专题05 平行四边形- 【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

专题05 平行四边形 目录 【考点1 多边形的内角和与外角和】 2 【考点2 利用三角形的中位线求线段长】 5 【考点3 利用平行四边形的性质求角度】 7 【考点4 利用平行四边形的性质求边长】 9 【考点5 利用平行四边形的性质求解折叠问题】 12 【考点6 判断能否构成平行四边形】 16 【考点7 平行四边形的判定和性质】 18 【考点8 平行四边形与中位线的综合问题】 22 【过关检测】 27 1.平行四边形：两组对边分别平行的四边形. 2.三角形中位线 3.多边形 考点剖析 【考点1 多边形的内角和与外角和】 1 例题：（2024·重庆·二模）一个多边形的内角和是这个多边形的外角和的3倍，则该多边形边数为 【变式训练】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正六边形的两个顶点与正方形的两个顶点重合，且正方形与正六边形的中心（点O）重合，则 度． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，将正五边形纸片折叠，使点B与点E重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点B的对应点为点，折痕为，则的大小为 度． 3．（2024·山东菏泽·二模）如图， 正三角形、正四边形、正五边形中， 点E在的延长线上，点D在另一边反向延长线上，且 延长线交于点 F．图1中 的度数为 ， 图2 中度数为 ， 若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边形”，其它条件不变，则度数为 ．（用含n的代数式表示） 【考点2 利用三角形的中位线求线段长】 例题：（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，，于点，．若，分别为，的中点，则的长为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，已知，，，垂足为，点分别是的中点．若，则的长为 ．    2．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在等边三角形中，，，点E是线段上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则长的最小值为 ． 【考点3 利用平行四边形的性质求角度】 例题：（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，以点为圆心，为半径作弧交于另一点，再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，则的度数为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）若平行四边形的两个内角，则的度数是 ． 2．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在边上，则 ． 3．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，在中，，将绕顶点顺时针旋转到，当首次经过顶点时，旋转角 度． 【考点4 利用平行四边形的性质求边长】 例题：（22-23八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，平行四边形中，和的平分线交于边上一点，且，，则的长是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，，，则的长为 ． 2．（22-23八年级下·山东青岛·期末）在中，的平分线与的延长线交于点，与交于点．若点为的中点，于，且，，则的长为 ． 【考点5 利用平行四边形的性质求解折叠问题】 例题：（2024·福建漳州·二模）如图，将的两边与分别沿翻折，点A，C恰好与点B重合，则的大小为 ．    【变式训练】 1．（23-24八年级下·重庆万州·期中）如图，在中，，，将沿对角线翻折，交于点，点的对应点为点，则的度数是 ． 2．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在平行四边形中，，，，连结，将沿折叠得到，交于点，则的长度是 ． 3．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知在平行四边形中，，点在上，，将沿翻折到，连接．则的长为 ，的长为 ．      【考点6 判断能否构成平行四边形】 例题：（23-24八年级上·山东菏泽·期末）下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（22-23八年级下·江西赣州·期末）如图，在中，点，分别在，上．下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（    ）    A． B． C． D． 【考点7 平行四边形的判定和性质】 例题：（22-23八年级下·广东深圳·期末）已知：如图，E、F是对角线上的两点．      (1)若，求证：四边形是平行四边形； (2)若，，垂足分别为E、F，，求的度数． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在中，，于点D，延长到点E，使，过点E作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，直接写出的长． 2．（22-23八年级下·四川·期末）如图，在中，，．以为边向形外作等边，以为边向形外作等边，以为边向上作等边，连接．    (1)记的面积为，的面积为，则的值是______； (2)求证：四边形是平行四边形． (3)连接，若，求四边形的面积． 【考点8 平行四边形与中位线的综合问题】 例题：（22-23八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，点是边的中点，点在内，平分，，点F在边AB上，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，点E是边上任意一点，连接、，点F、G分别是和的中点，连接、．    (1)求证： (2)当点E在边上什么位置时，四边形是平行四边形？并证明． 2．（22-23八年级下·安徽六安·期末）如图1，在四边形中，对角线与相交于点O，，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若E，F，G分别为，，的中点，． ①四边形是哪种特殊的四边形，证明你的结论； ②连接，若，，求的周长． 【过关检测】 过关检测 一、单选题 1．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）正十边形的每一个内角的度数是（  ） A． B． C． D． 2．（2024八年级下·山东·专题练习）如图，在四边形中，，要使得四边形是平行四边形，可添加的条件不正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·重庆万州·期中）如图，平行四边形的对角线与相交于点，，若，，则的长是（　　）    A． B． C．4 D． 4．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点E，若恰为等边三角形，则的长度是（　　）． A．6 B． C．8 D．10 5．（2024·浙江·二模）四边形具有不稳定性，教材是在平行四边形概念的基础上学习矩形定义的，教材提出的情景问题是：“在这些平行四边形中，有没有一个面积最大的平行四边形”，因此通过平行四边形变形可以得到矩形．某同学将平行四边形的边与边分别绕点A、点逆时针旋转，得到矩形，若此时、、恰好共线，cm，cm，那么边扫过的面积为（    ） A． B． C． D．8 二、填空题 6．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在四边形中，与相交于点，，添加条件 ，可得四边形为平行四边形（只需添加一个条件）． 7．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，某公园有一块三角形空地米，沿放置一道栅栏把分成两个区域种植不同的花卉，D、E分别是的中点，则栅栏的长为 米． 8．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在中，平分交于点E，交的延长线于点F，若，则的长为 ． 9．（23-24八年级下·浙江·期中）如图，在中，对角线与交于点的平分线与交于点F，点E是的中点，连接，若，则长为 ． 10．（23-24八年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，有四个点，若以为顶点的四边形是平行四边形，则坐标是 ． 三、解答题 11．（2024八年级下·天津·专题练习）如图，在平行四边形中，平分，已知，，， (1)求的长； (2)若，求的度数． 12．（2024八年级下·天津·专题练习）如图，在中，于点，于点，若的周长为，， (1)求和之间的距离及和之间的距离． (2)求平行四边形的面积． 13．（23-24八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，，，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点． (1)求的长； (2)求的面积． 14．（21-22八年级下·广东湛江·期中）如图所示，四边形是平行四边形，的角平分线交于点F，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若恰好平分，连接，求证：四边形是平行四边形； (3)若，，，求平行四边形的面积． 15．（23-24八年级下·山东滨州·期中）（1）如图①，在四边形中，、、、分别是、、、的中点．求证：四边形是平行四边形． （2）如图②，在四边形中，、、、分别为、、、的中点，求证：与互相平分． 16．（23-24八年级下·河南南阳·期中）中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接． (1)若， ①如图①，当点E在线段上时，易证，结合图形，请直接写出线段，，的数量关系是 ；（不需说明理由） ②如图②，当点E在线段的延长线上时，请写出线段，，的数量关系，并证明； (2)如图③，若，当点E在线段延长线上时，猜想并直接写出线段，，的数量关系是 ．（不需说明理由） (3)在（1）、（2）的情况下，若，，则_______．（不需说明理由） 17．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，平分，于点，点是的中点．          【探究】 （1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：； （2）如图2，线段、、之间满足的数量关系为_________； 【初步运用】 （3）如图3，中，平分，，垂足为，过作交于点，，，则_________； 【灵活运用】 （4）如图4，中，，，点在上，，，垂足为E，与交于点，线段、之间满足的数量关系为_________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平行四边形 目录 【考点1 多边形的内角和与外角和】 2 【考点2 利用三角形的中位线求线段长】 5 【考点3 利用平行四边形的性质求角度】 7 【考点4 利用平行四边形的性质求边长】 9 【考点5 利用平行四边形的性质求解折叠问题】 12 【考点6 判断能否构成平行四边形】 16 【考点7 平行四边形的判定和性质】 18 【考点8 平行四边形与中位线的综合问题】 22 【过关检测】 27 1.平行四边形：两组对边分别平行的四边形. 2.三角形中位线 3.多边形 考点剖析 【考点1 多边形的内角和与外角和】 1 例题：（2024·重庆·二模）一个多边形的内角和是这个多边形的外角和的3倍，则该多边形边数为 【答案】8/八 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式，多边形外角和定理，解题关键是掌握多边形内角和公式：以及多边形的外角和等于．根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，求解即可得到答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：8． 【变式训练】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正六边形的两个顶点与正方形的两个顶点重合，且正方形与正六边形的中心（点O）重合，则 度． 【答案】 【分析】此题考查了正多边形的性质，连接，先求出，，由正六边形是轴对称图形可得，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵正六边形的两个顶点与正方形的两个顶点重合， ∴，， 由正六边形是轴对称图形可得，， ∴， 故答案为：． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，将正五边形纸片折叠，使点B与点E重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点B的对应点为点，折痕为，则的大小为 度． 【答案】45 【分析】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得在中，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵正五边形的每一个内角为， 将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为， 则， ∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为， ∴，， 在中，， 故答案为：． 3．（2024·山东菏泽·二模）如图， 正三角形、正四边形、正五边形中， 点E在的延长线上，点D在另一边反向延长线上，且 延长线交于点 F．图1中 的度数为 ， 图2 中度数为 ， 若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边形”，其它条件不变，则度数为 ．（用含n的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角． 通过证明，即可分别求出正三角形、正四边形、正五边形时的度数，找出规律即可解答． 【详解】解：图1：在中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 图2：∵四边形为正方形， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵， ∴； 图3：∵五边形为正五边形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵， ∴； ∴ “正n边形”，其它条件不变时，的度数等于该多边形的一个内角， 即度数为． 故填：，，． 【考点2 利用三角形的中位线求线段长】 例题：（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，，于点，．若，分别为，的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及等腰直角三角形性质、含的直角三角形性质、勾股定理、三角形中位线的判定与性质等知识，根据等腰直角三角形的性质求出，根据含的直角三角形性质及勾股定理列方程求出，最后由三角形这中位线的判定与性质计算即可得到答案．熟练掌握三角形相关性质，运用三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：， ， 在中，，， ， 在中，，则， ，设，则，由勾股定理可得， ，解得，则， ，分别为，的中点， 是的中位线， ， 故答案为：4． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，已知，，，垂足为，点分别是的中点．若，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查求线段长，涉及平行四边形性质、等腰直角三角形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理、三角形中位线的判定与性质等知识，证明是等腰直角三角形，得出，由勾股定理结合含角的直角三角形的性质得出，最后再由三角形中位线定理即可得出答案，熟练掌握相关几何性质是解决问题的关键． 【详解】解：在，，则， ，， 在中，由等腰直角三角形性质得到， 在，则， 在中，，设，则，解得， ， 点分别是的中点， 是的中位线，则， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在等边三角形中，，，点E是线段上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则长的最小值为 ． 【答案】 【分析】取的中点K，连接、，根据等边三角形的性质，得到，，再结合旋转的性质，证明，有，故当最小时，最小，此时，由是的中位线，可得，从而长的最小值为． 【详解】解：如图，取的中点K，连接、， 是等边三角形，，， ，， 将线段绕点A顺时针旋转，得到线段， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 当最小时，最小，此时， ， ， 是的中位线， 长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 【考点3 利用平行四边形的性质求角度】 例题：（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，以点为圆心，为半径作弧交于另一点，再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，则的度数为 ． 【答案】20 【分析】本题考查平行四边形的性质，尺规作垂线，根据平行四边形的性质，推出，作图可知，三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由作图可知， ∴， ∴； 故答案为：20． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）若平行四边形的两个内角，则的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】此题考查了平行四边形的性质．注意掌握平行四边形的邻角互补定理的应用是解此题的关键． 由在平行四边形中，已知，根据平行四边形的邻角互补，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在边上，则 ． 【答案】106 【分析】此题主要考查了旋转的性质以及平行四边形的性质．根据旋转的性质得出，，进而得出的度数，再利用平行四边形的性质得出的度数． 【详解】解：平行四边形绕点逆时针旋转，得到平行四边形（点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点）， ，， ， ． 故答案为：106． 3．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，在中，，将绕顶点顺时针旋转到，当首次经过顶点时，旋转角 度． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平行四边形的性质、旋转的性质、三角形的内角和定理是解题的关键． 由，可得，由旋转的性质可知，，，则，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点4 利用平行四边形的性质求边长】 例题：（22-23八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，平行四边形中，和的平分线交于边上一点，且，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质；根据和的平分线交于边上一点，结合平行四边形的性质，得出，，在中，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，，， ，分别是和的平分线， ，， ，，， ，， ， ，， ， ． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，转化线段是解题的关键．根据平行线的性质可得，由角平分线可得，所以，所以，同理可得，则根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 故答案为：4． 2．（22-23八年级下·山东青岛·期末）在中，的平分线与的延长线交于点，与交于点．若点为的中点，于，且，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义，证明是等腰三角形，进而得到，根据等腰三角形三线合一的性质，利用勾股定理，求出，进而得到，再证明，得到，即可求出的长． 【详解】解：， ，，， 为的中点， ， 平分， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 【考点5 利用平行四边形的性质求解折叠问题】 例题：（2024·福建漳州·二模）如图，将的两边与分别沿翻折，点A，C恰好与点B重合，则的大小为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是翻转变换的性质、平行四边形的性质及等边三角形的判定与性质，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．先证明和是等边三角形，可得，再由折叠性质求解即可． 【详解】解：由翻转变换的性质可知，，， 四边形是平行四边形， 和是等边三角形， ， ， 故答案为： 【变式训练】 1．（23-24八年级下·重庆万州·期中）如图，在中，，，将沿对角线翻折，交于点，点的对应点为点，则的度数是 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义与性质、折叠的性质，由平行四边形的性质得出，由等边对等角得出，由折叠的性质可得：，由三角形外角的定义与性质得出，即可得解． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， ，， ， 由折叠的性质可得：， ， ， 故答案为：． 2．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在平行四边形中，，，，连结，将沿折叠得到，交于点，则的长度是 ． 【答案】// 【分析】见详解的作图，欲求的长，猜想构造直角，依据勾股定理求解．因是含角的直角三角形，故可求得的长，进一步求得的长，由全等三角形及折叠性可证得，则，于是将直角三角形中的已知与待求的通过勾股定理联系起来了，即可求得的长． 【详解】过点A作延长线的垂线，垂足为H，见下图．    ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴由得，， ∵， ∴． ∴． 则． ∵平行四边形， ∴，又， ∴， ∴ ∴（等角对等边）． 设，则， 在直角中， 即：， 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形、折叠图形、勾股定理、等角对等边等性质，解题的关键是求证，并运用勾股定理求解． 3．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知在平行四边形中，，点在上，，将沿翻折到，连接．则的长为 ，的长为 ．      【答案】 【分析】过B作交延长线于G，于H，先证明是等腰直角三角形求得，设，则，，然后在中，利用勾股定理求得，进而求得；由翻折性质和等腰三角形的性质，结合平行线的性质求得，证明是等腰直角三角形，∴，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过B作交延长线于G，过E作于H，则，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 设，则，， 在中，由得， 解得， ∴； 由翻折性质得，， ∵，， ∴， ∴， ∵EH⊥BF， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，． 故答案为：5，． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、翻折性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键． 【考点6 判断能否构成平行四边形】 例题：（23-24八年级上·山东菏泽·期末）下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定定理，准确无误的掌握定理是解题关键．根据平行四边形的判断定理分别作出判断得出即可． 【详解】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故A不合题意； B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故B不合题意； C、，，不能判断这个四边形是平行四边形，故C符合题意； D、∵，，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，故D不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【详解】解：A、，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； B、，不能判定四边形是平行四边形，故本选项错误，符合题意； C、∵，∴，又∵，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； D、，根据两对边分别相等的四边形是平行四边形，可得四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意． 故选：B． 2．（22-23八年级下·江西赣州·期末）如图，在中，点，分别在，上．下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可． 【详解】A、∵四边形为平行四边形， ∴，即． 又， ∴四边形为平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形） 该选项不符合题意． B、无法证明四边形为平行四边形，该选项符合题意． C、∵四边形为平行四边形， ∴，即． 又， ∴四边形为平行四边形．（两组对边分别平行的四边形为平行四边形） 该选项不符合题意． D、∵四边形为平行四边形， ∴，． 又，，， ∴． ∵，， ∴． ∴四边形为平行四边形．（两组对角分别相等的四边形为平行四边形） 该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和判定，牢记平行四边形的判定方法是解题的关键． 【考点7 平行四边形的判定和性质】 例题：（22-23八年级下·广东深圳·期末）已知：如图，E、F是对角线上的两点．      (1)若，求证：四边形是平行四边形； (2)若，，垂足分别为E、F，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接交于O，根据，得，，继可证得，即可由平行四边形的判定定理得出结论． （2）先由，，得出，，再证，得，从而证得四边形是平行四边形，即可根据平行四边形的性质得． 【详解】（1）证明：连接交于O，      ∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在中，，于点D，延长到点E，使，过点E作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． （1）证，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，再由等腰三角形的性质得，则，进而由勾股定理得，然后利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， 在与中， ， ， , 又， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）可知四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 2．（22-23八年级下·四川·期末）如图，在中，，．以为边向形外作等边，以为边向形外作等边，以为边向上作等边，连接．    (1)记的面积为，的面积为，则的值是______； (2)求证：四边形是平行四边形． (3)连接，若，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用等边三角形的面积公式及勾股定理即可得解； （2）通过证明推得，同理可证得，继而得证； （3）先推证得 ,则设设，则，在中，利用勾股定理计算得,继而得解； 【详解】（1）是等边三角形， 又， 故答案为： （2）是等边三角形， , , , 又为等边三角形， , , 同理可证：, 四边形是平行四边形． （3）四边形是平行四边形． 又 , 又, , 又 设，则， 在中，,, 即， 解得：， 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，熟练掌握并应用相关性质和判定是解题的关键． 【考点8 平行四边形与中位线的综合问题】 例题：（22-23八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，点是边的中点，点在内，平分，，点F在边AB上，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）延长交于点，证明，根据全等三角形的性质可得到，再利用三角形的中位线定理证明，再由可证出结论； （2）先利用三角形中位线定理证明，再证明，可得到． 【详解】（1）证明：延长交于点，    ∵， ∴， 在和中，， ∴（）． ∴． ∵ ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵D、E分别是、的中点， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，题目综合性较强，证明，再利用三角形中位线定理证明是解决问题的关键． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，点E是边上任意一点，连接、，点F、G分别是和的中点，连接、．    (1)求证： (2)当点E在边上什么位置时，四边形是平行四边形？并证明． 【答案】(1)见解析 (2)当点E在边上的中点时，四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】（1）先证明是是中位线，即有，问题随之得解； （2）结合三角形中位线的性质有，，再根据点E在边上的中点，可得，即有且，问题得解． 【详解】（1）又点F、G分别是AE和BE的中点， 是的中位线． ， 中，， ． （2）当点E在边上的中点时，四边形是平行四边形． 证明：在中，． 是的中位线， ． ． 点E在边上的中点， ． ． 且． ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，掌握三角形中位线的判定与性质，是解答本题的关键． 2．（22-23八年级下·安徽六安·期末）如图1，在四边形中，对角线与相交于点O，，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若E，F，G分别为，，的中点，． ①四边形是哪种特殊的四边形，证明你的结论； ②连接，若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)①平行四边形，证明见解析；②24 【分析】（1）首先证明出，得到，然后结合即可证明出四边形是平行四边形； （2）①首先根据题意得到，，然后得到，进而证明出，，即可证明出四边形是平行四边形； ②连接，首先证明出四边形是平行四边形，得到，然后利用等腰三角形三线合一性质得到，然后利用勾股定理和直角三角形的性质得到，，进而求解即可． 【详解】（1）∵，，， ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形； （2）①∵E，F分别为，的中点， ∴， ∵点G为的中点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形； ②如图所示，连接    ∵ ∴ ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∵点E是的中点 ∴ ∵，，点G是的中点 ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴的周长． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【过关检测】 过关检测 一、单选题 1．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）正十边形的每一个内角的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．根据正多边形的每个内角都相等和多边形内角和公式进行列式求解即可． 【详解】解：正十边形的每个内角的度数是： ， 故选：A． 2．（2024八年级下·山东·专题练习）如图，在四边形中，，要使得四边形是平行四边形，可添加的条件不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：A、，添加时，一组对边分别平行且相等，可证明四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B、，添加时，两组对边分别平行，可证明四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； C、当，添加时，四边形可能为等腰梯形，故此选项符合题意； D、∵， ∴， 添加， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．（23-24八年级下·重庆万州·期中）如图，平行四边形的对角线与相交于点，，若，，则的长是（　　）    A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理，由等腰直角三角形的判定与性质得出，由平行四边形的性质得出，，由勾股定理得出，即可得解． 【详解】解：，，， 为等腰直角三角形，， 四边形为平行四边形， ，， ， ， 故选：D． 4．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点E，若恰为等边三角形，则的长度是（　　）． A．6 B． C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，由折叠的性质可得，由平行线的性质可得，可证，由等边三角形的性质可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵将纸片沿对角线对折， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故选：A． 5．（2024·浙江·二模）四边形具有不稳定性，教材是在平行四边形概念的基础上学习矩形定义的，教材提出的情景问题是：“在这些平行四边形中，有没有一个面积最大的平行四边形”，因此通过平行四边形变形可以得到矩形．某同学将平行四边形的边与边分别绕点A、点逆时针旋转，得到矩形，若此时、、恰好共线，cm，cm，那么边扫过的面积为（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 连接，，以A为圆心，的长为半径，作,以B为圆心，的长为半径，作,平行四边形的面积就是扫过的面积. 【详解】解：连接，，以A为圆心，的长为半径，作,以B为圆心，的长为半径，作, 扫过的面积为,及，围成的面积， 即平行四边形的面积就是扫过的面积. 由旋转可知，， ， 是平行四边形， 中，， ， ， 故答案为：A． 二、填空题 6．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在四边形中，与相交于点，，添加条件 ，可得四边形为平行四边形（只需添加一个条件）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法即可得出结论． 【详解】解：添加条件，可得四边形为平行四边形， 理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 7．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，某公园有一块三角形空地米，沿放置一道栅栏把分成两个区域种植不同的花卉，D、E分别是的中点，则栅栏的长为 米． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的中位线定理，根据题意，得到是的中位线，即可得出结果． 【详解】解：∵D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴； 故答案为：6． 8．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在中，平分交于点E，交的延长线于点F，若，则的长为 ． 【答案】/8厘米 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的性质，利用平行四边形的性质得出，进而得出，再利用角平分线的性质得出，进而得出，即可得出，同理可得：，即可得出答案，得出，是解题关键． 【详解】解：平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·浙江·期中）如图，在中，对角线与交于点的平分线与交于点F，点E是的中点，连接，若，则长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质，中位线定理是解题的关键． 根据平行四边形的性质，结合角的平分线，得到，再由角平分线及等量代换确定，根据等角对等边得出，结合E是的中点，O是的中点，得到是的中位线，计算即可， 【详解】∵平行四边形的对角线、相交于点O， ∴，，O是的中点， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点，O是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：1． 10．（23-24八年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，有四个点，若以为顶点的四边形是平行四边形，则坐标是 ． 【答案】 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，利用分类思想和中点坐标公式计算即可，本题考查了平行四边形的判定和中点坐标公式的应用，熟练掌握判定和公式是解题的关键． 【详解】∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，为顶点的四边形是平行四边形， 设， 当为对角线时，其中点坐标为；此时，为另一对角线，其中点坐标为，根据中点的唯一性， ∴与是重合的， ∴， 解得， 故； 当，为对角线时，其中点坐标为；此时，为另一对角线，其中点坐标为，根据中点的唯一性， ∴与是重合的， ∴， 解得， 故； 当，为对角线时，其中点坐标为；此时，为另一对角线，其中点坐标为，根据中点的唯一性， ∴与是重合的， ∴， 解得， 故； 故答案为：． 三、解答题 11．（2024八年级下·天津·专题练习）如图，在平行四边形中，平分，已知，，， (1)求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，角平分线的定义，等角对等边，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，平分，可得，由等角对等边可得，根据，，即可求得，进而求得； （2）根据（1）的结论可得，由勾股定理的逆定理可得，根据已知条件求得，进而根据平行四边形的性质可得的度数． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形且． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 12．（2024八年级下·天津·专题练习）如图，在中，于点，于点，若的周长为，， (1)求和之间的距离及和之间的距离． (2)求平行四边形的面积． 【答案】(1)和之间的距离，和之间的距离 (2) 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握以下知识点：（1）平行四边形的两组对边分别相等；（2）平行四边形的面积等于边长乘以高． （1）根据平行线间的距离求解即可； （2）已知平行四边形的高，，根据“等面积法”列方程，求出BC＝8，根据平行四边形的面积＝底乘以高可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴和之间的距离，和之间的距离； （2）∵的周长为， ∴， 又，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（23-24八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，，，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查对平行四边形的性质、平行线的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形、三角形的面积、三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，求出、、，即可； （2）根据全等三角形的得出，根据三角形的面积公式求的面积，即可求出答案． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，，， 为中点， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：； （2）， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 的面积为． 14．（21-22八年级下·广东湛江·期中）如图所示，四边形是平行四边形，的角平分线交于点F，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若恰好平分，连接，求证：四边形是平行四边形； (3)若，，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，根据等腰三角形的判定即可得证； （2）根据证明得，根据平行四边形判定定理可得证； （3）先证是等边三角形，根据等边三角形的性质，结合勾股定理和平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知， ∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （3）解：由（1）知， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ 在中，由勾股定理得，， ∵，，， ∴， ∴平行四边形的面积＝的面积． 15．（23-24八年级下·山东滨州·期中）（1）如图①，在四边形中，、、、分别是、、、的中点．求证：四边形是平行四边形． （2）如图②，在四边形中，、、、分别为、、、的中点，求证：与互相平分． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键． （1）连接，根据“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”可得，，，，进而可得且，即可证明结论； （2）连接、、、，结合三角形中位线的性质可证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可证明结论． 【详解】证明：（1）连接， ∵、分别为、的中点， ∴为的中位线,， ∴，， 同理可得，∴为的中位线， ∴，， ∴且， ∴四边形是平行四边形； （2）如下图，连接、、、，    ∵、、、分别为、、、的中点， ∴且，且， ∴且， ∴ 四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 16．（23-24八年级下·河南南阳·期中）中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接． (1)若， ①如图①，当点E在线段上时，易证，结合图形，请直接写出线段，，的数量关系是 ；（不需说明理由） ②如图②，当点E在线段的延长线上时，请写出线段，，的数量关系，并证明； (2)如图③，若，当点E在线段延长线上时，猜想并直接写出线段，，的数量关系是 ．（不需说明理由） (3)在（1）、（2）的情况下，若，，则_______．（不需说明理由） 【答案】(1)①；②，证明见解析 (2) (3)1或7 【分析】（1）①根据全等三角形的性质和平行四边形的性质直接可以得出结论； ②利用等腰三角形的判定证，根据证明，根据全等三角形的性质，结合平行四边形的性质证明即可； （2）利用证，再证全等三角形，结合平行四边形的性质即可得出结论； （3）利用（1）、（2）的结论，把，代入计算即可． 【详解】（1）①，证明如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即； ②线段，，的数量关系是：， 证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 由旋转可知：，， ∴， ∴ 在和中 ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∵， ∴． （2），证明如下： ∵ ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴ 由旋转可知：，， ∴， ∴ 在和中 ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∵， ∴． （3）如图①，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵ ∴ 中，，， 由，得； 如图②，，则， 中，， ∴，与矛盾，故图②中，不存在，的情况； 如图③， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ 中，， ∴ 由知，． 综上，或7． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用相关的知识是解题的关键． 17．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，平分，于点，点是的中点．          【探究】 （1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：； （2）如图2，线段、、之间满足的数量关系为_________； 【初步运用】 （3）如图3，中，平分，，垂足为，过作交于点，，，则_________； 【灵活运用】 （4）如图4，中，，，点在上，，，垂足为E，与交于点，线段、之间满足的数量关系为_________． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）2.5；（4） 【分析】（1）利用证明，得出，，然后利用三角形中位线定理求解即可； （2）延长、相交于D，类似（1）的方法探究线段、、之间关系即可； （3）延长、相交于F，利用证明，得出，利用平行线的性质，等角对等边以及余角的性质可证明，利用三角形中位线定理求，利用勾股定理求出即可； （4）过D作于N，交的延长线于M，利用等腰直角三角形的判断与性质可得出，利用证明，得出，利用证明，得出，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴； （2）延长、相交于D， 由（1）同理可证， ∴， ∵点是的中点， ∴； 故答案为：； （3）延长、相交于F， 由（1）同理可证， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：2.5； （4）过D作于N，交的延长线于M， ∵，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判断等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造三角形的中位线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$