专题06 一元一次不等式（九大题型）-【好题汇编】备战2023-2024学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（苏科版）

专题06 一元一次不等式 不等式的解集 1．（2023春•南通期末）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是 　． 2．（2023春•建邺区期末）若a＜1，则﹣2a+3的取值范围为 　 　． 3．（2023春•鼓楼区期末）已知不等式组 （1）当k时，写出它的解集； （2）当k时，写出它的解集； （3）当k＝3时，写出它的解集； （4）由（1）（2）（3）当k的值发生变化时，原不等式组的解集也发生变化，试根据k值的变化情况，写出原不等式组的解集． 在数轴上表示不等式的解集 1．（2023春•清江浦区期末）不等式x＞2的解集，下列表示正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023春•宿城区期末）如图，该数轴表示的不等式的解集为 　． 3．（2023春•高新区期末）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 4．（2023春•宝应县期末）整式的值为P． （1）当m＝2时，求P的值； （2）若P的取值范围如图所示，求m的非正整数值． 不等式的性质 1．（2023春•沛县期末）若a＞b，则下列式子正确的是（　　） A．﹣2a＜﹣2b B．a﹣b＜0 C． D．a﹣1＜b﹣1 2．（2023春•常州期末）若﹣3a＞1，两边都除以﹣3，得（　　） A． B． C．a＜﹣3 D．a＞﹣3 3．（2023春•宿豫区期末）已知x＜y，下列运用不等式的性质变形不正确的是（　　） A．x﹣2＜y﹣2 B．x+1＜y+1 C．﹣2x＜﹣2y D． 4．（2023春•句容市期末）如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是 （　　） A．﹣3a＞﹣3b B．a+3＞b+3 C． D．a﹣d＞b﹣d 解一元一次不等式 1．（2023春•丹阳市校级期末）不等式3x﹣1＞2x的解集在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 2．（2023春•秦淮区期末）不等式2x≥﹣2的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023春•丹徒区期末）关于x的不等式ax+b＞c的解集为x＜4，则关于x的不等式a（x﹣3）+b＞c的解集是 　 　． 4．（2023春•泗洪县期末）解不等式并把它的解集在数轴上表示出来． 一元一次不等式的整数解 1．（2023春•海安市期末）若x＝3是关于x的不等式3x﹣m≥2x+3的一个整数解，而x＝2不是其整数解，则m的取值范围为（　　） A．﹣1＜m＜0 B．﹣1≤m≤0 C．﹣1＜m≤0 D．﹣1≤m＜0 2．（2023春•句容市期末）若实数3是不等式2m＜﹣3的一个解，则m可取的最大整数是（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．3 3．（2023春•南京期末）若关于x的一元一次不等式x+1≤m只有1个正整数解，则m的取值范围是 　　． 4．（2023春•海门市期末）解不等式，并写出所有的非负整数解． 用一元一次不等式解决问题 1．（2023春•溧阳市期末）某种服装的进价为200元，出售时标价为300元，由于换季，商店准备打折销售，但要保持利润不低于20%，那么至多打（　　） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 2．（2022秋•苏州期末）“x的2倍与6的差是正数”，用不等式表示为 　 　． 3．（2023春•淮安期末）端午佳节来临之际，某社区决定购买鲜肉粽和蜜枣粽共200只慰问社区困难家庭，超市里鲜肉粽每只5.5元，蜜枣粽每只3.5元，如果预算资金不超过1000元，请问最多能购买鲜肉粽多少只？ 4．（2023春•睢宁县期末）为了节能减排，我区某校准备购买某种品牌的节能灯，已知4只A型节能灯和5只B型节能灯共需55元，2只A型节能灯和1只B型节能灯共需17元． （1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？ （2）学校准备购买这两种型号的节能灯共300只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 解一元一次不等式组 1．（2023春•海州区期末）下列用数轴表示不等式组的解集正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023春•溧阳市期末）若不等式组有解，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣2 B．m＜1 C．﹣2＜m＜1 D．﹣2＜m≤1 3．（2023春•江都区期末）若不等式组的解集为x＜5，则m的取值范围为（　　） A．m＜4 B．m≤4 C．m＞4 D．m≥4 4．（2023春•南通期末）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程，若方程12﹣x＝x，11+x＝3x+1都是关于x的不等式组的相伴方程，则m的取值范围为 　 　． 一元一次不等式组的整数解 1．（2023春•通州区期末）已知关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是（　　） A．﹣3＜a≤﹣2 B．﹣3＜a＜﹣2 C．﹣3≤a＜﹣2 D．﹣3≤a≤﹣2 2．（2023春•无锡期末）关于x的不等式2＜2x﹣m＜8的所有整数解的和为0，则m的取值范围是（　　） A．﹣6＜m＜﹣4 B．﹣6≤m≤﹣4 C．﹣8＜m≤﹣6 D．﹣4＜m＜﹣2 3．（2023春•南通期末）对x，y定义一种新的运算G，规定G（x，y），若关于正数x的不等式组恰好有4个整数解，则m的取值范围是（　　） A．9≤m＜10 B．10≤m＜11 C．9＜m≤10 D．10≤m≤11 4．（2023春•秦淮区期末）解不等式组，并写出它的整数解． 一元一次不等式组的应用 1．（2023春•泰州期末）某校将若干间宿舍分配给七年级（1）班女生住宿，已知该班女生少于30人，若每个房间住4人，则剩下6人没处住：若每个房间住7人，则空一间房，且有一间住不满，那么该班有 　 　名女生． 2．（2023春•广陵区校级期末）如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，若运算进行了2次才停止，则x的取值范围是 　　． 3．（2023春•亭湖区校级期末）我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗2棵，需要900元；购买A种树苗5棵，B种树苗4棵，需要700元． （1）求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？ （2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于32棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过5750元，若购进这两种树苗共80棵，则有哪几种购买方案？ 4．（2023春•宿迁期末）端午节期间，某商场打算购入A，B两种粽子礼盒共100件，A种粽子礼盒的进价为每件22元，B种粽子礼盒的进价为每件15元．在销售过程中，顾客甲买3件A和1件B共付款150元，顾客乙买1件A和2件B共付款100元． （1）请问A，B两种粽子礼盒的售价各是多少？ （2）若该商店计划A，B两种礼盒的进货总投入不超过1755元，且全部销售完后总利润不低于1600元，则购进A，B两种礼盒时，共有哪几种进货方案． 一．选择题（共10小题） 1．（2023春•启东市期末）一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组的解集为（　　） A．﹣1≤x＜2 B．﹣1＜x＜2 C．﹣1＜x≤2 D．无解 2．（2023春•溧阳市期末）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　） A．2a＜2b B．a2＞b2 C．a+3＞b+3 D． 3．（2023春•海州区期末）已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的是（　　） A．a＞b B．﹣a＞﹣b C．a+2＞b+2 D．2a＞2b 4．（2023春•沭阳县期末）如果不等式组有且仅有3个整数解．那么m的取值范围是（　　） A．4≤m≤5 B．4≤m＜5 C．4＜m＜5 D．4＜m≤5 5．（2023春•涟水县期末）若关于x、y的方程组的解满足x﹣y＞0，则k的取值范围是（　　） A．k＜﹣2 B．k＞﹣2 C．k＜2 D．k＞2 6．（2023春•南通期末）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y≤0，则m的取值范围是（　　） A．m≤2 B．m＜2 C．m＞2 D．m≥2 7．（2023春•海州区期末）若定义一种新的取整符号[]，即[x]表示不超过x的最大整数．例如：[2.3]＝2，[﹣1.6]＝﹣2，则下列结论正确个数是（　　） ①[﹣2.1]+[0.1]＝﹣3； ②[x]+[﹣x]＝0； ③方程的解有无数多个； ④若[x+1]＝4，则x的取值范围是3≤x＜4． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2023春•海州区期末）某矿泉水每瓶售价2元，现甲、乙两家商场给出优惠政策：甲商场全部9折，乙商场20瓶以上的部分8折．老师要小明去买一些矿泉水，小明想了想觉得到乙商场购买比较优惠．则小明需要购买的矿泉水的数量x（瓶）的取值范围是（　　） A．x＞30 B．x＞40 C．x＞50 D．x＞60 9．（2023春•宿迁期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣1，则m的取值范围是（　　） A．3＜m≤5 B．1＜m≤3 C．1＜m≤5 D．1≤m＜5 10．（2023春•沭阳县期末）如图，在数轴上表示不等式3x﹣6＞0的解集，正确的是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共10小题） 11．（2023春•丹阳市校级期末）某市某天的最高气温是6℃，最低气温是﹣2℃，则当天该市气温t（℃）的变化范围用不等式表示为 　 　． 12．（2023春•沭阳县期末）不等式2x＞3x﹣5的解集是 　 　． 13．（2022秋•姜堰区期末）某市出租车的收费标准：不超过3千米计费7元；若超过3千米，则超过3千米的部分按2.4元/千米计费（不满1千米按1千米计算）．甲在一次乘出租车出行中付费19元，设出租车行驶的里程为x千米，则x的取值范围是 　 　． 14．（2023春•丹徒区期末）已知x＝4﹣y，若﹣2≤x≤﹣1，则y的取值范围是 　 　． 15．（2023春•海门市期末）如图，这是李强同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个x值“到判断“结果是否≥15为一次运行过程，如果程序运行两次就停止，那么x的取值范围是 　 　． 16．（2023春•徐州期末）若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是　 　． 17．（2023春•高邮市期末）若x＝﹣5不是不等式组的解，则m的取值范围是 　 　． 18．（2023春•兴化市期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是22，则m的取值范围是 　 　． 19．（2023春•邗江区校级期末）“x的3倍与1的和大于4”用不等式表示为：　 　． 20．（2023春•丹徒区期末）不等式的正整数解是 　 　． 三．解答题（共10小题） 21．（2023春•建邺区校级期末）解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 22．（2023春•泰兴市期末）解下列一元一次不等式（组）： （1）3（x﹣1）＜x+7，并把它的解集在数轴上表示出来； （2）． 23．（2023春•高邮市期末）已知代数式8m2和m4+16． （1）比较8m2与m4+4的大小（用等号或不等号填空）． ①当m＝0时，计算得：8m2　 　m4+16； ②当m＝﹣1时，计算得：8m2　 　m4+16； ③当m＝2时，计算得：8m2　 　m4+16； （2）根据（1）的计算结果猜想8m2和m4+16的大小关系，并说明理由． 24．（2023春•启东市期末）科技改变世界，随着电子商务的高速发展，快递分拣机器人应运而生．某快递公司启用A种机器人80台、B种机器人100台，1小时共可以分拣8200件包裹，启用A、B两种机器人各50台，1小时共可以分拣4500件包裹． （1）求A、B两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹． （2）为了进一步提高效率，快递公司计划再购进A、B两种机器人共200台，若要保证新购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于9000件，求最多应购进A种机器人多少台？ 25．（2023春•涟水县期末）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，其中苹果和梨的批发价格与零售价格如表： 品种 苹果 梨 批发价（元/kg） 4 3.5 零售价（元/kg） 6 5 （1）若该经营户批发苹果和梨共500kg，用去了1900元．求该经营户批发苹果和梨各多少kg？ （2）若该经营户批发苹果和梨共400kg，假设苹果和梨可以全部售完，该经营户要想利润不少于675元，则至少批发苹果多少kg？（损耗和其他成本忽略不计） 26．（2023春•淮安区校级期末）阅读材料： 如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作[x]． 例如，[3.2]＝3，[5]＝5，[﹣2.1]＝﹣3． 那么，x＝[x]+a，其中0≤a＜1． 例如，3.2＝[3.2]+0.2，5＝[5]+0，﹣2.1＝[﹣2.1]+0.9． 请你解决下列问题： （1）[4.8]＝　 　，[﹣6.5]＝　 　； （2）如果[x]＝3，那么x的取值范围是 　 　； （3）如果[3.5x﹣2]＝2x+1，求x的值； （4）如果x＝[x]+a，其中0≤a＜1，且2a＝[x]﹣1，直接写出x的值． 27．（2023春•南京期末）某校计划购买A型和B型两种笔记本作为奖品发放给学生，若购买A型笔记本5本，B型笔记本8本，共需80元；若购买A型笔记本15本，B型笔记本4本，共需140元． （1）A型和B型笔记本每本的价格分别是多少元？ （2）该校计划购买A型和B型两种笔记本共80本，费用不超过500元，A型笔记本最多买多少本？ 28．（2023春•常熟市期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”．如：一元一次方程x+1＝2的解为x＝1，而一元一次不等式2x﹣3＜x的解集为x＜3，不难发现x＝1在x＜3范围内，则一元一次方程x+1＝2是一元一次不等式2x﹣3＜x的“伴随方程”． （1）在①﹣3（x+1）＝9，②2x+3＝5，③，三个一元一次方程中，是一元一次不等式3（1+x）＞x﹣4的“伴随方程”的有 　 　（填序号）； （2）若关于x的一元一次方程3x﹣a＝2是关于x一元一次不等式3（a+x）≥4a+x的“伴随方程”，且一元一次方程不是关于x的一元一次不等式的“伴随方程”． ①求a的取值范围； ②直接写出代数式|a|+|a﹣3|的最大值． 29．（2023春•兴化市期末）某景区对基础设施提档升级，计划购置一批A型和B型器材．购买1套A型器材比购买1套B型器材多50元：购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元． （1）购买1套A型器材和1套B型器材各需多少元？ （2）根据景区的实际情况，需购买A、B型器材的总数为50套，购买A、B型器材的总费用不超过14500元． ①请问A型器材最多购买多少套？ ②从游客的实际需要出发，其中A型器材购买的数量不少于B型器材数量的3倍，该景区共有几种购买方案？试写出所有的购买方案． 30．（2023春•盱眙县期末）（1）观察发现：材料：解方程组，将①整体代入②，得3×4+y＝14，解得y＝2，y＝2代入①，得x＝2，所以，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请直接写出方程组的解为 　 　； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组； （3）若x2﹣2y＝1，求3x2﹣6y﹣5的值； （4）拓展运用：若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞﹣1，请直接写出满足条件的m的所有正整数值 　 　． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一元一次不等式 不等式的解集 1．（2023春•南通期末）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是 　． 【分析】根据不等式组的解集的定义可知，不等式组中两个不等式的解集没有公共部分，进而得出m的取值范围． 【解答】解：关于x的不等式组无解，也就是两个不等式解集没有公共部分， 即x≤2，x＞m没有公共部分， ∴m≥2， 故答案为：m≥2． 【点评】本题考查不等式的解集，解题的关键是理解不等式组解集的定义． 2．（2023春•建邺区期末）若a＜1，则﹣2a+3的取值范围为 　 　． 【分析】根据不等式的性质解答即可． 【解答】解：∵a＜1， ∴﹣2a＞﹣2， ∴﹣2a+3＞1， 故答案为：﹣2a+3＞1． 【点评】此题考查的是不等式的性质及解集，掌握不等式的基本性质是解决此题的关键． 3．（2023春•鼓楼区期末）已知不等式组 （1）当k时，写出它的解集； （2）当k时，写出它的解集； （3）当k＝3时，写出它的解集； （4）由（1）（2）（3）当k的值发生变化时，原不等式组的解集也发生变化，试根据k值的变化情况，写出原不等式组的解集． 【分析】（1）当k时，根据同小取小易得其解集为﹣1＜x＜1； （2）当k时，根据同小取小易得其解集为﹣1＜x； （3）当k＝3时，x＞﹣1且x＜﹣2，根据大于大的小于小的无解即可得到无解； （4）比较1﹣k与﹣1和1的大小关系，讨论k的取值范围，可得到当k≤0时，不等式组的解集为﹣1＜x＜1；②当0＜k＜2时，不等式组的解集为﹣1＜x＜1﹣k；③当k≥2时，不等式组无解． 【解答】解：（1）当k时，不等式解集为﹣1＜x＜1； （2）当k时，不等式解集为﹣1＜x； （3）当k＝3时，不等式无解； （4）①当k≤0时，不等式组的解集为﹣1＜x＜1； ②当0＜k＜2时，不等式组的解集为﹣1＜x＜1﹣k； ③当k≥2时，不等式组无解． 【点评】本题考查了不等式组的解集．解题的关键的掌握求不等式组的解集的方法：先求出各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集． 在数轴上表示不等式的解集 1．（2023春•清江浦区期末）不等式x＞2的解集，下列表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把不等式x＞2的解集在数轴上表示出来即可． 【解答】解：不等式x＞2的解集在数轴上表示为： 故选：C． 【点评】本题考查数轴表示不等式的解集，掌握在数轴上表示不等式解集的方法是正确解答的关键． 2．（2023春•宿城区期末）如图，该数轴表示的不等式的解集为 　． 【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法解答即可． 【解答】解：由图可知，数轴表示的不等式的解集为x≥1． 故答案为：x≥1． 【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解题的关键． 3．（2023春•高新区期末）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【分析】首先解两个不等式，然后确定不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可． 【解答】解：由①得，x＞3， 由②得，x≤4， 所以不等式组的解集为：3＜x≤4， 【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解决本题的关键是掌握点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点． 4．（2023春•宝应县期末）整式的值为P． （1）当m＝2时，求P的值； （2）若P的取值范围如图所示，求m的非正整数值． 【分析】（1）把m＝2代入代数式中进行计算便可； （2）根据数轴列出m的不等式进行解答便可． 【解答】解：（1）P＝3（2）＝3×（）＝﹣5， ∴P的值为﹣5； （2）由数轴知：P≤7， 即3（m）≤7， 解得m≥﹣2， m为非正整数， ∴m＝0，﹣1或﹣2． 【点评】本题考查了求代数式的值，解一元一次不等式的解集，不等式的解集的应用，第（2）题关键是根据数轴列出m的不等式． 不等式的性质 1．（2023春•沛县期末）若a＞b，则下列式子正确的是（　　） A．﹣2a＜﹣2b B．a﹣b＜0 C． D．a﹣1＜b﹣1 【分析】根据a＞b，应用不等式的基本性质，逐项判断即可． 【解答】解：∵a＞b，∴﹣2a＜﹣2b，∴选项A符合题意； ∵a＞b，∴a﹣b＞0，∴选项B不符合题意； ∵a＞b，∴，∴选项C不符合题意； ∵a＞b，∴a﹣1＞b﹣1，∴选项D不符合题意． 故选：A． 【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 2．（2023春•常州期末）若﹣3a＞1，两边都除以﹣3，得（　　） A． B． C．a＜﹣3 D．a＞﹣3 【分析】根据不等式的性质：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，求解即可． 【解答】解：﹣3a＞1，两边都除以﹣3， 得a， 故选：A． 【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 3．（2023春•宿豫区期末）已知x＜y，下列运用不等式的性质变形不正确的是（　　） A．x﹣2＜y﹣2 B．x+1＜y+1 C．﹣2x＜﹣2y D． 【分析】根据x＜y，应用不等式的基本性质，逐项判断即可． 【解答】解：∵x＜y， ∴x﹣2＜y﹣2， ∴选项A不符合题意； ∵x＜y， ∴x+1＜y+1， ∴选项B不符合题意； ∵x＜y， ∴﹣2x＞﹣2y， ∴选项C符合题意； ∵x＜y， ∴， ∴选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 4．（2023春•句容市期末）如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是 （　　） A．﹣3a＞﹣3b B．a+3＞b+3 C． D．a﹣d＞b﹣d 【分析】根据不等式的性质，进行计算逐一判断即可解答． 【解答】解：由题意得：a＜b， A、∵a＜b，∴﹣3a＞﹣3b，故A符合题意； B、∵a＜b，∴a+3＜b+3，故B不符合题意； C、∵a＜b，∴，故C不符合题意； D、∵a＜b，∴a﹣d＜b﹣d，故D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了不等式的性质，数轴，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 解一元一次不等式 1．（2023春•丹阳市校级期末）不等式3x﹣1＞2x的解集在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】解出不等式解集，表示在数轴上即可． 【解答】解：3x﹣1＞2x， ∴x＞1， 解集在数轴上表示为： 故选：A． 【点评】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式性质． 2．（2023春•秦淮区期末）不等式2x≥﹣2的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出不等式的解集，然后在数轴上表示即可． 【解答】解：2x≥﹣2 系数化为1得：x≥﹣1， 在数轴上表示为： 故选：C． 【点评】题目主要考查求不等式的解集及在数轴上表示，熟练掌握解集在数轴上的表示方法是解题关键． 3．（2023春•丹徒区期末）关于x的不等式ax+b＞c的解集为x＜4，则关于x的不等式a（x﹣3）+b＞c的解集是 　 　． 【分析】根据第一个不等式的解集，得出有关a，b，c的代数式的值，从而求出答案． 【解答】解：解法1：因为不等式ax+b＞c的解集为x＜4， 所以a＜0，且c﹣b＝4a， a（x﹣3）+b＞c可化为：x， 而7， ∴x＜7． 故答案为：x＜7． 【点评】本题考查了不等式的解法．根据不等式的性质解不等式是解题的关键． 4．（2023春•泗洪县期末）解不等式并把它的解集在数轴上表示出来． 【分析】不等式去括号、移项合并、系数化为1即可求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【解答】解：， 去分母，得2（2x+1）＞6﹣3（x+6）， 去括号，得4x+2＞6﹣3x﹣18， 移项，得4x+3x＞6﹣18﹣2， 合并同类项，得7x＞﹣14， 系数化为1，得x＞﹣2， 不等式的解集在数轴上表示为： ． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 一元一次不等式的整数解 1．（2023春•海安市期末）若x＝3是关于x的不等式3x﹣m≥2x+3的一个整数解，而x＝2不是其整数解，则m的取值范围为（　　） A．﹣1＜m＜0 B．﹣1≤m≤0 C．﹣1＜m≤0 D．﹣1≤m＜0 【分析】先解一元一次不等式，可得x≥3+m，然后根据已知可得2＜3+m≤3，最后进行计算即可解答． 【解答】解：3x﹣m≥2x+3， 3x﹣2x≥3+m， x≥3+m， ∵x＝3是关于x的不等式3x﹣m≥2x+3的一个整数解，而x＝2不是其整数解， ∴2＜3+m≤3， 解得：﹣1＜m≤0， 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 2．（2023春•句容市期末）若实数3是不等式2m＜﹣3的一个解，则m可取的最大整数是（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．3 【分析】根据实数3是不等式2m＜﹣3的一个解，可以求得m的取值范围，从而可以求得m可取的最大整数． 【解答】解：由不等式2m＜﹣3，得x＜﹣6m﹣9， ∵实数3是不等式2m＜﹣3的一个解， ∴﹣6m﹣9＞3， 解得m＜﹣2， ∴m可取的最大整数为﹣3， 故选：C． 【点评】本题考查一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 3．（2023春•南京期末）若关于x的一元一次不等式x+1≤m只有1个正整数解，则m的取值范围是 　　． 【分析】先解一元一次不等式可得x≤m﹣1，然后根据题意可得1≤m﹣1＜2，进行计算即可解答 【解答】解：x+1≤m， x≤m﹣1， ∵关于x的一元一次不等式x+1≤m只有1个正整数解， ∴1≤m﹣1＜2， ∴2≤m＜3， 故答案为：2≤m＜3． 【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．（2023春•海门市期末）解不等式，并写出所有的非负整数解． 【分析】不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，求出解集，确定出所有的非负整数解即可． 【解答】解：去分母得：16+3x﹣2＜24﹣2（x﹣1）， 去括号得：16+3x﹣2＜24﹣2x+2， 移项得：3x+2x＜24+2﹣16+2， 合并同类项得：5x＜12， 系数化为1得：x， 则不等式的所有非负整数解为0，1，2． 【点评】此题考查了一元一次不等式的整数解，以及解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 用一元一次不等式解决问题 1．（2023春•溧阳市期末）某种服装的进价为200元，出售时标价为300元，由于换季，商店准备打折销售，但要保持利润不低于20%，那么至多打（　　） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 【分析】设该服装打x折销售，根据利润＝售价﹣进价结合利润不低于20%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【解答】解：设该服装打x折销售， 依题意，得：300200≥200×20%， 解得：x≥8． 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 2．（2022秋•苏州期末）“x的2倍与6的差是正数”，用不等式表示为 　 　． 【分析】“x的2倍”即2x，“与6的差”即2x﹣6，根据正数即“＞0”可得答案． 【解答】解：“x的2倍与6的差是正数”用不等式表示为2x﹣6＞0， 故答案为：2x﹣6＞0． 【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等关系是解题关键． 3．（2023春•淮安期末）端午佳节来临之际，某社区决定购买鲜肉粽和蜜枣粽共200只慰问社区困难家庭，超市里鲜肉粽每只5.5元，蜜枣粽每只3.5元，如果预算资金不超过1000元，请问最多能购买鲜肉粽多少只？ 【分析】设购买鲜肉粽x只，由题意列不等式求得x的取值范围即可求解． 【解答】解：设购买鲜肉粽x只，由题意得， 5.5x+3.5（200﹣x）≤1000， 解得x≤150， ∵x为整数， ∴x的最大值为150， 答：最多能购买鲜肉粽150只． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到不等关系． 4．（2023春•睢宁县期末）为了节能减排，我区某校准备购买某种品牌的节能灯，已知4只A型节能灯和5只B型节能灯共需55元，2只A型节能灯和1只B型节能灯共需17元． （1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？ （2）学校准备购买这两种型号的节能灯共300只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【分析】（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）根据题意可以得到费用与购买A型号节能灯的关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题． 【解答】解：（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元， 根据题意得：， 解得， 答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元； （2）设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯（300﹣a）只，费用为w元， w＝5a+7（300﹣a）＝﹣2a+2100， ∵a≤2（300﹣a）， ∴a≤200， ∴当a＝200时，w取得最小值，此时w＝1700，300﹣a＝100， 答：当购买A型号节能灯200只，B型号节能灯100只时最省钱． 【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 解一元一次不等式组 1．（2023春•海州区期末）下列用数轴表示不等式组的解集正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】选项A根据“同大取大”判断即可； 选项B根据“同小取小”判断即可； 选项C根据“大小小大中间找”，包含实心圆点2，不包含空心圆点1； 选项D根据“大小小大中间找”，包含实心圆点1，不包含空心圆点2． 【解答】解：A、不等式组的解集为x≥2，故本选项不合题意； B、不等式组的解集为x＜1，故本选项不合题意； C、不等式组的解集为1＜x≤2，故本选项符合题意； D、不等式组的解集为1≤x＜2，故本选项不合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 2．（2023春•溧阳市期末）若不等式组有解，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣2 B．m＜1 C．﹣2＜m＜1 D．﹣2＜m≤1 【分析】根据“大小小大中间找”可得答案． 【解答】解：因为不等式组有解， 所以m＞﹣2． 故选：A． 【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 3．（2023春•江都区期末）若不等式组的解集为x＜5，则m的取值范围为（　　） A．m＜4 B．m≤4 C．m＞4 D．m≥4 【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律得出5≤m+1，再求出答案即可． 【解答】解：， 解不等式①，得x＜5， 解不等式②，得x＜m+1， ∵不等式组的解集为x＜5， ∴5≤m+1， 解得：m≥4， 故选：D． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据求不等式组解集的规律得出5≤m+1是解此题的关键． 4．（2023春•南通期末）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程，若方程12﹣x＝x，11+x＝3x+1都是关于x的不等式组的相伴方程，则m的取值范围为 　 　． 【分析】解方程求出两个方程的解，再解不等式组得出x的取值范围，再根据方程的解是不等式组的解可得关于m的不等式组，解之可得． 【解答】解：解方程12﹣x＝x，得：x＝6， 解方程11+x＝3x+1，得：x＝5， 由x+m＜2x，得：x＞m， 由x﹣3≤m，得：x≤m+3， ∵x＝5、x＝6均是不等式组的解， ∴m＜5且m+3≥6， ∴3≤m＜5． 故答案为：3≤m＜5． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 一元一次不等式组的整数解 1．（2023春•通州区期末）已知关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是（　　） A．﹣3＜a≤﹣2 B．﹣3＜a＜﹣2 C．﹣3≤a＜﹣2 D．﹣3≤a≤﹣2 【分析】解不等式组得出a＜x＜1，根据关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数，知这3个整数只能是﹣2，﹣1，0，据此可得答案． 【解答】解：解不等式组得：a＜x＜1， ∵不等式组的解集中有且仅有3个整数， ∴这3个整数只能是﹣2，﹣1，0， ∴﹣3≤a＜﹣2． 故选C． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 2．（2023春•无锡期末）关于x的不等式2＜2x﹣m＜8的所有整数解的和为0，则m的取值范围是（　　） A．﹣6＜m＜﹣4 B．﹣6≤m≤﹣4 C．﹣8＜m≤﹣6 D．﹣4＜m＜﹣2 【分析】先求出不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的情况得到不等式组的整数解为﹣1、0、1，据此求解即可解答． 【解答】解：解关于x的不等式2＜2x﹣m＜8得：， ∵不等式组的所有整数解的和为0， ∴不等式组的整数解为﹣1、0、1， ∴或， ∴﹣6≤m＜﹣4或﹣6＜m≤﹣4， ∴﹣6＜m＜﹣4， 故选：A． 【点评】本题主要考查了根据不等式组的整数解的情况，由不等式组的解确定出整数m的值是解题的关键． 3．（2023春•南通期末）对x，y定义一种新的运算G，规定G（x，y），若关于正数x的不等式组恰好有4个整数解，则m的取值范围是（　　） A．9≤m＜10 B．10≤m＜11 C．9＜m≤10 D．10≤m≤11 【分析】分0＜x＜1和x≥1两种情况，由得到关于x的不等式组，解之得出x的取值范围，再根据不等式组整数解的个数可得m的取值范围． 【解答】解：①若0＜x＜1， 由得， 解1﹣x＞4，得：x＜﹣3，与0＜x＜1不符，舍去； ②若x≥1， 由得， 解得， ∵不等式组恰好有4个整数解， ∴9≤m﹣1＜10， 解得10≤m＜11， 故选：B． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是根据x的取值范围列出相应的关于x的不等式组，并解不等式组，结合整数解的个数得到关于m的不等式组． 4．（2023春•秦淮区期末）解不等式组，并写出它的整数解． 【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可． 【解答】解：， 解不等式①得x≥﹣2， 解不等式②得x＜1， 所以不等式组的解集为：﹣2≤x＜1， 所以不等式组的所有整数解为：﹣2，﹣1，0． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集． 一元一次不等式组的应用 1．（2023春•泰州期末）某校将若干间宿舍分配给七年级（1）班女生住宿，已知该班女生少于30人，若每个房间住4人，则剩下6人没处住：若每个房间住7人，则空一间房，且有一间住不满，那么该班有 　 　名女生． 【分析】设有x间宿舍，由题意得，，进行计算即可得，结合实际问题可得x＝5，进行计算即可得女生人数． 【解答】解：设有x间宿舍， 由题意得，， 解不等式①，得x＜6， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：， ∵x为整数， ∴x＝5， 则女生人数为：5×4+6＝26（名）， 故答案为：26． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的运用，解题的关键是理解题意，能够根据题意列出一元一次不等式组并正确计算． 2．（2023春•广陵区校级期末）如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，若运算进行了2次才停止，则x的取值范围是 　　． 【分析】根据第一次运算结果不大于28，且第二次运算结果要大于28，列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【解答】解：根据题意得：， 解得4＜x≤10， 故答案为：4＜x≤10． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 3．（2023春•亭湖区校级期末）我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗2棵，需要900元；购买A种树苗5棵，B种树苗4棵，需要700元． （1）求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？ （2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于32棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过5750元，若购进这两种树苗共80棵，则有哪几种购买方案？ 【分析】（1）设购买A种树苗每棵需x元，购买B种树苗每棵需y元，根据“购买A种树苗8棵，B种树苗2棵，需要900元；购买A种树苗5棵，B种树苗4棵，需要700元“可列出方程组解得答案． （2）设购买A种树苗m棵，则购买B种树苗（80﹣m）棵，根据“购进A种树苗不能少于32棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过5750元“，可列不等式组解得32≤m≤35，即可得到答案． 【解答】解：（1）设购买A种树苗每棵需x元，购买B种树苗每棵需y元， 根据题意得：， 解得， 答：购买A种树苗每棵需100元，购买B种树苗每棵需50元； （2）设购买A种树苗m棵，则购买B种树苗（80﹣m）棵， ∵购进A种树苗不能少于32棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过5750元， ∴， 解得32≤m≤35， ∵m是正整数， ∴m可取32，33，34，35， ∴有4种购买方案： ①购买A种树苗32棵，购买B种树苗48棵， ②购买A种树苗33棵，购买B种树苗47棵， ③购买A种树苗34棵，购买B种树苗46棵， ④购买A种树苗35棵，购买B种树苗45棵． 【点评】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和不等式组． 4．（2023春•宿迁期末）端午节期间，某商场打算购入A，B两种粽子礼盒共100件，A种粽子礼盒的进价为每件22元，B种粽子礼盒的进价为每件15元．在销售过程中，顾客甲买3件A和1件B共付款150元，顾客乙买1件A和2件B共付款100元． （1）请问A，B两种粽子礼盒的售价各是多少？ （2）若该商店计划A，B两种礼盒的进货总投入不超过1755元，且全部销售完后总利润不低于1600元，则购进A，B两种礼盒时，共有哪几种进货方案． 【分析】（1）设A种粽子礼盒的售价是x元/件，B种粽子礼盒的售价是y元/件，根据“顾客甲买3件A和1件B共付款150元，顾客乙买1件A和2件B共付款100元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m件A种粽子礼盒，则购进（100﹣m）件B种粽子礼盒，根据“该商店计划A，B两种礼盒的进货总投入不超过1755元，且全部销售完后总利润不低于1600元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各进货方案． 【解答】解：（1）设A种粽子礼盒的售价是x元/件，B种粽子礼盒的售价是y元/件， 根据题意得：， 解得：． 答：A种粽子礼盒的售价是40元/件，B种粽子礼盒的售价是30元/件； （2）设购进m件A种粽子礼盒，则购进（100﹣m）件B种粽子礼盒， 根据题意得：， 解得：m， 又∵m为正整数， ∴m可以为34，35，36， ∴该商店共有3种进货方案， 方案1：购进34件A种粽子礼盒，66件B种粽子礼盒； 方案2：购进35件A种粽子礼盒，65件B种粽子礼盒； 方案3：购进36件A种粽子礼盒，64件B种粽子礼盒． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 一．选择题（共10小题） 1．（2023春•启东市期末）一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组的解集为（　　） A．﹣1≤x＜2 B．﹣1＜x＜2 C．﹣1＜x≤2 D．无解 【分析】根据“小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”即可得． 【解答】解：由数轴知，这个不等式组的解集为﹣1＜x≤2， 故选：C． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握在数轴上如何表示不等式的解集． 2．（2023春•溧阳市期末）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　） A．2a＜2b B．a2＞b2 C．a+3＞b+3 D． 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：∵a＞b， ∴2a＞2b，故A不成立，不符合题意； ∵a＞b， ∴当a＞b＞0时，a2＞b2，故B不一定成立，不符合题意； ∵a＞b， ∴a+3＞b+3，故C一定成立，符合题意； ∵a＞b， ∴，故D一定不成立，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握在不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变． 3．（2023春•海州区期末）已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的是（　　） A．a＞b B．﹣a＞﹣b C．a+2＞b+2 D．2a＞2b 【分析】根据不等式的性质即可得到a＞b，a+2＞b+2，2a＞2b． 【解答】解：由不等式的性质得a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b，2a＞2b． 故选：B． 【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题，熟记不等式的性质是解题的关键． 4．（2023春•沭阳县期末）如果不等式组有且仅有3个整数解．那么m的取值范围是（　　） A．4≤m≤5 B．4≤m＜5 C．4＜m＜5 D．4＜m≤5 【分析】由不等式组有且仅有3个整数解，知不等式组的整数解为7、6、5，据此可得答案． 【解答】解：∵不等式组有且仅有3个整数解， ∴不等式组的整数解为7、6、5， ∴4≤m＜5， 故选：B． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 5．（2023春•涟水县期末）若关于x、y的方程组的解满足x﹣y＞0，则k的取值范围是（　　） A．k＜﹣2 B．k＞﹣2 C．k＜2 D．k＞2 【分析】首先应用加减消元法，求出关于x、y的方程组的解，然后根据解一元一次不等式的方法，求出k的取值范围即可． 【解答】解：， ①×3﹣②，可得8x＝3k， 解得xk， 把xk代入②，可得：k+3y＝3， 解得y＝1， ∴原方程组的解是， ∵x﹣y＞0， ∴k﹣（1）＞0， 解得：k＞2． 故选：D． 【点评】此题主要考查了解一元一次不等式的方法，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1；以及解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用． 6．（2023春•南通期末）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y≤0，则m的取值范围是（　　） A．m≤2 B．m＜2 C．m＞2 D．m≥2 【分析】利用整体的思想可得2x+2y＝4m﹣8，从而可得x+y＝2m﹣4，然后根据已知x+y≤0，可得2m﹣4≤0，最后进行计算即可解答． 【解答】解：， ①+②得：2x+2y＝4m﹣8， 解得：x+y＝2m﹣4， ∵x+y≤0， ∴2m﹣4≤0， ∴2m≤4， ∴m≤2， 故选：A． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 7．（2023春•海州区期末）若定义一种新的取整符号[]，即[x]表示不超过x的最大整数．例如：[2.3]＝2，[﹣1.6]＝﹣2，则下列结论正确个数是（　　） ①[﹣2.1]+[0.1]＝﹣3； ②[x]+[﹣x]＝0； ③方程的解有无数多个； ④若[x+1]＝4，则x的取值范围是3≤x＜4． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①根据取整函数的定义，直接求出值； ②取特殊值验证，证实或证伪； ③在0到1的范围内，找到一个特殊值，进而可以找到无数个解； ④把方程问题转化为不等式问题； 【解答】解：①[﹣2.1]+[0.1]＝﹣3+0＝﹣3，正确； ②由[0.5]+[﹣0.5]＝0﹣1＝﹣1，原计算错误； ③当x，1，2，...时，方程均成立，正确； ④由[x+1]＝4，得4≤x+1＜5，即3≤x＜4，正确； 故选：C． 【点评】本题考查取整函数与一元一次不等式．解题的关键在于能够把取整函数的等式，转化为一元一次不等式问题去解决． 8．（2023春•海州区期末）某矿泉水每瓶售价2元，现甲、乙两家商场给出优惠政策：甲商场全部9折，乙商场20瓶以上的部分8折．老师要小明去买一些矿泉水，小明想了想觉得到乙商场购买比较优惠．则小明需要购买的矿泉水的数量x（瓶）的取值范围是（　　） A．x＞30 B．x＞40 C．x＞50 D．x＞60 【分析】显然，若买20瓶以下，甲商场比较优惠．根据题意列出不等式，然后进行分类讨论． 【解答】解：显然若买20瓶以下，甲商场比较优惠． 若购买20瓶以上，由题意得：2×0.9x＞2×20+（x﹣20）×2×0.8． 解得x＞40 答：小明需要购买的矿泉水的数量x（瓶）的取值范围是x＞40． 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式的应用，利用了分类讨论的思想，将现实生活中的事件与数学思想联系起来． 9．（2023春•宿迁期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣1，则m的取值范围是（　　） A．3＜m≤5 B．1＜m≤3 C．1＜m≤5 D．1≤m＜5 【分析】求出不等式组的解集，再根据整数解的定理得出关于m的不等式组求解即可． 【解答】解：由于关于x的不等式组的解集为﹣2＜x， 又∵所有整数解的和是﹣1， ∴﹣11， 解得1＜m≤5， 故选：C． 【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，掌握一元一次不等式组的解法，理解整数解的定义是解决问题的前提． 10．（2023春•沭阳县期末）如图，在数轴上表示不等式3x﹣6＞0的解集，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【解答】解：3x﹣6＞0， 3x＞6， x＞2， 在数轴上表示为， 故选：B． 【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能求出不等式的解集是解此题的关键． 二．填空题（共10小题） 11．（2023春•丹阳市校级期末）某市某天的最高气温是6℃，最低气温是﹣2℃，则当天该市气温t（℃）的变化范围用不等式表示为 　﹣2≤t≤6　． 【分析】根据最高气温和最低气温得出答案即可． 【解答】解：∵某市某天的最高气温是6℃，最低气温是﹣2℃， ∴当天该市气温t（℃）的变化范围是﹣2≤t≤6． 故答案为：﹣2≤t≤6． 【点评】本题考查了不等式的定义，能理解最高气温和最低气温的意义是解此题的关键． 12．（2023春•沭阳县期末）不等式2x＞3x﹣5的解集是 　x＜5　． 【分析】根据解一元一次不等式的方法可以解答本题． 【解答】解：2x＞3x﹣5， 移项及合并同类项，得：﹣x＞﹣5， 系数化为1，得：x＜5， 故答案为：x＜5． 【点评】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 13．（2022秋•姜堰区期末）某市出租车的收费标准：不超过3千米计费7元；若超过3千米，则超过3千米的部分按2.4元/千米计费（不满1千米按1千米计算）．甲在一次乘出租车出行中付费19元，设出租车行驶的里程为x千米，则x的取值范围是 　7＜x≤8　． 【分析】首先判断出行驶里程超过3千米，再根据题意列出方程，求得x的值，最后根据不满1千米按1千米计算可得x的取值范围． 【解答】解：∵不超过3千米计费7元， ∴行驶里程超过3千米， ∴7+2.4（x﹣3）＝19， 解得：x＝8， ∵不满1千米按1千米计算， ∴x的取值范围是7＜x≤8， 故答案为：7＜x≤8． 【点评】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据不满1千米按1千米计算得出x的范围． 14．（2023春•丹徒区期末）已知x＝4﹣y，若﹣2≤x≤﹣1，则y的取值范围是 　5≤y≤6　． 【分析】根据已知易得：﹣2≤4﹣y≤﹣1，然后按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：∵x＝4﹣y，﹣2≤x≤﹣1， ∴﹣2≤4﹣y≤﹣1， ∴﹣6≤﹣y≤﹣5， ∴5≤y≤6， 故答案为：5≤y≤6． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握是解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 15．（2023春•海门市期末）如图，这是李强同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个x值“到判断“结果是否≥15为一次运行过程，如果程序运行两次就停止，那么x的取值范围是 　3≤x＜7　． 【分析】根据题意和题目中的运算程序可以得到，然后求解即可． 【解答】解：由题意可得， ， 解得3≤x＜7， 故答案为：3≤x＜7． 【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组． 16．（2023春•徐州期末）若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是　7≤a＜8　． 【分析】先求出不等式组的解集，根据已知得出关于a的不等式组，求出即可． 【解答】解：解不等式组得：4＜x≤a， ∵关于x的不等式组有3个整数解， ∴7≤a＜8． 故答案为：7≤a＜8． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据题意求出关于a的不等式组． 17．（2023春•高邮市期末）若x＝﹣5不是不等式组的解，则m的取值范围是 　m≤﹣6　． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据x＝﹣5不是不等式组的解得出关于m的不等式，解之即可． 【解答】解：由3x+2＜2x﹣1得：x＜﹣3， 由x+1＞2x﹣m得：x＜1+m， ∵x＝﹣5不是不等式组的解， ∴1+m≤﹣5， 解得m≤﹣6， 故答案为：m≤﹣6． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18．（2023春•兴化市期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是22，则m的取值范围是 　3≤m＜4或﹣4≤m＜﹣3　． 【分析】解不等式组得出解集，根据整数解的和为22，可以确定不等式组的整数解，再确定m的取值范围即可． 【解答】解：由x﹣m＞0，得：x＞m， 由13﹣2x≥﹣1，得：x≤7， ∴m＜x≤7， ∵所有整数解的和是22，且22＝7+6+5+4， ∴不等式组的整数解为：7，6，5，4或7，6，5，4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，﹣3， ∴3≤m＜4或﹣4≤m＜﹣3； 故答案为：3≤m＜4或﹣4≤m＜﹣3． 【点评】本题主要考查一元一次不等式组的解集、整数解，根据整数解和解集确定待定字母的取值范围，在确定的过程中，不等号的选择应认真细心，切实选择正确． 19．（2023春•邗江区校级期末）“x的3倍与1的和大于4”用不等式表示为：　3x+1＞4　． 【分析】根据题意选准不等号列出不等式即可． 【解答】解：由题意可得，3x+1＞4， 故答案为：3x+1＞4． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 20．（2023春•丹徒区期末）不等式的正整数解是 　1　． 【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可． 【解答】解：整理得：3x﹣1+2≥4x， 移项得：﹣x≥﹣1， 系数化为1得：x≤1， 故不等式1≥2x的正整数解为1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质． 三．解答题（共10小题） 21．（2023春•建邺区校级期末）解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的整数解即可． 【解答】解：， 由①得，x， 由②得，x＜7， 所以不等式组的解集是x＜7， 不等式组整数解为2，3，4，5，6． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 22．（2023春•泰兴市期末）解下列一元一次不等式（组）： （1）3（x﹣1）＜x+7，并把它的解集在数轴上表示出来； （2）． 【分析】（1）按步骤解一元一次不等式即可； （2）先分别求出每个不等式的解集，利用数轴求出两个解集的公共部分，即不等式组的解集． 【解答】解：（1）3（x﹣1）＜x+7 去括号，得：3x﹣3＜x+7， 移项，得：3x﹣x＜7+3， 合并同类项，得：2x＜10， 系数化为1，得：x＜5． 将不等式的解集在数轴上表示为： （2） 解不等式①，得：x＞﹣1， 解不等式②，得：x＜1.4， 将不等式①②的解集在数轴上表示为： ∴原不等式组的解集为：﹣1＜x＜1.4． 【点评】本题考查不等式和不等式组的解法．熟练掌握不等式的解题步骤是解题的关键．步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．其中，去分母时容易漏乘；系数化为1时如果左右两边同乘的是正数，不等号方向不变；如果左右两边同乘的是负数，不等号方向改变． 23．（2023春•高邮市期末）已知代数式8m2和m4+16． （1）比较8m2与m4+4的大小（用等号或不等号填空）． ①当m＝0时，计算得：8m2　＜　m4+16； ②当m＝﹣1时，计算得：8m2　＜　m4+16； ③当m＝2时，计算得：8m2　＝　m4+16； （2）根据（1）的计算结果猜想8m2和m4+16的大小关系，并说明理由． 【分析】（1）把m的值分别代入8m2和m4+16，求出结果后比较即可； （2）求出m4+16﹣8m2＝（m2﹣4）2，再比较大小即可． 【解答】解：（1）①当m＝0时，8m2＝0，m4+16＝16，即8m2＜m2+16， ②当m＝﹣1时，8m2＝8×1＝8，m4+16＝1+16＝17，即8m2＜m2+16， ③当，m＝2时，8m2＝8×4＝32，m4+16＝16+16＝32，即8m2＝m2+16， 故答案为：＜，＜，＝； （2）8m2≤m4+16， 理由是：m4+16﹣8m2＝（m2﹣4）2， ∵不论m为何值，（m2﹣4）2≥0， ∴m4+16﹣8m2≥0， 即8m2≤m4+16． 【点评】本题考查了不等式的性质和完全平方公式，能求出m4+16﹣8m2＝（m2﹣4）2是解此题的关键． 24．（2023春•启东市期末）科技改变世界，随着电子商务的高速发展，快递分拣机器人应运而生．某快递公司启用A种机器人80台、B种机器人100台，1小时共可以分拣8200件包裹，启用A、B两种机器人各50台，1小时共可以分拣4500件包裹． （1）求A、B两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹． （2）为了进一步提高效率，快递公司计划再购进A、B两种机器人共200台，若要保证新购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于9000件，求最多应购进A种机器人多少台？ 【分析】（1）设A种机器人每台每小时分拣x件包裹，B种机器人每台每小时分拣y件包裹，列方程组，解出即可； （2）设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200﹣m）台，根据题意列不等式40m+50（200﹣m）≥9000，求最大整数解即可． 【解答】解：（1）设A种机器人每台每小时分拣x件包裹，B种机器人每台每小时分拣y件包裹， 根据题意，得 解得， 答：A种机器人每台每小时分拣40件包裹，B种机器人每台每小时分拣50件包裹． （2）设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200﹣m）台． 根据题意，得40m+50（200﹣m）≥9000， 解得m≤100． 答：最多应购进A种机器人100台． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题关键． 25．（2023春•涟水县期末）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，其中苹果和梨的批发价格与零售价格如表： 品种 苹果 梨 批发价（元/kg） 4 3.5 零售价（元/kg） 6 5 （1）若该经营户批发苹果和梨共500kg，用去了1900元．求该经营户批发苹果和梨各多少kg？ （2）若该经营户批发苹果和梨共400kg，假设苹果和梨可以全部售完，该经营户要想利润不少于675元，则至少批发苹果多少kg？（损耗和其他成本忽略不计） 【分析】（1）设批发苹果x kg，梨y kg，由题意列出方程组求解即可； （2）设批发苹果m kg，由题意列出一元一次不等式，则可得出答案． 【解答】解：（1）设批发苹果x kg，梨y kg，由题意，得 ， 解得：， 答：该水果超市批发苹果300kg．梨200kg； （2）设批发苹果m kg，由题意得， （6﹣4）m+（5﹣3.5）（400﹣m）≥675， 解得m≥150， 答：该经营户至少批发苹果150kg． 【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解． 26．（2023春•淮安区校级期末）阅读材料： 如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作[x]． 例如，[3.2]＝3，[5]＝5，[﹣2.1]＝﹣3． 那么，x＝[x]+a，其中0≤a＜1． 例如，3.2＝[3.2]+0.2，5＝[5]+0，﹣2.1＝[﹣2.1]+0.9． 请你解决下列问题： （1）[4.8]＝　4　，[﹣6.5]＝　﹣7　； （2）如果[x]＝3，那么x的取值范围是 　3≤x＜4　； （3）如果[3.5x﹣2]＝2x+1，求x的值； （4）如果x＝[x]+a，其中0≤a＜1，且2a＝[x]﹣1，直接写出x的值． 【分析】（1）根据[x]表示不超过x的最大整数的定义及例子直接求解即可； （2）根据[x]表示不超过x的最大整数的定义及例子直接求解即可； （3）由材料中“x＝[x]+a，其中0≤a＜1”得出2x+1≤3.5x﹣2＜2x+2，解不等式，再根据2x+1为整数，即可计算出具体的值； （4）由材料中的条件2a＝[x]﹣1可得，由0≤a＜1，可求得[x]的范围，根据[x]为整数，分情况讨论即可求得x的值． 【解答】解：（1）[4.8]＝4，[﹣6.5]＝﹣7． 故答案为：4，﹣7． （2）∵[x]＝3， ∴x的取值范围是3≤x＜4． 故答案为：3≤x＜4． （3）∵[3.5x﹣2]＝2x+1， ∴2x+1≤3.5x﹣2＜2x+2． 解得：， ∵2x+1是整数． ∴x＝2或2.5 故答案为：2或2.5． （4）∵x＝[x]+a，其中0≤a＜1， ∴[x]＝x﹣a， ∵2a＝[x]﹣1， ∴． ∵0≤a＜1， ∴， ∴1≤[x]＜3， ∴[x]＝1，2． 当[x]＝1时，a＝0，x＝1； 当[x]＝2时，，； ∴x＝1或． 【点评】本题考查了新定义下的不等式的应用，关键是理解题中[x]的意义，列出不等式求解；最后一问要注意不要漏了情况． 27．（2023春•南京期末）某校计划购买A型和B型两种笔记本作为奖品发放给学生，若购买A型笔记本5本，B型笔记本8本，共需80元；若购买A型笔记本15本，B型笔记本4本，共需140元． （1）A型和B型笔记本每本的价格分别是多少元？ （2）该校计划购买A型和B型两种笔记本共80本，费用不超过500元，A型笔记本最多买多少本？ 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组即可解答． （2）设A型笔记本m本，则B型笔记本（80﹣m）本，列出不等式即可解答． 【解答】（8分）（1）设A型笔记本每本x元，B型笔记本每本y元， 根据题意得， 解得． 答：A型笔记本每本8元，B型笔记本每本5元． （2）设购买A型笔记本m本， 根据题意得8m+5（80﹣m）≤500． 解得m， ∵m是正整数， ∴m最大取33， 答：A型笔记本最多买33本． 【点评】本题主要考查二元一次方程组和不等式，找出题中的等量关系和不等关系是解题关键，第二问注意要取正整数． 28．（2023春•常熟市期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”．如：一元一次方程x+1＝2的解为x＝1，而一元一次不等式2x﹣3＜x的解集为x＜3，不难发现x＝1在x＜3范围内，则一元一次方程x+1＝2是一元一次不等式2x﹣3＜x的“伴随方程”． （1）在①﹣3（x+1）＝9，②2x+3＝5，③，三个一元一次方程中，是一元一次不等式3（1+x）＞x﹣4的“伴随方程”的有 　②③　（填序号）； （2）若关于x的一元一次方程3x﹣a＝2是关于x一元一次不等式3（a+x）≥4a+x的“伴随方程”，且一元一次方程不是关于x的一元一次不等式的“伴随方程”． ①求a的取值范围； ②直接写出代数式|a|+|a﹣3|的最大值． 【分析】（1）先分别解三个一元一次方程，再解一元一次不等式，然后根据“伴随方程”的定义，逐一判断即可解答； （2）①先解一元一次方程3x﹣a＝2，可得x，再解一元一次不等式3（a+x）≥4a+x，可得x，然后根据“伴随方程”的定义可得，从而可得a≤4；再解一元一次方程和一元一次不等式，从而可得x＝1，x，最后根据伴随方程”的定义可得1，从而可得a≥﹣2，即可解答； ②利用①的结论可得：当a＝﹣2时，|a|+|a﹣3|的值最大，然后把a的值代入式子中，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）①﹣3（x+1）＝9， x+1＝﹣3， x＝﹣3﹣1， x＝﹣4； ②2x+3＝5， 2x＝5﹣3， 2x＝2， x＝1； ③， x+5＝2， x＝2﹣5， x＝﹣3； 3（1+x）＞x﹣4， 3+3x＞x﹣4， 3x﹣x＞﹣4﹣3， 2x＞﹣7， x＞﹣3.5， ∴在①﹣3（x+1）＝9，②2x+3＝5，③，三个一元一次方程中，是一元一次不等式3（1+x）＞x﹣4的“伴随方程”的有②③， 故答案为：②③； （2）①3x﹣a＝2， 3x＝2+a， x， 3（a+x）≥4a+x， 3a+3x≥4a+x， 3x﹣x≥4a﹣3a， 2x≥a， x， ∵方程3x﹣a＝2是关于x一元一次不等式3（a+x）≥4a+x的“伴随方程”， ∴， 2（2+a）≥3a， 4+2a≥3a， a≤4； ， x﹣1+2＝2x， x﹣2x＝1﹣2， ﹣x＝﹣1， x＝1， ， 3a＜2（a﹣x）， 3a＜2a﹣2x， 2x＜2a﹣3a， 2x＜﹣a， x， ∵方程不是关于x的一元一次不等式的“伴随方程”， ∴1， ﹣a≤2， a≥﹣2， 综上所述：﹣2≤a≤4， ∴a的取值范围为：﹣2≤a≤4； ②∵﹣2≤a≤4， ∴当a＝﹣2时，|a|+|a﹣3|的值最大，最大值＝|﹣2|+|﹣2﹣3|＝2+5＝7， ∴代数式|a|+|a﹣3|的最大值是7． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，绝对值，解一元一次方程，一元一次方程的解，理解“伴随方程”的定义是解题的关键． 29．（2023春•兴化市期末）某景区对基础设施提档升级，计划购置一批A型和B型器材．购买1套A型器材比购买1套B型器材多50元：购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元． （1）购买1套A型器材和1套B型器材各需多少元？ （2）根据景区的实际情况，需购买A、B型器材的总数为50套，购买A、B型器材的总费用不超过14500元． ①请问A型器材最多购买多少套？ ②从游客的实际需要出发，其中A型器材购买的数量不少于B型器材数量的3倍，该景区共有几种购买方案？试写出所有的购买方案． 【分析】（1）设购买1套A型器材和1套B型器材各需x，y元，根据购买1套A型器材比购买1套B型器材多50元可得x﹣y＝50，购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元可得2x+3y＝1350，列出二元一次方程组，求解即可； （2）①设购买A型器材a套，根据购买A、B型器材的总费用不超过14500元，列出不等式，求解即可；②设购买A型器材a套，则购买B型器材为（50﹣a）套，由①可得：a≤40，根据A型器材购买的数量不少于B型器材数量的3倍，列出不等式，求解即可． 【解答】（1）解：设购买1套A型器材和1套B型器材各需x，y元，由题意可得： ，解得， 答：购买1套A型器材和1套B型器材各需300、250元； （2）①设购买A型器材a套，则购买B型器材为（50﹣a）套， 由题意可得：300a+250×（50﹣a）≤14500， 解得a≤40， 答：A型器材最多购买40套； ②设购买A型器材a套，则购买B型器材为（50﹣a）套， 由①可得：a≤40， 根据题意可得：a≥3（50﹣a），解得a， ∴a≤40， 又∵a为正整数， ∴a的取值为38，39，40，即有三种购买方案， 具体为：A型器材为38套，B型器材12套， A型器材为39套，B型器材11套， A型器材为40套，B型器材10套． 【点评】此题考查了二元一次方程组的应用以及不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确列出二元一次方程组和不等式组． 30．（2023春•盱眙县期末）（1）观察发现：材料：解方程组，将①整体代入②，得3×4+y＝14，解得y＝2，y＝2代入①，得x＝2，所以，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请直接写出方程组的解为 　　； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组； （3）若x2﹣2y＝1，求3x2﹣6y﹣5的值； （4）拓展运用：若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞﹣1，请直接写出满足条件的m的所有正整数值 　1，2　． 【分析】（1）由第一个方程求出x﹣y的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解． （2）由第一个方程求出2x﹣y的值，代入第二个方程求出x的值，进而求出y的值，即可确定出方程组的解． （3）整体代入变形后的代数式计算即可； （4）方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出m的范围，确定出正整数值即可． 【解答】解：（1）由①得：x﹣y＝1③， 将③代入②得：4﹣y＝5，即y＝﹣1， 将y＝﹣1代入③得：x＝0， 则方程组的解为． 故答案为． （2）由①得：2x﹣y＝2③， 将③代入②得：1+x＝3，即x＝2， 将x＝2代入③得：4﹣y＝2， 解得y＝2， 则方程组的解为． （3）∵x2﹣2y＝1， ∴3x2﹣6y﹣5 ＝3（x2﹣2y）﹣5 ＝3×1﹣5 ＝﹣2； （4）， ①+②得：3（x+y）＝﹣3m+9，即x+y＝﹣m+3， ∵x+y＞﹣1， ∴﹣m+2＞﹣1， 解得：m＜3， 则满足条件m的正整数值为1，2． 故答案为：1，2． 【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$