圆锥曲线1-椭圆小题专题讲义-2025届高三数学一轮复习

圆锥曲线1 - 椭圆小题专题 大纲解析 1. 能够运用椭圆同其他知识点的综合并能求出椭圆方程或性质； 2. 能够运用数形结合思想解决与椭圆的定义和性质有关的问题. 3. 能够用椭圆方程和直线方程表示出椭圆中的弦长并与函数、不等式等形结合解决弦长的最值问题 4. 能够表示、利用椭圆中的三角形（涉及交点弦）面积解决问题，并能与其他知识相综合解决椭圆中三角形面积的最值问题 知识梳理 1. 椭圆的定义： 注意：当时，轨迹是 ；当时，轨迹 . 2. 椭圆的几何性质：图形，范围，对称性，顶点，轴，焦距，离心率，a,b,c的关系. 3. 点和椭圆的位置关系.（提示：内、上、外） 4. 求椭圆离心率或其范围的方法： 1） 求值，由求e. 2） 列含有的齐次方程（或不等式），借助消去，转化为含有的方程（或不等式）求解. 5. 两点间距离公式： 6. 点到直线距离公式： 7. 交点弦长公式： 8. 中点公式、斜率公式与椭圆方程（点差法）：在已知；； （椭圆上任意两点方程做差） 典型例题 A、椭圆的定义、标准方程及几何性质的简单应用 1. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为，则C的方程为(　　) A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，椭圆C的中心为原点，焦点在轴上，离心率为.过的直线l交C于A，B两点且的周长为16，那么C的方程为 . 3. 已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 4. 已知离心率为e的椭圆Γ：＋＝1(a>2)的上、下焦点分别为F1和F2，过点(0，2)且不与y轴垂直的直线与椭圆交于M，N两点，若△MNF2为等腰直角三角形，则e＝(　　) A.－ B. C.－ D. B、椭圆的对称性 1. 如图,是椭圆与双曲线的公共焦点,分别是，在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形,则的离心率是 A． B． C． D． 2. 已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. C、椭圆性质与其他专题的简单综合 1. 椭圆的左、右顶点分别是A,B，左、右焦点分别是F1，F2.若，，成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________. 2. 圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足，则曲线C的离心率为 A. 或 B. 或2 C. 或2 D. 或 3. 在中，,，若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e= . 4. 已知椭圆的一个顶点为焦点在x轴上，中心在原点，若右焦点到直线的距离为3，则椭圆的方程为 . 5. 椭圆的左、右顶点分别为A1、A2，点P在椭圆上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是 A. B. C. D. D、椭圆定义、几何性质同数形结合思想 1. 已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝______ 2. 已知椭圆的左焦点为与过原点的直线相交于两点,连接,若，，则C的离心率______. 3. 椭圆的左.右焦点分别为,焦距为2c,若直线与椭圆的一个交点M满足，则该椭圆的离心率等于__________. E、涉及椭圆中弦的中点及弦的斜率问题（点差法） 椭圆中的点差法： 题型1 以定点为中点的弦所在直线的方程 例1 过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，这条弦所在直线的方程为 变式1-1 过点作斜率为－的直线与椭圆C： (a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________． 变式1-2 一条直线与椭圆相交于、两点，线段的中点为，直线的方程为 题型2 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹 例1 已知椭圆的一条弦的斜率为，它与直线的交点恰为这条弦的中点，点的坐标为 变式1-1 已知椭圆,它的斜率为的弦中点的轨迹方程为 F、椭圆中线段比例问题 1. 设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________． 2. 设F1，F2分别是椭圆C： (a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N. （1）若直线MN的斜率为，求C的离心率； （2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b. 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线1 - 椭圆小题专题 大纲解析 1. 能够运用椭圆同其他知识点的综合并能求出椭圆方程或性质； 2. 能够运用数形结合思想解决与椭圆的定义和性质有关的问题. 3. 能够用椭圆方程和直线方程表示出椭圆中的弦长并与函数、不等式等形结合解决弦长的最值问题 4. 能够表示、利用椭圆中的三角形（涉及交点弦）面积解决问题，并能与其他知识相综合解决椭圆中三角形面积的最值问题 知识梳理 1. 椭圆的定义： 注意：当时，轨迹是 ；当时，轨迹 . 2. 椭圆的几何性质：图形，范围，对称性，顶点，轴，焦距，离心率，a,b,c的关系. 3. 点和椭圆的位置关系.（提示：内、上、外） 4. 求椭圆离心率或其范围的方法： 1） 求值，由求e. 2） 列含有的齐次方程（或不等式），借助消去，转化为含有的方程（或不等式）求解. 5. 两点间距离公式： 6. 点到直线距离公式： 7. 交点弦长公式： 8. 中点公式、斜率公式与椭圆方程（点差法）：在已知；； （椭圆上任意两点方程做差） 典型例题 A、椭圆的定义、标准方程及几何性质的简单应用 1. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为，则C的方程为(　A　) A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，椭圆C的中心为原点，焦点在轴上，离心率为.过的直线l交C于A，B两点且的周长为16，那么C的方程为 。 3. 已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　A　) A. B. C. D. 4. 已知离心率为e的椭圆Γ：＋＝1(a>2)的上、下焦点分别为F1和F2，过点(0，2)且不与y轴垂直的直线与椭圆交于M，N两点，若△MNF2为等腰直角三角形，则e＝(　C　) A.－ B. C.－ D. B、椭圆的对称性 1. 如图,是椭圆与双曲线的公共焦点,分别是，在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形,则的离心率是（D） A． B． C． D． 2. 已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　A　) A. B. C. D. C、椭圆性质与其他专题的简单综合 1. 椭圆的左、右顶点分别是A,B，左、右焦点分别是F1，F2.若，，成等比数列，则此椭圆的离心率为___. 2. 圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足，则曲线C的离心率为 D A. 或 B. 或2 C. 或2 D. 或 3. 在中，,，若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e= . 4. 已知椭圆的一个顶点为焦点在x轴上，中心在原点，若右焦点到直线的距离为3，则椭圆的方程为 . 5. 椭圆的左、右顶点分别为A1、A2，点P在椭圆上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（B） A. B. C. D. D、椭圆定义、几何性质同数形结合思想 1. 已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝__12____ 2. 已知椭圆的左焦点为与过原点的直线相交于两点,连接,若，，则C的离心率______. 3. 椭圆的左.右焦点分别为,焦距为2c,若直线与椭圆的一个交点M满足，则该椭圆的离心率等于__________. E、涉及椭圆中弦的中点及弦的斜率问题（点差法） 椭圆中的点差法： 题型1 以定点为中点的弦所在直线的方程 例1 过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，这条弦所在直线的方程为 变式1-1 过点作斜率为－的直线与椭圆C： (a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________． 变式1-2 一条直线与椭圆相交于、两点，线段的中点为，直线的方程为 题型2 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹 例1 已知椭圆的一条弦的斜率为，它与直线的交点恰为这条弦的中点，点的坐标为 变式1-1 已知椭圆,它的斜率为的弦中点的轨迹方程为 F、椭圆中线段比例问题 1. 设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________． 2. 设F1，F2分别是椭圆C： (a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N. （1）若直线MN的斜率为，求C的离心率； （2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b. （1）， ， （2） 为 ， 30 学科网（北京）股份有限公司 $$