专题05 二元一次方程组（四大题型）-备战2023-2024学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（苏科版）

专题05 二元一次方程组 二元一次方程 1．（2023春•南通期末）若，是关于x和y的二元一次方程mx+ny＝3的解，则2m﹣4n的值等于（　　） A．3 B．6 C．﹣1 D．﹣2 2．（2023春•姜堰区期末）已知关于x、y的二元一次方程（m+1）x+（2﹣m）y﹣4m+2＝0，当m每取一个值时，就有一个对应的方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解是（　　） A． B． C． D． 3．（2023春•海安市期末）将方程2x﹣3y＝7，用含y的代数式表示x为 　 　． 4．（2023春•句容市期末）若是方程kx﹣2y＝4的解，则k的值为 　　． 二元一次方程组 1．（2023春•姑苏区校级期末）古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 2．（2023春•淮安区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，且∠AOD＝150°．∠EOB比∠COE大90°，设∠COE＝x°，∠EOB＝y°，则可得到的方程组为（　　） A． B． C． D． 3．（2023春•邗江区校级期末）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，…，…，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（　　） A．甜果九个十一文，苦果七个四文钱 B．甜果七个四文钱，苦果九个十一文 C．甜果十一个九文，苦果四个七文钱 D．甜果四个七文钱，苦果十一个九文 4．（2023春•兴化市期末）若二元一次方程组的解也是二元一次方程x+y＝﹣1的解，则k的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 解二元一次方程组 1．（2023春•泰兴市期末）已知方程组，则3x+y的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 2．（2023春•灌云县期末）对于x、y，规定一种新的运算：x⊗y＝ax﹣by，其中a，b为常数，已知2⊗3＝5，3⊗4＝8，则a﹣b＝　　． 3．（2023春•海州区期末）解下列方程组： （1）； （2）． 4．（2023春•广陵区校级期末）对x，y定义一种新运算：F（x，y）＝ax+by． 例如：当x＝﹣1，y＝2时，F（﹣1，2）＝a•（﹣1）+b•2＝﹣a+2b． （1）若F（﹣1，3）＝2，F（1，﹣2）＝8，求a和b的值； （2）若b是非负数，F（2，1）＝5，求a的取值范围． 用二元一次方程组解决问题 1．（2023春•赣榆区期末）一个宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团25人准备同时租用这三种客房共9间，如果每个房间都住满，则租房方案共有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 2．（2023春•广陵区校级期末）如图，七个相同的小长方形组成一个大长方形ABCD，若CD＝21，则长方形ABCD的面积为（　　） A．560 B．490 C．630 D．700 3．（2023春•泰兴市期末）一个二元一次方程组常常可以有不同的实际意义，例如，二元一次方程组方程①的实际意义是：甲、乙两人加工零件，甲做2h，乙做1h，共加工110个零件，则方程②的实际意义是：　 　． 4．（2023春•宿豫区期末）用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有27吨货物，计划两种车型都要租，其中A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． （1）用1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请你帮物流公司设计一种租车方案，并求出此时租车费用． 一．选择题（共10小题） 1．（2023春•盱眙县期末）下列属于二元一次方程的是（　　） A．x2+y＝0 B．x﹣2y＝0 C．x1 D．yxy 2．（2023春•溧阳市期末）下列各对数值中，哪一组是方程2x﹣3y＝﹣4的解（　　） A． B． C． D． 3．（2023春•盱眙县期末）第23届盱眙龙虾节举办之际，一知名大型企业若干人来盱考察，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人没有车坐，问人与车各有多少？设有x人，y辆车，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 4．（2023春•赣榆区期末）如果关于x，y的方程组的解是正数，那a的取值范围是（　　） A．﹣4＜a＜5 B．a＞5 C．a＜﹣4 D．无解 5．（2023春•海州区期末）“今有五十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，若恰好每个圈舍都能放满，求所需圈舍的间数．求得的结果有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 6．（2023春•海门市期末）已知关于x、y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（　　） ①当这个方程组的解x、y的值互为相反数时，a＝﹣2； ②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解； ③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变； ④若用x表示y，则． A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④ 7．（2023春•宿城区期末）如果是关于x和y的二元一次方程2x﹣ay＝6的解，那么a的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 8．（2023春•玄武区期末）从A地到B地需要经过一段上坡路和一段平路，小明上坡速度为4km/h，平路速度为5km/h，下坡速度为6km/h．已知他从A地到B地需用35min，从B地返回A地需用24min．问从A地到B地全程是多少千米？我们可将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，如果设未知数x，y，且列出一个方程为，则另一个方程是（　　） A． B． C． D． 9．（2022秋•溧阳市期末）完全相同的4个白色小长方形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为m、n的大长方形则图中阴影部分的周长是（　　） A．4n B．2m+n C．2m+2n D．3m﹣n 10．（2023春•泗洪县期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（　　） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 二．填空题（共10小题） 11．（2023春•玄武区期末）由方程组可得y＝　 　．（用只含x的代数式表示） 12．（2023春•淮安区期末）已知是方程3x﹣y＝5的一个解，则a的值是 　 　． 13．（2023春•泰兴市期末）如果关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的二元一次方程组的解是 　 　． 14．（2023春•清江浦区期末）如果实数x，y满足方程组，那么（2x﹣y）2024＝　 　． 15．（2023春•邗江区期末）已知x、y满足方程组，则|x|+y的值为 　 　． 16．（2023春•淮阴区期末）已知，则代数式x2﹣4y2的值为 　 　． 17．（2022秋•亭湖区期末）某学校组织秋游，原计划用40座的客车若干辆，则10人没有座位；如果用同样数量的50座客车，则多出2辆，且其余全部坐满．参加秋游的学生一共有 　 　名． 18．（2023春•建邺区校级期末）已知x、y满足，则代数式x+y的值为 　 　． 19．（2023春•丹阳市校级期末）某校组织学生乘汽车去自然保护区野营，汽车先以60km/h的速度在平路上行驶，后又以30km/h的速度爬坡到达目的地，共用了6.5h；原路返回时，汽车以40km/h的速度下坡，又以60km/h的速度在平路上行驶，共用了6h．则学校距自然保护区 　 　km． 20．（2022秋•姜堰区期末）关于幻方的起源，中国有“河图”和“洛书”之说．相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井并有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方，如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，现有﹣6、﹣4、﹣2、0、3、5、7、9分别放入图中的圆圈中，使得内圆和外圆以及同一行和同一列的四个数字和相等，则x﹣y＝　 　． 三．解答题（共10小题） 21．（2023春•海门市期末）解下列方程组： （1）； （2）． 22．（2023春•建邺区校级期末）是否存在正整数x和y，使得x2＝y2+2023，若存在，求出满足条件的x和y的值；若不存在，请说明理由． 23．（2023春•宝应县期末）在解二元一次方程组时，我们常常也会采用了一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，比如，解方程组，首先将方程②变形得4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5…③，其次把方程①代入③得：2×3+y＝5，即y＝﹣1，最后把y＝﹣1代入方程①，得x＝4，所以方程组的解为，请你解决以下问题： （1）你能否尝试用“整体代入消元”的方法解方程组； （2）已知x、y满足方程组． ①求xy的值； ②求出这个方程组的所有整数解． 24．（2023春•姜堰区期末）若关于x、y的二元一次方程变形为y＝ax+b的形式（a、b是常数，a≠0），则其中一对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为（a，b）．例如二元一次方程3x﹣2y＝1变形为，则二元一次方程3x﹣2y＝1的“相伴系数对”为（，）． （1）二元一次方程x+3y＝0的“相伴系数对”为 　 　； （2）已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为（2k，k+3），写出这个二元一次方程； （3）关于x、y的二元一次方程（m2+n2）x﹣2y+2mn＝0，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求m+n的值． 25．（2023春•海州区期末）某药店销售A、B两种防护口罩，已知A种口罩每袋的售价比B种口罩多4元，小明从这个药店买了4袋A口罩和3袋B口罩共花费156元． （1）求该药店A、B两种口罩每袋的售价分别是多少？ （2）根据消费者需求，该药店决定用不超过12000购进A、B两种口罩共600袋，已知A口罩每袋进价为21.5元，B口罩每袋进价为18.5元，若A口罩的进货量用m（袋）表示，购进的口罩均可全部售出，请用代数式表示可以获得的利润； （3）在（2）的条件下，要使药店获利最大，应该购进A、B两种口罩各多少袋，并求出最大利润． 26．（2023春•南通期末）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： （1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？ （2）某商人准备用28两银子买牛和羊（要求既有羊又有牛，且银两须全部用完），且羊的数量不少于牛数量的2倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 27．（2023春•泰兴市期末）解二元一次方程组， （1）小明同学是这样做的：由②得，x＝2y+12③， 将③代入①得：3（2y+12）+y＝1， 解得y的值，从而解得x的值，则方程组的解可求． 小明同学使用的方法是 　 　消元； （2）小华同学使用了另一种消元方法解这个方程组，请你帮小华写出解题过程； （3）两位同学都通过消元法实现了从“二元”到“一元”，都是用 　 　思想解决问题的． 28．（2022秋•句容市期末）为参加学校“元旦”合唱比赛，某校七（1）班和七（2）班参演同学准备购买演出服．如表是某服装厂给出的演出服价格表： 购买服装数量（套） 1～45 46～90 91及91以上 每套服装价格（元） 90 80 70 已知两班共有学生89人参加合唱演出，且七（1）班参演学生人数超过七（2）班，但不超过60人，如果两班单独购买服装，每人只买一套，那么一共应付7540元．问七（1）班和七（2）班各有学生多少人？ 29．（2023春•清江浦区期末）接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒．求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗？ 30．（2023春•吴江区期末）定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：ax+by＝c 的交换系数方程为cx+by＝a或ax+cy＝b． （1）方程 3x+2y＝4 与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 　 　； （2）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且ax+by＝c与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求代数式（m+n）m﹣p（n+p）+2023的值； （3）已知整数m，n，t满足条件t＜n＜8m，并且（10m﹣t）x+2023y＝m+t是关于x，y的二元一次方程（1+n）x+2023y＝2m+2的“交换系数方程”，求m的值． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二元一次方程组 二元一次方程 1．（2023春•南通期末）若，是关于x和y的二元一次方程mx+ny＝3的解，则2m﹣4n的值等于（　　） A．3 B．6 C．﹣1 D．﹣2 【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m﹣2n＝3，把所求式子因式分解后代入计算即可． 【解答】解：将代入方程mx+ny＝3得：m﹣2n＝3， ∴2m﹣4n＝2（m﹣2n）＝2×3＝6． 故选：B． 【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 2．（2023春•姜堰区期末）已知关于x、y的二元一次方程（m+1）x+（2﹣m）y﹣4m+2＝0，当m每取一个值时，就有一个对应的方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解是（　　） A． B． C． D． 【分析】原方程可整理得m（x﹣y+4）+（x+2y+2）＝0，根据“当m每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解”，可知这个公共解与m无关，得到关于x和y的二元一次方程组，解之即可． 【解答】解：原方程可整理得： m（x﹣y﹣4）+（x+2y+2）＝0， 根据题意得： ， 解得， 故选：D． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，正确掌握解二元一次方程组是解题的关键． 3．（2023春•海安市期末）将方程2x﹣3y＝7，用含y的代数式表示x为 　 　． 【分析】用含y的代数式表示x，则可把2x﹣3y＝7看作是关于x的一元一次方程，然后解关于x的方程即可． 【解答】解：移项得2x＝7+3y， 两边都除以2得xy． 故答案为：xy． 【点评】本题考查了解二元一次方程，掌握把解二元一次方程转化为解一元一次方程是关键． 4．（2023春•句容市期末）若是方程kx﹣2y＝4的解，则k的值为 　　． 【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出k的值． 【解答】解：把代入方程得：﹣3k﹣2＝4， 解得：k＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 二元一次方程组 1．（2023春•姑苏区校级期末）古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：依题意，得：． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（2023春•淮安区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，且∠AOD＝150°．∠EOB比∠COE大90°，设∠COE＝x°，∠EOB＝y°，则可得到的方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“∠AOD＝150°．∠EOB比∠COE大90°”即可得出关于x、y的二元一次方程组． 【解答】解：∵∠AOD＝150°． ∴∠COE+∠EOB＝∠BOC＝∠AOD＝150°， 由题意可得：． 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组．也考查了对顶角． 3．（2023春•邗江区校级期末）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，…，…，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（　　） A．甜果九个十一文，苦果七个四文钱 B．甜果七个四文钱，苦果九个十一文 C．甜果十一个九文，苦果四个七文钱 D．甜果四个七文钱，苦果十一个九文 【分析】根据可得甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱， 【解答】解：根据，可得甜果九个十一文，苦果七个四文钱， 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，根据方程组找出等量关系． 4．（2023春•兴化市期末）若二元一次方程组的解也是二元一次方程x+y＝﹣1的解，则k的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】将①+②，整体代入求解即可． 【解答】解：方程组， ①+②得：3x+3y＝6k+3， 整理得：x+y＝2k+1， ∵x+y＝﹣1， ∴2k+1＝﹣1， 解得：k＝﹣1， 故选：A． 【点评】本题考查了含参数的二元一次方程组的整体代入求法，掌握求法是解题的关键． 解二元一次方程组 1．（2023春•泰兴市期末）已知方程组，则3x+y的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 【分析】方程组两方程左右两边相加即可求出所求． 【解答】解：， ①+②得：3x+y＝4． 故选：D． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 2．（2023春•灌云县期末）对于x、y，规定一种新的运算：x⊗y＝ax﹣by，其中a，b为常数，已知2⊗3＝5，3⊗4＝8，则a﹣b＝　　． 【分析】根据已知条件列出方程组，解方程组求出a与b的值，再进行计算． 【解答】解：∵2⊗3＝5，3⊗4＝8， ∴2a﹣3b＝5，3a﹣4b＝8， 联立， 解得：， ∴a﹣b＝3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的知识、新定义的知识，理解题意是解答的关键． 3．（2023春•海州区期末）解下列方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）直接运用代入消元法求解二元一次方程组即可； （2）先将方程组化简，再用加减消元法求解二元一次方程组即可． 【解答】解：（1）， 将①代入②中得：7x﹣2⋅（3x）＝2，x＝2， 将x＝2代入①中得：y＝6， 故方程组的解集为：； （2）将方程组化简得， 由①+②得：6x＝48， 解得：x＝8， 将x＝8代入①中得：24﹣2y＝8， 解得：y＝8， ∴方程组的解集为：． 【点评】本题考查解二元一次方程组，能够熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键． 4．（2023春•广陵区校级期末）对x，y定义一种新运算：F（x，y）＝ax+by． 例如：当x＝﹣1，y＝2时，F（﹣1，2）＝a•（﹣1）+b•2＝﹣a+2b． （1）若F（﹣1，3）＝2，F（1，﹣2）＝8，求a和b的值； （2）若b是非负数，F（2，1）＝5，求a的取值范围． 【分析】（1）根据定义的新运算F，将F（﹣1，3）＝2，F（1，﹣2）＝8代入F（x，y）＝ax+by，得到关于a、b的二元一次方程组，求解即可； （2）根据定义的新运算F，将F（2，1）＝5代入F（x，y）＝ax+by，得到2a+b＝5，即可得到b＝5﹣2a，由b是非负数得到5﹣2a≥0，解得a． 【解答】解：（1）根据题意得：F（﹣1，3）＝﹣a+3b＝2， F（1，﹣2）＝a﹣2b＝8， 解得：a＝28，b＝10； （2）根据F（x，y）＝ax+by， 得F（2，1）＝2a+b＝5， ∴b＝5﹣2a， ∵b是非负数， ∴5﹣2a≥0， ∴a． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，一元一次不等式组的解法，弄清题中的新定义是解本题的关键． 用二元一次方程组解决问题 1．（2023春•赣榆区期末）一个宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团25人准备同时租用这三种客房共9间，如果每个房间都住满，则租房方案共有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【分析】首先设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意可得方程组：，解此方程组可得y+2z＝7，又由x，y，z是非负整数，即可求得答案． 【解答】解：设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意得： ， 解得：y+2z＝7， y＝7﹣2z， ∵x，y，z都是小于9的正整数， 当z＝1时，y＝5，x＝3； 当z＝2时，y＝3，x＝4； 当z＝3时，y＝1，x＝5 当z＝4时，y＝﹣1（不符合题意，舍去） ∴租房方案有3种． 故选：B． 【点评】此题考查了三元一次不定方程组的应用．此题难度较大，解题的关键是理解题意，根据题意列方程组，然后根据x，y，z是整数求解，注意分类讨论思想的应用． 2．（2023春•广陵区校级期末）如图，七个相同的小长方形组成一个大长方形ABCD，若CD＝21，则长方形ABCD的面积为（　　） A．560 B．490 C．630 D．700 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据小长方形的长×2＝小长方形的宽×5；小长方形的长+宽＝21，列出方程组，解方程组，即可解决问题． 【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y， 由题意得：， 解得：， ∴长方形ABCD的长为5y＝5×6＝30，宽为21， ∴长方形ABCD的面积＝7xy＝7×15×6＝630， 故选：C． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（2023春•泰兴市期末）一个二元一次方程组常常可以有不同的实际意义，例如，二元一次方程组方程①的实际意义是：甲、乙两人加工零件，甲做2h，乙做1h，共加工110个零件，则方程②的实际意义是：　 　． 【分析】类比方程①的实际意义，作答即可． 【解答】解：二元一次方程组， 类比方程①的实际意义，可知：方程②的实际意义是甲做1h，乙做3h，共加工180个零件， 故答案为：甲做1h，乙做3h，共加工180个零件． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，明确题意，是解答本题的关键． 4．（2023春•宿豫区期末）用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有27吨货物，计划两种车型都要租，其中A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． （1）用1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请你帮物流公司设计一种租车方案，并求出此时租车费用． 【分析】（1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，根据用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据一次性运27吨货物，且恰好每辆车都载满货物，列出二元一次方程，求出正整数解，得出各租车方案，再求出选择各租车方案所需租车费，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨， 依题意得：， 解得：， 答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨； （2）依题意得：3a+4b＝27， 整理得：a＝9b， ∵a、b为正整数， ∴或， ∴当时，租车费用为：100×5+120×3＝860（元）， 当时，租车费用为：100×1+120×6＝820（元）， ∵860＞820， ∴公司租用1辆A型车，6辆B型车时，租车费用最少为820元． ∴给物流公司设计的租车方案为：租用1辆A型车，6辆B型车时，此时租车费用为820元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 一．选择题（共10小题） 1．（2023春•盱眙县期末）下列属于二元一次方程的是（　　） A．x2+y＝0 B．x﹣2y＝0 C．x1 D．yxy 【分析】根据二元一次方程的定义逐一判断即可，二元一次方程的定义是含有两个未知数且含有未知数的项的次数都为1． 【解答】解：A、该方程中含有两个未知数，但是含有未知数的项的最高次数是2，不属于二元一次方程，故本选项错误． B、该方程中符合二元一次方程的定义，故本选项正确． C、该方程不是整式方程，不属于二元一次方程，故本选项错误． D、该方程中含有两个未知数，但是含有未知数的项最高次数是2，不属于二元一次方程，故本选项错误． 故选：B． 【点评】考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件： （1）方程中只含有2个未知数； （2）含未知数项的最高次数为一次； （3）方程是整式方程． 2．（2023春•溧阳市期末）下列各对数值中，哪一组是方程2x﹣3y＝﹣4的解（　　） A． B． C． D． 【分析】本题较简单，只要用代入法把x，y的值一一代入，根据解的定义判断即可． 【解答】解：A、代入方程，得左边＝2+3＝5≠右边，不是方程的解， 不符合题意； B、代入方程，得左边﹣2﹣6＝﹣4＝右边，是方程的解， 符合题意； C、代入方程，得左边＝﹣2﹣6＝﹣8≠右边，不是方程的解， 不符合题意； D、代入方程，得左边＝2+6＝8≠右边，不是方程的解， 不符合题意； 故选：B． 【点评】考查了二元一次方程的解，解题关键是把四对数值分别代入原方程，验证等号左右两边的值是否相等，使方程左右两边相等的x和y的值就是符合方程的解． 3．（2023春•盱眙县期末）第23届盱眙龙虾节举办之际，一知名大型企业若干人来盱考察，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人没有车坐，问人与车各有多少？设有x人，y辆车，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人没有车坐”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵若每3人坐一辆车，则有2辆空车， ∴3（y﹣2）＝x； ∵若每2人坐一辆车，则有9人没有车坐， ∴2y+9＝x． ∴根据题意可列出方程组． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 4．（2023春•赣榆区期末）如果关于x，y的方程组的解是正数，那a的取值范围是（　　） A．﹣4＜a＜5 B．a＞5 C．a＜﹣4 D．无解 【分析】将a看作已知数求出方程组的解表示出x与y，根据x与y都为正数，取出a的范围即可． 【解答】解：解方程组，得：， ∵方程组的解为正数， ∴， 解得：﹣4＜a＜5， 故选：A． 【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 5．（2023春•海州区期末）“今有五十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，若恰好每个圈舍都能放满，求所需圈舍的间数．求得的结果有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【分析】设需要小圈舍x间，大圈舍y间，利用鹿的只数＝4×小圈舍的间数+6×大圈舍的间数，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出结果的个数． 【解答】解：设需要小圈舍x间，大圈舍y间， 依题意得：4x+6y＝50， ∴x． 又∵x，y均为正整数， ∴或或或， ∴共有4种结果． 故选：B． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 6．（2023春•海门市期末）已知关于x、y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（　　） ①当这个方程组的解x、y的值互为相反数时，a＝﹣2； ②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解； ③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变； ④若用x表示y，则． A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④ 【分析】把两个方程相加，可以得出x+y＝2+a，从而可得2+a＝0，即可判断①，当a＝1时，原方程组的解满足x+y＝3，而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，即可判断②，先解方程组，可得，然后再计算x+2y的值，即可判断③，将方程组中的字母a消去，即可判断④． 【解答】解：， ①+②得：2x+2y＝4+2a， ∴x+y＝2+a， ①当这个方程组的解x、y的值互为相反数时，即x+y＝0， ∴2+a＝0， ∴a＝﹣2， 故第1个结论正确； ②∵原方程组的解满足：x+y＝2+a， ∴当a＝1时，x+y＝3， 而当a＝1时，方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6， 故第2个结论不正确； ③， 解得：， ∴x+2y＝2a+1+2﹣2a＝3， ∴无论a取什么实数，x+2y的值始终不变； 故第3个结论正确； ④， 由①得：a＝4﹣x﹣3y③， 把③代入②得： x﹣y＝3（4﹣x﹣3y）， 解得：y， 故第4个结论正确； 所以，上列结论中正确的有3个． 故选：C． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键． 7．（2023春•宿城区期末）如果是关于x和y的二元一次方程2x﹣ay＝6的解，那么a的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 【分析】把代入方程2x﹣ay＝6得出10﹣2a＝6，再求出a即可． 【解答】解：把代入方程2x﹣ay＝6得： 10﹣2a＝6， 解得：a＝2， 故选：B． 【点评】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键． 8．（2023春•玄武区期末）从A地到B地需要经过一段上坡路和一段平路，小明上坡速度为4km/h，平路速度为5km/h，下坡速度为6km/h．已知他从A地到B地需用35min，从B地返回A地需用24min．问从A地到B地全程是多少千米？我们可将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，如果设未知数x，y，且列出一个方程为，则另一个方程是（　　） A． B． C． D． 【分析】设坡路长为x km/h，平路长为y km/h，根据“上坡速度为4km/h，平路速度为5km/h，下坡速度为6km/h．已知他从A地到B地需用35min，从B地返回A地需用24min”即可列出方程组． 【解答】解：设坡路长为x km/h，平路长为y km/h， 根据题意得． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，掌握时间＝路程÷速度是解决问题的关键． 9．（2022秋•溧阳市期末）完全相同的4个白色小长方形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为m、n的大长方形则图中阴影部分的周长是（　　） A．4n B．2m+n C．2m+2n D．3m﹣n 【分析】设白色小长方形的长为x，宽为y，则x+2y＝m，分别表示出左边阴影部分的长为（m﹣2y），宽为（n﹣2y），右边阴影部分的长为2y，宽为（n﹣x），则阴影部分的周长＝2[（m﹣2y）+（n﹣2y）]+2[2y+（n﹣x）]，进行化简即可得到答案． 【解答】解：设白色小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：x+2y＝m， ∵大长方形的长、宽分别为m、n， ∴左边阴影部分的长为（m﹣2y），宽为（n﹣2y），右边阴影部分的长为2y，宽为（n﹣x）， ∴阴影部分的周长＝2[（m﹣2y）+（n﹣2y）]+2[2y+（n﹣x）] ＝2（m+n﹣4y）+2（2y+n﹣x） ＝2（m+n﹣4y+2y+n﹣x） ＝2（m+2n﹣2y﹣x） ＝2[m+2n﹣（2y+x）] ＝2（m+2n﹣m） ＝4n， 故选：A． 【点评】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10．（2023春•泗洪县期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（　　） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 【分析】设今年爸爸年龄为x岁，我的年龄为y岁，则妈妈年龄为（x﹣1）岁，妹妹的年龄为（y﹣6）岁，根据四人今年的年龄之和是101岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设今年爸爸年龄为x岁，我的年龄为y岁，则妈妈年龄为（x﹣1）岁，妹妹的年龄为（y﹣6）岁， 根据题意得：， 解得：， 即今年爸爸的年龄是40岁， 故选：C． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 二．填空题（共10小题） 11．（2023春•玄武区期末）由方程组可得y＝　5﹣x　．（用只含x的代数式表示） 【分析】利用代入消元法进行计算，即可解答． 【解答】解：， 由①得：a＝3﹣x③， 把③代入②得：y﹣2＝3﹣x， 解得：y＝3﹣x+2＝5﹣x， 故答案为：5﹣x． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键． 12．（2023春•淮安区期末）已知是方程3x﹣y＝5的一个解，则a的值是 　1　． 【分析】根据方程的解满足方程直接代入求解即可得到答案． 【解答】解：由题意可得，3a﹣（﹣2a）＝5， 解得a＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查二元一次方程的解得问题，解题的关键是根据方程的解满足方程直接代入列新的方程求解． 13．（2023春•泰兴市期末）如果关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的二元一次方程组的解是 　　． 【分析】将第二个方程组变形为，对照第一个方程组知2x﹣3和y相当于第一个方程组中的x和y，据此求解即可． 【解答】解：将方程组变形为， 根据题意可得：， 解得， ∴关于x、y的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程左右两边相等的未知数的值即是方程组的解，解题的关键是要知道两个方程组之间的关系． 14．（2023春•清江浦区期末）如果实数x，y满足方程组，那么（2x﹣y）2024＝　1　． 【分析】根据①+②得，2x﹣y＝1，代入代数式即可求解． 【解答】解：， ①+②得，2x﹣y＝1， ∴（2x﹣y）2024＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 15．（2023春•邗江区期末）已知x、y满足方程组，则|x|+y的值为 　3　． 【分析】把两个方程相加，从而可整体求出|x|+y的值． 【解答】解：， ①+②得：3|x|+3y＝9， ∴|x|+y＝3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解答的关键是结合方程的特点，看出可整体求出其值． 16．（2023春•淮阴区期末）已知，则代数式x2﹣4y2的值为 　﹣15　． 【分析】先根据平方差公式分解因式，再整体代入，即可求出答案． 【解答】解：∵， ∴x2﹣4y2 ＝（x+2y）（x﹣2y） ＝3×（﹣5） ＝﹣15． 故答案为：﹣15． 【点评】本题考查了解二元一次方程组和求代数式的值，能够整体代入是解此题的关键． 17．（2022秋•亭湖区期末）某学校组织秋游，原计划用40座的客车若干辆，则10人没有座位；如果用同样数量的50座客车，则多出2辆，且其余全部坐满．参加秋游的学生一共有 　450　名． 【分析】设原计划用车x辆，根据题意参加秋游的学生人数可列出方程，解方程即可求解． 【解答】解：设原计划用车x辆，依题意有 40x+10＝50（x﹣2）， 解得x＝11， 50（x﹣2）＝50×（11﹣2）＝450． 故参加秋游的学生一共有450名． 故答案为：450． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答． 18．（2023春•建邺区校级期末）已知x、y满足，则代数式x+y的值为 　　． 【分析】利用等式的性质，将方程组中的两个方程变形，进而计算出x+y的值． 【解答】解：． ①×10+②得183（x+y）＝61，解得x+y． 故答案为：． 【点评】本题考查解二元一次方程组和代数式求值．如果解出方程组中x和y的值，再计算x+y的值，那么计算量会很大． 19．（2023春•丹阳市校级期末）某校组织学生乘汽车去自然保护区野营，汽车先以60km/h的速度在平路上行驶，后又以30km/h的速度爬坡到达目的地，共用了6.5h；原路返回时，汽车以40km/h的速度下坡，又以60km/h的速度在平路上行驶，共用了6h．则学校距自然保护区 　270　km． 【分析】设从学校到自然保护区平路长x km，坡路长y km，根据时间＝路程÷速度结合“先以60km/h 速度走平路，后又以30km/h的速度爬坡，共用了6.5h；返回时，汽车以40km/h的速度下坡，又以 50km/h 的速度走平路，共用了6h”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之再代入x+y中即可求出结论． 【解答】解：设从学校到自然保护区平路长x km，坡路长y km，依题意得： ， 解得：， ∴x+y＝150+120＝270． 所以从学校到自然保护区共270km， 故答案为：270． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，正确的理解题意是解题的关键． 20．（2022秋•姜堰区期末）关于幻方的起源，中国有“河图”和“洛书”之说．相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井并有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方，如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，现有﹣6、﹣4、﹣2、0、3、5、7、9分别放入图中的圆圈中，使得内圆和外圆以及同一行和同一列的四个数字和相等，则x﹣y＝　﹣9　． 【分析】设大圈上的空白圆内的数字为z，根据题意，列出等式，求出x，y的值，进行求出x﹣y的值即可． 【解答】解：设大圈上的空白圆内的数字为z， 则：由题意，得：﹣4+5+7+z＝z+0+y+5，﹣4+5+7+z＝﹣4+x+9+7， ∴y＝3，z＝x+4， ∵共有﹣6、﹣4、﹣2、0、3、5、7、9，8个数字，还剩下﹣6，﹣2两个数字的位置没有确定， ∴x+z＝﹣6﹣2＝﹣8， 即：x+x+4＝﹣8， ∴x＝﹣6， ∴x﹣y＝﹣6﹣3＝﹣9； 故答案为：﹣9． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，代数式求值．根据题意，正确的列出方程，是解题的关键． 三．解答题（共10小题） 21．（2023春•海门市期末）解下列方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）将原方程组化简整理得：，然后利用加减消元法，进行计算即可解答； （2）将原方程组化简整理得：，然后利用加减消元法，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）将原方程组化简整理得： ， ②×4得：8x+20y＝28③， ③﹣①得：27y＝27， 解得：y＝1， 把y＝1代入②中得：2x+5＝7， 解得：x＝1， ∴原方程组的解为：； （2）将原方程组化简整理得： ， ①×3得：9x﹣12y＝﹣21③， ②×4得：8x+12y＝4④， ③+④得：17x＝﹣17， 解得：x＝﹣1， 把x＝﹣1代入②中得：﹣2+3y＝1， 解得：y＝1， ∴原方程组的解为：． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 22．（2023春•建邺区校级期末）是否存在正整数x和y，使得x2＝y2+2023，若存在，求出满足条件的x和y的值；若不存在，请说明理由． 【分析】结合平方差公式以及因数分解可得关于x、y的二元一次方程组，再求解即可． 【解答】解：由x2＝y2+2023，得x2﹣y2＝2023， ∴（x+y）（x﹣y）＝2023， ∵x、y是正整数， ∴（x+y）（x﹣y）＝1×2023或（x+y）（x﹣y）＝7×289或（x+y）（x﹣y）＝17×119， ∴或或， 解得或或． ∴存在正整数x和y，使得x2＝y2+2023，分别为或或． 【点评】本题考查了解二元一次方程，掌握平方差公式是解答本题的关键． 23．（2023春•宝应县期末）在解二元一次方程组时，我们常常也会采用了一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，比如，解方程组，首先将方程②变形得4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5…③，其次把方程①代入③得：2×3+y＝5，即y＝﹣1，最后把y＝﹣1代入方程①，得x＝4，所以方程组的解为，请你解决以下问题： （1）你能否尝试用“整体代入消元”的方法解方程组； （2）已知x、y满足方程组． ①求xy的值； ②求出这个方程组的所有整数解． 【分析】（1）把第二个方程变形后代入第一个方程消去x求出y的值，进而求出x的值即可； （2）①把第一个方程变形后代入第二个方程消去x2+3y2求出xy的值即可； ②由x与y为整数，根据xy的值求出x与y的值，代入x2+3y2＝49检验即可． 【解答】解：（1）将方程②变形：6x+8y+y＝25， 即2（3x+4y）+2y＝25③， 把方程①代入③得：2×16+2y＝25， 解得：y， 把y代入方程①得：3x﹣14＝16， 解得：x＝10， 所以方程组的解为； （2）①由方程①得：x2+3y2＝45﹣xy③， 将③代入方程②得：﹣4xy＝16， 解得：xy＝﹣4； ②由①得xy＝﹣4， ∵x与y是整数， ∴或或或， 由①得：x2+3y2＝49， ∴或符合题意， 则原方程组的所有整数解是或． 【点评】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，利用了整体代入的思想，弄清阅读材料中的整体代入法是解本题的关键． 24．（2023春•姜堰区期末）若关于x、y的二元一次方程变形为y＝ax+b的形式（a、b是常数，a≠0），则其中一对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为（a，b）．例如二元一次方程3x﹣2y＝1变形为，则二元一次方程3x﹣2y＝1的“相伴系数对”为（，）． （1）二元一次方程x+3y＝0的“相伴系数对”为 　　； （2）已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为（2k，k+3），写出这个二元一次方程； （3）关于x、y的二元一次方程（m2+n2）x﹣2y+2mn＝0，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求m+n的值． 【分析】（1）先把二元一次方程x+3y＝0变形为，根据“相伴系数对”的定义解答即可； （2）先根据“相伴系数对”的值写出方程y＝2kx+k+3，然后把x、y的值代入即可求出k的值，从而写出方程； （3）先求出方程的“相伴系数对”的值，然后根据已知条件列出关于m、n的方程，从而求出m+n的值． 【解答】解：（1）∵x+3y＝0， ∴3y＝﹣x， ∴， ∴二元一次方程x+3y＝0的“相伴系数对”为， 故答案为：； （2）∵方程的“相伴系数对”为（2k，k+3）， ∴该方程为y＝2kx+k+3， ∵是该方程的一个解， ∴6k+k+3＝﹣11， 解得k＝﹣2， ∴y＝﹣4x+1， 即4x+y＝1； （3）将关于x、y的二元一次方程（m2+n2）x﹣2y+2mn＝0变形为， ∴“相伴系数对”为， ∵该方程的“相伴系数对”之和为2， ∴， ∴m2+n2+2mn＝4， ∴（m+n）2＝4， ∴m+n＝±2． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，新定义“相伴系数对”，理解题意是解题的关键． 25．（2023春•海州区期末）某药店销售A、B两种防护口罩，已知A种口罩每袋的售价比B种口罩多4元，小明从这个药店买了4袋A口罩和3袋B口罩共花费156元． （1）求该药店A、B两种口罩每袋的售价分别是多少？ （2）根据消费者需求，该药店决定用不超过12000购进A、B两种口罩共600袋，已知A口罩每袋进价为21.5元，B口罩每袋进价为18.5元，若A口罩的进货量用m（袋）表示，购进的口罩均可全部售出，请用代数式表示可以获得的利润； （3）在（2）的条件下，要使药店获利最大，应该购进A、B两种口罩各多少袋，并求出最大利润． 【分析】（1）设该药店A种口罩每袋的售价为x元，B种口罩每袋的售价为y元，可得：，即可解得该药店A种口罩每袋的售价为24元，B种口罩每袋的售价为20元； （2）由用不超过12000购进A、B两种口罩，可得m≤300，根据题意W＝（24﹣21.5）m+（20﹣18.5）（600﹣m）＝m+900； （3）由一次函数的性质可得购进A种口罩300袋，B种口罩300袋，获得最大利润，最大利润是1200元． 【解答】解：（1）设该药店A种口罩每袋的售价为x元，B种口罩每袋的售价为y元， 根据题意得：， 解得， 答：该药店A种口罩每袋的售价为24元，B种口罩每袋的售价为20元； （2）∵A口罩的进货量是m袋， ∴B口罩的进货量是（600﹣m）袋， ∵用不超过12000购进A、B两种口罩， ∴21.5m+18.5（600﹣m）≤12000， 解得m≤300， 根据题意得W＝（24﹣21.5）m+（20﹣18.5）（600﹣m）＝m+900， ∴该药店所获的利润W（元）与A口罩的进货量m（袋）之间的函数关系式为W＝m+900（0≤m≤300）； （3）在W＝m+900中， ∵1＞0，0≤m≤300， ∴W随m的增大而增大， ∴m＝300时，W取最大值，最大值为300+900＝1200（元）， 此时600﹣m＝600﹣300＝300， 答：购进A种口罩300袋，B种口罩300袋，获得最大利润，最大利润是1200元． 【点评】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组，不等式及函数关系式． 26．（2023春•南通期末）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： （1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？ （2）某商人准备用28两银子买牛和羊（要求既有羊又有牛，且银两须全部用完），且羊的数量不少于牛数量的2倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 【分析】（1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m头牛，n只羊，根据某商人准备用28两银子买牛和羊，列出二元一次方程，再根据羊的数量不少于牛数量的2倍，得n≥2m，然后求出满足条件的正整数解即可． 【解答】解：（1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子， 依题意得：， 解得：， 答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子； （2）设购买m头牛，n只羊， 依题意得：3m+2n＝28， 整理得：n＝14m， ∵m、n均为正整数， ∴m为2的倍数， ∵羊的数量不少于牛数量的2倍， ∴n≥2m， ∴或， ∴商人有2种购买方法： ①购买2头牛，11只羊； ②购买4头牛，8只羊． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出二元一次方程． 27．（2023春•泰兴市期末）解二元一次方程组， （1）小明同学是这样做的：由②得，x＝2y+12③， 将③代入①得：3（2y+12）+y＝1， 解得y的值，从而解得x的值，则方程组的解可求． 小明同学使用的方法是 　代入　消元； （2）小华同学使用了另一种消元方法解这个方程组，请你帮小华写出解题过程； （3）两位同学都通过消元法实现了从“二元”到“一元”，都是用 　转化　思想解决问题的． 【分析】（1）根据小明的解题过程可知是用的代入消元法解方程组，即可得到答案； （2）由①×2得6x+2y③，②+③得，7x＝14，解得x＝2，把x＝2代入①得6+y＝1，解得y＝﹣5，即可得到方程组的解； （3）无论代入法和加减法都是体现的转化思想，即可得到答案． 【解答】解：（1）小明同学是这样做的：由②得，x＝2y+12③， 将③代入①得：3（2y+12）+y＝1， 解得y的值，从而解得x的值，则方程组的解可求． 小明同学使用的方法是代入消元； 故答案为：代入； （2） 由①×2得6x+2y＝2③， ②+③得，7x＝14， 解得x＝2， 把x＝2代入①得6+y＝1， 解得y＝﹣5， ∴方程组的解是； （3）两位同学都通过消元法实现了从“二元”到“一元”，都是用转化思想解决问题的． 故答案为：转化． 【点评】此题考查了二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 28．（2022秋•句容市期末）为参加学校“元旦”合唱比赛，某校七（1）班和七（2）班参演同学准备购买演出服．如表是某服装厂给出的演出服价格表： 购买服装数量（套） 1～45 46～90 91及91以上 每套服装价格（元） 90 80 70 已知两班共有学生89人参加合唱演出，且七（1）班参演学生人数超过七（2）班，但不超过60人，如果两班单独购买服装，每人只买一套，那么一共应付7540元．问七（1）班和七（2）班各有学生多少人？ 【分析】根据应付钱数得出一定有一个班的人数大于45人，即七（1）班人数大于45人，然后设七（1）班有学生x人，则七（2）班有学生（89﹣x）人，再根据题意，列出方程，解出即可得出答案． 【解答】解：∵89×90＝8010（元）， ∵8010＞7540， ∴一定有一个班的人数大于45人，即七（1）班人数大于45人，且不超过60人，另一个班则小于45人， 设七（1）班有学生x人，则七（2）班有学生（89﹣x）人， 根据题意得：80x+90（89﹣x）＝7540， 解得：x＝47， ∴89﹣x＝42人， 答：七（1）班有47人，七（2）班有42人． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解本题的关键在理解题意，找出等量关系，正确列出方程． 29．（2023春•清江浦区期末）接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒．求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗？ 【分析】根据2辆A型冷链运输与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可． 【解答】解：设每辆A型车和B型车一次可以运输x盒疫苗、y盒疫苗， 由题意可得，， 解得， 答：每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组． 30．（2023春•吴江区期末）定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：ax+by＝c 的交换系数方程为cx+by＝a或ax+cy＝b． （1）方程 3x+2y＝4 与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 　或　； （2）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且ax+by＝c与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求代数式（m+n）m﹣p（n+p）+2023的值； （3）已知整数m，n，t满足条件t＜n＜8m，并且（10m﹣t）x+2023y＝m+t是关于x，y的二元一次方程（1+n）x+2023y＝2m+2的“交换系数方程”，求m的值． 【分析】（1）根据“交换系数方程”的定义，得到2个“交换系数方程”，原方程分别与2个“交换系数方程”联立得到2个方程组，分别解这两个方程组即可； （2）根据“交换系数方程”的定义，得到ax+by＝c的2个“交换系数方程”，分别与原方程ax+by＝c联立得到2个方程组，分别解这两个方程组，将解分别代入二元一次方程mx+ny＝p，求出m、n、p之间的关系，进而出求出（m+n）m﹣p（n+p）+2023的值； （3）首先写出（1+n）x+2023y＝2m+2的2个“交换系数方程”，其次令（10m﹣t）x+2023y＝m+t的各未知数的系数分别与2个“交换系数方程”的对应系数相等，得到2个方程组，最后求出符合条件的m值即可． 【解答】解：（1）∵方程3x+2y＝4的“交换系数方程”为4x+2y＝3或3x+4y＝2， ∴方程 3x+2y＝4 与它的“交换系数方程”组成的方程组为①或②． ∴方程组①的解为，方程组②的解为． 故答案为：或． （2）方程ax+by＝c与它的“交换系数方程”组成的方程组为①或②． ∴方程组①的解为．当a+b+c＝0时，方程组①的解为； 方程组②的解为．当a+b+c＝0时，方程组②的解为 ． ∴方程ax+by＝c与它的“交换系数方程”组成的方程组解为． 将代入mx+ny＝p，得﹣（m+n）＝p． ∴（m+n）m﹣p（n+p）+2023＝﹣pm﹣pn﹣p2+2023＝﹣p（m+n）﹣p2+2023＝（﹣p）2﹣p2+2023＝2023． （3）（1+n）x+2023y＝2m+2的“交换系数方程”为（2m+2）x+2023y＝1+n或（1+n）x+（2m+2）y＝2023． ∵（10m﹣t）x+2023y＝m+t是关于x，y的二元一次方程（1+n）x+2023y＝2m+2的“交换系数方程”， ∴（10m﹣t）x+2023y＝m+t各系数与（2m+2）x+2023y＝1+n各系数对应相等，得①， ∴（10m﹣t）x+2023y＝m+t各系数与（1+n）x+（2m+2）y＝2023各系数对应相等，得②． 解方程组①得． ∵t＜n＜8m， ∴tt+2，解得6＜t＜22（t为整数）． ∴8＜t+2＜24， ∴若m为整数，必须有t+2＝16，此时m＝2． ∴t＝14． 当t＝14时，n15． ∴m＝2． 解方程组②得m（不是整数）， ∴方程组②的解不符合题意，需舍去． 综上，m＝2． 【点评】本题考查二元一次方程的解法，过程非常复杂，需要极强的计算能力和耐心． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$