1.4.2充要条件教案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

课程基本信息 学科 高中数学 年级 高一 学期 秋季 课题 1.4.2 充要条件 教科书 书 名：普通高中数学 必修一 教材A版 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月 教学目标 1. 理解充要条件的意义，数学定义与充要条件的关系。 2. 结合具体命题，掌握命题条件的充要性判定及证明方法。 3. 能根据给出的充要条件求相关参数的值或范围。 4. 初步使用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流，提高逻辑推理素养。 数学学科核心素养 1. 数学抽象：通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系。 2. 逻辑推理：能对某些命题的充要条件进行证明。 3. 直观想象：能从集合的观点理解充要条件。 教学重难点 教学重点： 理解充要条件的概念；学会对命题进行充要性的判断。 教学难点： 充分性与必要性的推导顺序及充要条件的证明。 教材分析 1.教材来源 本节课是新版教材人教4版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第一章第4节《充分条件和必要条件》第2课时。 2.地位与作用 常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流工具，是逻辑思维的基本语言，充分条件、必要条件和充要条件是数学中常用的逻辑用语。在数学知识体系中，数学定义、判定定理和性质定理是重要的组成部分，它们都可以用逻辑用语表达。每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件;每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件;每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。运用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流，可以提高交流的严谨性和准确性。 充要条件是中学数学中重要的数学概念之一，它主要讨论了命题之间的逻辑关系，目的是为数学推理的学习打下基础。 学情分析 1.认知基础 学生已经掌握了由判断“若p，则q”命题的真假来判断p是q的充分条件，必要条件。学生会判断一些简单命题的真假。 2.认知障碍 充要条件的证明，容易混淆条件和结论。 教学方法 小组合作、自主学习、问答式、讨论式等。 教学工具 希沃白板、课件 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 温故知新 教师展示《1.4.1充分条件与必要条件》知识汇总表格，让学生把命题、充分条件与必要条件的空缺内容补充完整。 思考回忆 讨论交流 及时复习上节课的学习内容，加深学生记忆。 情景引入 在如图所示电路图中（整个电路和灯泡一切正常），我们闭合开关S1，灯泡L1就会亮起。条件p：闭合开关S1；条件q：灯泡L1亮起。 请判断：p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？ 教师组织学生小组讨论，并进行引导：“若p，则q”是哪种命题形式？“若q，则p”是哪种命题形式？ 教师带领学生总结（“若p，则q”为原命题，“若q，则p”为原命题的逆命题）。 小组讨论 分享答案 归纳总结 通过物理电路情景问题，引导学生思考，激发学生的学习兴趣。 新知探究一 充要条件的 概念 请判断下列“若p，则q”形式的命题的真假，写出它们的逆命题并判断逆命题的真假。 （1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等。 （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等。 （3）若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac﹤0。 （4）若AUB是空集，则A与B均是空集。 教师引导学生判断上述命题及其逆命题的真假，发现上述命题中命题（1）（4）和它们的逆命题都是真命题；命题（2）是真命题，但它的逆命题是假命题；命題（3）是假命题，但它的逆命题是真命题。 独立思考 探究问题 从学生熟悉的具体命题出发，通过分析命题及其逆命题的真假，引入充要条件的概念。 教师提问： （1） 对于上述的命题，p是q的什么条件？q是p的什么条件？ （2） 哪些命题中p既是q的充分条件也是q的必要条件？ 教师给出充要条件的概念： 如果“若p，则q是真命题,则记作pq。如果它的逆命题“若q，则p”是真命题，则记作qp。此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件，记作pq。 显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件。如果pq，那么p与q互为充要条件。 思考：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ 思考回答 理解定义 通过问题探究，使学生深入理解充要条件的概念，培养数学抽象的核心素养。 新知探究二 充要条件的 判断 例1.下列各组命题中，哪些p是q的充要条件？ （1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； （3）p：xy>0，q：x>0，y>0； （4）p：x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0)。 教师总结：判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法。 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假。 (2)集合法：即利用集合的包含关系判断。 (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性。 独立思考 探究问题 归纳总结 巩固练习 通过例题及练习的学习，使学生理解条件与结论的推出关系，强化逻辑推理的核心素养。 从集合的角度看充分、必要条件： 练一练：指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)。 （1）p：x2>0，q：x>0； （2）p：a能被6整除，q：a能被3整除； 【答案】（1）p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要不充分条件。 （2）p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分不必要条件。 思考理解 巩固做题 新知探究三 充要条件与 数学定义 教师组织学生小组讨论： 通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？ (1)两组对边分别平行； (2)两组对角分别相等； (3)两组对边分别相等； (4)一组对边平行且相等； (5)对角线互相平分。 上面这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念，由此我们可以给出平行四边形的其他定义形式.例如：一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形；对角线互相平分的四边形叫做平行四边形。 类似地，利用“两个三角形全等”的充要条件，可以给出“三角形全等”的其他定义形式（SSS、SAS、AAS、ASA、HL），这些定义相互等价，等等。 小组讨论 分享答案 小组讨论，探究数学定义与充要条件之间的关系，培养学生的合作学习能力。 新知探究四 充要条件的 证明 例2.已知：O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与O相切的充要条件。 教师总结：充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性. (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}， q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件。 练一练： 求证：一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是 证明：证明必要性：若“一元二次方程有一正根和一负根”成立，由韦达定理可得，∴成立。 证明充分性：若“”成立，此时一元二次方程有一正根和一负根.所以“一元二次方程有一正根和一负根”的充要条件是“”。 问题探究 总结归纳 巩固练习 通过学习充分条件的探求与证明，使学生明确充分性、必要性的推导方向，培养学生的逻辑推理的核心素养，培养学生解决问题的能力。 项目探究 记a：开关A闭合，b：灯泡B亮，则图1、图2、图3、图4中，a依次为b的 条件、 条件、 条件、 条件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选出一个)。 教师提问：请同学们思考一下，如何解答此题？ 教师给出题目后，留给学生足够的时间，让他们充分思考、观察、分析后，教师根据课前批改导学案的情况，指定小组回答，并给予适时的点拨。 教师带领学生总结条件关系判定的常用结论： 问题探究 小组讨论 展示分享 教师引导学生对生活实例的分析、探究，加深学生对“充分”、“必要”含义的理解，并体现数学来源于生活的道理。 高考题目 1.(2023 天津,2,5分,易)“a2=b2”是“a2+b2= 2ab”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 2.(2021 天津,2,5分,易)已知a∈R,则“a>6”是 “a>36”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 教师随机提问学生，并让学生板书展示。 思考做题 通过题目训练帮助学生理解集合与充分、必要条件的关系，并学会使用集合法进行判断。 课堂总结 1.知识总结：通过思维导图的形式，让学生总结本节课的学习内容。 2.课外拓展： 3.课后作业：布置课后作业，包括完成练习题和预习《1.5 全称量词与存在量词》。 归纳总结 课外拓展 巩固本节课的知识内容，拓展数学知识，培养数学思维。 板书设计 1.4.2 充要条件 1.判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 2.充要条件的证明思路 3.由条件关系求参数的值(范围)的步骤 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$