圆锥曲线2 - 双曲线小题专题讲义-2025届高三数学一轮复习

圆锥曲线2 - 双曲线小题专题 大纲解析 1. 能够运用双曲线方程与几何性质并解决简单的综合问题.\ 2. 能够利用方程思想求交点坐标，并结合直线间的位置关系同直线方程的斜率的关系解决双曲线与直线中某些综合问题. 知识梳理 1. 双曲线的定义： 文字描述： 符号表示： 注意：当时，轨迹是以为端点，在直线上反向的两条射线（包括端点）；当时，轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程： 注意：若焦点位置不定，则可设椭圆方程为.根据的正负来判断焦点在哪个坐标轴上. 3. 双曲线标准方程的求解步骤： 定位置： 设方程： 寻关系： 得方程： 4. 双曲线的几何性质：图形，范围，对称性，顶点，渐近线，离心率，，实、虚轴，a,b,c的关系. 5. 解决双曲线离心率、渐近线的问题，关键在于构造关于的等式或不等式. 方法一：求的值，由，求 方法二：列出含有的齐次方程（或不等式），借助于消去,两边都除以含有的最高次项，转化成关于的方程（或不等式）求解. 6. 直线同双曲线的位置关系： 1） 利用判别式判断直线同双曲线的位置关系： 2） 利用方程（组）的解求直线与双曲线的交点坐标： 典型例题 A、双曲线的方程与基本的性质 1. 已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是 A． B． C． D． 2. 双曲线的离心率为, 则m等于________. 3. 在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 4. 若实数k满足0<k<9，则曲线－＝1与曲线－＝1的 A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等 5. 已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则 A. B. C. D. 6. 已知双曲线的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若，则cos∠AF2F1＝ A. B. C. D. 7. 设为双曲线的两个焦点，是上一点.若，且的最小内角为，则的离心率为 . 8. 已知点A，B分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，点P是双曲线C上异于A，B的另外一点，且△ABP是顶角为120°的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A.x±y＝0 B.x±y＝0 C.x±y＝0 D.x±y＝0 9. 过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　) A.(1，) B.(1，) C.(，) D.(，) B、渐近线的性质. 1. 双曲线的顶点到其渐近线的距离等于 A． B． C． D． 2. 已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为 A．-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 3. 已知双曲线－＝1(b＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 4. 已知F2，F1是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的上，下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为(　　) A.3 B. C.2 D. 5. 双曲线的左右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 6. 双曲线的左右焦点分别为，渐近线分别为，点P在第一象限内且在上，若，则双曲线的离心率是 A. B. C. D. C、双曲线与其他知识点综合 1. （数列）若是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是 A. B. C. 或 D. 或 2. （角平分线性质）已知为双曲线的左、右焦点，点，点的坐标为，为的平分线，则 3. 已知，则双曲线与双曲线的 A. 实轴长相等 B. 虚轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等 4. 已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点.若，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. D、双曲线与其它曲线结合 1. （与抛物线结合）已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为, 则p = （ ） A．1 B． C．2 D．3 2. （与抛物线结合）双曲线C的左，右焦点分别为F1，F2，且F2恰为抛物线y2＝4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为(　　) A. B.1＋ C.1＋ D.2＋ 3. （与抛物线结合）已知双曲线－＝1的离心率为e＝2，右焦点F到其渐近线的距离为，抛物线y2＝2px的焦点与双曲线的右焦点F重合.过该抛物线的焦点的一条直线交抛物线于A、B两点，正三角形ABC的顶点C在直线x＝－1上，则△ABC的边长是(　　) A.8 B.10 C.12 D.14 4. （与圆结合）已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则此双曲线的离心率为（ ） 5. （与圆结合）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）. E、双曲线的中点问题 定理 在双曲线（，）中，若直线与双曲线相交于、两点，点是弦的中点，直线的斜率为，则 。 1. 直线与双曲线（，）交于、两点，、两点的中点坐标是，那么双曲线的离心率是 2. 已知双曲线，过点作直线交双曲线C于A、B两点，且P恰为弦AB的中点，直线的方程为 3. 已知双曲线与直线，直线与双曲线交于、两点，点为弦的中点，直线的方程为 4. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M、N两点，MN的中点的横坐标为，则此双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线2 - 双曲线小题专题 大纲解析 1. 能够运用双曲线方程与几何性质并解决简单的综合问题.\ 2. 能够利用方程思想求交点坐标，并结合直线间的位置关系同直线方程的斜率的关系解决双曲线与直线中某些综合问题. 知识梳理 1. 双曲线的定义： 文字描述： 符号表示： 注意：当时，轨迹是以为端点，在直线上反向的两条射线（包括端点）；当时，轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程： 注意：若焦点位置不定，则可设椭圆方程为.根据的正负来判断焦点在哪个坐标轴上. 3. 双曲线标准方程的求解步骤： 定位置： 设方程： 寻关系： 得方程： 4. 双曲线的几何性质：图形，范围，对称性，顶点，渐近线，离心率，，实、虚轴，a,b,c的关系. 5. 解决双曲线离心率、渐近线的问题，关键在于构造关于的等式或不等式. 方法一：求的值，由，求 方法二：列出含有的齐次方程（或不等式），借助于消去,两边都除以含有的最高次项，转化成关于的方程（或不等式）求解. 6. 直线同双曲线的位置关系： 1） 利用判别式判断直线同双曲线的位置关系： 2） 利用方程（组）的解求直线与双曲线的交点坐标： 典型例题 A、双曲线的方程与基本的性质 1. 已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是（） A． B． C． D． 2. 双曲线的离心率为, 则m等于________. 3. 在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 4. 若实数k满足0<k<9，则曲线－＝1与曲线－＝1的（） A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等 5. 已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则 A. B. C. D. 6. 已知双曲线的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若，则cos∠AF2F1＝ A. B. C. D. 7. 设为双曲线的两个焦点，是上一点.若，且的最小内角为，则的离心率为 . 8. 已知点A，B分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，点P是双曲线C上异于A，B的另外一点，且△ABP是顶角为120°的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A.x±y＝0 B.x±y＝0 C.x±y＝0 D.x±y＝0 9. 过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　) A.(1，) B.(1，) C.(，) D.(，) B、渐近线的性质. 1. 双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（） A． B． C． D． 2. 已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为（） A．-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 3. 已知双曲线－＝1(b＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 4. 已知F2，F1是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的上，下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为(　　) A.3 B. C.2 D. 5. 双曲线的左右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（） A. B. C. D. 6. 双曲线的左右焦点分别为，渐近线分别为，点P在第一象限内且在上，若，则双曲线的离心率是（） A. B. C. D. C、双曲线与其他知识点综合 1. （数列）若是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（） A. B. C. 或 D. 或 2. （角平分线性质）已知为双曲线的左、右焦点，点，点的坐标为，为的平分线，则 3. 已知，则双曲线与双曲线的（） A. 实轴长相等 B. 虚轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等 4. 已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点.若，则双曲线的离心率为（） A. B. C. D. D、双曲线与其它曲线结合 1. （与抛物线结合）已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为, 则p = （ ） A．1 B． C．2 D．3 2. （与抛物线结合）双曲线C的左，右焦点分别为F1，F2，且F2恰为抛物线y2＝4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为(　　) A. B.1＋ C.1＋ D.2＋ 3. （与抛物线结合）已知双曲线－＝1的离心率为e＝2，右焦点F到其渐近线的距离为，抛物线y2＝2px的焦点与双曲线的右焦点F重合.过该抛物线的焦点的一条直线交抛物线于A、B两点，正三角形ABC的顶点C在直线x＝－1上，则△ABC的边长是(　　) A.8 B.10 C.12 D.14 4. （与圆结合）已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则此双曲线的离心率为（ ） 5. （与圆结合）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）. E、双曲线的中点问题 定理 在双曲线（，）中，若直线与双曲线相交于、两点，点是弦的中点，直线的斜率为，则 1. 直线与双曲线（，）交于、两点，、两点的中点坐标是，那么双曲线的离心率是 2. 已知双曲线，过点作直线交双曲线C于A、B两点，且P恰为弦AB的中点，直线的方程为 3. 已知双曲线与直线，直线与双曲线交于、两点，点为弦的中点，直线的方程为 4. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M、N两点，MN的中点的横坐标为，则此双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 30 学科网（北京）股份有限公司 $$