第1章集合学案-2023-2024学年高一上学期高教版(2021)中职数学基础模块上册

第1章 集合 1.1 集合及其表示 【要点梳理】 1.集合的概念：我们把研究对象统称为 （一般用小写字母表示a、b...），把一些元素组成的总体叫做 （一般用大写字母表示A、B...）。 2.集合中元素的三个特性： 性：集合中的元素必须是完全确定的。 性：集合中的元素互不相同。 性：集合中的元素没有先后顺序。 3.集合常用的表示方法： 和 。 4.集合的分类： 和 .不含 即为空集，记作 。 4.元素与集合之间存在两种关系： 如果a是集合A中的元素，就说a 集合A，记作 ； 如果a不是集合A中的元素，就说a 集合A，记作 。 5.常用数集的符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 【典例解析】 例1 下列各组对象可以组成集合的是(　　) A．数学课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 【答案】B 【解析】A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合．故选B. 变式1 判断下列对象是否能组成集合 （1）小于1的自然数 （2）接近于0的实数 （3）小于0的自然数 （4）所有的平行四边形 （5）某班级中所有高个子同学 （6）方程的所有实数解 例2 下列选项正确的是(　　) A．0＝ B．0∈ C．{0}＝ D．{0}≠ 【答案】Ｄ 【解析】空集是没有元素的集合，0是元素，{0}是含有元素0的集合．元素与集合是属于或不属于的关系，集合与集合是包含、真包含或相等、不相等的关系． 变式2 下列集合为的是(　　) A．{0} 　　　　B． C． 　　D．{} 例3 用最恰当的符号(∈，∉,=)填空 (1)________Q； (2)0________； (3){a，b}________{b，a} 【答案】（1）∈ （2）∉ （3）= 【解析】首先要分清空的两边是元素与集合，还是集合与集合．元素与集合是属于或不属于关系，集合与集合是包含、真包含或相等关系等．注意：a是元素，{a}是集合． 例4 用适当的方法表示下列集合： (1) ； (2)； (3)平面直角坐标系中第四象限的点构成的集合。 【解析】 (1){2，3} (2){(2，1)} (3) 变式4 用适当的方法表示下列集合： （1） 大于-2且小于3的整数； （2） 大于-2且小于3的有理数； （3） 平面直角坐标系中第二象限的点构成的集合。 【小试牛刀】 1.下列说法正确的是（       ） A．某个村子里的高个子组成一个集合 B．所有小正数组成一个集合 C．集合和表示同一个集合 D．这六个数能组成一个集合 2.已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3.已知集合，实数不能取的值的集合是（       ） A． B． C． D． 4.下列选项表示整数集的是（ ） A.N B. C.Z D.R 5.下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 6.用符号“”或“”填空 （1）3.14 Q （2） Q （3） N （4）-2 N （5） R （6） R （7）2 {1,2,3,4,5} （8）m {a,b,c,d} （9）0 {x} （10）-1 {} （11） {} （12）0 {（0,5）} 1.2 集合之间的关系 【要点梳理】 集合与集合之间的关系： 　　表示 关系　　 文字语言 符号语言 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 且 ⇔ 子集 A中任意一个元素均为B中的元素 或 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 或 空集 空集是 的子集， 空集是任何 的真子集 ∅ A， ∅ B (B≠∅) 【典例解析】 例1 下列各式中关系符号运用正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确，故选：C. 变式1 用最恰当的符号(∈，∉，＝，≠，⊆，⊇，⫋，⫌)填空 (1){b}________{a，b}；(2){正方形}________{矩形}； (3)∅________A； (4)________； (5)N*________N； (6)N________Z 例2 写出集合{0，1}的所有子集，指出哪些是非空子集，哪些是真子集。 变式2 集合，，则集合的真子集的个数为（       ） A．8 B．6 C．7 D．15 变式3 设集合，若，则的值为 ． 【小试牛刀】 1.设集合，，若，则实数 . 2.已知集合，，若，则实数的所以可能取值组成的集合是 ． 3.已知集合，，则（       ） A． B．或 C． D． 4.设全集U是实数集R，，都是U的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（       ） A． B． C． D． 5.学校运动会，某班所有同学都参加了羽毛球或乒乓球比赛，已知该班共有23人参加羽毛球赛，35人参加乒乓球赛，既参加羽毛球又参加乒乓球赛有6人，则该班学生数为 。 6.某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为 7.集合，，若，则实数的取值范围是 . 1.3 集合的运算 【要点梳理】 1.两个集合A与B之间的运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 A B A B 若全集为U，则集合A的补集记为 。 Venn图表示(阴影部分) 意义 {x|x∈A x∈B} {x|x∈A x∈B} {x|x∈U x∉A} 2.集合运算中常用的结论 (1)①A∩B A； ②A∩B B； ③A∩A＝ ； ④A∩∅＝ ； ⑤A∩B B∩A。 (2)①A∪B A; ②A∪B B； ③A∪A＝ ； ④A∪∅＝ ； ⑤A∪B B∪A。 (3)①∁U(∁UA)＝ ； ②A∩(∁UA)＝ ； ③A∪(∁UA)＝ (4)①A∩B＝A⇔A⊆B ⇔A∪B B； ②A∩B＝A∪B⇔A B. 【典例解析】 例1 已知全集，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得全集，若，则{2,3}，故选:C. 变式1 若集合，则（    ） A． B． C． D． 变式2 若集合A＝{2，3，a}，B＝{1，3}，且A∩B＝{3}，则a的值可能是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 例2 已知集合． （1）求； （2）求． 【答案】(1) (2) 【解析】解：(1)因为，，所以． (2)因为，，，，． 变式2 已知集合M＝{x|1<x<5}，N＝{x|－2<x<2}，则M∩N＝________________ 例3 已知A＝{(x，y)|x＋3y＝1}，B＝{(x，y)|3x－y＝3}，求A∩B，并说明其几何意义． 【答案】 解：A∩B＝{(x，y)|x＋3y＝1}∩{(x，y)|3x－y＝3} 这里A∩B的几何意义是两直线x＋3y＝1与3x－y＝3的交点构成的集合． 【解析】这里A∩B是指既满足x＋3y＝1，又满足3x－y＝3的解构成的集合，即方程组的解集. 由于二元一次方程的图形是直线，∴A∩B的几何意义是两直线的交点构成的集合． 变式3 A＝，B＝，求A∩B，并说明其几何意义. 例4 已知集合，集合．若，则实数m的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于，所以，所以实数m的取值集合为，故选：C. 变式4 设集合，若，则的值为 ． 变式5 已知集合或，，，求的取值范围. 【小试牛刀】 1.设全集，，. 求（1），； （2）. 2.设集合，，.求： （1）； （2）； （3）. 3.已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围． 第1章 自我检测 1.已知集合A＝{1，3，a}，若2∈A，则a值为（　　）. A.1 B.2 C.3 D.4 2.设集合M＝{5}，则下列写法正确的是（　　） A.5＝M B.5⊆M C.5∈M D. ∅∈M 3.已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{4，3，2，a}，若A＝B，则a的值是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∪B＝（　　） A.∅ B. {2} C. {1，3} D. {1，2，3} 5.已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{0，m，2}，如果A∩B＝{2，3}，则m＝（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 6.已知集合A={}，则集合A中的点所在象限是（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第一象限或第三象限 7.已知集合A={0,4}，则集合A的非空真子集的个数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 8.已知全集U=N，集合A={}，则（ ） A.{} B.{} C.{0,1,2,3,4,5} D.{0,1,2,3,4} 9.用适当的符号填空： （1） 　⁠Z （2）0 　⁠N （3）{x｜}  　⁠{1，－1} （4）{0}  　⁠∅ （5）{x｜x＜1}   　⁠⁠{x｜x＜3} 10.用适当的方法表示下列对象组成的集合： （1）不大于5的正整数 　 ⁠（2）3x－2＝0的解   （3）小于2的实数 （4）比3大的负数 11.集合A＝{0，1，2}的真子集有： 12.下列集合中的有限集有： 。 （1）{x｜x＜4} （2）{x｜x2＜－3} （3）{x｜x＜6且x∈N} （4）{x｜2≤x≤4} （5）{（x，y）｜x＝1，y＝－2} 13.已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，2，4，5}，集合 B＝{4，6，7，8}，集合C＝{3，5，6，7} 求：（1）A∪B，（2）B∩C，（3） 14.已知全集U＝R，集合A＝{x｜x＞0}，B＝{x｜－2≤x＜3} 求：（1）A∩B；（2）A∪B；（3） 15.已知集合A＝{x｜＋x＋m＝0}，集合B＝{x｜＋nx＋2＝0}，且A∩B＝{}，求实数m，n的值 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 不等式 2.1 不等式的基本性质 【要点梳理】 1．实数的大小：两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即 ， ， . 依据 a>b⇔a－b 0. a＝b⇔a－b 0. a<b⇔a－b 0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的 与 的大小 2.比较实数的大小（ 比较法） 对任意实数a，b： 若a－b>0，则a b； 若a－b＝0，则a b； 若a－b<0，则a b 3.不等式的基本性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac bc a>b，c<0⇒ac bc c的符号 【典例解析】 例1 已知a<b，则下列不等式成立的是(　　) A．a＋3>b＋3 B．a－3>b－3 C．3a>3b D．－3a＞－3b 【答案】 D 【解析】根据不等式的性质进行判断 变式1 若，比较与的大小 变式2 若a>2，则a－2________0. 变式3 已知0<a<1，则(　　) A． B． C． D． 变式4 若a>0，ac<0，则(　　) A． c<0 B．c>0 C．c为任意实数 D．c≤0 变式5 “a>2且b>2”是“a＋b>4”的(　　) A． 充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 变式6 下列命题正确的是(　　) A．若a>b，则a>b B．若a＋b>a，则b>0 C．若a>b，则b－a>0 D．若ab>0，则a>0且b>0 【小试牛刀】 1.用符号“>”“<”填空 （1）如果a<b ，那么a−5 b−5 （2）如果a>b，那么a+4 b+2 （3）如果a<b，那么 （4）如果a>b，那么3a−2 3b−3． 2.已知，，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 3.比较与的大小 4. 已知a>b，则下列不等式成立的是(　　) A． B． C． D． 5.下列命题错误的是(　　) A．若>，>，则＋>＋ B．若>，>，则－>－ C．若>，>，则－>－ D．若>>0，>>0，则> 6.比较与的大小 7.如果代数式与代数式的差不小于3，求x的取值范围 8.若试证明 2.2 区间 【要点梳理】 1.设a，b是两个实数，且a＜b，则有下表： 定义 {x|a≤x≤b} {x|a＜x＜b} {x|a≤x＜b} {x|a＜x≤b} 名称 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 符号 数轴表示 2.实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”．如： 集合 {x|x≥a} x＞a {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 【典例解析】 例1 已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且，所以，解得，即，故选：D. 变式1 已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例2 已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，，解得，综上，实数的取值范围是，故选：D. 变式2 已知集合，，若是假命题，则实数a的取值范围是 ． 例3 全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，∴，∵，∴，故选：D． 变式3 已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【小试牛刀】 1.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2.若全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 3.设集合，则 4.已知，，则的范围是 5.已知，则的取值范围为 6.已知，，且，则实数a的取值范围为 7. 已知集合，． （1）在①，②，③这三个条件中选择一个作为已知条件，求； （2）若，求实数的取值范围． 8. 设，，求，，的范围. 2.3 一元二次不等式 【要点梳理】 1．一元一次不等式的解法 当时，解集为； 当时，解集为. 解一元一次不等式的一般步骤： 去 →去 →移 →合并 →化简 解题过程中注意不等号的 。最后结果一般用 或 表示 2．一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 不等式． (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的 ． (3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取 ，小于号取 ”求解集． (4)一元二次不等式的解： 二次函数 （）的图象 有 实根 有 实根 【典例解析】 例1 不等式－3x－6<0的解集是(　　) A．(－2，＋∞) B．(－∞，－2) C．(2，＋∞) D．(－∞，2) 【答案】A 【解析】不等式两边同时加上6，再除以－3(注意变号)，可得x>－2. 变式1 不等式－6≤－3x的解集是(　　) A．[－2，＋∞) B．(－∞，－2] C．[2，＋∞) D．(－∞，2] 例2 不等式组的解集为(　　) A．{x|x>－2} B．{x|x<1} C．{x|－2<x<1} D．∅ 【答案】C 【解析】2x＋1<3可得x<1，3x－2>－8可得x>－2，∴不等式组的解集为－2<x<1. 解一元一次不等式组，就是求不等式组中各不等式的解集的交集． 变式2 不等式组的解集为(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，－4) C．(－4，2) D．∅ 例3 不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】原式化为，即，故不等式的解集为，故选:D． 变式3 记集合 ，， 则（    ） A． B．或 C． D． 例4 若函数的定义域为，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，成立，当时，成立，即，当时，，解得，因此得，所以的范围是，故选：A. 变式4 若任意，恒成立，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D.或 【小试牛刀】 1.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2.不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 3.不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 4.已知不等式的解集为，则 ． 5.若实数满足不等式，则的取值范围是__________. 6.解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 7.解不等式组： 2.4 含绝对值的不等式 【要点梳理】 含绝对值不等式的解法 （1） （2） （3） （4） 解含绝对值的不等式的基本思路是： 先将其转化为不含绝对值的不等式， 再依据一元一次不等式的解法步骤进行求解， 不等式的解集要写成集合或区间的形式． 【典例解析】 例1 解不等式：|x－3|<2.(用区间表示) 【答案】（1，5） 【解析】解：原不等式可化为－2<x－3<2，即1<x<5. ∴原不等式的解集为(1，5). 变式1 不等式|x－6|≤2的解集是________. 例2 解不等式：|2x＋5|>4. 【答案】 【解析】解：|2x＋5|>4⇔2x＋5<－4或2x＋5>4⇔2x<－9或2x>－1，即或， ∴原不等式的解集是. 变式2 不等式|x－2|≥1的解集是(　　) A．[1，3] B．(－∞，－3]∪[3，＋∞) C．[－3，3] D．(－∞，1]∪[3，＋∞) 【小试牛刀】 1.求不等式|x－5|＞－1的解集 2.求不等式2|3x＋1|－1<5的解集 3.若a>0，关于x的不等式|2ax|<1的解集是{x|－2<x<2}，则a的值为(　　) A．－1 B． C． D．5 4.已知关于x的不等式|x－3|<a的解集是{x|－3<x<9}，则(　　) A．a>6 B．a＝6 C．a<6 D．a≥6 第2章 自我检测 1.如果a＞0，那么以下不等式正确的是（　 　） A.2a＞3a B. －3a＞－2a C. a－2＜a＋2 D. a－2＞a＋2 2.不等式｜x｜＜2的解集是（　 　） A. {x｜x＜±2} B. {x｜－2＜x＜2} C. {x｜x＜2} D. {x｜x＜－2或x＞2} 3.不等式（x－1）（x＋2）≥0的解集是（　 　） A. （－2，1） B. [－2，1] C. （－∞，－2）∪（1，＋∞） D. （－∞，－2]∪[1，＋∞） 4.不等式3x－6≥0的解集用区间表示是（　 　） A. （2，＋∞） B. [2，＋∞） C. （－∞，2） D.（－∞，2] 5.求不等式－2<4－2x<8的解集. 6.求不等式的解集 7.求不等式的解集 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章函数 3.1 函数的概念 【要点梳理】 1. 函数的概念 （1）函数的定义 设集合D是一个 数集，对D中 x，按某种确定的对应关系f，都有唯一确定的实数值y与它对应，则称y为x的函数，记作 ，x∈D.其中x为自变量，y为因变量，自变量x的取值范围D称为函数的 ，对应的因变量y的取值范围称为函数的 。 （2）函数的三要素 、 和 是函数的三要素 函数的 和 是判断两个函数是否为相同函数的依据 2. 函数的定义域(的取值范围） 常见函数的形式：整式、分式、根式、零次幂、指数、对数等形式．其定义域要求如下： (1) 整式函数y＝f (x)的定义域为 (2) 分式函数定义域要求分母不为 (3)偶次根式的定义域要求被开方数 (4)奇次根式的定义域为 (5)指数函数的定义域为 (6)对数函数的定义域为 3. 函数的值域(的取值范围） 概念：值域是 的取值范围，是由函数的定义域、对应关系唯一确定的。 【典例解析】 例1 判断下列函数是否为同一个函数，并说明理由 （1）f(x)=x+1与g(t)=t+1； （2）f(x)=x与g(x)= 【答案】（1）是 （2）不是 【解析】（1）虽然函数f(x)=x+1与函数g(t)=t+1中表示自变量的字母不同，但它们的定义域和对应法则都是相同的，所以它们表示的是同一个函数； （2）因为函数f(x)=x的定义域为R ，函数g(x)=的定义域为{x|x≠0}，它们的定义域不同，因此它们表示的不是同一个函数． 变式1 下列函数中，与函数y＝x表示同一个函数的是(　 　) A． B． C． D． 例2 函数的定义域为（    ） A．(1，+∞) B．[1，+∞) C．[1，2) D．[1，2)∪(2，+∞) 【答案】D 【解析】由题意，解得且 变式2 函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 例3 已知函数，求的值 【答案】6 6 【解析】解： 变式3 已知函数，求，，的值 【答案】18 -18 【解析】 【小试牛刀】 1.函数的定义域是 。 2.函数的值域是 。 3.函数，，则函数的值域是 。 4.函数的定义域是(　　) A．(－1，1) B．(－1，＋∞) C．[－1，1) D．[－1，1)∪(1，＋∞) 5.已知函数f(1－x)＝2x－3，则f(2)＝(　　) A．－7 B．－4 C．－3 D．－5 6.已知，则（    ） A．50 B．48 C．26 D．29 7.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 8.函数值域是（    ） A． B． C． D． 9.已知函数求函数f(x)的定义域和值域． 3.2 函数的表示方法 【要点梳理】 1. 函数的表示方法 （1）用解析式表示函数的方法称为 。 （2）用表格表示函数的方法称为 。 （3）用图像表示函数的方法称为 。 2. 分段函数 （1）定义：在函数 内，若对于自变量x的不同取值区间有不同的对应法则，这样的函数称为分段函数。 （2）定义域：自变量各个不同取值范围的 。 （3）图像特征：分段函数的图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等。 【典例解析】 例1 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． 【解析】函数的定义域是{1,2,3，…，10}，值域是{3 000，6 000，9 000，…，30 000}，可直接列表、画图表示，分析题意得到表示y与x关系的解析式，注意定义域． 【答案】解：①列表法如下： x(台) 1 2 3 4 5 y(元) 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x(台) 6 7 8 9 10 y(元) 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 ②图象法：如图所示． ③解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}． 变式1 购买某种饮料x听，所需钱数为y元。若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示为x（x∈{1，2，3，4}）的函数，并指出函数的值域。 例2 已知，则（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】 C 【解析】由可得 变式2 某市出租汽车收费标准如下：在以内（含）路程按起步价7元收费，超过 以外的路程按2.4元收费，试写出收费额关于路程的函数的解析式。 例3 若函数，则__________． 【答案】2 【解析】由题意知，，， 所以. 变式3 已知函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【小试牛刀】 1.函数的值域为 。 2.已知f(x)＝则f(3)等于(　　) A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5 3.已知f(x)的定义域和值域都是{－1,0,1,2}，且满足下表： x －1 0 1 2 f(x) 0 1 －1 2 则f(f(0))＝(　　) A．0　　　　　　B．1 C．－1 D．2 4.下列函数的图像是一条直线的是（ ） A. B. C. D. 5.f(x)＝|x－1|的图象是(　　) 6.如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为 ，值域为 ． 7.下表表示y是x的函数，则该函数的定义域是 ，值域是 . x y 1 2 3 3.3 函数的性质 【要点梳理】 1．增函数 （1）定义：设函数)在区间内有意义。对任意，当 时，都有 成立，那么，函数称为区间内的 ，区间称为函数的 。 （2）图像特征：函数值随自变量的增大而 ，自左到右图像呈 。 2．减函数 （1）定义：设函数)在区间内有意义。若对任意，当 时，都有 成立，那么，函数称为区间内的 ，区间称为函数的 。 （2）图像特征：函数值随自变量的增大而 ，自左到右图像呈 。 3.判断函数单调性的方法 利用单调性的定义判断、证明函数单调性的一般步骤： ①设，是给定区间内的任意两个值，且 ； ②作差：，并将此差式变形； ③判断的 ； ④根据的 确定其增减性．（口诀：同 异 ） 3．奇函数 （1） 定义：若函数的定义域关于 ，对于定义域内的任意一个，都有 ，则这个函数称为 ； （2） 图像特征 ：一个函数是奇函数的充要条件是它的图像关于 对称。 【注意】　当时，若奇函数有意义，则。 4．偶函数 （1） 定义：若函数的定义域关于 ，对于定义域内的任意一个，都有 ，则这个函数称为 ； （2） 图像特征：一个函数是偶函数的充要条件是它的图像关于 成轴对称。 5．判断函数单调性的方法 (1)定义法 ①判断定义域是否关于原点对称； ②判断与的关系： 若＝－或＋＝0，则为 函数； 若＝或－＝0，则为 函数； 若)≠且≠－，则为 函数； 若＝－＝，则既是 又是 。 (2)图像法 若函数图像关于 对称，则此函数是奇函数； 若函数图像关于 对称，则此函数是偶函数。 【典例解析】 例1 定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题图知：在上的单调递减，在上的单调递增，所以的单调递减区间为，故选：B． 变式1 下列函数中，在(－∞，0)上单调递减的是(　　) A． B． C． D． 例2 已知是定义在R上的增函数，则下列式子成立的是(　　) A． B． C． D．的大小不能确定 【答案】A 【解析】∵－2<5，∴根据增函数的定义得. 变式2 若在R上是减函数，则(　 　) A． B． C． D．的大小不能确定 例3 函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B．(2，3) C．(1，2) D．(1，3) 【答案】A 【解析】∵是定义在R上的增函数，且，∴，解得，则a的取值范围为，故选：A． 变式3 函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例4 若偶函数在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是偶函数，所以，在上是减函数，所以在上是增函数，所以，故，故选：B. 变式4 设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 例5下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】AD选项为奇函数，故AD错；B选项为偶函数，当时，，单调递增，故B正确； C选项为偶函数，但在上单调递减，故C错，故选：B. 变式5 下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 例6 函数是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【解析】函数是定义在上的奇函数，所以，故答案为:. 变式6 已知是偶函数，，则 . 例7 是R上的奇函数，当时，，则时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，当时，，则，又为R上的奇函数，所以，故选：C. 变式7 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 1. 函数在是 函数（填“增”或“减”） 2. 函数的减区间是 。 3. 函数在上为减函数，则一定有（ ） A. B. C. D.不能确定 4.已知是偶函数，在上是增函数，则，，的大小关系为：（    ） A． B． C． D． 5.定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．6 B．10 C． D． 6.已知定义在R上的函数F(x)＝f(x)－2是奇函数，满足f(－1)＝1，则f(0)＋f(1)＝(　　) A．－3 B．－1 C．2 D．5 7.如果奇函数在区间上是增函数且最大值为8，那么在区间上是（    ） A．增函数且最大值是 B．增函数且最小值是 C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是 8.已知是上的奇函数，且当时，，求的解析式 9.已知函数 （1）求函数的定义域和值域； （2）判断函数的奇偶性并直接写出其单调区间； （3）求函数在区间上的最大值和最小值 3.3.3 几种常见函数 【要点梳理】 1.常见函数的单调性 (1)一次函数 当时，在R上是 ；当时，在R上是 。 (2)反比例函数 当时，在(－∞，0)和(0，＋∞)上是 ； 当时，在(－∞，0)和(0，＋∞)上是 。 (3) 二次函数，对称轴 当时，在上是 ，在上是 ； 当时，在上是 ，在上是 。 (4)指数函数： 当时，在R上是 ；当时，在R上是 。 (5)对数函数： 当时，在(0，＋∞)上是 ；当时，在(0，＋∞)上是 。 2.常见函数的单调性 (1)整式函数 ①若整式函数的定义域关于原点对称，且自变量的次数都是奇数次时，整式函数是 。例如，，； ②若整式函数的定义域关于原点对称，且自变量的次数都是偶数次时，整式函数是 。例如，，，； ③若整式函数的定义域关于原点对称，且自变量的次数既有奇数次又有偶数次时，整式函数是 。例如，。 (2)常值函数 常值函数在定义域R上为 。特别地， (前提条件是函数＝0的定义域关于原点对称)。 (3)正比例函数 正比例函数)在定义域R上是 。 (4)反比例函数 反比例函数在定义域上是 。 (5)二次函数 二次函，当时，是 ；当时，是 。 (6)指数函数 指数函数是 。 (7)对数函数 对数函数是 。 【典例解析】 例1 已知点在一次函数的图像上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】把点的坐标代入一次函数中，得，， ，故选：C． 变式1 点关于轴的对称点在一次函数的图象上，则的值为（    ） A． B．0 C． D． 例2 一次函数的图象经过的象限是（    ） A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、二、四 D．一、三、四 【答案】C 【解析】∵，，，∴函数图象经过一、二、四象限，故选：C． 变式2 一次函数的图象如图所示，则m的取值范围是（　　） A． B． 且 C． D． 或 例3 下列函数中，不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】反比例函数的三种形式为： ①（为常数， ），② （为常数，），③ （为常数，）， 由此可知：只有不是反比例函数，其它都是反比例函数，故选：C． 变式3 下列属于反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 例4 下列各点中，不在反比例函数图象上的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项中，当时，，故该选项不符合题意； B选项中，当时，，故该选项不符合题意； C选项中，当时，，故该选项符合题意； D选项中，当时，，故该选项不符合题意；故选C. 变式4 已知反比例函数，则它的图象不经过点（    ） A． B． C． D． 例5 反比例函数的图像可能是（    ） A． B．C． D． 【答案】C 【解析】∵反比例函数，，∴图象分布在第一、三象限，故选C． 变式5 关于反比例函数，下列说法不正确的是（    ） A．y随x增大而增大 B．图象分别在第二、四象限 C．该反比例函数图象与坐标轴无交点 D．图象经过点 例6 二次函数图像的开口方向向________；对称轴方程为________；顶点坐标为________；与x轴的交点坐标为________和________；与y轴的交点坐标为________；值域为________；当x＝________时，＝________；递增区间为________；递减区间为________；奇偶性为________。 【答案】下 （1，8） （-1，0） （3，0） （0，6） 1 8 非奇非偶函数 【解析】∵，∴开口向下；对称轴方程为；顶点坐标为，即，即(1，8)；令，则，解得，∴与轴的交点为(－1，0)，(3，0)；令＝0，则＝6，∴与y轴的交点为(0，6)；值域为(－∞，8]；当＝1时，，或；递增区间为(－∞，1]；递减区间为[1，＋∞)；∵b＝4≠0，∴为非奇非偶函数． 变式6 二次函数图像的开口方向向_____ ___；对称轴方程为________；顶点坐标为________；与x轴的交点坐标为________和________；与y轴的交点坐标为________；值域为_______；当x＝________时，＝________；单调递增区间为________；单调递减区间为________；奇偶性为_______。 例7 利用一面旧墙围一个矩形养鸡场，已知现有篱笆材料120米，问如何围才能使鸡场面积最大？(假设旧墙够长) 【答案】见解析 【解析】解：设矩形的一边长为，面积为，则矩形的另一边长为，，即，当时，，. 所以鸡场的边为30米，另一边为60米时，鸡场面积最大为1800平方米． 变式7 已知矩形的周长为10，若该矩形的面积为A，一边的长为x. (1)将A表示为x的函数； (2)求A的最大值； (3)设周长为10的圆的面积为S，试比较A和S的大小关系，并说明理由． 【小试牛刀】 1．若函数，在其定义域上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调减区间为（       ） A． B． C． D． 3．对于函数的图象，下列结论错误的是（　 ） A．图象必经过点 B．图象经过第一、二、四象限 C．与轴的交点为 D．若两点，在该函数图象上，则 4. 函数的值域是( ) A. B. C. D. 5.函数和函数的图像可能是( ) 6.用一段长为50m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长25m．当这个矩形菜园的宽（矩形的较短边）为（    ）时，围成的矩形菜园的面积最大？ A． B． C．10 D．15 7．已知函数为一次函数，且，则 ． 8．某苹果种植合作社通过网络销售苹果，如图所示的线段AB反映了苹果的日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）间的函数关系，已知1千克苹果的成本是5元，如果某天该合作社的苹果销售单价为8元/千克，那么这天销售苹果的盈利是 元． 9. 若函数f(x)=的最大值为1,则k=________. 10. 已知点、、在反比例函数的图象上，则的大小关系是___________． 11已知点，，在反比例函数的图像上． （1）求该反比例函数的图像位于第几象限； （2）比较，，的大小关系． 12．已知一次函数． (1)a，b为何值时，y随x的增大而增大？ (2)a，b为何值时，图象过第一、二、四象限？ (3)a，b为何值时，图象与y轴的交点在x轴上方？ 第3章 自我检测 1.已知函数，则等于(　　) A．2x－1 B．x＋1 C．2x＋1 D．1 2.由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于（    ） x 1 2 3 4 5 y 4 5 3 2 1 A．1 B．2 C．4 D．5 3.已知函数的图像经过点（5，4），则实数的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5.函数，的值域为． A． B． C． D． 6.下列函数中与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 7.下表表示y是x的函数，则函数的值域是（    ） x y 1 0 1 A． B． C． D． 8.设函数若f（a）＝4，则实数a＝（    ） A．－4或－2 B．－4或2 C．－2或4 D．－2或2 9.在区间(－∞，0)上为增函数的是(　　) A．y＝－2x B． C．y＝|x| D．y＝－x2 10.定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 11.函数f(x)的部分图象如图所示,则此函数在[-2,2]上的最小值、最大值分别是 A．-1,3 B．0,2 C．-1,2 D．3,2 12.已知函数在区间上是增函数，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 13.二次函数，当时，对应值有相应的取值范围，则取值的最大值为（　　） A．3 B．0 C．8 D．1 14.下列各点中，在反比例函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 15.一次函数的图象经过的象限是（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 三角函数 4.1 角的概念的推广 【要点梳理】 1. 任意角的概念 一条射线由位置OA，绕着它的端点O，按逆时针(或顺时针)方向旋转到另一个位置OB形成的图形称为角。射线OA，OB分别是角的始边和终边，端点O称为角的顶点． (1)角的概念的推广 正角、负角、零角的概念： 按逆时针方向旋转形成的角称为 ； 按顺时针方向旋转形成的角称为 ； 当射线没有作任何旋转时，我们把它称为 。 (2)象限角 在平面直角坐标系中，将角的顶点与 重合，角的始边与 重合。那么，角的 落在第几象限，就把这个角称为第几象限角。 例如，30°，390°，－330°都是 ；120°是 ； －120°是 ；－60°和300°都是 。 【注意】　终边落在坐标轴上的角，称为界限角，如90°，180°．界限角不属于任何象限。 2. 终边相同的角 始边在x轴的正半轴，终边落在同一位置的角称为终边相同的角。 与角终边相同的角构成的集合为 。 【典例解析】 例1 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角。 (1)420°；　　(2)－240°；　　(3)930°． 【答案】(1)一 （2）二 （3）三 【解析】(1)∵420°＝60°＋1×360°或(420°－360°＝60°），∴420°与60°的终边相同．∴420°是第一象限角． (2)∵－240°＝120°＋(－1)×360°或(－240°＋360°＝120°)，∴－240°与120°的终边相同，∴－240°是第二象限角． (3)∵930°＝210°＋2×360°或(930°－2×360°＝210°)，210°是第三象限角，∴930°第三象限角。变式1 在0°～360°范围内，与600°角终边相同的角是________，它是第________象限角。 【小试牛刀】 1. －120°是第________象限角．(　　) A．一 B．二 C．三 D．四 2. 下列说法中，正确的是(　　) A．大于90°的角是钝角 B．锐角一定是第一象限角 C．小于90°的角是锐角 D．第一象限角一定是锐角 3. 下列各角中，终边位于第三象限的是(　　) A． B． C．300° D．210° 4. 下列各角中，与50°终边相同的角是(　　) A．－50° B．－40° C．410° D．－410° 5. 下列各角中，与 终边相同的角为(　　) A． B． C． D． 4.2 弧度制 【要点梳理】 1.弧度制 (1)弧度制概念 长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。 (2)角度与弧度的换算 ， (3)常用的角度与弧度对应表 角度制 弧制度 (4)扇形中的弧长公式和面积公式 ①弧长公式：(是圆心角的弧度数)，②扇形面积公式：. 【典例解析】 例1 将下列各角进行角度和弧度转换：＝________；75°＝________. 【答案】15° 【解析】本题考查角度制与弧度制的转换，由弧度制转化为角度制，需乘；由角度制转化为弧度制，需乘. 变式1将下列各角进行角度和弧度转换： (1)rad＝________；(2)－120°＝________. 例2 若扇形的半径为3 cm，圆心角为120°， 则该扇形的弧长等于________，面积为________. 【答案】 【解析】本题考查弧长公式和扇形面积公式．先把圆心角转化为弧度，再利用弧长公式、面积公式即可．∵，∴弧长，面积. 变式2 已知扇形的弧长为，半径为2， 则该扇形的圆心角为________，面积为________. 【小试牛刀】 1.将下列弧度(角度)化为角度(弧度)： (1)240°＝________；　　 （4）＝________； (2) ＝________；　 （5）＝________； (3) ＝________； （6）＝________。 2.在区间内，与角终边相同的角是________. 3.设三角形的三内角之比为2∶3∶5，则各内角弧度为 ． 4.已知某扇形的周长为20 cm，圆心角为3，扇形的半径为 、面积为 ． 5.在半径为cm的圆上，一扇形所对的圆心角为，则此扇形的面积为（       ） A． B． C． D． 6.若一个扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的弧长等于（       ） A． B． C． D． 7.弧度的角的终边在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.在平面直角坐标系中，角的终边经过点，那么角的大小可能是（ ） A. B. C. D. 4.3 任意角的三角函数 【要点梳理】 1.任意角的三角函数的定义 条件 设α是一个任意角，α∈R， 它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)，圆半径r= 定义 正弦 点P的纵坐标y叫做α的正弦函数， 记作 ，即y＝sin α 余弦 点P的横坐标x叫做α的余弦函数， 记作 ，即x＝cos α 正切 点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切， 记作 ，即＝tan α(x≠0) 三角函数 正弦函数 ，x∈R 余弦函数 ，x∈R 正切函数 ，x≠＋kπ，k∈Z 2.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 【典例解析】 例1 若角的终边经过点(－3，4)，求角的正弦值、余弦值和正切值． 【答案】见解析 【解析】解：∵，∴，∴，，. 变式1 如果角的终边经过点P(－4，3)，则sin＝(　　) A． B． C． D．－ 例2 已知，则角所在的象限是（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】因为，所以角所在的象限是第二象限，故选B． 变式2 若sin>0，cos<0，则是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 例3 已知角的终边过点，且，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】角的终边过点，故可得，解得，故. 故选D. 变式3 若角的终边经过点，且，则m的值为（ ） A．3 B． C．3或 D．5或 例4 已知角的终边过点，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故选B. 变式4 已知角终边上有一点，求下列各式的值． （1）；       （2）． 例5 求下列三角函数值： (1)；　 (2)5cos90°＋2tan60°. 【答案】（1）0 （2） 【解析】解：(1)原式＝. (2)原式＝. 变式5 求下列函数值： (1)sin0°＋cos0°－3tan45°； (2). 【小试牛刀】 1.若角的终边过点，则cos的值为(　　) A． B． C． D． 2.若sin<0，tan>0，则是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3．若且，则是（     ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4．设角的终边上有一点，则的值是（       ） A． B． C．或 D．1 5.若cos＝，且为第四象限角，则sin＝(　　) A． B． C． D． 6.已知角的终边上有一点，则= . 7. . 8.如果的终边过点，那么 . 9.函数的定义域为 . 10.弧度的角的终边与单位圆的交点的坐标是 . 4.4 同角三角函数的基本关系 【要点梳理】 1．同角三角函数的基本关系 关系式 文字表述 平方关系 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 【典例分析】 例1 已知sin＝，且为第三象限角，求cos和tan的值． 【答案】见解析 【解析】解：由得cos＝= . ∵为第三象限角，∴cos＝，∴tan＝. 变式1 已知cos＝，且为第四象限角，求sin和tan的值． 例2 若，则（       ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【解析】由题意得：，，，故选A. 变式2 已知，则（       ） A． B． C． D． 例3 已知，，则 . 【答案】 【解析】将两边平方可得，则，故答案为. 变式3 已知，则的值为 ． 【小试牛刀】 1.化简：(1＋cos)(1－cos)＝________. 2.已知sin＋cos＝，则sin·cos＝________. 3.已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4.已知，若是第二象限角，则的值为（    ） A． B． C．－ D．－ 5.已知，，则 ． 6.已知，，求下列各式的值． （1）； （2）． 7.已知＝，并且α是第二象限角，求和． 8.已知sin＝2cos，求： (1) 的值； (2)sin·cos的值． 4.5 诱导公式 【要点梳理】 1.= ；= = ； 2.= ；= ；= ； 3.= ；= ；= ； 4.= ；= ；= 。 【典例解析】 例1 求下列各三角函数值： (1)cos(－60°)；　　　　(2)sin390°；　　　　(3)tan . 【答案】见解析 【解析】解：(1)cos(－60°)＝cos60°＝. (2)sin390°＝sin(30°＋360°)＝sin30°＝. (3). 变式1 求值： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 例2 已知为第三象限角，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴，∵为第三象限角，∴，故选D. 变式2 若，，则等于（       ） A． B． C． D． 例3 已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点， 所以，因此，故选B. 变式3 已知角的终边经过点，则的值为（        ） A． B． C． D． 例4若tan＝2，化简并求值：. 【答案】3 【解析】解：原式＝. 变式4 若tan＝2，化简并求值：. 【小试牛刀】 1.若，，则角的终边在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.已知，则（       ） A． B． C． D． 3.若cos＝，则cos＝(　　) A． B． C． D．以上均不对 4.若sin<0，且cos<0，则是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 5.如果，那么（ ） A. B. C. D. 6.如果，那么下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 7.求值：cos＝________. 8.若角的终边过点，则 ． 9.若，则 . 10.求值：sin60°＋cos150°＋tan45°＝________. 4.6 正弦函数的图像和性质 【要点梳理】 1.函数的周期性 一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数，使得对每一个，都有 ，且 ，那么函数就叫做周期函数。 非零常数叫做这个函数的周期。 若周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么它就叫做的 。 2.正弦函数的图像 正弦函数，的图象叫做正弦曲线，正弦图像画法（ ）： 在函数，的图象上,以下五个点： ， ， ， ， ， 描出这五个点，函数，的图象形状就基本确定了。因此，在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图。 3.正弦函数的性质 函数 定义域 值域 最值 当时，； 当时， 周期性 奇偶性 单调性 在上是 函数， 在上 减函数 【典例分析】 用“五点法”分别画出函数的示意图，并写出函数的最大值及相应的值。 【答案】见解析 【解析】解：(1)取点列表 x 0 π 2π y＝sinx 0 1 0 －1 0 y＝2sinx－1 －1 1 －1 －3 －1 由图像可知，当时，y取最大值1. 变式1 请用“五点法”画出函数y＝2－sinx在[0，2π]上的简图． 例2 求函数y＝2sinx＋1的最大值和最小值． 【解析】解：∵－1≤sinx≤1， ∴2×(－1)＋1≤2sinx＋1≤2×1＋1， ∴－1≤2sinx＋1≤3，即－1≤y≤3， ∴，. 变式2 函数y＝3sinx的最大值为________，最小值为________； 例3 若x∈[0，2π]，且sinx＝，则x＝________. 【答案】 变式3 当x∈[0，2π]时，若sinx＝，则x＝________. 【小试牛刀】 1.已知定义在R上的函数f（x）的周期为2，且f（3）=5，则f（1）= ,f（5）= 。 2.填写下表，指出利用“五点法”画函数在【0，】上的简图时的五个关键点。 x 0 sinx 3sinx 函数五个关键点的坐标分别是： ， ， ， ， 。 3.函数y＝2sinx的值域为(　　) A．[－2，2] B．[－1，1] C．[0，2] D．[－4，1] 4.当函数取得最小值时，的取值范围为______________________. 5.若函数的最大值为5，则实数m的值是________. 6.函数与函数的图象关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．原点对称 D．直线对称 7.函数，的简图是 A．B．C．D． 8.三角函数在区间上的图像为（　　） ABCD． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 4.7 余弦函数的图像和性质 【要点梳理】 1.余弦函数的图像 余弦函数,的图叫做余弦曲线，余弦图像画法（ ）： 画余弦函数在上的图象时，所取的五个关键点分别为 ， ， ， ， 再用光滑的曲线连接起来。 2.余弦函数性质 函数 定义域 值域 最值 当 时，； 当 时， 周期性 奇偶性 函数 单调性 在(k∈Z)上是 函数， 在上是 函数 【典例分析】 例1 用“五点法”分别画出函数的示意图，并写出函数的最大值及相应的值。 【解析】解：取点列表 x 0 π 2π y＝cosx 1 0 －1 0 1 y＝－2cosx －2 0 2 0 －2 由图像可知，当时，y取最大值2。 变式1 请用“五点法”分别画出函数y＝3cosx－1在[0，2π]上的简图。 例2 函数在区间上的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在上单调递减，在上单调递增，且， 因此，函数在区间上的最大值是.故选：D. 变式2 函数y＝1－2cosx的最大值为________，最小值为________. 例3 函数，x∈R在（       ） A．上是增函数 B．上是减函数C．上是减函数 D．上是减函数 【答案】B 【解析】，所以在上递增，在上递减.B正确，ACD选项错误，故选：B. 变式3 函数的单调递增区间是 。 【小试牛刀】 1.函数的周期是 ， ， ， ， 。 2.函数的最大值是 ，最小值是 ，值域是 。 函数的最大值是 ，最小值是 ，值域是 。 函数的最大值是 ，最小值是 ，值域是 。 3填写下表，指出利用“五点法”画函数在【0，】上简图时的五个关键点。 x 0 cosx 1+cosx 函数五个关键点的坐标分别是： ， ， ， ， 。 4.不求值，比较下列各组数的大小。 （1）与 （2）与 5.已知点在余弦曲线上，则m＝（    ） A． B．－ C． D．－ 6.函数的图象经过点 A．() B．() C．(,0) D．(,1) 7.函数的定义域为 8．满足的的取值范围是 第4章 自我检测 1.下列各角中，与50°终边相同的角是(　　) A．－50° B．－40° C．410° D．－410° 2.下列各角中，终边位于第三象限的是(　　) A． B． C．300° D．210° 3.设，则角所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.（ ） A. B. C. D. 5.已知某扇形的周长是，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ） A． B． C． D． 6.设角的终边上有一点，则的值是（       ） A． B． C．或 D．1 7.如果角是第三象限角，则（ ） A. B. C. D. 8.若cos＝，且为第四象限角，则sin＝(　　) A． B． C． D． 9.函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D.4 10.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（    ）. A． B． C． D． 11．函数的简图是（    ） A．B．C． D． 12.已知角α的终边上一点P(m, )，且cos α＝，则m＝ ． 13.函数的定义域为 . 14.已知，，则 . 15.已知，，则的值为 . 16.的周期是 . 17.当函数取得最小值时，的取值范围为______________________. 18.已知 （1）求的值； （2）若，求的值． 19.求函数的定义域 20.化简： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$