专题06 成对数据的统计分析（考点串讲）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020选修）

高二沪教版数学下册期末考点大串讲 串讲06 成对数据的统计分析 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大易错易混经典例题 3道期末真题对应考点练 三大重难点题型典例剖析+技巧总结 二大常考点：知识梳理 考点透视 1．回归分析的基本思想 回归分析包括线性回归分析和非线性回归分析两种，而非线性回归分析往往可以通过变量代换转化为线性回归分析，因此回归分析的思想主要是指线性回归分析的思想． 注意理解以下几点： (1)确定线性相关关系 线性相关关系有两层含义：一是具有相关关系，如广告费用与销售量的关系等在一定条件下具有相关关系，而气球的体积与半径的关系是函数关系，而不是相关关系；二是具有线性相关关系． 判断是否线性相关的依据是观察样本点的散点图或计算相关系数． (2)回归方程的预报精度 简单来说，线性回归分析就是通过建立回归直线方程对变量进行预报，用回归方程预报时，需对函数值明确理解，它表示当x取值时，真实值在函数值附近或平均值在函数值附近，不能认为就是真实值． 2．独立性检验的基本思想 独立性检验的基本思想类似于反证法．要确认两个分类变量有关系的可信程度，先假设两个分类变量没有关系，再计算统计量χ2的值，最后由χ2的值很大在一定程度上说明两个分类变量有关系． 进行独立性检验要注意理解以下三个问题： (1)独立性检验适用于两个分类变量． (2)两个分类变量是否有关系的直观判断： 根据2×2列联表计算|ad－bc|，值越大关系越强，或用等高堆积条形图直观展示． (3)独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断．独立性检验的结论只能是有多大的把握确认两个分类变量有关系，而不能是两个分类变量一定有关系或没有关系． 例1某单位为了了解用电量y(单位:度)与气温x(单位:℃)之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温. 气温/℃ 14 12 8 6 用电量/度 22 26 34 38 题型一：回归分析 ∴b=-2.把(10,30)代入回归方程得30=-2×10+a, 解得a=50.∴经验回归方程为y=-2x+50. (2)当x=10时,y=30,估计当气温为10 ℃时的用电量为30度. 方法技巧经验回归方程的求法及应用 例2在研究弹簧伸长长度y(单位:cm)与拉力x(单位:N)的关系时,对不同拉力的6根弹簧进行测量,测得如下表中的数据: x/N 5 10 15 20 25 30 y/cm 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8 若依据散点图可知x与y线性相关,且由最小二乘法求出的经验回归方程为 =0.18x+6.34,求R2,并利用R2说明拟合效果. 题型二：一元线性回归模型分析 解 列表求值如下: 方法技巧一元线性回归模型拟合问题的求解策略 在一元线性回归模型中,R2与相关系数r都能刻画模型拟合数据的效果.|r|越大,R2就越大,用模型拟合数据的效果就越好. 例3为了调查胃病是否与生活不规律有关联,在某地对540名40岁以上的人进行了调查,结果是:患胃病者生活不规律的共60人,患胃病者生活规律的共20人,未患胃病者生活不规律的共260人,未患胃病者生活规律的共200人. (1)根据以上数据列出2×2列联表; (2)依据α=0.005的独立性检验,能否认为40岁以上的人患胃病与生活不规律有关联? 题型三：独立性检验 解 (1)由题意可列2×2列联表如下: 类型 患胃病 未患胃病 合计 生活规律 20 200 220 生活不规律 60 260 320 合计 80 460 540 (2)零假设为H0:40岁以上的人患胃病与生活不规律无关联.根据列联表得 依据α=0.005的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为40岁以上的人患胃病和生活不规律有关联. 方法技巧独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据制成2×2列联表; (2)根据公式计算χ2; (3)比较χ2与临界值xα的大小关系,得到推断结论. 解析 易错点01　混淆相关关系与函数关系致误 例1.下列两个变量具有正相关关系的是（ ） A.正方形面积与边长 B.吸烟与健康 C.数学成绩与物理成绩 D.汽车的质量与汽车每消耗1L汽油所行驶的平均路程 C 解析 C 易错点02　不理解独立性检验的基本思想 解析 B 解析 D 易错点03　对独立性检验的结果判断错误 解析 D 1.（2023春•金山区校级期末）如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，那么表明 ( ____ ) A.两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 B.两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 C.两种证券的收益有同向变动的倾向 D.两种证券的收益有反向变动的倾向 【解析】解：A，两种证券完全同向联动，同涨或同跌，相关系数必须为1，但题目中说的是相关系数为正数，不一定为1，故A选项错误； B，两种证券完全反向联动，涨和跌是完全相反的，相关系数必须为-1，但题目中说的是相关系数为正数，故B选项错误； C，题目中说的是相关系数为正数，也就是说两种证券之间变化是正相关，因此是同向变动，故C选项正确； D，两种证券收益反向变动为负相关，与题目中的相关系数为正数不符，故D选项错误． 故选：C． C 押题预测 22 2.（2023春•徐汇区校级期末）李先生是一名上班族，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间(单位：分钟)，如下茎叶图显示两类时间的共40个记录： ___________ (1)求出这40个通勤记录的中位数M，并完成下列2×2列联表： 超过M 不超过M 上班时间 下班时间 (2)根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由． 附： ，P(χ2≥3.841)≈0.05 23 【解析】解：(1)根据茎叶图可知，这40个通勤记录的中位数是 ，故M=43，2×2列联表： 超过M 不超过M 上班时间 8 12 下班时间 7 13 (2)根据题意，由 ，则 ， 故上下班的通勤时间没有显著差异． 24 3.（2023春•浦东新区校级期末）某收费APP(手机应用程序)自上架以来，凭借简洁的界面设计、方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱．该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x(单位：元)及该月对应的用户数量y(单位：万人)，得到如下数据表格： 用户一个月月租减免的费用x(元) 3 4 5 6 7 用户数量y(万人) 1 1.1 1.5 1.9 2.2 已知x与y线性相关． (1)求y关于x的线性回归方程 【解析】(1)解：由 ， ， 有 ， 故y关于x的线性回归方程为y=0.32x-0.06； 25 (2)据此预测，当月租减免费用为10元时，该月用户数量为多少？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(xi，yi)(i=1，2，⋯，n)，其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， (2)解：由(1)知回归方程为y=0.32x-0.06， 当x=10时，y=0.32×10-0.06=3.14，所以预测该月的用户数量为3.14万人 26 (1)求经验回归方程;(参考数据:xiyi=1 120,=440) (2)根据(1)的经验回归方程估计当气温为10 ℃时的用电量. 附:经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: 解 (1)=10,=30,xiyi=1 120,=440, 在散点图中,样本点大致分布在一条直线附近,利用公式求出,即可写出经验回归方程,利用经验回归模型进行研究,可近似地利用经验回归方程 x+来预测. xi 5 10 15 20 25 30 yi 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8 xiyi 36.25 81.2 134.25 198 272.5 354 25 100 225 400 625 900 yi- 0.01 -0.02 -0.09 -0.04 0.06 0.06 yi- -2.24 -1.37 -0.54 0.41 1.41 2.31 =17.5,9.49,xiyi=1 076.2,=2 275, (yi-)2=0.017 4,(yi-)2=14.678 4. 所以R2=1-0.998 81,模型拟合效果较好. χ2=9.638>7.879=x0.005. 正方形的面积与边长是函数关系，故A选项错误； 吸烟越多，越不健康，所以吸烟与健康具有负相关关系，故B选项错误； 汽车越重，每消耗1 L汽油所行驶的平均路程越短，所以汽车的质量与汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程具有负相关关系，故D选项错误；一般来说，数学成绩越好，物理成绩越好，所以数学成绩与物理成绩具有正相关关系．故C选项正确． 【例2】为调查乘客的晕机情况，在某一次恶劣气候飞行航程中，统计得到55名男乘客中有24名晕机，34名女乘客中有8名晕机．在检验这些乘客晕机是否与性别有关联时，常采用的数据分析方法是(　　) A．频率分布直方图 B．回归分析 C．独立性检验 D．用样本估计总体 根据题意，结合题目中的数据，列出2×2列联表，求出 eq \a\vs4\al(χ2)的值，对照临界值表可得出乘客晕机是否与性别有关联的结论．这种数据分析方法是独立性检验．故选C. 【变式】下列关于独立性检验的说法中，错误的是(　　) A．独立性检验依据小概率原理 B．独立性检验原理得到的结论一定正确 C．样本不同，独立性检验的结论可能有差异 D．独立性检验不是判定两类事物是否相关的唯一方法 因为利用独立性检验时与样本的选取有关，所以得到的结论可能有误，因此B中说法错误．故选B. 【例3】．在独立性检验中，假设变量X与变量Y无关联，则在假设成立的情况下，估算概率P(χ2≥10.828)≈0.001表示的意义是(　　) A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“变量X与变量Y有关联” B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“变量X与变量Y无关联” C．有99.9%的把握认为“变量X与变量Y无关联” D．有99.9%的把握认为“变量X与变量Y有关联” ∵概率P(eq \a\vs4\al(χ2)≥10.828)≈0.001，∴两个变量有关联的可信度是1－0.001＝99.9%. 【变式】在独立性检验中，假设变量X与变量Y无关联，则在上述假设成立的情况下，估算概率P(χ2≥6.635)≈0.01表示的意义是(　　) A．变量X与变量Y有关联的概率为1% B．变量X与变量Y无关联的概率为99.9% C．变量X与变量Y无关联的概率为99% D．变量X与变量Y有关联的概率为99% 若估算概率P(eq \a\vs4\al(χ2)≥6.635)≈0.01，则犯错误概率不超过0.01，即变量X与变量Y有关联的概率为99%.故选D. $$