照如图所示的方式摆放兰花，已知这四个直角三角形全等，且直角三角形的三边是勾股数，较短的直角边长为，要求在每个直角三角形的三个顶点处需要摆放一盆兰花，每个直角三角形的三条边间隔1米摆放一盆兰花，请你计算出总共需要的兰花数量．    【答案】(1)见解析 (2)总共需要兰花盆 【分析】（1）方法一：，得，，进行计算得，即可得；方法二：先求出a、b、c的平方，即可作答， （2）根据这四个直角三角形全等，且直角三角形的三边是勾股数，较短的直角边长为得角三角形的三边长为，则方形的边长为，正方形的边长为，根据个直角三角形的三个顶点处需要摆放一盆兰花，每个直角三角形的三条边间隔1米摆放一盆兰花，即可得正方形上摆放兰花的盆数，方形上摆放兰花的盆数，即可得 【详解】（1）解：方法一：∵， ， ∴，， ， ∴a，b，c为边长的是直角三角形； 方法二：∵，，， ∴，，， ∴， ∴a，b，c为边长的是直角三角形； （2）解：∵这四个直角三角形全等，且直角三角形的三边是勾股数，较短的直角边长为， ∴直角三角形的三边长为， ∴正方形的边长为：， 正方形的边长为：， ∵在每个直角三角形的三个顶点处需要摆放一盆兰花，每个直角三角形的三条边间隔1米摆放一盆兰花， ∴正方形上摆放兰花的盆数为：（盆）， 正方形上摆放兰花的盆数为：（盆）， ∴总共需要的兰花数量为：（盆）， 答：总共需要兰花盆． 【点睛】本题考查了勾股数的应用，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 17．（22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点（网格线的交点）上，求点到边的距离．    【答案】 【分析】根据图形和三角形的面积公式求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：设边上的高为， ∵，， ∴， ∴， ∴点到边的距离为． 【点睛】此题考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求出的长及等面积法的应用． 18．（22-23八年级上·河南南阳·期末）把一长方形纸片按图所示折叠，使顶点B与点D重合，折痕为，若，，重叠部分的面积为多少？    【答案】 【分析】根据折叠的性质可得，，，设，根据勾股定理解，求出，再利用三角形面积公式求解． 【详解】解：四边形是长方形，，， ，， 由折叠可知，，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ， ， 即重叠部分的面积为． 【点睛】本题考查折叠问题，勾股定理，解题的关键是掌握折叠的性质，即折叠前后对应边相等，对应角相等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$