10.1.4 概率的基本性质 学案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10．1.4　概率的基本性质 1. 理解互斥事件、对立事件的含义． 2. 理解概率的6条基本性质，重点掌握性质． 3. 掌握性质4、性质6及公式的应用条件． 4. 能灵活运用这几条重要性质解决相关的实际问题，培养数学建模和数学化归能力． 活动一 背景引入 一般而言，给出了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质．例如，在给出指数函数的定义后，我们从定义出发研究了指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质，这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用，类似地，在给出了概率的定义后，我们来研究概率的基本性质． 活动二　概率的基本性质　 思考►►► 你认为可以从哪些角度研究概率的性质？ 问题1：概率P(A)的取值范围是什么？ 由概率的定义可知：任何事件的概率都是非负的；在每次试验中，必然事件一定发生，不可能事件一定不会发生，一般地，概率有如下性质： 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2：必然事件的概率为1, 不可能事件的概率为0, 即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 问题2：在掷骰子试验中，事件A＝“出现1点”，B＝“出现2点”，C＝“出现的点数小于3”，事件C的概率与事件A、事件B的概率之间具有怎样的关系？当两个事件是互斥事件时，它们的和事件的概率公式应该怎样？ 性质3：如果事件A与事件B互斥， 那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 引申　如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).　 问题3：若事件A与事件B互为对立事件，则事件A与事件B的概率之间有什么关系？ 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件， 那么P(B)＝1－P(A), P(A)＝1－P(B). 问题4：一般地，对于事件A与事件B，如果A⊆B，即事件A发生，则事件B一定发生，那么事件A的概率与事件B的概率的大小关系是什么？说明理由． 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B). 由性质5可得，对于任意事件A，因为∅⊆ A⊆Ω，所以 0 ≤ P(A) ≤1. 问题5：一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球(标号为1和2)，2个绿球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”， “两个球中有红球”＝R1∪R2，那么P(R1∪R2)和P(R1)＋P(R2)相等吗？如果不相等，请你说明原因，并思考如何计算P(R1∪R2). 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 活动三 概率的基本性质的应用 例1　从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A＝“抽到红心”，事件B＝“抽到方块”，P(A)＝P(B)＝，求下列事件的概率： (1) C＝“抽到红花色”； (2) D＝“抽到黑花色”． 1. 运用概率加法公式解题的步骤： (1) 确定各事件彼此互斥； (2) 先求各事件分别发生的概率，再求其和． 2. 求复杂事件的概率通常有两种方法： (1) 将所求事件转化成彼此互斥的事件的并； (2) 先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率． 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？ 例2　为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料．若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？ 1. 对于一个较复杂的事件，一般将其分解为几个简单的事件．当这些事件彼此互斥时，即可用概率加法公式． 2. 运用事件的概率加法公式解题的步骤： (1) 确定题中哪些事件彼此互斥； (2) 将待求事件拆分为几个互斥事件之和； (3) 先求各互斥事件分别发生的概率，再求和． 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 (1) 至多2人排队等候的概率是多少？ (2) 至少3人排队等候的概率是多少？ 1. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是(　　) A. 0.42 B. 0.28 C. 0.3 D. 0.7 2. (2023河池高一统考)从装有若干个红球和白球(除颜色外其余均相同)的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球．若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为(　　) A. B. C. D. 3. (多选)在一个试验模型中，设A表示一个随机事件，表示A的对立事件，则下列结论中正确的是(　　) A. P(A)＝P() B. P (A∪)＝1 C. 若P(A)＝1，则P()＝0 D. P(A)＝0 4. (2022莆田期末)一商店有奖促销活动中，有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率是0.25，则不中奖的概率是________． 5. 某服务电话，打进的电话响第1声时被接通的概率是0.1，响第2声时被接通的概率是0.2，响第3声时被接通的概率是0.3，响第4声时被接通的概率是0.35. (1) 打进的电话在响5声之前被接通的概率是多少？ (2) 打进的电话响4声而不被接通的概率是多少？ 【答案解析】 10．1.4　概率的基本性质 【活动方案】 思考：①概率的取值范围；②特殊事件的概率；③事件有某些特殊关系时，它们的概率之间的关系等等． 问题1：P(A)≥0. 问题2：P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.因为事件A与事件B互斥，即A与B不含有相同的样本点，所以n(A∪B)＝n(A)＋n(B)，这等价于P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和，所以我们有互斥事件的概率加法公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 问题3：1＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 问题4：如果A⊆B，那么n(A)≤n(B)，所以≤，即P(A)≤P(B). 问题5：因为n(Ω)＝12，n(R1)＝n(R2)＝6，n(R1∪R2)＝10，所以P(R1)＝P(R2)＝＝，P(R1∪R2)＝＝， 所以P(R1∪R2)≠P(R1)＋P(R2). 这是因为R1∩R2＝{(1，2)，(2，1)}≠∅，即事件R1，R2 不是互斥的，容易得到P(R1∪R2)＝P(R1)＋P(R2)－P(R1∩R2). 例1　 (1) 因为C＝A∪B，且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件． 根据互斥事件的概率加法公式，得P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. (2) 因为C与D互斥，且C∪D是必然事件， 所以C与D互为对立事件， 所以P(D)＝1－P(C)＝1－＝. 跟踪训练　设得到黑球、黄球的概率分别为x，y，由题意，得解得 所以得到绿球的概率为1－－－＝. 综上，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，. 例2　 设事件A＝“中奖”，事件A1＝“第一罐中奖”，事件A2＝“第二罐中奖”， 那么事件A1A2＝“两罐都中奖”，A12＝“第一罐中奖，第二罐不中奖”，1A2＝“第一罐不中奖，第二罐中奖”，且A＝A1A2∪A12∪1A2. 因为A1A2，A12，1A2两两互斥， 所以根据互斥事件的概率加法公式， 可得P(A)＝P(A1A2)＋P(A12)＋P(1A2). 我们借助树状图(如下图)来求相应事件的样本点数， 可以得到，样本空间包含的样本点个数为n(Ω)＝6×5＝30，且每个样本点都是等可能的． 因为n(A1A2)＝2，n(A12)＝8，n(1A2)＝8， 所以P(A)＝＋＋＝＝， 故中奖的概率为. 跟踪训练　记事件A＝“无人排队等候”，B＝“1人排队等候”，C＝“2人排队等候”，D＝“3人排队等候”，E＝“4人排队等候”，F＝“5人及5人以上排队等候”，则事件A，B，C，D，E，F互斥． (1) 记事件G＝“至多2人排队等候”， 则G＝A∪B∪C， 所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2) 记事件H＝“至少3人排队等候”， 则H＝D∪E∪F， 所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44. 【检测反馈】 1. C　解析：因为摸出红球、白球、黑球是互斥事件，所以摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3. 2. C　解析：设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，则P(A)＝，P(B)＝，且＝A∪B.因为A，B，C两两互斥，所以P(C)＝1－P()＝1－P(A∪B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－－＝. 3. BCD 　解析：对于A，由对立事件的性质P(A)＋P()＝1得P(A)＝P()不一定正确，故A错误；由对立事件的概念得A∪＝Ω，即P(A∪)＝P(Ω)＝1，故B正确；由对立事件的性质P(A)＋P()＝1，知P(A)＝1－P()，若P(A)＝1，则P()＝0，故C正确；由对立事件的概念得A＝∅，即P(A)＝P(∅)＝0，故D正确．故选BCD. 4. 0.65　解析：中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65. 5. (1) 设事件“电话响第k声时被接”为Ak(k∈N)， 那么事件Ak彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A， 根据互斥事件概率加法公式， 得P(A)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95. (2) 事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为. 根据对立事件的概率公式，得P()＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05. 学科网（北京）股份有限公司 $$