第03讲 交集、并集（八大考点）-【暑假自学课】2024年新高一数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第03讲 交集、并集 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、理解两个集合之间的并集和交集的含义 2、能求两个集合的并集与交集. 知识点一：并集 1、一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作，读作“A并B”， 2、数学表达式：． 3、用Venn图表示（阴影部分）如图所示： A B B A B 4、并集的性质 对于任意两个集合A与集合B，有： ①； ②； ③； ④如果，则，反之也成立． 知识点二：交集 1、一般地，给定两个集合A，B由既属于A又属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作，读作“A交B”． 2、数学表达式：． 3、用Venn图表示（阴影部分）如图所示： A B B A B 4、交集的性质 对于任意两个集合A与集合B，有： ①； ②； ③； ④如果，则，反之也成立． 知识点三：区间 （1）设a，b是两个实数，而且a<b．我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为 [a，b]； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为 （a，b）； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 [a，b），（a，b]． 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点． 实数集R可以用区间表示为 （－∞，＋∞），“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 我们可以把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合，用区间分别表示为 [a，＋∞）， （a，＋∞）， （－∞，b]， （－∞，b）． （2）区间的几何表示 考点一：有限数集的交集运算 【例1】（2024·高一·云南保山·期中）已知集合，，那么集合等于（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高一·浙江·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知集合，则 ． 【变式1-3】（2024·上海闵行·二模）集合，，则 . 考点二：不等式解集的交集运算 【例2】（2024·高一·广东阳江·阶段练习）设，，则 . 【变式2-1】（2024·高一·上海虹口·期中）已知集合，，则 ． 【变式2-2】（2024·高一·河南南阳·阶段练习）若集合或，则 【变式2-3】（2024·高一·湖南株洲·期中）若集合，或，则 . 【变式2-4】（2024·高一·上海浦东新·期中）已知集合，，则 ． 考点三：有限数集的并集运算 【例3】（2024·高一·北京·期中）已知集合，，那么集合等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·高二·四川德阳·期末）集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·高一·北京·期中）已知集合，，那么集合等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·高一·北京昌平·期末）已知集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 考点四：不等式解集的并集运算 【例4】（2024·高一·广东江门·阶段练习）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·贵州黔东南·二模）设集合.则（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（2024·高一·江苏·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 考点五：交、并、补集的混合运算 【例5】（2024·高一·北京·期中）已知：设，，，求： (1) ； (2) ； (3) 【变式5-1】（2024·高一·广东·期末）已知集合． (1)求； (2)求． 【变式5-2】（2024·高一·河北承德·期末）已知集合. (1)求； (2)求. 【变式5-3】（2024·高一·广西北海·期末）设集合.求： (1)； (2). 【变式5-4】（2024·高一·宁夏固原·阶段练习）已知全集，集合或，求： (1)； (2). 【变式5-5】（2024·高一·新疆·阶段练习）（1）已知集合，，．求，． （2）已知集合或，．求，； 考点六：Venn图表达集合的关系及运算 【例6】（2024·高一·湖南衡阳·开学考试）如图，是全集，是的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·高一·四川成都·开学考试）已知全集，能表示集合与关系的图是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·高一·江苏盐城·期中）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【变式6-3】（多选题）（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【变式6-4】（2024·高一·广东珠海·期中）建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月底，《长津湖》票房收入已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了若干人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如图，则图中 ． 考点七：根据集合运算性质求参数范围 【例7】（2024·高一·浙江·期中）已知全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【变式7-1】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【变式7-2】（2024·高一·四川成都·期中）已知集合，集合． (1)求和； (2)设，若，求实数a的取值范围． 【变式7-3】（2024·高一·安徽铜陵·阶段练习）已知集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 【变式7-4】（2024·高二·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 考点八：区间的表示 【例8】（2024·高一·河北石家庄·期中）用区间表示为 ；用区间表示为 ． 【变式8-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知区间，则a的取值范围是 . 【变式8-2】（2024·高一·上海松江·期中）若为一确定区间，则的取值范围为 . 【变式8-3】（2024·高一·全国·课堂例题）用区间表示下列数集： （1） ； （2） ； （3）且 ； （4） ； （5） ． 1．（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高一·四川攀枝花·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高一·浙江温州·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高一·广东汕尾·期末）设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江杭州·三模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·贵州·模拟预测）已知集合，，，若，则的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．7 D．8 7．（多选题）（2024·湖北·模拟预测）设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 8．（2024·上海崇明·二模）若集合，或，则 ． 9．（2024·高一·安徽合肥·期末）学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有 人. 10．（2024·高一·北京·阶段练习）学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是 ，只参加田径一项比赛的人数是 . 11．（2024·高三·上海·期中）已知集合，，则 ． 12．（2024·高一·全国·课后作业）（1）用区间表示且为 ． （2）已知区间，则的取值范围是 ． 13．（2024·高一·宁夏吴忠·期中）已知集合或，全集. (1)求； (2)求. 14．（2024·高一·北京·期中）已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求m的取值范围. 15．（2024·高一·天津滨海新·阶段练习）已知集合，集合，. (1)当时，求：①；②； (2)若，求实数的取值范围. 16．（2024·高一·河北唐山·阶段练习）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数a的范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 交集、并集 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、理解两个集合之间的并集和交集的含义 2、能求两个集合的并集与交集. 知识点一：并集 1、一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作，读作“A并B”， 2、数学表达式：． 3、用Venn图表示（阴影部分）如图所示： A B B A B 4、并集的性质 对于任意两个集合A与集合B，有： ①； ②； ③； ④如果，则，反之也成立． 知识点二：交集 1、一般地，给定两个集合A，B由既属于A又属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作，读作“A交B”． 2、数学表达式：． 3、用Venn图表示（阴影部分）如图所示： A B B A B 4、交集的性质 对于任意两个集合A与集合B，有： ①； ②； ③； ④如果，则，反之也成立． 知识点三：区间 （1）设a，b是两个实数，而且a<b．我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为 [a，b]； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为 （a，b）； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 [a，b），（a，b]． 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点． 实数集R可以用区间表示为 （－∞，＋∞），“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 我们可以把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合，用区间分别表示为 [a，＋∞）， （a，＋∞）， （－∞，b]， （－∞，b）． （2）区间的几何表示 考点一：有限数集的交集运算 【例1】（2024·高一·云南保山·期中）已知集合，，那么集合等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合A和集合B没有公共元素，故. 故选：D 【变式1-1】（2024·高一·浙江·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 故选：C． 【变式1-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知集合，则 ． 【答案】 【解析】由已知得， 故答案为： 【变式1-3】（2024·上海闵行·二模）集合，，则 . 【答案】 【解析】， 所以. 故答案为：. 考点二：不等式解集的交集运算 【例2】（2024·高一·广东阳江·阶段练习）设，，则 . 【答案】 【解析】因为，，则. 故答案为：. 【变式2-1】（2024·高一·上海虹口·期中）已知集合，，则 ． 【答案】 【解析】. 故答案为： 【变式2-2】（2024·高一·河南南阳·阶段练习）若集合或，则 【答案】或 【解析】因为或， 所以或， 故答案为：或. 【变式2-3】（2024·高一·湖南株洲·期中）若集合，或，则 . 【答案】 【解析】由题意， 故答案为：． 【变式2-4】（2024·高一·上海浦东新·期中）已知集合，，则 ． 【答案】 【解析】因为集合，，所以. 故答案为：. 考点三：有限数集的并集运算 【例3】（2024·高一·北京·期中）已知集合，，那么集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以. 故选：B 【变式3-1】（2024·高二·四川德阳·期末）集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合，集合， 则集合. 故选：D. 【变式3-2】（2024·高一·北京·期中）已知集合，，那么集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合，，则集合. 故选：B 【变式3-3】（2024·高一·北京昌平·期末）已知集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意. 故选：C 考点四：不等式解集的并集运算 【例4】（2024·高一·广东江门·阶段练习）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以. 故选：C 【变式4-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 故选：B 【变式4-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 故选：A 【变式4-3】（2024·贵州黔东南·二模）设集合.则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，. 故选：D 【变式4-4】（2024·高一·江苏·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由. 故选：A. 考点五：交、并、补集的混合运算 【例5】（2024·高一·北京·期中）已知：设，，，求： (1) ； (2) ； (3) 【解析】（1），，， 则有 ； （2）； （3），. 【变式5-1】（2024·高一·广东·期末）已知集合． (1)求； (2)求． 【解析】（1）因为，所以； （2）， ． 【变式5-2】（2024·高一·河北承德·期末）已知集合. (1)求； (2)求. 【解析】（1）因为， 故， 所以 （2）易知， . 【变式5-3】（2024·高一·广西北海·期末）设集合.求： (1)； (2). 【解析】（1）因为， 所以. （2）因为， 所以或，或. 故或. 【变式5-4】（2024·高一·宁夏固原·阶段练习）已知全集，集合或，求： (1)； (2). 【解析】（1）. （2）或. 【变式5-5】（2024·高一·新疆·阶段练习）（1）已知集合，，．求，． （2）已知集合或，．求，； 【解析】（1），，，故， ，； （2）或，，， ，. 考点六：Venn图表达集合的关系及运算 【例6】（2024·高一·湖南衡阳·开学考试）如图，是全集，是的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】观察图形知，阴影部分在集合中，且不在集合，在中，ABC不可选，也不在中， 所以阴影部分可表示为. 故选：D 【变式6-1】（2024·高一·四川成都·开学考试）已知全集，能表示集合与关系的图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 因为，所以，C正确． 故选：C 【变式6-2】（2024·高一·江苏盐城·期中）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可知图中阴影部分所表示的集合为， 由于全集，集合， 故，则， 故选：C 【变式6-3】（多选题）（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【答案】ABD 【解析】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}， {是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人， 只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人. 故选：ABD 【变式6-4】（2024·高一·广东珠海·期中）建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月底，《长津湖》票房收入已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了若干人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如图，则图中 ． 【答案】 【解析】由韦恩图可知：， 故答案为： 考点七：根据集合运算性质求参数范围 【例7】（2024·高一·浙江·期中）已知全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，所以，， 所以， （2）由得，得解得， 所以，故实数的取值范围为 【变式7-1】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，∴. （2），则是的子集，， 当，即时，，满足题意； 当时，或解得： 综上得的取值范围是：. 【变式7-2】（2024·高一·四川成都·期中）已知集合，集合． (1)求和； (2)设，若，求实数a的取值范围． 【解析】（1）由题意，可得， 所以，． （2）因为，若， 所以解得，所以a的取值范围是． 【变式7-3】（2024·高一·安徽铜陵·阶段练习）已知集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 【解析】（1）因为， 所以或， 又因为且， 所以解得， 故a的取值范围为. （2）因为，则， 若，则，解得， 若，则解得， 综上所述a的取值范围为. 【变式7-4】（2024·高二·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【解析】（1）由题意知：； 因为，故； ①当，即时，满足，此时； ②当，若，则，解得； 综上所述：m的取值范围为 （2）因为，且，故，即， 解得，则，； ①当，即时，； 故，解得； ②当，即时，； 故，解得； ③当，即时，，不合题意； 综上所述，m的取值范围为. 考点八：区间的表示 【例8】（2024·高一·河北石家庄·期中）用区间表示为 ；用区间表示为 ． 【答案】 【解析】，. 故答案为：；. 【变式8-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知区间，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】由，得，则a的取值范围为 故答案为：. 【变式8-2】（2024·高一·上海松江·期中）若为一确定区间，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意，，解得. 故答案为： 【变式8-3】（2024·高一·全国·课堂例题）用区间表示下列数集： （1） ； （2） ； （3）且 ； （4） ； （5） ． 【答案】 【解析】； ； 且； ； . 故答案为：；；；；. 1．（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合，集合， 所以. 故选：D. 2．（2024·高一·四川攀枝花·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，， 则． 故选：． 3．（2024·高一·浙江温州·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，. 故选：A 4．（2024·高一·广东汕尾·期末）设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知，阴影部分表示的集合为， 所以. 故选：B 5．（2024·浙江杭州·三模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知集合，， 则中前面的系数应为的最小公倍数，故排除A，B， 对于C，当时，集合为， 而令，可得不为整数，故不含有7， 可得中不含有7，故C错误， 故选：D 6．（2024·贵州·模拟预测）已知集合，，，若，则的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【解析】由题意得，，又集合， 若，则，此时， 则，故子集个数为； 若，则，此时显然集合不成立，舍去； 若，，同理舍去. 综上得：时，子集个数为4个； 故选：B. 7．（多选题）（2024·湖北·模拟预测）设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】当，，，时，满足， 此时，不是的子集，所以A、B不一定成立； ，，所以C不一定成立； 对于D，若，则，但，因为， 所以，于是，所以， 同理若，则，， 因此，成立，所以D成立. 故选：ABC. 8．（2024·上海崇明·二模）若集合，或，则 ． 【答案】/ 【解析】根据题意，. 故答案为：. 9．（2024·高一·安徽合肥·期末）学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有 人. 【答案】6 【解析】如图所示，设同时参加田径和球类比赛有人， 可得，解得． 易知只参加趣味比赛一项的有6人， 故答案为：6 10．（2024·高一·北京·阶段练习）学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是 ，只参加田径一项比赛的人数是 . 【答案】 9 2 【解析】如图所示： 设U={参加比赛的学生}，A={参加游泳比赛的学生}，B={参加田径比赛的学生}，C={参加球类比赛的学生}， 依题意，，， 于是，解得， 所以只参加游泳比赛的人数为， 只参加田径比赛的人数. 故答案为：9，2 11．（2024·高三·上海·期中）已知集合，，则 ． 【答案】 【解析】因为，，所以. 故答案为：. 12．（2024·高一·全国·课后作业）（1）用区间表示且为 ． （2）已知区间，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】（1）且用区间可表示为， （2）由题意得，得，即的取值范围. 故答案为：；. 13．（2024·高一·宁夏吴忠·期中）已知集合或，全集. (1)求； (2)求. 【解析】（1） 或， ， 或； （2） 或， 所以， 所以； 14．（2024·高一·北京·期中）已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求m的取值范围. 【解析】（1）当时，， 因为， 所以；； （2）因为， 所以或， 因为，所以， 因为， 所以或， 得或， 所以m的取值范围为或. 15．（2024·高一·天津滨海新·阶段练习）已知集合，集合，. (1)当时，求：①；②； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，集合，且，， 所以或， 则，. （2）因为，又， ， 当集合时，有：，解得：； 当集合时，有：或， 解得：或， 综上所述：实数的取值范围为：. 16．（2024·高一·河北唐山·阶段练习）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数a的范围. 【解析】（1），当时，， （2）若，则 ，∴，∴ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$