串讲02 对数与对数函数（考点串讲）-【中职专用】2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（高教版2021）

串讲02 对数与对数函数 知识结构 要点梳理 知识点一 对数的概念 1.若ax＝N(a＞0，且a≠1)，则数x叫做以a为底N的对数，a叫做对数的__底数 __，N叫做_真数 __，记作x＝logaN． 2．常用对数和自然对数 (1)常用对数：通常我们将以_ 10 _为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为__lgN _. (2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为__ lnN _. 知识点二 对数与指数的关系 当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝__ logaN __. 知识点三 对数的基本性质 (1)_ 负数_ __和__ 0 __没有对数． (2)loga1＝_ 0 __(a＞0，且a≠1)． (3)logaa＝__ 1 __(a＞0，且a≠1)． 知识点四 对数的运算性质 条件 a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0 性质 loga(MN)＝logaM＋logaN loga＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R) 知识点五 换底公式 若a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1，则有logab＝． 知识点六 对数函数 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)． 知识点七 对数函数的图象及性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域(0，＋∞)，值域(-∞，＋∞) 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y>0 当0<x<1时，y>0 当x>1时，y<0 题型探究： 考点一 对数定义与性质的应用 例1. 有以下四个结论，其中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 例2. 方程的解是（    ） A．1 B．2 C．e D．3 『规律方法』　(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数； (2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定． 【归纳提升】　对数性质在计算中的应用 (1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0. (2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质． 【变式】1. 有以下四个结论，其中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 2. 求下列各式中x的值： (1)x＝16；　　　　(2)log8x＝－　　　　 考点二 对数的运算性质的应用 例3．用logax，logay，logaz表示： (1)loga(xy2)；(2)loga(x)；(3)loga. 例4. 化简或求值： （1）． 【详解】（1）原式(2) [归纳提升]　1.对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制． 2. 利用对数运算性质化简与求值的原则和方法 (1)基本原则： ①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法： ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 【变式探究】1. 用logax、logay、logaz表示下列各式： (1)loga(x3y5)；　(2)loga. 2. 计算下列各式： (1)lg－lg＋lg； (2)lg25＋lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2. 考点三 换底公式的应用 例5. 计算： (1) (2) [归纳提升]　关于换底公式的用途和本质： (1)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法． (2)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如logab＝；logaan＝n，logambn＝logab；lg2＋lg5＝1等，将会达到事半功倍的效果． 【变式】利用对数的换底公式计算： (1)； (2)． 考点五 对数函数的定义域 例6. 函数的定义域是 . 例7. 函数的定义域为 . [归纳提升]　定义域是研究函数的基础，若已知函数解析式求定义域，常规为：①分母不能为零，②0的零次幂与负指数次幂无意义，③偶次方根的被开方式(数)非负，④求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意底数；三是按底数的取值应用单调性． 【变式探究】1. 函数的定义域为 2．函数的定义域为 ． 考点六 利用对数函数的单调性比较大小 例8. 比较下列各组中两个值的大小： (1)ln0.3，ln2； (2)loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)； (3)log30.2，log40.2； [归纳提升]　比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． 提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小． 【变式探究】1. 比较大小： （填“>”或“<”）． 2. 已知，，，则（    ） A． B． C． D． 考点七 对数函数的图象 例9. 在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 例10. 在同一坐标系中，函数与的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1. 函数的图象大致（    ） A． B． C． D． 2. 函数与的大致图像是（ ） A． B． C． D． 素养作业 1. 下列函数可能是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 2. 在同一个坐标系下，函数与函数的图象都正确的是（　　） A． B． C． D． 3. 已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4. 已知，则（    ） A． B． C． D． 5．函数的定义域是 . 6．函数的定义域为 . 7. 函数且恒过的定点为 . 8．函数 的图象必过定点 ． 9．不等式的解集为 ． 10．函数f（x）＝的定义域是 ． 11．．求下列各式中的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 12. 计算： (1)； (2)； (3)（，，且，）． 13.求值：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 串讲02 对数与对数函数 知识结构 要点梳理 知识点一 对数的概念 1.若ax＝N(a＞0，且a≠1)，则数x叫做以a为底N的对数，a叫做对数的__底数 __，N叫做_真数 __，记作x＝logaN． 2．常用对数和自然对数 (1)常用对数：通常我们将以_ 10 _为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为__lgN _. (2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为__ lnN _. 知识点二 对数与指数的关系 当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝__ logaN __. 知识点三 对数的基本性质 (1)_ 负数_ __和__ 0 __没有对数． (2)loga1＝_ 0 __(a＞0，且a≠1)． (3)logaa＝__ 1 __(a＞0，且a≠1)． 知识点四 对数的运算性质 条件 a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0 性质 loga(MN)＝logaM＋logaN loga＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R) 知识点五 换底公式 若a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1，则有logab＝． 知识点六 对数函数 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)． 知识点七 对数函数的图象及性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域(0，＋∞)，值域(-∞，＋∞) 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y>0 当0<x<1时，y>0 当x>1时，y<0 题型探究： 考点一 对数定义与性质的应用 例1. 有以下四个结论，其中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】利用对数的性质判断AB；利用指数式与对数式的互化判断CD. 【详解】对于A，由于，而0和负数没有对数，则无意义，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，由，得，C错误； 对于D，由，得，D错误. 故选：B 例2. 方程的解是（    ） A．1 B．2 C．e D．3 【答案】D 【分析】利用指数与对数的转化即可得到结果. 【详解】∵，∴，∴. 故选：D. 『规律方法』　(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数； (2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定． 【归纳提升】　对数性质在计算中的应用 (1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0. (2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质． 【变式】1. 有以下四个结论，其中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】B 【分析】根据对数的性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为，，所以A错误，B正确；若，则，故C错误；，而没有意义，故D错误． 故选：B. 2. 求下列各式中x的值： (1)x＝16；　　　　(2)log8x＝－　　　　 【解析】　(1)∵x＝16，∴()x＝16，即2－x＝24.∴－x＝4，即x＝－4. (2)∵log8x＝－，∴x＝8－＝＝. 考点二 对数的运算性质的应用 例3．用logax，logay，logaz表示： (1)loga(xy2)；(2)loga(x)；(3)loga. [解析]　(1)loga(xy2)＝logax＋logay2＝logax＋2logay. (2)loga(x)＝logax＋loga＝logax＋logay. (3)loga＝loga＝[logax－loga(yz2)] ＝(logax－logay－2logaz)． 例4. 化简或求值： （1）． 【详解】（1）原式(2) 【详解】（2） [归纳提升]　1.对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制． 2. 利用对数运算性质化简与求值的原则和方法 (1)基本原则： ①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法： ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 【变式探究】1. 用logax、logay、logaz表示下列各式： (1)loga(x3y5)；　(2)loga. [解析]　(1)loga(x3y5)＝logax3＋logay5 ＝3logax＋5logay. (2)loga＝loga－loga(yz) ＝logax－(logay＋logaz) ＝logax－logay－logaz. 2. 计算下列各式： (1)lg－lg＋lg； (2)lg25＋lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2. [解析]　(1)法一：原式＝(5lg2－2lg7)－×lg2＋(2lg7＋lg5) ＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5 ＝lg2＋lg5＝(lg2＋lg5) ＝lg10＝. 法二：原式＝lg－lg4＋lg7 ＝lg ＝log(·)＝lg＝. (2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5×(2lg2＋lg5)＋(lg2)2 ＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2 ＝2＋1＝3. 考点三 换底公式的应用 例5. 计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)4. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用对数运算性质及换底公式计算作答. 【详解】（1）. （2）. [归纳提升]　关于换底公式的用途和本质： (1)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法． (2)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如logab＝；logaan＝n，logambn＝logab；lg2＋lg5＝1等，将会达到事半功倍的效果． 【变式】利用对数的换底公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据换底公式和对数的运算性质计算即可. 【详解】（1） ； （2） . 考点五 对数函数的定义域 例6. 函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域 【详解】由题意得，解得， 故定义域为. 故答案为： 例7. 函数的定义域为 . 【答案】 【分析】利用对数函数真数大于零，解不等式即可求得结果. 【详解】由对数函数定义可得，解得或， 所以函数定义域为. 故答案为： [归纳提升]　定义域是研究函数的基础，若已知函数解析式求定义域，常规为：①分母不能为零，②0的零次幂与负指数次幂无意义，③偶次方根的被开方式(数)非负，④求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意底数；三是按底数的取值应用单调性． 【变式探究】1. 函数的定义域为 【答案】 【分析】由对数及分式的性质列不等式组求定义域即可. 【详解】由解析式知：或， 所以函数定义域为. 故答案为： 2．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】利用函数有意义，列出不等式求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 考点六 利用对数函数的单调性比较大小 例8. 比较下列各组中两个值的大小： (1)ln0.3，ln2； (2)loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)； (3)log30.2，log40.2； [分析]　(1)底数相同时如何比较两个对数值的大小？ (2)底数不同、真数相同时如何比较两个对数值的大小？ [解析]　(1)因为函数y＝lnx在(0，＋∞)上是增函数，且0.3＜2，所以ln0.3＜ln2. (2)当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数， 又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2. (3)因为0＞log0.23＞log0.24，所以＜， 即log30.2＜log40.2. [归纳提升]　比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． 提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小． 【变式探究】1. 比较大小： （填“>”或“<”）． 【答案】 【详解】试题分析：因为函数为单调递增函数，所以． 考点：对数函数的单调性的应用． 2. 已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，结合中间值比较大小. 【详解】因为在R上单调递减，故，即， 因为在上单调递增，故， 因为在上单调递减，故， 故. 故选：C． 考点七 对数函数的图象 例9. 在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过分析正比例函数和对数函数的特征可得解. 【详解】函数，由对数函数可知，且， 当时，为过原点的减函数，为减函数，则B错误，D正确； 当时，为过原点的增函数，为增函数，则A错误，C错误； 故选：D. 例10. 在同一坐标系中，函数与的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合对数函数与指数函数的性质，即可得出结果. 【详解】由指数函数与对数函数的单调性知： 在上单调递增，在上单调递增，只有B满足. 故选：B. 【变式探究】1. 函数的图象大致（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的图象直接得出. 【详解】因为，根据对数函数的图象可得A正确. 故选：A. 2. 函数与的大致图像是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可根据指数函数和对数函数的图像性质得出结果. 【详解】因为函数是减函数，过点，函数是减函数，过点， 所以A选项中的函数图像符合题意， 故选：A. 素养作业 1. 下列函数可能是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数的图象可得合适的选项. 【详解】对数函数的定义域为，ABCD四个选项中最有可能是对数函数的是A选项. 故选：A. 2. 在同一个坐标系下，函数与函数的图象都正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性判断函数图象． 【详解】解：指数函数是增函数， 对数函数是减函数， 故选：A. 3. 已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性比较大小可得答案. 【详解】因为， ， 所以. 故选：D. 4. 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，及函数单调性，即可求解. 【详解】， 则，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D错误. 故选：A. 5．函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据对数函数定义求对数函数的定义域. 【详解】解：要使函数有意义就要，即，所以函数的定义域是. 故答案为： 6．函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据定义域的求法，即可求解. 【详解】解：，得， 故答案为： 7. 函数且恒过的定点为 . 【答案】 【分析】若且过定点，则点的坐标与的取值无关，由对数的性质可知，令即可求出. 【详解】由题意得：，解得， 当时，， 所以定点坐标为. 故答案为： 8．函数 的图象必过定点 ． 【答案】 【分析】直接利用对数函数的性质求出所经过的定点． 【详解】解：函数， 则：令，解得， 当时． 故函数的图象必过定点为． 故答案为： ． 9．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用对数函数单调性求出不等式的解集. 【详解】由不等式，得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 10．函数f（x）＝的定义域是 ． 【答案】（0，3］ 【详解】试题分析：要使函数解析式有意义需满足，即，故定义域为（0，3］. 考点：对数函数. 11．．求下列各式中的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）27；（2）；（3）；（4） 【解析】将对数式化为指数式,结合指数幂的运算即可求解. 【详解】（1） （2） （3） （4） 12. 计算： (1)； (2)； (3)（，，且，）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 利用对数的换底公式以及对数的运算性质计算. 【详解】（1）； （2）； （3）． 13.求值：. 【详解】根据对数的运算法则，可得 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$