期末复习专题一：数的认识—因数和倍数·分数意义和性质【七大篇目】-2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版）苏教版

1 / 38 “深窥自己的心，而后发觉一切的奇迹在你自己。” “Deep glimpse of their heart,and then find all the miracles in yourself.” 101 数学创作社 2024 年 6月 2日 2 / 38 2023-2024 学年五年级数学下册典型例题系列 期末复习专题一：数的认识—因数和倍数·分数意义和性质 【七大篇目】 本专题是期末复习专题一：数的认识—因数和倍数·分数意义和性质。本部 分内容主要以数的认识为主，其中包括因数和倍数、奇数和偶数、质数和合数以 及分数的意义和性质等。 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，每个考点又 划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广泛，综合性强，建议作为期末复习核 心内容进行讲解，一共划分为七个篇目，欢迎使用。 .................................................................................................................................... 5 .............................................................................................. 6 .............................................................................................. 6 ...................................................................................................... 7 ...................................................................................... 7 ................................................................................... 8 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24 的( )。 【典型例题】 非 0 自然数 a 的最大因数与它的最小倍数之和是( )。 【对应练习】 1．若 a 的最大因数是 19，b 的最小倍数是 1，则 a＋b＝( )，它一共有 ( )个因数。 2．一个数的最大因数是 48，这个数是( )，那么这个数的所有因数是 7 / 38 ( )，这个数的最小倍数是( )。 【典型例题】 按要求写出下列各数的因数或倍数（写出 40 以内的倍数）。 12 的因数：( ) 6 的倍数：( ) 【对应练习】 1．32 的因数有( )；75 的因数有( )。 2．写出下面各数的倍数（各写 5 个）。 1：( )； 50：( )； 75：( )。 【典型例题】 1．育才小学五年级（1）班有 36 名同学排队表演学校集体舞，要使每行人数相 等（每行不能是 1 人和 36 人），一共有多少种不同的排法？（可用表格或其它 方法解决） 2．拗九节在农历正月廿九日，是福建省福州十邑地区本土特有的民间传统节日， 这天家家户户用糯米、红糖、桂圆等原料煮拗九粥，用来祭祖或馈赠亲友。此外， 每年这一天，凡是岁数逢 9，如 9 岁、19 岁（称“明九”），或是 9 的倍数，如 18 岁、27 岁（称“暗九”），都要像过生日一样，吃一碗“太平面”，以求平安、 健康，也叫过“九”。小明的爸爸今年已经 50 岁了，你知道他过了几次“九”吗？ 8 / 38 【对应练习】 1．月饼是一种传统美食，寓意团团圆圆。李师傅制作了 48 块月饼，如果装在盒 子里，每个盒子装的同样多，数量多于 3 块但又比 9 块少，有几种装法？每种装 法各需要多少个盒子？ 2．爸爸今年 48 岁了，乐乐的年龄是 6 的倍数，也是爸爸年龄的因数。乐乐今年 可能多少岁了？ 【典型例题】 把下列各数按要求填在括号里。 50 84 21 60 75 (1)既是 2 的倍数，又是 5 的倍数的数有( )。 (2)既是奇数，又是 3 的倍数的数有( )。 【对应练习】 1．既是 2 的倍数，又是 3 和 5 的倍数的最小两位数是( )，最大两位数 是( )。 2．在 35、67、99、106、130、521、322、876、88、93、17 这些数中，5 的倍 数有( )，3 的倍数有( )。 【典型例题】 要使四位数 652□能同时被 2 和 5 整除，□里应填( )；如果能同时被 3 和 5 整除，□里应填( )。 【对应练习】 1．73★是个三位数，如果这个数是 3 的倍数，★里可以填( )；如果这 9 / 38 个数是 2 的倍数，又是 5 的倍数，★可以填( )。 2．一个四位数 310□，既是 2 的倍数，又有因数 3，□里最大填( )；若这 个数同时是 3 和 5 的倍数，□里应填( )。 【典型例题】 从下面数字中选出 2 个，按要求组成两位数。（各写出 1 个即可） 5 3 0 4 (1)奇数：( )； (2)偶数：( )； (3)3 的倍数：( )； (4)5 的倍数：( )； (5)同时是 2、3 的倍数：( )。 【对应练习】 1．从 0，4，5，7，9 中任意选出四个数字组数。（各写两个） (1)是 2 的倍数( )。 (2)是 3 的倍数( )。 (3)是 5 的倍数( )。 (4)同时是 2、3、5 的倍数( )。 2．从 0，3，4，8 这四个数字中，选择合适的数字，组成符合要求的数。 (1)既是 2的倍数，又是5的倍数的最大三位数( )，最小四位数( )。 (2)既是 2的倍数，又是3的倍数的最小三位数( )，最小四位数( )。 (3)既是 2 和 3 的倍数，又是 5 的倍数的最大四位数( )。 【典型例题】 有 78 颗草莓，如果每 5 颗分给一个小朋友，能正好分完吗？如果每 3 颗分给一 个小朋友，能正好分完吗？为什么？ 10 / 38 【对应练习】 1．体育老师拿来 57 根跳绳，每个小组分 5 根，分到最后一组时发现跳绳不够了。 至少再拿来几根跳绳才刚好够分？一共有几个小组？ 2．王老师要买一些笔奖励给班里积极上进的同学，每支笔 3 元，结账时售货员 告诉王老师一共付 37 元，王老师立刻判断不对。你能解释这是为什么吗？ 【典型例题】 一个大于 2 的自然数，除以 3 余 2，除以 5 余 2，除以 7 也余 2，那么这个自然 数最小是多少？ 【对应练习】 1. 已知某小学六年级学生超过 100 人，而不多于 140 人，将他们按每组 12 人分 组，多 3 人，按每组 8 人分，也多 3 人，求出该校六年级的确切人数。 2. 甲、乙两个数是一位数的自然数，它们的和被 5 除余 2，它们的差能被 5 整除， 那么甲数被 5 除，余数是多少？ 11 / 38 一、奇数与偶数。 1.偶数：能被 2 整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用 2n 表示。 2.奇数：不能被 2 整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用 2n-1 表示。 3.整数：像……-3、-2、-1、0、1、2、3、……都是整数。 4.自然数：像 0、1、2、3、4、……都是自然数。 二、奇数与偶数的基本性质。 (1)奇数+偶数=(奇数) (2)奇数+奇数=(偶数) (3)偶数+偶数=(偶数) (4)奇数×偶数=(偶数) (5)奇数×奇数=(奇数) (6)偶数×偶数=( 偶数) (7)相邻两个自然数的和是(奇数)，相邻四个自然数的和是(偶数 ) (8)奇数一偶数=(奇数)；奇数一奇数=(偶数) 偶数一奇数=(奇数)；偶数一偶数=(偶数) 【典型例题】 在 1、2、15、8、17、0.43、 47 中，( )是奇数，( )是偶数。 【对应练习】 1．在 1－100 的自然数中，偶数有( )个，奇数有( )个。 2．从“0、1、3、5”这几个数中选出三个数组成三位数，其中最大的奇数是( )， 最小的偶数是( )，最小的 3 的倍数是( )。 【典型例题】 按要求把算式写完整。（要求括号里填不为 0 的数） 和是偶数：123＋( ) 和是奇数：53＋( ) 12 / 38 积是奇数：5×( ) 差是偶数：47－( ) 【对应练习】 1．《礼记》有言：“孟春之月，盛德在木”。植树节当天，老师带同学们去植树， 男生组每队植 5 棵树，女生组每队植 4 棵树。如果队伍总数为奇数，植树总棵树 为偶数，那么女生组的队伍数是( )。（填“奇数”或“偶数”） 2．阳光小学五（3）班有 53 名学生，要分成甲、乙两队去参加社区实践活动。 如果甲队人数为奇数，那么乙队人数为( )。（填“奇数”或“偶数”） 【典型例题】 五年级 43 名同学，分成两个队参加劳动，每个队都是偶数名同学，能正好分完 吗？为什么？ 【对应练习】 1. 一只小狗在甲乙两棵树之间来回跑动。小狗从甲树跑到乙树，一共跑了 15 次 （往返算 2 次）最后小狗停在哪棵树？第 90 次呢？ 2. 长江两岸的船工以摆渡为生，每天都从南岸出发驶向北岸，再从北岸驶回南 岸，不断往返。记船由南岸驶向北岸为 1 次。 （1）摆渡第 10 次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ （2）摆渡第 103 次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ 【典型例题】 1．三个连续偶数的和是 168，这三个数的平均数是( )，其中最大的数是 ( )。 2．三个连续奇数的和是 135，其中最大的一个数是( )，最小的数是 13 / 38 ( )。 【对应练习】 1．3个连续偶数的和是120，这3个偶数分别是( )、( )、( )。 2．若三个连续奇数的和是 111，则最小的奇数是( )。 14 / 38 一、质数。 一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20 以内的质数有 2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只要两个因数，一个质数的最小因数是 1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是 2，没有最大的质数。 二、合数。 一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20 以内的合数有 4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是 1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是 4，没有最大的合数。 ③0、1 既不是质数，也不是合数。 三、分解质因数。 1.分解质因数： 指的就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2.注意： ①分解质因数是解决数论最有效最直接的途径； ②100 以内的质数 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、 53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 共 25 个。 【典型例题】 筷子的标准长度是七寸六分，大约 25 厘米，一双筷子两根放在一起像数字 11， 超市里卖的一盒筷子通常是 8 双或者 10 双。筷子中的数字：7，6，25，1，2， 11，8，10 中，偶数有( )个，奇数有( )个，质数有( )个， 15 / 38 合数有( )个。 【对应练习】 1．在 8.2，3，51，12， 1 10，24 这些数中，( )是奇数，( )是 偶数，( )是质数，( )是合数。 2．在 2，5，6，9，13，51，90 这些数中，偶数有( )；质数有( )； 既是奇数又是合数的数有( )。 【典型例题】 在括号里里填上适当的质数。 30＝( )×( )×( ) 12＝( )＋( )＋ ( ) 【对应练习】 1．哥德巴赫猜想提出，所有大于 9 的偶数都可以麦示为两个质数的和。比如：4 ＝2＋2，6＝3＋3，8＝5＋3，10＝7＋3，……请你仿照填写：24＝( )＋ ( )。 2．在括号里填上合适的质数。 12＝( )＋( )＝( )－( )＝( )＋ ( )＋( ) 91＝( )×( ) 30＝( )＋( ) 【典型例题】 有一个电话号码是 ABCDEFG。已知：A 是 5 的最小倍数；B 是最小的质数；C 是 6 的最大因数；D 既是 3 的倍数，又是 3 的因数；E 的所有因数是 1、2、3、6； F 的所有因数是 1、3；G 只有一个因数。这个电话号码是多少？ 16 / 38 【对应练习】 1．妈妈的银行卡密码是由六个数字组成的，其中不含数字 0，第一位数既是偶 数，又是质数；第二位数既是 5 的倍数，又是 5 的因数；第三位数既是 2 的倍数， 又是 3 的倍数；第四位数既不是质数，也不是合数；第五位数既是奇数，又是合 数；第六位数是一位数中最大的合数。妈妈银行卡密码是多少？ 2．小明的 QQ 号码是一个十位数，且每位上的数字都不相同。从左看起，它第 一位上的数既不是质数，也不是合数，第二位、第十位上的数分别是最大的一位 数、最小的偶数；第三位到第五位上的数既是连续的奇数，又是连续的质数；从 第六位起，是连续的偶数。这个 QQ 号码是多少试试用一一对应的方法来解决吧！ 【典型例题】 1．两个质数的和是 20，这两个质数的积最大是多少？ 2．一个长方形的周长是 32 米，它的长和宽的米数都是质数，这个长方形的面积 最大是多少平方米？ 【对应练习】 1．如果一个两位数乘最小的合数，结果是 96，那么这个数乘最小的质数结果是 多少？ 17 / 38 2．为积极响应“绿美狮山”号召，某小学用 56 米长的栅栏圈出一块长方形地，供 师生种植花草，已知长方形的长和宽都是质数，这个长方形的面积最大是多少平 方米？ 【典型例题】 把下面各数分解质因数。 45 28 104 【对应练习】 1．把下列各数分解质因数。 111 375 2．把下面的各数分解质因数。 36 57 105 【典型例题 1】问题一。 已知 A＝2×2×3×3，那么 A 的因数一共有（ ）个。 A．4 B．6 C．8 D．9 【典型例题 2】问题二。 18 / 38 三个连续自然数的乘积是 210，求这三个数。 【对应练习】 1. 一个数既是 45 的因数，又是 3 的倍数，这个数共有（ ）种可能。 A．2 B．3 C．4 D．6 2. 四个连续自然数的乘积是 360，这四个自然数分别是多少？ 【典型例题 1】问题一。 盒里有 48 块糖块，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，要求每次拿出的个 数同样多，拿完时又正好不多不少，共有多少种拿法？每次拿出多少个？ 【典型例题 2】问题二。 有 168 颗糖，平均分成若干份，每份不得少于 10 颗，也不能多于 50 颗。共有多 少种分法？ 【对应练习】 1．马超、刘涛和王阳三位小朋友购买兔年邮票的枚数的积是 540，其中马超比 刘涛多 1 枚，王阳比刘涛少 3 枚，他们三人分别购买了多少枚兔年邮票？ 19 / 38 2．3 月 12 日植树节，李老师带五（2）班的同学参加植树活动，五（2）班的同 学能平均分成 4 组进行活动。如果李老师和同学们每人植树一样多，他们一共植 树 539 棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？ 20 / 38 一、分数的意义和认识。 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。 二、分数单位的认识和确定。 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。 三、单位“1”的认识和确定。 一个物体，一个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均 分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示，一个整体可以用自然数 1 来表示，我们通常把它叫做单位“1”。 四、分数与除法。 1. 在除法中，被除数÷除数=商，在分数中，被除数相当于分子，除数相当于分 母，商相当于分数值，除号相当于分数线，用分数表示为 商 除数 被除数  。 2. 求一个数占另一个数的几分之几，用一个数÷另一个数= 另一个数 一个数 。 【典型例题】 把一张长方形的纸对折 4 次，再展开，其中的每一小份是这张纸的( )， 三份是这张纸的( )。 【对应练习】 1． 25 元可以表示把 1 元平均分成 5 份，取其中的( )份；也可以表示把 2 元平均分成( )份，取其中的( )份。 2．看图写出阴影部分所表示的分数。 ( ) ( ) ( ) 21 / 38 【典型例题】 一个分数，分子是最小的质数，分母是最大的一位数，这个分数是( )， 它的分数单位是( )，再加上( )个这样的分数单位就是 1。 【对应练习】 1． 227 的分数单位是( )，去掉( )个这样的单位后就与自然数中 最小的奇数相等。 2． 31 7 的分数单位是( )，再加上( )个这样的单位就是最小的合数。 【典型例题 1】问题一。 “五（2）班男生人数占全班人数的 58 ”，这是把( )看作单位“1”，把它平 均分成 8 份，男生人数占其中的( )份。 【对应练习】 1．女生人数是全班人数的 49 ，表示把( )看作单位“1”，平均分成了( ) 份，女生人数表示这样的( )份。 2．在新版《铁路旅客运输规程》中，儿童旅客以年龄划分优惠标准。儿童优惠 票的价格是全价票的 1 2 ，是把( )的价格看成单位“1”，妈妈为浩浩购买一 张全价为 156 元的儿童优惠票，优惠了( )元。 【典型例题 2】问题二。 有两根一样长的铁丝，从第一根上截去它的 2 3 ，从第二根上截去 2 3 米，余下的部 分( )。 A．一样长 B．第一根长 C．不能确定哪根长 【对应练习】 1．一根绳子被剪成两段，第一段长 67 米，第二段占全长的 4 7 这两段绳子相比 ( )。 22 / 38 A．第一段长 B．第二段长 C．无法比较 2．一根绳子剪成两段，第一段是全长的 49 ，第二段长 4 m 9 ，( )长。 A．第一段 B．第二段 C．一样长 D．无法确定 【典型例题 1】问题一。 有一箱桔子共有 40 个（每个大小一样），重 10 千克，平均分给 5 个小朋友，每 个小朋友分到( )个桔子，每个小朋友分到( )千克桔子，每个小 朋友分到这箱桔子的( )。 【对应练习】 1．一包饼干平均分给 3 人，每人分得     　　　 　　　 包。如果一包有 2 块，平均每人分 得( )块。 2．3 米长的绳子，平均分成 4 段，每段占全长的( )，每段长( ) 米。 【典型例题 2】问题二。 计算下面各题，怎样简便怎样算。 81 立方厘米＝( )毫升 79 平方分米＝     　　　 　　　 平方米 1.43 立方米＝( )立方分米＝( )升 【对应练习】 1．在括号里填上适当的分数。 9cm＝( )dm 13dm3＝( )m3 43mL＝( )L 2．0.36 立方米＝( )立方分米 3.5 升＝( )立方分米＝( ) 毫升 87 立方分米＝( )立方米（用分数表示） 【典型例题 3】问题三。 在下面的括号填上适当的数。 5÷6＝     　　　 　　　 7 9 ＝( )÷( ) 11÷( )＝ 11 13 【对应练习】 23 / 38 1．在括号里填上适当的数。     7 13   5 8  ( )÷( ) ( ) 47 7   2．( )÷( )＝ 1 0 （ ） ＝0.4＝( )÷20。 24 / 38 一、分数的分类。 1. 真分数的意义和特征：分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于 1。 2. 假分数的意义和特征：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数， 假分数大于 1 或等于 1。 3. 带分数的意义和特征：由整数（不包括 0）和真分数合成的数叫做带分数，带 分数大于 1。 二、假分数与带分数互化。 1. 假分数化成整数或带分数的方法：用分子除以分母，当分子是分母的倍数时， 能化成整数，商就是这个整数；当分子不是分母的倍数时能化成带分数，商是带 分数的整数部分，余数是带分数中分数部分的分子，分母不变。 2. 带分数化成假分数的方法：带分数也能化成假分数，用分数部分的分母作分 母，用分母和整数的积再加上分数部分的分子的和作分子。 三、分数的基本性质。 分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0 除外），分数的大小不变，这叫 做分数的基本性质。 四、分小互化。 1. 分数和小数的互化 （1）小数化为分数：有几位小数分母就是 1 后面带几个 0，例如：0.1= 10 1 ， 0.23= 100 23 。 （2）分数化常见的为小数：先将分数化为除法，再计算成小数，例如 4 1 =1÷4=0.25。 2. 分数与小数之间的互化： 25 / 38 2 1 =0.5 5 1 =0.2 8 5 =0.625 4 1 =0.25 5 2 =0.4 8 1 =0.125 4 3 =0.75 5 3 =0.6 8 3 =1.375 16 1 =0.0625 5 4 =0.8 8 7 =0.875 25 1 =0.04 25 2 =0.08 25 3 =0.12 25 4 =0.16 五、分数化有限小数。 判断一个分数能否化成有限小数，首先要看这个分数是不是最简分数，如果不是 最简分数，要先约分，再根据一个最简分数，如果分母中只含有质因数 2 或 5， 这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有 2 或 5 以外的质因数，这个分数就 不能化成有限小数。 【典型例题 1】问题一。 在直线上面的□里填上适当的假分数，在直线下面的□里填上适当的带分数。 【对应练习】 1．把一个图形看作单位“1”，用分数表示图中的涂色部分。 2．照样子，在直线上找出表示下面各数的点，并在□内写下来。 51 6 0.5 12 4 11 3 26 / 38 【典型例题 2】问题二。 若 8 m 是假分数， 7 m 是真分数，则 m一定是( )。 【对应练习】 1．在 5 a 中，当 a＝( )时，这个分数可以化成最小假分数；当 a＝( ) 时，它是最大的真分数。 2．在分数 9 m 中（m 是非 0 自然数），当 m( )时，9 m 是真分数；当 m( ) 时， 9 m 是假分数；当 m( )时， 9 m 实际上是整数。 【典型例题】 在括号里填上适当的数。 5 13 ＝ 3 （ ） 23 4 ＝5 4 （ ） 【对应练习】 1．把下面的假分数化成带分数或整数。 17 3  ( ) 633 ＝( ) 23 8 ＝( ) 50 25 ＝( ) 2． 419 的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，再添上 ( )个这样的单位后就是最小的质数。 【典型例题】 3÷4＝   4 ＝   15 。 【对应练习】 27 / 38 1． 3 16 4 （ ） ＝ ＝( )÷32＝ 15 （ ）。 2． 7 4 ＝( )÷( )＝   16 ＝56÷( )。 【典型例题】 如果 5 8 的分母变成 64，要使分数的大小不变，分子应乘( )。 【对应练习】 1．把 5 12的分子增加 5，要使分数大小不变，分母应( )。 2．如果 47 的分母加上 21，要使分数的大小不变，分子应该加( )，如果 15 24 的分子减 10，要使分数的大小不变，分母应该减( )。 【典型例题】 一个分数与 9 4 相等，它的分子比分母大 15，则这个分数是( )。 【对应练习】 1. 一个分数，分母比分子大 25，约分后为 49 ，原分数是( )。 2. 一个分数，分母比分子大 15，它的分数值是 38 ，这个分数是多少？ 【典型例题】 比 1 6 大又比 1 5 小的分数有( )、( )（写出任意两个）。 【对应练习】 1．比 1 5大而又比 3 5 小的分数有( )个。 2．比 17 大，比 1 3 小，且分母是 21 的真分数有( )个。 28 / 38 【典型例题】 1．把下列小数化成分数，分数化成小数。 0.8＝     0.03＝     0.45＝     0.37＝     7 8 ＝( ) 3320 ＝( ) 135 ＝( ) 13 50 ＝( ) 2．在 3 4 、 12 15 、 11 3 三个数中，( )化不成有限小数。 【对应练习】 1． 6025 化成最简分数是( )，化成带分数是( )，化成小数是 ( )。 2． 125 、 3 8 、 5 12 、 3 6 中，能化成有限小数的有( )，能化成无限小数的有 ( )。 【典型例题】 红红、丫丫和聪聪参加 100 米短跑测试，红红用时 0.3 分，丫丫用时 4 15分，聪聪 用时 1 4 分，三人中( )跑得最快。 【对应练习】 1．比较下面每组中两个数的大小。 1.205( )1.250 6.35m( )6.53m 45100 ( )0.45 2．把 1.87、1.87   、 15 8 、1.87  四个数按照从大到小的顺序排列是( )。 29 / 38 一、约分。 1. 约分： 利用分数的基本性质，将分子和分母同时除以同一个非零的数，这个过程叫做约 分。 2. 最简分数： 一个分数的分子和分母互质且都为整数时，我们称这个分数为最简分数。 （互质数：只有公因数 1 的两个数。） 3. 约分的时候很容易一次约不到位，可以用短除法先找到最大公因数再约分， 或者多约几次，直到互质再停，注意强调互质再停止约分。 二、通分。 1. 通分： 将两个或者两个以上的分数的分母化为相同的数的过程叫做通分。 2. 通分的方法。 （1）利用短除法或者枚举法找到分母的最小公倍数； （2）计算每个分数的分母化为最小公倍数时的变化情况，分子也随之变化。 注意：通分也不改变分数的大小。 【典型例题】 约分成最简分数。（结果是假分数的要化成带分数或整数） 9 12 34 85 72 32 78 26 【对应练习】 1．约分，结果是假分数的要化成带分数。 21 28 36 40 65 52 45 75 30 / 38 2．先约分，再比较每组分数的大小。 6 15和 15 25 30 42 和 20 35 13 39 和 14 56 【典型例题】 写出分母是 6 的最简真分数( )。 【对应练习】 1．一个最简真分数，它的分子与分母的积是 18，这个分数可能是( )。 2．一个最简真分数，把它的分子扩大到原来的 3 倍，分母缩小到原来的 12 得 9 4 ， 则原分数为( )。 【典型例题 1】其一。 一个分数，用 2 约分一次，再用 3 约分一次，得到 23 ，原来这个分数是( )。 【对应练习】 化简一个分数时，用 2 约了两次，用 3 约了两次，得 23 。化简之前原来的分数是 ( )。 【典型例题 2】其二。 一个分数约分后是 3 5 。约分之前分子与分母的和是 160，约分前的分数是 ( )。 【对应练习】 一个分数，分子与分母的和是 60，这个分数约分后是 23 ，原分数是( )。 【典型例题 3】其三。 一个分数的分母比分子大 24，约分后是 58 ，这个分数是    。 【对应练习】 1 / 79 “深窥自己的心，而后发觉一切的奇迹在你自己。” “Deep glimpse of their heart,and then find all the miracles in yourself.” 101 数学创作社 2024 年 6月 2日 2 / 79 2023-2024 学年五年级数学下册典型例题系列 期末复习专题一：数的认识—因数和倍数·分数意义和性质 【七大篇目】 本专题是期末复习专题一：数的认识—因数和倍数·分数意义和性质。本部 分内容主要以数的认识为主，其中包括因数和倍数、奇数和偶数、质数和合数以 及分数的意义和性质等。 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，每个考点又 划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广泛，综合性强，建议作为期末复习核 心内容进行讲解，一共划分为七个篇目，欢迎使用。 .................................................................................................................................... 5 .............................................................................................. 6 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............................................................................ 33 .................................................................................................................................. 35 ............................................................................................ 35 .................................................................................... 37 .................................................................................. 38 .................................................................................... 41 .................................................................................................................................. 45 4 / 79 ........................................................................................................ 46 ........................................................................ 49 ........................................................................................ 50 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.....................................................................................................................64 ................................................................................................ 65 .................................................................................................................................. 68 ............................................................................ 68 ....................................................71 .................................................................................... 74 .................................................................................... 76 5 / 79 一、因数与倍数。 1. 因数与倍数的定义： 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数 和商是被除数的因数。 例如：a×b=c(a、b、c 都是不为 0 的整数)，那么 a 是 c 的因数，b 也是 c 的因数； c 是 a 的倍数，c 也是 b 的倍数。 2. 三点注意： （1）因数与倍数是相互依存的： 在谈因数与倍数时，一定要说明一个数是另一个数的因数或倍数，不能单独说一 个数是因数或是倍数。 （2）0 不作为研究因数与倍数的对象。 倍数和因数都是自然数（0 除外），不能是小数或分数。 （3）倍数和因数都是自然数（0 除外），不能是小数或分数。 二、求因数或倍数。 1. 求一个数的因数的方法： 列乘法或除法算式。 2. 求一个数的倍数的方法： 用这个数依次乘非 0 自然数。 三、因数和倍数特征。 1. 因数的特征： 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 2. 倍数的特征： 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的，且都等于它本身。 四、2、5 的倍数特征。 1. 个位上是 0、2、4、6、8 的数是 2 的倍数。 2. 个位上是 0 或 5 的数是 5 的倍数。 6 / 79 五、3 的倍数特征。 1. 3 的倍数的特征： 一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 2. 2、5、3 倍数特征之间的联系： 【典型例题】 32÷8＝4，( )和( )是( )的因数；( )是( ) 和( )的倍数。 【答案】 8 4 32 32 8 4 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商 的倍数，除数和商是被除数的因数。 【详解】32÷8＝4，8 和 4 是 32 的因数；32 是 8 和 4 的倍数。 【对应练习】 1．在 15÷5＝3 中，( )是( )的因数，( )是( )的 倍数。 【答案】 5 和 3 15 15 5 和 3 【分析】在乘法算式 a×b＝c（a、b、c 均为非 0 的自然数）中，a、b 就是 c 的因 数，c 就是 a、b 的倍数。据此解答即可。 【详解】由 15÷5＝3 可得：5×3＝15，所以 5 和 3 是 15 的因数，15 是 5 和 3 的 倍数。 7 / 79 2．24 6 4  ，24 是 6 和 4 的( )，4 和 6 是 24 的( )。 【答案】 倍数 因数 【分析】根据因数和倍数的意义：在乘法算式 a b c  或除法算式 c b a  （a、b、 c 均为非 0 的自然数）中，a、b 就是 c 的因数，c 就是 a、b 的倍数，据此解答。 【详解】根据因数和倍数的意义可知，24 6 4  ，24 是 6 和 4 的倍数，4 和 6 是 24 的因数。 【典型例题】 非 0 自然数 a 的最大因数与它的最小倍数之和是( )。 【答案】2a 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是这个数本身，据此分析解答。 【详解】a＋a＝2a 则这个数 a 的最大因数与它的最小倍数之和是 2a。 【对应练习】 1．若 a 的最大因数是 19，b 的最小倍数是 1，则 a＋b＝( )，它一共有 ( )个因数。 【答案】 20 6 【分析】如果 a 能被 b 整除，则 a 是 b 的倍数，b 是 a 的因数；一个数的最大因 数是它本身，最小倍数是它本身。据此可得出 a、b 的值，进而根据分解因数法 得出因数的个数。 【详解】a 的最大因数是 19，则 a 是 19；b 的最小倍数是 1，则 b 是 1。则 a＋b ＝19＋1＝20；20 的因数有：1、2、4、5、10、20，共 6 个。 2．一个数的最大因数是 48，这个数是( )，那么这个数的所有因数是 ( )，这个数的最小倍数是( )。 【答案】 48 1，2，3，4，6，8，12，16，24，48 48 【分析】一个数的最大因数是它本身，最小因数是它本身；48 的最大因数是 48； 48 的最小倍数是 48；根据找一个因数的方法写出它的所有因数；据此解答即可。 【详解】48 的最大因数是 48。 48 的因数有：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 8 / 79 48 的最小公倍数是 48。 【典型例题】 按要求写出下列各数的因数或倍数（写出 40 以内的倍数）。 12 的因数：( ) 6 的倍数：( ) 【答案】 1、2、3、4、6、12 6、12、18、24、30、36 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为 0），我们就 说除数和商都是被除数的因数，被除数是除数和商的倍数； 可以列乘法算式找一个数的因数：按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积 是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数； 也可以列乘法算式找一个数的倍数：按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个 数与非 0 自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 【详解】由分析可得： 12 的因数：1、2、3、4、6、12 6 的倍数：6、12、18、24、30、36 【对应练习】 1．32 的因数有( )；75 的因数有( )。 【答案】 1、2、4、8、16、32 1、3、5、15、25、75 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这 个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】32＝1×32＝2×16＝4×8 75＝1×75＝3×25＝5×15 32 的因数有 1、2、4、8、16、32；75 的因数有 1、3、5、15、25、75。 2．写出下面各数的倍数（各写 5 个）。 1：( )； 50：( )； 75：( )。 【答案】 1、2、3、4、5 50、100、150、200、250 75、150、225、 300、375 9 / 79 【分析】求一个数倍数的方法： 这个数分别乘以自然数：1，2，3，4，5，…， 就得到这个数的 1 倍，2 倍，3 倍，4 倍，5 倍。据此解答。 【详解】1 的倍数：（1、2、3、4、5）； 50 的倍数：（50、100、150、200、250）； 75 的倍数：（75、150、225、300、375）。 【典型例题】 1．育才小学五年级（1）班有 36 名同学排队表演学校集体舞，要使每行人数相 等（每行不能是 1 人和 36 人），一共有多少种不同的排法？（可用表格或其它 方法解决） 【答案】7 种 【分析】找一个数的因数，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组 地找，这时，两个乘数都是积的因数。求出 36 有多少个因数，进而找出符合条 件的排法即可。 【详解】36＝1×36，排成 1 行或者 36 行，都不符合题意； 36＝2×18，排成 2 行或者 18 行； 36＝3×12，排成 3 行或者排成 12 行； 36＝4×9，排成 4 行或者排成 9 行； 36＝6×6，排成 6 行。 答：一共有 7 种不同的排法。 2．拗九节在农历正月廿九日，是福建省福州十邑地区本土特有的民间传统节日， 这天家家户户用糯米、红糖、桂圆等原料煮拗九粥，用来祭祖或馈赠亲友。此外， 每年这一天，凡是岁数逢 9，如 9 岁、19 岁（称“明九”），或是 9 的倍数，如 18 岁、27 岁（称“暗九”），都要像过生日一样，吃一碗“太平面”，以求平安、 健康，也叫过“九”。小明的爸爸今年已经 50 岁了，你知道他过了几次“九”吗？ 【答案】9 次 【分析】分别找出 50 以内“明九”和“暗九”的次数，再相加，即可求出答案。 【详解】50 以内“明九”有：9、19、29、39、49，共 5 次 50 以内“暗九”有：18、27、36、45，共 4 次 10 / 79 5＋4＝9（次） 答：他过了 9 次“九”。 【对应练习】 1．月饼是一种传统美食，寓意团团圆圆。李师傅制作了 48 块月饼，如果装在盒 子里，每个盒子装的同样多，数量多于 3 块但又比 9 块少，有几种装法？每种装 法各需要多少个盒子？ 【答案】3 种；见详解 【分析】根据题意，要把 48 块月饼装在盒子里，每个盒子装的同样多，那么每 个盒子装月饼的数量一定是 48 的因数； 先列举出 48 的所有因数，再找出大于 3 且小于 9 的因数，即是每盒装月饼的数 量，再用月饼的总数除以每盒装月饼的数量，求出需要盒子的数量。 【详解】48 的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48； 其中，在 3～9 之间的因数有：4，6，8； 即有 3 种装法：每盒装 4 块、6 块、8 块。 48÷4＝12（个） 48÷6＝8（个） 48÷8＝6（个） 答：有 3 种装法：每盒装 4 块需要 12 个盒子，每盒装 6 块需要 8 个盒子，每盒 装 8 块需要 6 个盒子。 2．爸爸今年 48 岁了，乐乐的年龄是 6 的倍数，也是爸爸年龄的因数。乐乐今年 可能多少岁了？ 【答案】可能是 6 岁或 12 岁或 24 岁。 【分析】由题意知：在 48 的范围内找出 6 的倍数，并根据生活实际进行判断， 从而找出合理的数值即可。 【详解】48 的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 6 的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48… 既是 6 的倍数，又是 48 的因数的有：6、12、24、48。 乐乐要比爸爸小，所以乐乐今年可能是 6 岁或 12 岁或 24 岁。 答：乐乐今年可能是 6 岁或 12 岁或 24 岁。 11 / 79 【典型例题】 把下列各数按要求填在括号里。 50 84 21 60 75 (1)既是 2 的倍数，又是 5 的倍数的数有( )。 (2)既是奇数，又是 3 的倍数的数有( )。 【答案】(1)50、60 (2)21、75 【分析】（1）2 的倍数特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数。 5 的倍数特征：个位上是 0 或 5 的数。 2、5 的倍数特征：个位上是 0 的数。 （2）整数中，不是 2 的倍数的数叫做奇数，个位上是 1、3、5、7、9 的数。 3 的倍数特征：一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 【详解】（1）既是 2 的倍数，又是 5 的倍数的数有 50、60。 （2）既是奇数，又是 3 的倍数的数有 21、75。 【对应练习】 1．既是 2 的倍数，又是 3 和 5 的倍数的最小两位数是( )，最大两位数 是( )。 【答案】 30 90 【分析】2，3，5 的倍数的特征：个位上的数字是 0，各个数位上的数字的和是 3 的倍数的数。既是 2 的倍数，又是 3 和 5 的倍数的两位数，因为个位上的数字 是 0，所以十位上的数字应是 3 的倍数。列出符合条件的两位数，再找出其中最 小的两位数和最大的两位数即可。 【详解】根据 2，3，5 的倍数的特征可知，既是 2 的倍数，又是 3 和 5 的倍数的 两位数有：30，60，90，其中最小的两位数是 30，最大的两位数是 90。 2．在 35、67、99、106、130、521、322、876、88、93、17 这些数中，5 的倍 数有( )，3 的倍数有( )。 【答案】 35、130 99、876、93 【分析】5 的倍数特征：个位上的数字是 0 或 5 的数是 5 的倍数。 12 / 79 3 的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍 数。 【详解】3＋5＝8；6＋7＝13；9＋9＝18；1＋6＝7；1＋3＝4； 5＋2＋1＝8；3＋2＋2＝7；8＋7＋6＝21；8＋8＝16；9＋3＝12；1＋7＝8 在 35、67、99、106、130、521、322、876、88、93、17 这些数中，5 的倍数有 35、130，3 的倍数有 99、876、93。 【典型例题】 要使四位数 652□能同时被 2 和 5 整除，□里应填( )；如果能同时被 3 和 5 整除，□里应填( )。 【答案】 0 5 【分析】个位上是 0 的数既是 2 的倍数又是 5 的倍数； 个位上是 0 或 5，并且各个数位上的数的和是 3 的倍数，这个数同时是 3 和 5 的 倍数。 【详解】要使四位数 652□能同时被 2 和 5 整除，□里应填 0； 如果能同时被 3 和 5 整除，6＋5＋2＋5＝18，□里应填的数是 5。 【对应练习】 1．73★是个三位数，如果这个数是 3 的倍数，★里可以填( )；如果这 个数是 2 的倍数，又是 5 的倍数，★可以填( )。 【答案】 2、5、8 0 【分析】根据 3 的倍数的特征，如果各个位上的数宇之和是 3 的倍数，这个数一 定是 3 的倍数；根据 2、5 的倍数特征，个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的 倍数，个位上是 0 或 5 的数是 5 的倍数，同时是 2、5 的倍数特征是个位上必须 是 0，据此解答。 【详解】7＋3＝10 10＋1＝11 10＋2＝12 10＋3＝13 10＋4＝14 13 / 79 10＋5＝15 10＋6＝16 10＋7＝17 10＋8＝18 10＋9＝19 12、15、18 是 3 的倍数， 所以 73★是个三位数，如果这个数是 3 的倍数，★里可以填 2、5、8；如果这个 数是 2 的倍数，又是 5 的倍数，★可以填 0。 2．一个四位数 310□，既是 2 的倍数，又有因数 3，□里最大填( )；若这 个数同时是 3 和 5 的倍数，□里应填( )。 【答案】 8 5 【分析】根据个位上是 0、2、4、6、8 的数是 2 的倍数，是 2 的倍数又叫偶数； 个位上是 0、5 的数是 5 的倍数。一个数的各位上数字和能被 3 整除，则这个数 能被 3 整除。310□先填符合 3 倍数的特征的数，再分别找出其中 2 的倍数或 5 的倍数即可。据此解答。 【详解】若 310□是 3 的倍数，前三位的数字和是 3＋1＋0＝4，□里填入 2、5、8 后，数字和都能被 3 整除。 若 310□是 2 的倍数，它一定是个偶数。在 2、5、8 中，偶数有 2 和 8，最大的是 8，所以□里填入 8。 若 310□是 5 的倍数，在 2、5、8 中，□只有填入 5，这个数才是 5 的倍数。 因此既是 2 的倍数，又有因数 3，□里最大填 8；若这个数同时是 3 和 5 的倍数， □里应填 5。 【典型例题】 从下面数字中选出 2 个，按要求组成两位数。（各写出 1 个即可） 5 3 0 4 (1)奇数：( )； (2)偶数：( )； (3)3 的倍数：( )； 14 / 79 (4)5 的倍数：( )； (5)同时是 2、3 的倍数：( )。 【答案】(1)53 (2)34 (3)30 (4)50 (5)30 【分析】整数中，是 2 的倍数的数叫做偶数，不是 2 的倍数的数叫做奇数。 2 的倍数特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数。 3 的倍数特征：一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 5 的倍数特征：个位上是 0 或 5 的数。 【详解】（1）奇数：53；（答案不唯一） （2）偶数：34；（答案不唯一） （3）3 的倍数：30；（答案不唯一） （4）5 的倍数：50；（答案不唯一） （5）同时是 2、3 的倍数：30。（答案不唯一） 【对应练习】 1．从 0，4，5，7，9 中任意选出四个数字组数。（各写两个） (1)是 2 的倍数( )。 (2)是 3 的倍数( )。 (3)是 5 的倍数( )。 (4)同时是 2、3、5 的倍数( )。 【答案】(1)7950；5094 (2)4590；9750 (3)4795；7045 (4)5940；9450 【分析】能被 2 整除的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数； 能被 3 整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被 3 整除； 15 / 79 能被 5 整除的数的特征：个位上的数字是 0 或者 5 的数； 要同时能被 2、3 和 5 整除，这个数的个位一定是 0 且各个数位上的数字相加的 和能被 3 整除。 【详解】（1）是 2 的倍数（7950；5094）。（答案不唯一） （2）是 3 的倍数（4590；9750）。（答案不唯一） （3）是 5 的倍数（4795；7045）。（答案不唯一） （4）同时是 2、3、5 的倍数（5940；9450）。（答案不唯一） 2．从 0，3，4，8 这四个数字中，选择合适的数字，组成符合要求的数。 (1)既是 2的倍数，又是5的倍数的最大三位数( )，最小四位数( )。 (2)既是 2的倍数，又是3的倍数的最小三位数( )，最小四位数( )。 (3)既是 2 和 3 的倍数，又是 5 的倍数的最大四位数( )。 【答案】(1) 840 3480 (2) 348 3048 (3)8430 【分析】2 的倍数特征：个位是 0、2、4、6、8 的数； 3 的倍数特征：各个数位上的数加起来能被 3 整除； 5 的倍数特征：个位是 0 或 5 的数，据此解答。 【详解】（1）8＞4＞3＞0 既是 2 的倍数，又是 5 的倍数的最大三位数 840，最小四位数 3480。 （2）3＋4＋8＝15 15 能被 3 整除。 既是 2 的倍数，又是 3 的倍数的最小三位数 348，最小四位数 3048。 （3）既是 2 和 3 的倍数，又是 5 的倍数的最大四位数 8430。 【典型例题】 有 78 颗草莓，如果每 5 颗分给一个小朋友，能正好分完吗？如果每 3 颗分给一 个小朋友，能正好分完吗？为什么？ 【答案】见详解 16 / 79 【分析】个位上是 0 或 5 的数，是 5 的倍数；各位上数的和是 3 的倍数的数，是 3 的倍数，据此解题。 【详解】7＋8＝15 答：如果每 5 颗分给一个小朋友，不能正好分完，因为 78 的个位上是 8，不符 合 5 的倍数的特征。 如果每 3 颗分给一个小朋友，能正好分完，因为 15 是 3 的倍数，那么 78 也是 3 的倍数。 【对应练习】 1．体育老师拿来 57 根跳绳，每个小组分 5 根，分到最后一组时发现跳绳不够了。 至少再拿来几根跳绳才刚好够分？一共有几个小组？ 【答案】3 根；12 个 【分析】根据题意，57 根跳绳，每个小组分 5 根，用跳绳的总根数除以 5，求出 可以分给几个小组，还剩几根；再用每个小组分的根数减去剩下的根数，就是还 需再拿来几根跳绳才刚好够分；用分的小组数加 1，即可求出一共有几个小组。 【详解】57÷5＝11（个）……2（根） 至少再拿：5－2＝3（根） 共有小组：11＋1＝12（个） 答：至少再拿来 3 根跳绳才刚好够分，一共有 12 个小组。 2．王老师要买一些笔奖励给班里积极上进的同学，每支笔 3 元，结账时售货员 告诉王老师一共付 37 元，王老师立刻判断不对。你能解释这是为什么吗？ 【答案】见详解 【分析】根据 3 的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被 3 整除，每支笔 的价格是 3 元，即王老师付款的钱数一定是 3 的倍数，据此解答。 【详解】3＋7＝10 10 不是 3 的倍数，所以 37 不是 3 的倍数。 答：37 不是 3 的倍数，所以售货员计算的钱数不对。 【典型例题】 一个大于 2 的自然数，除以 3 余 2，除以 5 余 2，除以 7 也余 2，那么这个自然 17 / 79 数最小是多少？ 解析：这个自然数分别除以 3、5、7 余数都为 2，那么这个数减去 2 就是 3、5、 7 的倍数，即： 这个数是 3、5、7 的最小公倍数再加上 2。 [3、5、7]=105 105+2=107 答：这个数最小是 107。 【对应练习】 1. 已知某小学六年级学生超过 100 人，而不多于 140 人，将他们按每组 12 人分 组，多 3 人，按每组 8 人分，也多 3 人，求出该校六年级的确切人数。 解析： [12，8]=24 24×5+3=123（人） 答：略。 2. 甲、乙两个数是一位数的自然数，它们的和被 5 除余 2，它们的差能被 5 整除， 那么甲数被 5 除，余数是多少？ 解析： 由题意，和被 5 除余 2，则余数之和为 2；差被 5 整除，则余数相同。 所以，甲的余数是 1。 18 / 79 一、奇数与偶数。 1.偶数：能被 2 整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用 2n 表示。 2.奇数：不能被 2 整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用 2n-1 表示。 3.整数：像……-3、-2、-1、0、1、2、3、……都是整数。 4.自然数：像 0、1、2、3、4、……都是自然数。 二、奇数与偶数的基本性质。 (1)奇数+偶数=(奇数) (2)奇数+奇数=(偶数) (3)偶数+偶数=(偶数) (4)奇数×偶数=(偶数) (5)奇数×奇数=(奇数) (6)偶数×偶数=( 偶数) (7)相邻两个自然数的和是(奇数)，相邻四个自然数的和是(偶数 ) (8)奇数一偶数=(奇数)；奇数一奇数=(偶数) 偶数一奇数=(奇数)；偶数一偶数=(偶数) 【典型例题】 在 1、2、15、8、17、0.43、 47 中，( )是奇数，( )是偶数。 【答案】 1、15、17 2、8 【分析】整数中，是 2 的倍数的数叫偶数，不是 2 的倍数的数叫奇数。 【详解】在 1、2、15、8、17、0.43、 47 中，1、15、17 是奇数，2、8 是偶数。 【对应练习】 1．在 1－100 的自然数中，偶数有( )个，奇数有( )个。 【答案】 50 50 【分析】本题考查偶数和奇数。能被 2 整除的数是偶数，不能被 2 整除的数是奇 数。据此解答即可。 19 / 79 【详解】根据偶数奇数的定义，在 1－100 的自然数中，偶数有 50 个，奇数有 50 个。 2．从“0、1、3、5”这几个数中选出三个数组成三位数，其中最大的奇数是( )， 最小的偶数是( )，最小的 3 的倍数是( )。 【答案】 531 130 105 【分析】组成最大的奇数，个位是奇数，选最小的 1，另外几个数，把大数从高 位排起，写出即可； 组成最小的偶数，个位是 0，另外几个数，把小数从高位排起，写出即可； 组成最小的 3 的倍数，各位上的数加起来能被 3 整除，这样符合条件的就是 105。 【详解】由分析可得：从“0、1、3、5”这几个数中选出三个数组成三位数，其中 最大的奇数是 531，最小的偶数是 130，最小的 3 的倍数是 105。 【典型例题】 按要求把算式写完整。（要求括号里填不为 0 的数） 和是偶数：123＋( ) 和是奇数：53＋( ) 积是奇数：5×( ) 差是偶数：47－( ) 【答案】 3 2 1 7 【分析】整数中，是 2 的倍数的数叫做偶数，不是 2 的倍数的数叫做奇数。 根据奇数和偶数的运算性质可知： 和是偶数，123 是奇数，根据奇数＋奇数＝偶数，得出另一个加数一定是奇数； 和是奇数，53 是奇数，根据奇数＋偶数＝奇数；得出另一个加数一定是偶数； 积是奇数，5 是奇数，根据奇数×奇数＝奇数，得出另一个因数一定是奇数； 差是偶数，47 是奇数，根据奇数－奇数＝偶数，得出减数一定是奇数。 【详解】和是偶数：123＋3；（答案不唯一） 和是奇数：53＋2；（答案不唯一） 积是奇数：5×1；（答案不唯一） 差是偶数：47－7；（答案不唯一） 【对应练习】 1．《礼记》有言：“孟春之月，盛德在木”。植树节当天，老师带同学们去植树， 20 / 79 男生组每队植 5 棵树，女生组每队植 4 棵树。如果队伍总数为奇数，植树总棵树 为偶数，那么女生组的队伍数是( )。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】奇数 【分析】根据题意，植树总棵数＝男生组植树总棵数＋女生组植树总棵数，男生 组植树总棵数＝男生组队伍数×5，女生组植树总棵数＝女生组队伍数×4，植树 总棵数为偶数，所以男生组植树总棵数也为偶数，男生组队伍数也为偶数，又因 为队伍总数为奇数，所以女生组队伍数是奇数；据此解答。 【详解】由分析可得：如果队伍总数为奇数，植树总棵树为偶数，那么女生组的 队伍数是奇数。 2．阳光小学五（3）班有 53 名学生，要分成甲、乙两队去参加社区实践活动。 如果甲队人数为奇数，那么乙队人数为( )。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】偶数 【分析】由奇数和偶数的运算性质可知，奇数与奇数的和一定是偶数，偶数与偶 数的和一定是偶数，奇数与偶数的和一定是奇数，据此解答。 【详解】分析可知，甲队人数＋乙队人数＝53（奇数），奇数＋偶数＝奇数，所 以如果甲队人数为奇数，那么乙队人数为偶数。 【点睛】熟练掌握奇数和偶数的运算性质是解答题目的关键。 【典型例题】 五年级 43 名同学，分成两个队参加劳动，每个队都是偶数名同学，能正好分完 吗？为什么？ 【答案】不能正好分完，因为偶数＋偶数＝偶数而 43 是奇数。 【分析】根据奇数和偶数的运算性质来判断题干中的说法是否正确。 【详解】因为偶数＋偶数＝偶数，而 43 是奇数，所以 43 不可能分出来两个偶数。 答：不能正好分完，因为偶数＋偶数＝偶数而 43 是奇数。 【点睛】此题的解题关键是理解奇数和偶数相关的运算性质，并灵活运用。 【对应练习】 1. 一只小狗在甲乙两棵树之间来回跑动。小狗从甲树跑到乙树，一共跑了 15 次 （往返算 2 次）最后小狗停在哪棵树？第 90 次呢？ 21 / 79 【答案】乙树，甲树 【分析】第 1 次，小狗最初从甲树跑向乙树， 第 2 次，小狗从乙树跑向甲树， 第 3 次，小狗从甲树跑向乙树， 第 4 次，小狗从乙树跑向甲树， … 所以，可得规律：奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁，据此解答即可。 【详解】根据分析可得：奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁， 因为 15 是奇数，所以一共跑了 15 次（往返算 2 次），最后小狗停在乙树旁； 因为 90 是偶数，所以一共跑了 90 次（往返算 2 次），最后小狗停在甲树旁。 【点睛】本题考查了奇偶性的实际应用，解答此题关键是确定：奇数次在乙树旁， 偶数次在甲树旁。 2. 长江两岸的船工以摆渡为生，每天都从南岸出发驶向北岸，再从北岸驶回南 岸，不断往返。记船由南岸驶向北岸为 1 次。 （1）摆渡第 10 次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ （2）摆渡第 103 次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ 【答案】（1）南岸；见详解 （2）北岸；见详解 【分析】整数中，是 2 的倍数的数叫做偶数，不是 2 的倍数的数叫做奇数。 根据题意，记船由南岸驶向北岸为 1 次，也就是说摆渡第 1 次结束时，船在北岸； 摆渡第 2 次结束时，船在南岸；摆渡第 3 次结束时，船在北岸；摆渡第 4 次结束 时，船在南岸……由此可知，摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆渡偶数次结束时， 船在南岸，据此解答。 【详解】（1）摆渡第 10 次结束时，船在南岸。因为摆渡奇数次结束时，船在北 岸，摆渡偶数次结束时，船在南岸；10 是偶数，所以船在南岸。 （2）摆渡第 103 次结束时，船在北岸。因为摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆 渡偶数次结束时，船在南岸；103 是奇数，所以船在北岸。 【典型例题】 22 / 79 1．三个连续偶数的和是 168，这三个数的平均数是( )，其中最大的数是 ( )。 【答案】 56 58 【分析】整数中，是 2 的倍数的数叫做偶数，不是 2 的倍数的数叫做奇数。 根据连续偶数的特点，两个相邻的偶数相差 2；用这三个连续偶数的和除以 3， 求出平均数，即是中间的偶数，再用中间的偶数加 2，即是这三个连续偶数中最 大的数。 【详解】168÷3＝56 56＋2＝58 这三个数的平均数是 56，其中最大的数是 58。 2．三个连续奇数的和是 135，其中最大的一个数是( )，最小的数是 ( )。 【答案】 47 43 【分析】不能被 2 整除的数叫做奇数，三个连续的奇数每相邻的两个奇数之间相 差 2，可以设中间的奇数为 n，则左边的奇数就是 n－2，右边的奇数就是 n＋2， 【详解】设中间的奇数为 n，则左边的奇数就是 n－2，右边的奇数就是 n＋2。 将这三个数相加得出这三个奇数的和是 3n 为 135，则中间的奇数就是 45，最大 的数就是加 2，最小的数就是减 2，。 n－2＋n＋n＋2＝3n 3n＝135 n＝135÷3 n＝45 最大的数：45＋2＝47 最小的数：45－2＝43 则最大的一个数是 47，最小的数是 43。 【点睛】 【对应练习】 1．3个连续偶数的和是120，这3个偶数分别是( )、( )、( )。 【答案】 38 40 42 23 / 79 【分析】相邻的偶数相差 2，用三个连续偶数的和除以 3，求出中间数，中间数 减 2，中间数加 2，即可求出另外两个偶数。 【详解】120÷3＝40 40－2＝38 40＋2＝42 3 个连续偶数的和是 120，这 3 个偶数分别是 38、40、42。 2．若三个连续奇数的和是 111，则最小的奇数是( )。 【答案】35 【分析】这三个连续奇数的平均数是中间的那个数，平均数＝总数÷总份数，用 111 除以 3 即可算出这三个连续奇数中间的那个数，中间的数再减去 2 就是最小 的奇数。 【详解】111÷3－2 ＝37－2 ＝35 若三个连续奇数的和是 111，则最小的奇数是 35。 【点睛】此题主要考查奇数的认识和对平均数意义的理解，解题关键是掌握三个 连续奇数的排列规律。 24 / 79 一、质数。 一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20 以内的质数有 2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只要两个因数，一个质数的最小因数是 1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是 2，没有最大的质数。 二、合数。 一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20 以内的合数有 4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是 1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是 4，没有最大的合数。 ③0、1 既不是质数，也不是合数。 三、分解质因数。 1.分解质因数： 指的就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2.注意： ①分解质因数是解决数论最有效最直接的途径； ②100 以内的质数 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、 53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 共 25 个。 【典型例题】 筷子的标准长度是七寸六分，大约 25 厘米，一双筷子两根放在一起像数字 11， 超市里卖的一盒筷子通常是 8 双或者 10 双。筷子中的数字：7，6，25，1，2， 11，8，10 中，偶数有( )个，奇数有( )个，质数有( )个， 25 / 79 合数有( )个。 【答案】 4 4 3 4 【分析】能被 2 整除的数是偶数，不能被 2 整除的数是奇数。因数只有 1 和它本 身的数是质数。因数除了 1 和它本身还有其它的因数的数是合数，1 既不是质数 也不是合数。 【详解】在 7，6，25，1，2，11，8，10 中，偶数有：6、2、8、10；奇数有：7、 25、1、11；质数：7、2、11；合数：6、25、8、10。 即偶数有 4 个，奇数有 4 个，质数有 3 个，合数有 4 个。 【对应练习】 1．在 8.2，3，51，12， 1 10，24 这些数中，( )是奇数，( )是 偶数，( )是质数，( )是合数。 【答案】 3，51 12，24 3 51，12，24 【分析】整数中，是 2 的倍数的数叫做偶数，不是 2 的倍数的数叫做奇数。 一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【详解】在 8.2，3，51，12， 1 10，24 这些数中， 3，51 是奇数； 12，24 是偶数； 3 是质数； 51，12，24 是合数。 2．在 2，5，6，9，13，51，90 这些数中，偶数有( )；质数有( )； 既是奇数又是合数的数有( )。 【答案】 2、6、90 2、5、13 9、51 【分析】整数中，是 2 的倍数的数叫偶数，不是 2 的倍数的数叫奇数。 除了 1 和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了 1 和它本身以外还 有其他因数，这样的数叫合数。 【详解】在 2，5，6，9，13，51，90 这些数中，偶数有 2、6、90；质数有 2、5、 13；既是奇数又是合数的数有 9、51。 26 / 79 【典型例题】 在括号里里填上适当的质数。 30＝( )×( )×( ) 12＝( )＋( )＋ ( ) 【答案】 2 3 5 2 3 7 【分析】根据质数的意义：除了 1 和它本身，没有其它因数的数是质数，由此即 可填空。 【详解】30＝2×3×5 12＝2＋3＋7 【对应练习】 1．哥德巴赫猜想提出，所有大于 9 的偶数都可以麦示为两个质数的和。比如：4 ＝2＋2，6＝3＋3，8＝5＋3，10＝7＋3，……请你仿照填写：24＝( )＋ ( )。 【答案】 5 19 【分析】24 是大于 9 的偶数，根据哥德巴赫猜想，把 24 拆解成两个质数相加的 形式即可。 整数中，是 2 的倍数的数叫做偶数，个位上是 0、2、4、6、8 的数。 一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 【详解】24＝5＋19＝7＋17＝11＋13 所以，24＝5＋19（答案不唯一）。 2．在括号里填上合适的质数。 12＝( )＋( )＝( )－( )＝( )＋ ( )＋( ) 91＝( )×( ) 30＝( )＋( ) 【答案】 5 7 17 5 2 3 7 7 13 7 23 【分析】质数是只有 1 和它本身两个因数的数。20 以内的质数有：2、3、5、7、 11、13、17、19，根据题中各数的组成，在括号里填上合适的质数，使等号两边 27 / 79 相等，等式成立。 【详解】12＝5＋7＝17－5＝2＋3＋7 91＝7×13 30＝7＋23 【典型例题】 有一个电话号码是 ABCDEFG。已知：A 是 5 的最小倍数；B 是最小的质数；C 是 6 的最大因数；D 既是 3 的倍数，又是 3 的因数；E 的所有因数是 1、2、3、6； F 的所有因数是 1、3；G 只有一个因数。这个电话号码是多少？ 【答案】5263631 【分析】一个数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身，一个数只有 1 和它 本身两个因数，这个数叫做质数，最小的质数是 2；1 只有 1 个因数。据此解答。 【详解】根据分析可知，A 是 5，B 是 2，C 是 6，D 是 3，E 是 6，F 是 3，G 是 1，所以这个号码是：5263631。 【对应练习】 1．妈妈的银行卡密码是由六个数字组成的，其中不含数字 0，第一位数既是偶 数，又是质数；第二位数既是 5 的倍数，又是 5 的因数；第三位数既是 2 的倍数， 又是 3 的倍数；第四位数既不是质数，也不是合数；第五位数既是奇数，又是合 数；第六位数是一位数中最大的合数。妈妈银行卡密码是多少？ 【答案】256199 【分析】根据偶数的意义：能被 2 整除的数；奇数：不能被 2 整除的数； 一个数既是它的因数，也是它的倍数； 2 的倍数特征：个位上的数字是 0、2、4、6、8 的数是 2 的倍数；3 的倍数的特 征：一个数各个数位上的数字的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 既是 2 的倍数又是 3 的倍数的特征：个位上的数字是 0、2、4、6、8，各个数位 上的数字的和是 3 的倍数的数； 一个数，只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了 1 和它本 身两个因数外，还有其他因数，这样的数叫做合数，1 既不是质数，也不是合数； 据此分析解答。 28 / 79 【详解】第一个数字：不含数字 0，第一位数既是偶数，又是质数；这个数字是 2； 第二位数既是 5 的倍数，又是 5 的因数；这个数字是 5； 第三位数既是 2 的倍数，又是 3 的倍数，在 1~9 中，只有 6 既是 2 的倍数，又是 3 的倍数，这个数字是 6； 第四位数既不是质数，也不是合数；1 既不是质数，也不是合数，这个数字是 1； 第五位数既是奇数，又是合数，在 1~9 中，9 既是奇数，也是合数，这个数字是 9； 第六位数是一位数中最大的合数，在 1~9 中，最大的合数是 9，这个数字是 9。 妈妈银行卡的密码是 256199。 答：妈妈银行卡密码是 256199。 2．小明的 QQ 号码是一个十位数，且每位上的数字都不相同。从左看起，它第 一位上的数既不是质数，也不是合数，第二位、第十位上的数分别是最大的一位 数、最小的偶数；第三位到第五位上的数既是连续的奇数，又是连续的质数；从 第六位起，是连续的偶数。这个 QQ 号码是多少试试用一一对应的方法来解决吧！ 【答案】1935786420 【分析】根据奇数与偶数、质数与合数的意义，在自然数中，是 2 的倍数的数叫 偶数，不是 2 的倍数的数叫奇数；一个自然数，如果只有 1 和它本身两个因数， 这样的数叫质数，一个自然数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数叫 合数。 【详解】从左看起，它第一位上的数既不是质数，也不是合数，是 1；第二位、 第十位分别是最大的一位数和最小的偶数，即分别是 9 和 0；第三位到第五位上 的数既是连续的奇数，又是连续的质数，分别是 3、5、7；从第六位起，是连续 的偶数，是 8、6、4、2、0；所以这个数写作：1935786420。 【典型例题】 1．两个质数的和是 20，这两个质数的积最大是多少？ 【答案】91 【分析】先找出符合条件的数，如：3 和 17，7 和 13。再分别计算出两个质数的 29 / 79 积，进行大小比较即可。 【详解】3＋17＝20 3×17＝51 7＋13＝20 7×13＝91 91＞51 答：这两个质数的积最大是 91。 2．一个长方形的周长是 32 米，它的长和宽的米数都是质数，这个长方形的面积 最大是多少平方米？ 【答案】55 平方米 【分析】一个数除了 1 和它本身，不再有别的因数，这个数就叫做质数。根据长 方形的周长＝（长＋宽）×2，将 32÷2＝16 米，即求出了长与宽的和是 16；再将 16 分解成两个质数相加，这两个质数就是长方形的长和宽，最后求出长方形的 面积，比较即可。 【详解】长＋宽：32÷2＝16（米） 16＝3＋13＝5＋11 13×3＝39（平方米） 11×5＝55（平方米） 55＞39 答：这个长方形的面积最大是 55 平方米。 【对应练习】 1．如果一个两位数乘最小的合数，结果是 96，那么这个数乘最小的质数结果是 多少？ 【答案】48 【分析】除了 1 和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了 1 和它本 身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此确定最小的合数和最小的质数，根 据积×因数＝另一个因数，确定这个两位数，用这个两位数×最小的质数即可。 【详解】96÷4＝24 24×2＝48 30 / 79 答：这个数乘最小的质数结果是 48。 2．为积极响应“绿美狮山”号召，某小学用 56 米长的栅栏圈出一块长方形地，供 师生种植花草，已知长方形的长和宽都是质数，这个长方形的面积最大是多少平 方米？ 【答案】187 平方米 【分析】根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，长＋宽＝周长糊 2，代入 数据，求出长方形地的长与宽的和，即 56÷2＝28 米；长方形的长和宽都是质数， 把 28 分解成两个质数相加，再根据长方形面积公式：面积＝长×宽，求出长方形 面积，比较大小即可得解。 【详解】56÷2＝28（米） 28 以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23 5＋23＝28（米） 11＋17＝28（米） 长方形长是 23 米，宽是 5 米； 面积：5×23＝115（平方米） 长方形长是 17 米，宽是 11 米； 面积：11×17＝187（平方米） 115＜187，最大面积是 187 平方米。 答：这个长方形的面积最大是 187 平方米。 【典型例题】 把下面各数分解质因数。 45 28 104 【答案】45＝3×3×5 28＝2×2×7 104＝2×2×2×13 【分析】分解质因数就是把这个数分解成几个质数相乘的式子。 【详解】45 的质因数有 3，5 所以 45＝3×3×5 28 的质因数有 2，7 所以 28＝2×2×7 “深窥自己的心，而后发觉一切的奇迹在你自己。” “Deep glimpse of their heart,and then find all the miracles in yourself.” 101数学创作社 2024年6月2日 2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列 期末复习专题一：数的认识—因数和倍数·分数意义和性质 【七大篇目】 专题解读 本专题是期末复习专题一：数的认识—因数和倍数·分数意义和性质。本部分内容主要以数的认识为主，其中包括因数和倍数、奇数和偶数、质数和合数以及分数的意义和性质等。 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，每个考点又划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广泛，综合性强，建议作为期末复习核心内容进行讲解，一共划分为七个篇目，欢迎使用。 目录导航 【第一篇】因数和倍数 【知识总览】 5 【考点一】因数和倍数的定义 6 【考点二】因数和倍数的特征 6 【考点三】求因数或倍数 7 【考点四】因数和倍数与实际应用 7 【考点五】2、5、3的倍数特征其一 8 【考点六】2、5、3的倍数特征其二 8 【考点七】倍数特征与组数问题 9 【考点八】2、5、3的倍数特征与实际应用其一 9 【考点九】2、5、3的倍数特征与实际应用其二 10 【第二篇】奇数和偶数 【知识总览】 11 【考点一】奇数和偶数的认识 11 【考点二】奇数和偶数的运算性质 11 【考点三】奇数和偶数与实际应用 12 【考点四】连续偶数或奇数的和 12 【第三篇】质数和合数 【知识总览】 14 【考点一】质数和合数的认识 14 【考点二】质数的分解与组合 15 【考点三】因、倍、奇、偶、质、合综合应用与猜数问题 15 【考点四】质数的实际应用 16 【考点五】分解质因数 17 【考点六】分解质因数与实际应用其一 17 【考点七】分解质因数与实际应用其二 18 【第四篇】分数的意义和认识 【知识总览】 20 【考点一】分数的意义和认识 20 【考点二】分数单位的认识和确定 21 【考点三】单位“1”的认识和确定 21 【考点四】分数与除法的关系问题 22 【第五篇】分数的分类和基本性质 【知识总览】 24 【考点一】分数的分类 25 【考点二】假分数与带分数或整数的互化 26 【考点三】分数的基本性质其一 26 【考点四】分数的基本性质其二 27 【考点五】分数的基本性质其三 27 【考点六】分数的基本性质其四 27 【考点七】分小互化·有限小数 28 【考点八】分数大小比较 28 【第六篇】约分和通分 【知识总览】 29 【考点一】约分 29 【考点二】关于最简分数 30 【考点三】约分的实际应用 30 【考点四】通分 31 【考点五】通分的实际应用 32 【第七篇】最大公因数和最小公倍数 【知识总览】 33 【考点一】求最大公因数和最小公倍数 33 【考点二】三种特殊情况求最大公因数和最小公倍数 34 【考点三】最大公因数与实际应用 35 【考点四】最小公倍数与实际应用 36 【第一篇】因数和倍数 【知识总览】 一、因数与倍数。 1. 因数与倍数的定义： 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 三点注意： （1）因数与倍数是相互依存的： 在谈因数与倍数时，一定要说明一个数是另一个数的因数或倍数，不能单独说一个数是因数或是倍数。 （2）0不作为研究因数与倍数的对象。 倍数和因数都是自然数（0除外），不能是小数或分数。 （3）倍数和因数都是自然数（0除外），不能是小数或分数。 二、求因数或倍数。 1. 求一个数的因数的方法： 列乘法或除法算式。 2. 求一个数的倍数的方法： 用这个数依次乘非0自然数。 三、因数和倍数特征。 1. 因数的特征： 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 2. 倍数的特征： 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的，且都等于它本身。 四、2、5的倍数特征。 1. 个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 个位上是0或5的数是5的倍数。 五、3的倍数特征。 1. 3的倍数的特征： 一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 2. 2、5、3倍数特征之间的联系： 【考点一】因数和倍数的定义。 【典型例题】 32÷8＝4，( )和( )是( )的因数；( )是( )和( )的倍数。 【对应练习】 1．在15÷5＝3中，( )是( )的因数，( )是( )的倍数。 2．，24是6和4的( )，4和6是24的( )。 【考点二】因数和倍数的特征。 【典型例题】 非0自然数a的最大因数与它的最小倍数之和是( )。 【对应练习】 1．若a的最大因数是19，b的最小倍数是1，则a＋b＝( )，它一共有( )个因数。 2．一个数的最大因数是48，这个数是( )，那么这个数的所有因数是( )，这个数的最小倍数是( )。 【考点三】求因数或倍数。 【典型例题】 按要求写出下列各数的因数或倍数（写出40以内的倍数）。 12的因数：( )   6的倍数：( ) 【对应练习】 1．32的因数有( )；75的因数有( )。 2．写出下面各数的倍数（各写5个）。 1：( )； 50：( )； 75：( )。 【考点四】因数和倍数与实际应用。 【典型例题】 1．育才小学五年级（1）班有36名同学排队表演学校集体舞，要使每行人数相等（每行不能是1人和36人），一共有多少种不同的排法？（可用表格或其它方法解决） 2．拗九节在农历正月廿九日，是福建省福州十邑地区本土特有的民间传统节日，这天家家户户用糯米、红糖、桂圆等原料煮拗九粥，用来祭祖或馈赠亲友。此外，每年这一天，凡是岁数逢9，如9岁、19岁（称“明九”），或是9的倍数，如18岁、27岁（称“暗九”），都要像过生日一样，吃一碗“太平面”，以求平安、健康，也叫过“九”。小明的爸爸今年已经50岁了，你知道他过了几次“九”吗？ 【对应练习】 1．月饼是一种传统美食，寓意团团圆圆。李师傅制作了48块月饼，如果装在盒子里，每个盒子装的同样多，数量多于3块但又比9块少，有几种装法？每种装法各需要多少个盒子？ 2．爸爸今年48岁了，乐乐的年龄是6的倍数，也是爸爸年龄的因数。乐乐今年可能多少岁了？ 【考点五】2、5、3的倍数特征其一。 【典型例题】 把下列各数按要求填在括号里。 50      84      21      60      75 (1)既是2的倍数，又是5的倍数的数有( )。 (2)既是奇数，又是3的倍数的数有( )。 【对应练习】 1．既是2的倍数，又是3和5的倍数的最小两位数是( )，最大两位数是( )。 2．在35、67、99、106、130、521、322、876、88、93、17这些数中，5的倍数有( )，3的倍数有( )。 【考点六】2、5、3的倍数特征其二。 【典型例题】 要使四位数652□能同时被2和5整除，□里应填( )；如果能同时被3和5整除，□里应填( )。 【对应练习】 1．73★是个三位数，如果这个数是3的倍数，★里可以填( )；如果这个数是2的倍数，又是5的倍数，★可以填( )。 2．一个四位数310□，既是2的倍数，又有因数3，□里最大填( )；若这个数同时是3和5的倍数，□里应填( )。 【考点七】倍数特征与组数问题。 【典型例题】 从下面数字中选出2个，按要求组成两位数。（各写出1个即可） 5    3    0     4 (1)奇数：( )； (2)偶数：( )； (3)3的倍数：( )； (4)5的倍数：( )； (5)同时是2、3的倍数：( )。 【对应练习】 1．从0，4，5，7，9中任意选出四个数字组数。（各写两个） (1)是2的倍数( )。 (2)是3的倍数( )。 (3)是5的倍数( )。 (4)同时是2、3、5的倍数( )。 2．从0，3，4，8这四个数字中，选择合适的数字，组成符合要求的数。 (1)既是2的倍数，又是5的倍数的最大三位数( )，最小四位数( )。 (2)既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数( )，最小四位数( )。 (3)既是2和3的倍数，又是5的倍数的最大四位数( )。 【考点八】2、5、3的倍数特征与实际应用其一。 【典型例题】 有78颗草莓，如果每5颗分给一个小朋友，能正好分完吗？如果每3颗分给一个小朋友，能正好分完吗？为什么？ 【对应练习】 1．体育老师拿来57根跳绳，每个小组分5根，分到最后一组时发现跳绳不够了。至少再拿来几根跳绳才刚好够分？一共有几个小组？ 2．王老师要买一些笔奖励给班里积极上进的同学，每支笔3元，结账时售货员告诉王老师一共付37元，王老师立刻判断不对。你能解释这是为什么吗？ 【考点九】2、5、3的倍数特征与实际应用其二。 【典型例题】 一个大于2的自然数，除以3余2，除以5余2，除以7也余2，那么这个自然数最小是多少？ 【对应练习】 1. 已知某小学六年级学生超过100人，而不多于140人，将他们按每组12人分组，多3人，按每组8人分，也多3人，求出该校六年级的确切人数。 2. 甲、乙两个数是一位数的自然数，它们的和被5除余2，它们的差能被5整除，那么甲数被5除，余数是多少？ 【第二篇】奇数和偶数 【知识总览】 一、奇数与偶数。 1.偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2.奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n-1表示。 3.整数：像……-3、-2、-1、0、1、2、3、……都是整数。 4.自然数：像 0、1、2、3、4、……都是自然数。 二、奇数与偶数的基本性质。 (1)奇数+偶数=(奇数) (2)奇数+奇数=(偶数) (3)偶数+偶数=(偶数) (4)奇数×偶数=(偶数) (5)奇数×奇数=(奇数) (6)偶数×偶数=( 偶数) (7)相邻两个自然数的和是(奇数)，相邻四个自然数的和是(偶数 ) (8)奇数一偶数=(奇数)；奇数一奇数=(偶数) 偶数一奇数=(奇数)；偶数一偶数=(偶数) 【考点一】奇数和偶数的认识。 【典型例题】 在1、2、15、8、17、0.43、中，( )是奇数，( )是偶数。 【对应练习】 1．在1－100的自然数中，偶数有( )个，奇数有( )个。 2．从“0、1、3、5”这几个数中选出三个数组成三位数，其中最大的奇数是( )，最小的偶数是( )，最小的3的倍数是( )。 【考点二】奇数和偶数的运算性质。 【典型例题】 按要求把算式写完整。（要求括号里填不为0的数） 和是偶数：123＋( )      和是奇数：53＋( )   积是奇数：5×( )        差是偶数：47－( ) 【对应练习】 1．《礼记》有言：“孟春之月，盛德在木”。植树节当天，老师带同学们去植树，男生组每队植5棵树，女生组每队植4棵树。如果队伍总数为奇数，植树总棵树为偶数，那么女生组的队伍数是( )。（填“奇数”或“偶数”） 2．阳光小学五（3）班有53名学生，要分成甲、乙两队去参加社区实践活动。如果甲队人数为奇数，那么乙队人数为( )。（填“奇数”或“偶数”） 【考点三】奇数和偶数与实际应用。 【典型例题】 五年级43名同学，分成两个队参加劳动，每个队都是偶数名同学，能正好分完吗？为什么？ 【对应练习】 1. 一只小狗在甲乙两棵树之间来回跑动。小狗从甲树跑到乙树，一共跑了15次（往返算2次）最后小狗停在哪棵树？第90次呢？ 2. 长江两岸的船工以摆渡为生，每天都从南岸出发驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。记船由南岸驶向北岸为1次。 （1）摆渡第10次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ （2）摆渡第103次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ 【考点四】连续偶数或奇数的和。 【典型例题】 1．三个连续偶数的和是168，这三个数的平均数是( )，其中最大的数是( )。 2．三个连续奇数的和是135，其中最大的一个数是( )，最小的数是( )。 【对应练习】 1．3个连续偶数的和是120，这3个偶数分别是( )、( )、( )。 2．若三个连续奇数的和是111，则最小的奇数是( )。 【第三篇】质数和合数 【知识总览】 一、质数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只要两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 二、合数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 ③0、1既不是质数，也不是合数。 三、分解质因数。 1.分解质因数： 指的就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2.注意： ①分解质因数是解决数论最有效最直接的途径； ②100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个。 【考点一】质数和合数的认识。 【典型例题】 筷子的标准长度是七寸六分，大约25厘米，一双筷子两根放在一起像数字11，超市里卖的一盒筷子通常是8双或者10双。筷子中的数字：7，6，25，1，2，11，8，10中，偶数有( )个，奇数有( )个，质数有( )个，合数有( )个。 【对应练习】 1．在8.2，3，51，12，，24这些数中，( )是奇数，( )是偶数，( )是质数，( )是合数。 2．在2，5，6，9，13，51，90这些数中，偶数有( )；质数有( )；既是奇数又是合数的数有( )。 【考点二】质数的分解与组合。 【典型例题】 在括号里里填上适当的质数。 30＝( )×( )×( )    12＝( )＋( )＋( ) 【对应练习】 1．哥德巴赫猜想提出，所有大于9的偶数都可以麦示为两个质数的和。比如：4＝2＋2，6＝3＋3，8＝5＋3，10＝7＋3，……请你仿照填写：24＝( )＋( )。 2．在括号里填上合适的质数。 12＝( )＋( )＝( )－( )＝( )＋( )＋( ) 91＝( )×( )       30＝( )＋( ) 【考点三】因、倍、奇、偶、质、合综合应用与猜数问题。 【典型例题】 有一个电话号码是ABCDEFG。已知：A是5的最小倍数；B是最小的质数；C是6的最大因数；D既是3的倍数，又是3的因数；E的所有因数是1、2、3、6；F的所有因数是1、3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 【对应练习】 1．妈妈的银行卡密码是由六个数字组成的，其中不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；第二位数既是5的倍数，又是5的因数；第三位数既是2的倍数，又是3的倍数；第四位数既不是质数，也不是合数；第五位数既是奇数，又是合数；第六位数是一位数中最大的合数。妈妈银行卡密码是多少？ 2．小明的QQ号码是一个十位数，且每位上的数字都不相同。从左看起，它第一位上的数既不是质数，也不是合数，第二位、第十位上的数分别是最大的一位数、最小的偶数；第三位到第五位上的数既是连续的奇数，又是连续的质数；从第六位起，是连续的偶数。这个QQ号码是多少试试用一一对应的方法来解决吧！ 【考点四】质数的实际应用。 【典型例题】 1．两个质数的和是20，这两个质数的积最大是多少？ 2．一个长方形的周长是32米，它的长和宽的米数都是质数，这个长方形的面积最大是多少平方米？ 【对应练习】 1．如果一个两位数乘最小的合数，结果是96，那么这个数乘最小的质数结果是多少？ 2．为积极响应“绿美狮山”号召，某小学用56米长的栅栏圈出一块长方形地，供师生种植花草，已知长方形的长和宽都是质数，这个长方形的面积最大是多少平方米？ 【考点五】分解质因数。 【典型例题】 把下面各数分解质因数。 45         28          104 【对应练习】 1．把下列各数分解质因数。 111        375 2．把下面的各数分解质因数。 36                     57                             105 【考点六】分解质因数与实际应用其一。 【典型例题1】问题一。 已知A＝2×2×3×3，那么A的因数一共有（     ）个。 A．4 B．6 C．8 D．9 【典型例题2】问题二。 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。 【对应练习】 1. 一个数既是45的因数，又是3的倍数，这个数共有（     ）种可能。 A．2 B．3 C．4 D．6 2. 四个连续自然数的乘积是360，这四个自然数分别是多少？ 【考点七】分解质因数与实际应用其二。 【典型例题1】问题一。 盒里有48块糖块，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，共有多少种拿法？每次拿出多少个？ 【典型例题2】问题二。 有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。共有多少种分法？ 【对应练习】 1．马超、刘涛和王阳三位小朋友购买兔年邮票的枚数的积是540，其中马超比刘涛多1枚，王阳比刘涛少3枚，他们三人分别购买了多少枚兔年邮票？ 2．3月12日植树节，李老师带五（2）班的同学参加植树活动，五（2）班的同学能平均分成4组进行活动。如果李老师和同学们每人植树一样多，他们一共植树539棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？ 【第四篇】分数的意义和认识 【知识总览】 一、分数的意义和认识。 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。 二、分数单位的认识和确定。 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。 三、单位“1”的认识和确定。 一个物体，一个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示，一个整体可以用自然数1来表示，我们通常把它叫做单位“1”。 四、分数与除法。 1. 在除法中，被除数÷除数=商，在分数中，被除数相当于分子，除数相当于分母，商相当于分数值，除号相当于分数线，用分数表示为。 2. 求一个数占另一个数的几分之几，用一个数÷另一个数=。 【考点一】分数的意义和认识。 【典型例题】 把一张长方形的纸对折4次，再展开，其中的每一小份是这张纸的( )，三份是这张纸的( )。 【对应练习】 1．元可以表示把1元平均分成5份，取其中的( )份；也可以表示把2元平均分成( )份，取其中的( )份。 2．看图写出阴影部分所表示的分数。 ( )    ( )     ( ) 【考点二】分数单位的认识和确定。 【典型例题】 一个分数，分子是最小的质数，分母是最大的一位数，这个分数是( )，它的分数单位是( )，再加上( )个这样的分数单位就是1。 【对应练习】 1．的分数单位是( )，去掉( )个这样的单位后就与自然数中最小的奇数相等。 2．的分数单位是( )，再加上( )个这样的单位就是最小的合数。 【考点三】单位“1”的认识和确定。 【典型例题1】问题一。 “五（2）班男生人数占全班人数的”，这是把( )看作单位“1”，把它平均分成8份，男生人数占其中的( )份。 【对应练习】 1．女生人数是全班人数的，表示把( )看作单位“1”，平均分成了( )份，女生人数表示这样的( )份。 2．在新版《铁路旅客运输规程》中，儿童旅客以年龄划分优惠标准。儿童优惠票的价格是全价票的，是把( )的价格看成单位“1”，妈妈为浩浩购买一张全价为156元的儿童优惠票，优惠了( )元。 【典型例题2】问题二。 有两根一样长的铁丝，从第一根上截去它的，从第二根上截去米，余下的部分( )。 A．一样长 B．第一根长 C．不能确定哪根长 【对应练习】 1．一根绳子被剪成两段，第一段长米，第二段占全长的这两段绳子相比( )。 A．第一段长 B．第二段长 C．无法比较 2．一根绳子剪成两段，第一段是全长的，第二段长，( )长。 A．第一段 B．第二段 C．一样长 D．无法确定 【考点四】分数与除法的关系问题。 【典型例题1】问题一。 有一箱桔子共有40个（每个大小一样），重10千克，平均分给5个小朋友，每个小朋友分到( )个桔子，每个小朋友分到( )千克桔子，每个小朋友分到这箱桔子的( )。 【对应练习】 1．一包饼干平均分给3人，每人分得包。如果一包有2块，平均每人分得( )块。 2．3米长的绳子，平均分成4段，每段占全长的( )，每段长( )米。 【典型例题2】问题二。 计算下面各题，怎样简便怎样算。 81立方厘米＝( )毫升    79平方分米＝平方米 1.43立方米＝( )立方分米＝( )升 【对应练习】 1．在括号里填上适当的分数。 9cm＝( )dm           13dm3＝( )m3     43mL＝( )L 2．0.36立方米＝( )立方分米   3.5升＝( )立方分米＝( )毫升   87立方分米＝( )立方米（用分数表示） 【典型例题3】问题三。 在下面的括号填上适当的数。 5÷6＝         ＝( )÷( )   11÷( )＝ 【对应练习】 1．在括号里填上适当的数。         ( )÷( )       ( ) 2．( )÷( )＝＝0.4＝( )÷20。 【第五篇】分数的分类和基本性质 【知识总览】 一、分数的分类。 1. 真分数的意义和特征：分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。 2. 假分数的意义和特征：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于1或等于1。 3. 带分数的意义和特征：由整数（不包括0）和真分数合成的数叫做带分数，带分数大于1。 二、假分数与带分数互化。 1. 假分数化成整数或带分数的方法：用分子除以分母，当分子是分母的倍数时，能化成整数，商就是这个整数；当分子不是分母的倍数时能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是带分数中分数部分的分子，分母不变。 2. 带分数化成假分数的方法：带分数也能化成假分数，用分数部分的分母作分母，用分母和整数的积再加上分数部分的分子的和作分子。 三、分数的基本性质。 分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。 四、分小互化。 1. 分数和小数的互化 （1）小数化为分数：有几位小数分母就是1后面带几个0，例如：0.1=，0.23=。 （2）分数化常见的为小数：先将分数化为除法，再计算成小数，例如=1÷4=0.25。 2. 分数与小数之间的互化： =0.5 =0.2 =0.625 =0.25 =0.4 =0.125 =0.75 =0.6 =1.375 =0.0625 =0.8 =0.875 =0.04 =0.08 =0.12 =0.16 五、分数化有限小数。 判断一个分数能否化成有限小数，首先要看这个分数是不是最简分数，如果不是最简分数，要先约分，再根据一个最简分数，如果分母中只含有质因数2或5，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2或5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。 【考点一】分数的分类。 【典型例题1】问题一。 在直线上面的□里填上适当的假分数，在直线下面的□里填上适当的带分数。 【对应练习】 1．把一个图形看作单位“1”，用分数表示图中的涂色部分。 2．照样子，在直线上找出表示下面各数的点，并在□内写下来。       0.5             【典型例题2】问题二。 若是假分数，是真分数，则一定是( )。 【对应练习】 1．在中，当a＝( )时，这个分数可以化成最小假分数；当a＝( )时，它是最大的真分数。 2．在分数中（m是非0自然数），当m( )时，是真分数；当m( )时，是假分数；当m( )时，实际上是整数。 【考点二】假分数与带分数或整数的互化。 【典型例题】 在括号里填上适当的数。 5＝          ＝5 【对应练习】 1．把下面的假分数化成带分数或整数。 ( )  ＝( )   ＝( )    ＝( ) 2．的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，再添上( )个这样的单位后就是最小的质数。 【考点三】分数的基本性质其一。 【典型例题】 3÷4＝＝。 【对应练习】 1．＝( )÷32＝。 2．＝( )÷( )＝＝56÷( )。 【考点四】分数的基本性质其二。 【典型例题】 如果的分母变成64，要使分数的大小不变，分子应乘( )。 【对应练习】 1．把的分子增加5，要使分数大小不变，分母应( )。 2．如果的分母加上21，要使分数的大小不变，分子应该加( )，如果的分子减10，要使分数的大小不变，分母应该减( )。 【考点五】分数的基本性质其三。 【典型例题】 一个分数与相等，它的分子比分母大15，则这个分数是( )。 【对应练习】 1. 一个分数，分母比分子大25，约分后为，原分数是( )。 2. 一个分数，分母比分子大15，它的分数值是，这个分数是多少？ 【考点六】分数的基本性质其四。 【典型例题】 比大又比小的分数有( )、( )（写出任意两个）。 【对应练习】 1．比大而又比小的分数有( )个。 2．比大，比小，且分母是21的真分数有( )个。 【考点七】分小互化·有限小数。 【典型例题】 1．把下列小数化成分数，分数化成小数。                     ( )        ( )        ( )      ( ) 2．在、、三个数中，( )化不成有限小数。 【对应练习】 1．化成最简分数是( )，化成带分数是( )，化成小数是( )。 2．、、、中，能化成有限小数的有( )，能化成无限小数的有( )。 【考点八】分数大小比较。 【典型例题】 红红、丫丫和聪聪参加100米短跑测试，红红用时0.3分，丫丫用时分，聪聪用时分，三人中( )跑得最快。 【对应练习】 1．比较下面每组中两个数的大小。 1.205( )1.250    6.35m( )6.53m    ( )0.45 2．把1.87、、、四个数按照从大到小的顺序排列是( )。 【第六篇】约分和通分 【知识总览】 一、约分。 1. 约分： 利用分数的基本性质，将分子和分母同时除以同一个非零的数，这个过程叫做约分。 2. 最简分数： 一个分数的分子和分母互质且都为整数时，我们称这个分数为最简分数。 （互质数：只有公因数1的两个数。） 3. 约分的时候很容易一次约不到位，可以用短除法先找到最大公因数再约分，或者多约几次，直到互质再停，注意强调互质再停止约分。 二、通分。 1. 通分： 将两个或者两个以上的分数的分母化为相同的数的过程叫做通分。 2. 通分的方法。 （1）利用短除法或者枚举法找到分母的最小公倍数； （2）计算每个分数的分母化为最小公倍数时的变化情况，分子也随之变化。 注意：通分也不改变分数的大小。 【考点一】约分。 【典型例题】 约分成最简分数。（结果是假分数的要化成带分数或整数）                   【对应练习】 1．约分，结果是假分数的要化成带分数。                       2．先约分，再比较每组分数的大小。 和              和                和 【考点二】关于最简分数。 【典型例题】 写出分母是6的最简真分数( )。 【对应练习】 1．一个最简真分数，它的分子与分母的积是18，这个分数可能是( )。 2．一个最简真分数，把它的分子扩大到原来的3倍，分母缩小到原来的得，则原分数为( )。 【考点三】约分的实际应用。 【典型例题1】其一。 一个分数，用2约分一次，再用3约分一次，得到，原来这个分数是( )。 【对应练习】 化简一个分数时，用2约了两次，用3约了两次，得。化简之前原来的分数是( )。 【典型例题2】其二。 一个分数约分后是。约分之前分子与分母的和是160，约分前的分数是( )。 【对应练习】 一个分数，分子与分母的和是60，这个分数约分后是，原分数是( )。 【典型例题3】其三。 一个分数的分母比分子大24，约分后是，这个分数是。 【对应练习】 一个分数，它的分母比分子大24，约分后是，这个分数原来是( )。 【典型例题4】其四。 的分子和分母同时减去一个数，约分后得，同时减去的这个数是多少？ 【对应练习】 将的分子和分母都减去同一个数得到一个新分数，新分数约分后是，减去的数是多少？ 【考点四】通分。 【典型例题】 通分。 和            、和 【对应练习】 1．将下列各组分数通分并比较大小。 和        和              、和 2．把下面每组中的两个分数先通分，再比较大小。 和        和        和 【考点五】通分的实际应用。 【典型例题】 甲、乙两个工程队修两条同样长的路，在相同时间内，甲队修了全程的，乙队修了全程的。哪一队修得快些？ 【对应练习】 1．王师傅和李师傅加工同一批零件，王师傅3小时加工26个零件，李师傅4小时加工37个零件。谁加工的速度快些？ 2．亚洲、非洲、南美洲的陆地面积分别约占全球陆地面积的、和。这三个洲，哪个洲的陆地面积最大？哪个最小？ 【第七篇】最大公因数和最小公倍数 【知识总览】 一、最大公因数。 1. 最大公因数的定义。 几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数 2. 求两个数的最大公因数的方法： （1）列举法；（2）短除法 3.短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。 注意：求两个数的最大公因数用小括号表示。 二、最小公倍数。 1. 最小公倍数的定义。 几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法： （1）列举法；（2）短除法。 3. 短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。 注意：求两个数的最小公因数用中括号表示。 三、分解质因数求最大公因数和最小公倍数。 求两数的最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积。 四、最大公因数和最小公倍数的特殊情况。 1. 公因数只有1的两个数，叫做互质数。 2. 当两个数是互质关系时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。 3. 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。 【考点一】求最大公因数和最小公倍数。 【典型例题】 求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 12和18 22和11        7和8 【对应练习】 1．用短除法求出每组数的最大公因数和最小公倍数。 60和18        15和24        25和75       45和30 2．求下列各组数的最大公因数与最小公倍数。 12和16          7和8           6和24           2，3和5 【考点二】三种特殊情况求最大公因数和最小公倍数。 【典型例题1】其一。 甲数＝3×5×7，乙数＝5×3×2，甲、乙两数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【对应练习】 1．若a＝2×3×3×7，b＝3×5×7，则a和b的最大公因数是( )，a和b的最小公倍数是( )。 2．已知，，（n为非零自然数），则A与B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【典型例题2】其二。 如果a÷3＝b（a、b均为非零自然数），那么a与b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【对应练习】 1．如果自然数C是B的5倍，则B与C的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 2．如果a＝3b，且a，b都是大于0的自然数，那么a和b的最大公因数是( )；最小公倍数是( )。 【典型例题3】其三。 A＝B＋1，（A，B均为非零的自然数），则A与B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【对应练习】 1．如果a－1＝b（a、b分别为非零的自然数），那么a、b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 2．a和b是大于1且相邻的两个自然数，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【考点三】最大公因数与实际应用。 【典型例题1】分线段问题。 用下面的两种彩带包装礼品盒。现在要把它们剪成同样长的小段且没有剩余，每段最长是多少分米？一共能剪成几段？ 【典型例题2】分长方形问题。 选修课上，老师要求同学们将一张长28厘米，宽12厘米的长方形彩纸。在无剩余的前提下，裁成大小相等且尽可能大的正方形，正方形的边长是多少？一共可以裁成多少张？ 【对应练习】 1. 有两根钢管，分别长45厘米、30厘米，把它们截成长度相等的小段，且没有剩余。每一小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？ 2. 爸爸打算给长72分米、宽48分米的客厅铺上地砖。从不浪费材料的角度考虑（使用的地砖都是整块），可以选择边长是多少分米的正方形地砖？（地砖的边长是整分米数且在5～10分米之间） 【考点四】最小公倍数与实际应用。 【典型例题1】分东西问题。 篮子里的萝卜无论是分给12只小兔子，还是分给15只小兔子，都能正好分完。篮子里至少有多少根萝卜？ 【典型例题2】人数问题。 篮球队的同学们分组练习，分成6人一组或8人一组都多4人，已知篮球队的人数在50－60人之间，篮球队有多少人？ 【典型例题3】日期问题其一。 我市7路和10路公共汽车的起点站都在汽车西站。这两路公共汽车同时发车后，过多少分钟两路车第二次同时发车？ 7路：每隔6分钟发一次车10路：每隔8分钟发一次车 【典型例题4】日期问题其二。 甲、乙、两人到图书馆去借书，甲每12天去一次，乙每16天去一次，如果4月25日他们两人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？ 【典型例题5】同余数问题。 现在有一筐苹果，无论是平均分给8个人，还是平均分给14个人，结果都剩下1个。这筐苹果至少有多少个？ 【典型例题6】同差问题。 有一些糖果，平均分给8个人多7块，平均分给6个人多5块，这些糖果最少有多少块? 【对应练习】 1. 为庆祝“五一”，张老师买来一些糖果，如果每位小朋友分4颗或6颗，都正好分完。这些糖果的颗数在30－40之间，张老师买来多少颗糖果？ 2. 1路车每5分钟发一次车，2路车每8分钟发一次车，15路车每10分钟发一次车。6时，1路、2路、15路车第一次同时发车，它们第二次同时发车是几时几分？ 3. 五年级三班买来一批树苗，分给同学们种植。每组同学分9棵，余1棵：每组同学分11棵，也余1棵。这批树苗至少有几棵？ 4. 一些贝壳，4个4个地数，最后多1个；5个5个地数，最后多2个；7个7个地数，最后少3个。这些贝壳至少有多少个？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ “深窥自己的心，而后发觉一切的奇迹在你自己。” “Deep glimpse of their heart,and then find all the miracles in yourself.” 101数学创作社 2024年6月2日 2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列 期末复习专题一：数的认识—因数和倍数·分数意义和性质 【七大篇目】 专题解读 本专题是期末复习专题一：数的认识—因数和倍数·分数意义和性质。本部分内容主要以数的认识为主，其中包括因数和倍数、奇数和偶数、质数和合数以及分数的意义和性质等。 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，每个考点又划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广泛，综合性强，建议作为期末复习核心内容进行讲解，一共划分为七个篇目，欢迎使用。 目录导航 【第一篇】因数和倍数 【知识总览】 5 【考点一】因数和倍数的定义 6 【考点二】因数和倍数的特征 7 【考点三】求因数或倍数 8 【考点四】因数和倍数与实际应用 9 【考点五】2、5、3的倍数特征其一 11 【考点六】2、5、3的倍数特征其二 12 【考点七】倍数特征与组数问题 13 【考点八】2、5、3的倍数特征与实际应用其一 15 【考点九】2、5、3的倍数特征与实际应用其二 16 【第二篇】奇数和偶数 【知识总览】 18 【考点一】奇数和偶数的认识 18 【考点二】奇数和偶数的运算性质 19 【考点三】奇数和偶数与实际应用 20 【考点四】连续偶数或奇数的和 21 【第三篇】质数和合数 【知识总览】 24 【考点一】质数和合数的认识 24 【考点二】质数的分解与组合 26 【考点三】因、倍、奇、偶、质、合综合应用与猜数问题 27 【考点四】质数的实际应用 28 【考点五】分解质因数 30 【考点六】分解质因数与实际应用其一 31 【考点七】分解质因数与实际应用其二 33 【第四篇】分数的意义和认识 【知识总览】 35 【考点一】分数的意义和认识 35 【考点二】分数单位的认识和确定 37 【考点三】单位“1”的认识和确定 38 【考点四】分数与除法的关系问题 41 【第五篇】分数的分类和基本性质 【知识总览】 45 【考点一】分数的分类 46 【考点二】假分数与带分数或整数的互化 49 【考点三】分数的基本性质其一 50 【考点四】分数的基本性质其二 51 【考点五】分数的基本性质其三 53 【考点六】分数的基本性质其四 54 【考点七】分小互化·有限小数 55 【考点八】分数大小比较 57 【第六篇】约分和通分 【知识总览】 59 【考点一】约分 59 【考点二】关于最简分数 61 【考点三】约分的实际应用 62 【考点四】通分 64 【考点五】通分的实际应用 65 【第七篇】最大公因数和最小公倍数 【知识总览】 68 【考点一】求最大公因数和最小公倍数 68 【考点二】三种特殊情况求最大公因数和最小公倍数 71 【考点三】最大公因数与实际应用 74 【考点四】最小公倍数与实际应用 76 【第一篇】因数和倍数 【知识总览】 一、因数与倍数。 1. 因数与倍数的定义： 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 三点注意： （1）因数与倍数是相互依存的： 在谈因数与倍数时，一定要说明一个数是另一个数的因数或倍数，不能单独说一个数是因数或是倍数。 （2）0不作为研究因数与倍数的对象。 倍数和因数都是自然数（0除外），不能是小数或分数。 （3）倍数和因数都是自然数（0除外），不能是小数或分数。 二、求因数或倍数。 1. 求一个数的因数的方法： 列乘法或除法算式。 2. 求一个数的倍数的方法： 用这个数依次乘非0自然数。 三、因数和倍数特征。 1. 因数的特征： 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 2. 倍数的特征： 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的，且都等于它本身。 四、2、5的倍数特征。 1. 个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 个位上是0或5的数是5的倍数。 五、3的倍数特征。 1. 3的倍数的特征： 一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 2. 2、5、3倍数特征之间的联系： 【考点一】因数和倍数的定义。 【典型例题】 32÷8＝4，( )和( )是( )的因数；( )是( )和( )的倍数。 【答案】 8 4 32 32 8 4 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 【详解】32÷8＝4，8和4是32的因数；32是8和4的倍数。 【对应练习】 1．在15÷5＝3中，( )是( )的因数，( )是( )的倍数。 【答案】 5和3 15 15 5和3 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。据此解答即可。 【详解】由15÷5＝3可得：5×3＝15，所以5和3是15的因数，15是5和3的倍数。 2．，24是6和4的( )，4和6是24的( )。 【答案】 倍数 因数 【分析】根据因数和倍数的意义：在乘法算式或除法算式（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数，据此解答。 【详解】根据因数和倍数的意义可知，，24是6和4的倍数，4和6是24的因数。 【考点二】因数和倍数的特征。 【典型例题】 非0自然数a的最大因数与它的最小倍数之和是( )。 【答案】2a 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是这个数本身，据此分析解答。 【详解】a＋a＝2a 则这个数a的最大因数与它的最小倍数之和是2a。 【对应练习】 1．若a的最大因数是19，b的最小倍数是1，则a＋b＝( )，它一共有( )个因数。 【答案】 20 6 【分析】如果a能被b整除，则a是b的倍数，b是a的因数；一个数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身。据此可得出a、b的值，进而根据分解因数法得出因数的个数。 【详解】a的最大因数是19，则a是19；b的最小倍数是1，则b是1。则a＋b＝19＋1＝20；20的因数有：1、2、4、5、10、20，共6个。 2．一个数的最大因数是48，这个数是( )，那么这个数的所有因数是( )，这个数的最小倍数是( )。 【答案】 48 1，2，3，4，6，8，12，16，24，48 48 【分析】一个数的最大因数是它本身，最小因数是它本身；48的最大因数是48；48的最小倍数是48；根据找一个因数的方法写出它的所有因数；据此解答即可。 【详解】48的最大因数是48。 48的因数有：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 48的最小公倍数是48。 【考点三】求因数或倍数。 【典型例题】 按要求写出下列各数的因数或倍数（写出40以内的倍数）。 12的因数：( )   6的倍数：( ) 【答案】 1、2、3、4、6、12 6、12、18、24、30、36 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数和商都是被除数的因数，被除数是除数和商的倍数； 可以列乘法算式找一个数的因数：按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数； 也可以列乘法算式找一个数的倍数：按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 【详解】由分析可得： 12的因数：1、2、3、4、6、12 6的倍数：6、12、18、24、30、36 【对应练习】 1．32的因数有( )；75的因数有( )。 【答案】 1、2、4、8、16、32 1、3、5、15、25、75 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】32＝1×32＝2×16＝4×8 75＝1×75＝3×25＝5×15 32的因数有1、2、4、8、16、32；75的因数有1、3、5、15、25、75。 2．写出下面各数的倍数（各写5个）。 1：( )； 50：( )； 75：( )。 【答案】 1、2、3、4、5 50、100、150、200、250 75、150、225、300、375 【分析】求一个数倍数的方法： 这个数分别乘以自然数：1，2，3，4，5，…，就得到这个数的1倍，2倍，3倍，4倍，5倍。据此解答。 【详解】1的倍数：（1、2、3、4、5）； 50的倍数：（50、100、150、200、250）； 75的倍数：（75、150、225、300、375）。 【考点四】因数和倍数与实际应用。 【典型例题】 1．育才小学五年级（1）班有36名同学排队表演学校集体舞，要使每行人数相等（每行不能是1人和36人），一共有多少种不同的排法？（可用表格或其它方法解决） 【答案】7种 【分析】找一个数的因数，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组地找，这时，两个乘数都是积的因数。求出36有多少个因数，进而找出符合条件的排法即可。 【详解】36＝1×36，排成1行或者36行，都不符合题意； 36＝2×18，排成2行或者18行； 36＝3×12，排成3行或者排成12行； 36＝4×9，排成4行或者排成9行； 36＝6×6，排成6行。 答：一共有7种不同的排法。 2．拗九节在农历正月廿九日，是福建省福州十邑地区本土特有的民间传统节日，这天家家户户用糯米、红糖、桂圆等原料煮拗九粥，用来祭祖或馈赠亲友。此外，每年这一天，凡是岁数逢9，如9岁、19岁（称“明九”），或是9的倍数，如18岁、27岁（称“暗九”），都要像过生日一样，吃一碗“太平面”，以求平安、健康，也叫过“九”。小明的爸爸今年已经50岁了，你知道他过了几次“九”吗？ 【答案】9次 【分析】分别找出50以内“明九”和“暗九”的次数，再相加，即可求出答案。 【详解】50以内“明九”有：9、19、29、39、49，共5次 50以内“暗九”有：18、27、36、45，共4次 5＋4＝9（次） 答：他过了9次“九”。 【对应练习】 1．月饼是一种传统美食，寓意团团圆圆。李师傅制作了48块月饼，如果装在盒子里，每个盒子装的同样多，数量多于3块但又比9块少，有几种装法？每种装法各需要多少个盒子？ 【答案】3种；见详解 【分析】根据题意，要把48块月饼装在盒子里，每个盒子装的同样多，那么每个盒子装月饼的数量一定是48的因数； 先列举出48的所有因数，再找出大于3且小于9的因数，即是每盒装月饼的数量，再用月饼的总数除以每盒装月饼的数量，求出需要盒子的数量。 【详解】48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48； 其中，在3～9之间的因数有：4，6，8； 即有3种装法：每盒装4块、6块、8块。 48÷4＝12（个） 48÷6＝8（个） 48÷8＝6（个） 答：有3种装法：每盒装4块需要12个盒子，每盒装6块需要8个盒子，每盒装8块需要6个盒子。 2．爸爸今年48岁了，乐乐的年龄是6的倍数，也是爸爸年龄的因数。乐乐今年可能多少岁了？ 【答案】可能是6岁或12岁或24岁。 【分析】由题意知：在48的范围内找出6的倍数，并根据生活实际进行判断，从而找出合理的数值即可。 【详解】48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48… 既是6的倍数，又是48的因数的有：6、12、24、48。 乐乐要比爸爸小，所以乐乐今年可能是6岁或12岁或24岁。 答：乐乐今年可能是6岁或12岁或24岁。 【考点五】2、5、3的倍数特征其一。 【典型例题】 把下列各数按要求填在括号里。 50      84      21      60      75 (1)既是2的倍数，又是5的倍数的数有( )。 (2)既是奇数，又是3的倍数的数有( )。 【答案】(1)50、60 (2)21、75 【分析】（1）2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 2、5的倍数特征：个位上是0的数。 （2）整数中，不是2的倍数的数叫做奇数，个位上是1、3、5、7、9的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】（1）既是2的倍数，又是5的倍数的数有50、60。 （2）既是奇数，又是3的倍数的数有21、75。 【对应练习】 1．既是2的倍数，又是3和5的倍数的最小两位数是( )，最大两位数是( )。 【答案】 30 90 【分析】2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。既是2的倍数，又是3和5的倍数的两位数，因为个位上的数字是0，所以十位上的数字应是3的倍数。列出符合条件的两位数，再找出其中最小的两位数和最大的两位数即可。 【详解】根据2，3，5的倍数的特征可知，既是2的倍数，又是3和5的倍数的两位数有：30，60，90，其中最小的两位数是30，最大的两位数是90。 2．在35、67、99、106、130、521、322、876、88、93、17这些数中，5的倍数有( )，3的倍数有( )。 【答案】 35、130 99、876、93 【分析】5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】3＋5＝8；6＋7＝13；9＋9＝18；1＋6＝7；1＋3＝4； 5＋2＋1＝8；3＋2＋2＝7；8＋7＋6＝21；8＋8＝16；9＋3＝12；1＋7＝8 在35、67、99、106、130、521、322、876、88、93、17这些数中，5的倍数有35、130，3的倍数有99、876、93。 【考点六】2、5、3的倍数特征其二。 【典型例题】 要使四位数652□能同时被2和5整除，□里应填( )；如果能同时被3和5整除，□里应填( )。 【答案】 0 5 【分析】个位上是0的数既是2的倍数又是5的倍数； 个位上是0或5，并且各个数位上的数的和是3的倍数，这个数同时是3和5的倍数。 【详解】要使四位数652□能同时被2和5整除，□里应填0； 如果能同时被3和5整除，6＋5＋2＋5＝18，□里应填的数是5。 【对应练习】 1．73★是个三位数，如果这个数是3的倍数，★里可以填( )；如果这个数是2的倍数，又是5的倍数，★可以填( )。 【答案】 2、5、8 0 【分析】根据3的倍数的特征，如果各个位上的数宇之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数；根据2、5的倍数特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数，个位上是0或5的数是5的倍数，同时是2、5的倍数特征是个位上必须是0，据此解答。 【详解】7＋3＝10 10＋1＝11 10＋2＝12 10＋3＝13 10＋4＝14 10＋5＝15 10＋6＝16 10＋7＝17 10＋8＝18 10＋9＝19 12、15、18是3的倍数， 所以73★是个三位数，如果这个数是3的倍数，★里可以填2、5、8；如果这个数是2的倍数，又是5的倍数，★可以填0。 2．一个四位数310□，既是2的倍数，又有因数3，□里最大填( )；若这个数同时是3和5的倍数，□里应填( )。 【答案】 8 5 【分析】根据个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数，是2的倍数又叫偶数；个位上是0、5的数是5的倍数。一个数的各位上数字和能被3整除，则这个数能被3整除。310□先填符合3倍数的特征的数，再分别找出其中2的倍数或5的倍数即可。据此解答。 【详解】若310□是3的倍数，前三位的数字和是3＋1＋0＝4，□里填入2、5、8后，数字和都能被3整除。 若310□是2的倍数，它一定是个偶数。在2、5、8中，偶数有2和8，最大的是8，所以□里填入8。 若310□是5的倍数，在2、5、8中，□只有填入5，这个数才是5的倍数。 因此既是2的倍数，又有因数3，□里最大填8；若这个数同时是3和5的倍数，□里应填5。 【考点七】倍数特征与组数问题。 【典型例题】 从下面数字中选出2个，按要求组成两位数。（各写出1个即可） 5    3    0     4 (1)奇数：( )； (2)偶数：( )； (3)3的倍数：( )； (4)5的倍数：( )； (5)同时是2、3的倍数：( )。 【答案】(1)53 (2)34 (3)30 (4)50 (5)30 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 【详解】（1）奇数：53；（答案不唯一） （2）偶数：34；（答案不唯一） （3）3的倍数：30；（答案不唯一） （4）5的倍数：50；（答案不唯一） （5）同时是2、3的倍数：30。（答案不唯一） 【对应练习】 1．从0，4，5，7，9中任意选出四个数字组数。（各写两个） (1)是2的倍数( )。 (2)是3的倍数( )。 (3)是5的倍数( )。 (4)同时是2、3、5的倍数( )。 【答案】(1)7950；5094 (2)4590；9750 (3)4795；7045 (4)5940；9450 【分析】能被2整除的特征：个位上是0、2、4、6、8的数； 能被3整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被3整除； 能被5整除的数的特征：个位上的数字是0或者5的数； 要同时能被2、3和5整除，这个数的个位一定是0且各个数位上的数字相加的和能被3整除。 【详解】（1）是2的倍数（7950；5094）。（答案不唯一） （2）是3的倍数（4590；9750）。（答案不唯一） （3）是5的倍数（4795；7045）。（答案不唯一） （4）同时是2、3、5的倍数（5940；9450）。（答案不唯一） 2．从0，3，4，8这四个数字中，选择合适的数字，组成符合要求的数。 (1)既是2的倍数，又是5的倍数的最大三位数( )，最小四位数( )。 (2)既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数( )，最小四位数( )。 (3)既是2和3的倍数，又是5的倍数的最大四位数( )。 【答案】(1) 840 3480 (2) 348 3048 (3)8430 【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数； 3的倍数特征：各个数位上的数加起来能被3整除； 5的倍数特征：个位是0或5的数，据此解答。 【详解】（1）8＞4＞3＞0 既是2的倍数，又是5的倍数的最大三位数840，最小四位数3480。 （2）3＋4＋8＝15 15能被3整除。 既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数348，最小四位数3048。 （3）既是2和3的倍数，又是5的倍数的最大四位数8430。 【考点八】2、5、3的倍数特征与实际应用其一。 【典型例题】 有78颗草莓，如果每5颗分给一个小朋友，能正好分完吗？如果每3颗分给一个小朋友，能正好分完吗？为什么？ 【答案】见详解 【分析】个位上是0或5的数，是5的倍数；各位上数的和是3的倍数的数，是3的倍数，据此解题。 【详解】7＋8＝15 答：如果每5颗分给一个小朋友，不能正好分完，因为78的个位上是8，不符合5的倍数的特征。 如果每3颗分给一个小朋友，能正好分完，因为15是3的倍数，那么78也是3的倍数。 【对应练习】 1．体育老师拿来57根跳绳，每个小组分5根，分到最后一组时发现跳绳不够了。至少再拿来几根跳绳才刚好够分？一共有几个小组？ 【答案】3根；12个 【分析】根据题意，57根跳绳，每个小组分5根，用跳绳的总根数除以5，求出可以分给几个小组，还剩几根；再用每个小组分的根数减去剩下的根数，就是还需再拿来几根跳绳才刚好够分；用分的小组数加1，即可求出一共有几个小组。 【详解】57÷5＝11（个）……2（根） 至少再拿：5－2＝3（根） 共有小组：11＋1＝12（个） 答：至少再拿来3根跳绳才刚好够分，一共有12个小组。 2．王老师要买一些笔奖励给班里积极上进的同学，每支笔3元，结账时售货员告诉王老师一共付37元，王老师立刻判断不对。你能解释这是为什么吗？ 【答案】见详解 【分析】根据3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除，每支笔的价格是3元，即王老师付款的钱数一定是3的倍数，据此解答。 【详解】3＋7＝10 10不是3的倍数，所以37不是3的倍数。 答：37不是3的倍数，所以售货员计算的钱数不对。 【考点九】2、5、3的倍数特征与实际应用其二。 【典型例题】 一个大于2的自然数，除以3余2，除以5余2，除以7也余2，那么这个自然数最小是多少？ 解析：这个自然数分别除以3、5、7余数都为2，那么这个数减去2就是3、5、7的倍数，即： 这个数是3、5、7的最小公倍数再加上2。 [3、5、7]=105 105+2=107 答：这个数最小是107。 【对应练习】 1. 已知某小学六年级学生超过100人，而不多于140人，将他们按每组12人分组，多3人，按每组8人分，也多3人，求出该校六年级的确切人数。 解析： [12，8]=24 24×5+3=123（人） 答：略。 2. 甲、乙两个数是一位数的自然数，它们的和被5除余2，它们的差能被5整除，那么甲数被5除，余数是多少？ 解析： 由题意，和被5除余2，则余数之和为2；差被5整除，则余数相同。 所以，甲的余数是1。 【第二篇】奇数和偶数 【知识总览】 一、奇数与偶数。 1.偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2.奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n-1表示。 3.整数：像……-3、-2、-1、0、1、2、3、……都是整数。 4.自然数：像 0、1、2、3、4、……都是自然数。 二、奇数与偶数的基本性质。 (1)奇数+偶数=(奇数) (2)奇数+奇数=(偶数) (3)偶数+偶数=(偶数) (4)奇数×偶数=(偶数) (5)奇数×奇数=(奇数) (6)偶数×偶数=( 偶数) (7)相邻两个自然数的和是(奇数)，相邻四个自然数的和是(偶数 ) (8)奇数一偶数=(奇数)；奇数一奇数=(偶数) 偶数一奇数=(奇数)；偶数一偶数=(偶数) 【考点一】奇数和偶数的认识。 【典型例题】 在1、2、15、8、17、0.43、中，( )是奇数，( )是偶数。 【答案】 1、15、17 2、8 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 【详解】在1、2、15、8、17、0.43、中，1、15、17是奇数，2、8是偶数。 【对应练习】 1．在1－100的自然数中，偶数有( )个，奇数有( )个。 【答案】 50 50 【分析】本题考查偶数和奇数。能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数。据此解答即可。 【详解】根据偶数奇数的定义，在1－100的自然数中，偶数有50个，奇数有50个。 2．从“0、1、3、5”这几个数中选出三个数组成三位数，其中最大的奇数是( )，最小的偶数是( )，最小的3的倍数是( )。 【答案】 531 130 105 【分析】组成最大的奇数，个位是奇数，选最小的1，另外几个数，把大数从高位排起，写出即可； 组成最小的偶数，个位是0，另外几个数，把小数从高位排起，写出即可； 组成最小的3的倍数，各位上的数加起来能被3整除，这样符合条件的就是105。 【详解】由分析可得：从“0、1、3、5”这几个数中选出三个数组成三位数，其中最大的奇数是531，最小的偶数是130，最小的3的倍数是105。 【考点二】奇数和偶数的运算性质。 【典型例题】 按要求把算式写完整。（要求括号里填不为0的数） 和是偶数：123＋( )      和是奇数：53＋( )   积是奇数：5×( )        差是偶数：47－( ) 【答案】 3 2 1 7 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 根据奇数和偶数的运算性质可知： 和是偶数，123是奇数，根据奇数＋奇数＝偶数，得出另一个加数一定是奇数； 和是奇数，53是奇数，根据奇数＋偶数＝奇数；得出另一个加数一定是偶数； 积是奇数，5是奇数，根据奇数×奇数＝奇数，得出另一个因数一定是奇数； 差是偶数，47是奇数，根据奇数－奇数＝偶数，得出减数一定是奇数。 【详解】和是偶数：123＋3；（答案不唯一） 和是奇数：53＋2；（答案不唯一） 积是奇数：5×1；（答案不唯一） 差是偶数：47－7；（答案不唯一） 【对应练习】 1．《礼记》有言：“孟春之月，盛德在木”。植树节当天，老师带同学们去植树，男生组每队植5棵树，女生组每队植4棵树。如果队伍总数为奇数，植树总棵树为偶数，那么女生组的队伍数是( )。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】奇数 【分析】根据题意，植树总棵数＝男生组植树总棵数＋女生组植树总棵数，男生组植树总棵数＝男生组队伍数×5，女生组植树总棵数＝女生组队伍数×4，植树总棵数为偶数，所以男生组植树总棵数也为偶数，男生组队伍数也为偶数，又因为队伍总数为奇数，所以女生组队伍数是奇数；据此解答。 【详解】由分析可得：如果队伍总数为奇数，植树总棵树为偶数，那么女生组的队伍数是奇数。 2．阳光小学五（3）班有53名学生，要分成甲、乙两队去参加社区实践活动。如果甲队人数为奇数，那么乙队人数为( )。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】偶数 【分析】由奇数和偶数的运算性质可知，奇数与奇数的和一定是偶数，偶数与偶数的和一定是偶数，奇数与偶数的和一定是奇数，据此解答。 【详解】分析可知，甲队人数＋乙队人数＝53（奇数），奇数＋偶数＝奇数，所以如果甲队人数为奇数，那么乙队人数为偶数。 【点睛】熟练掌握奇数和偶数的运算性质是解答题目的关键。 【考点三】奇数和偶数与实际应用。 【典型例题】 五年级43名同学，分成两个队参加劳动，每个队都是偶数名同学，能正好分完吗？为什么？ 【答案】不能正好分完，因为偶数＋偶数＝偶数而43是奇数。 【分析】根据奇数和偶数的运算性质来判断题干中的说法是否正确。 【详解】因为偶数＋偶数＝偶数，而43是奇数，所以43不可能分出来两个偶数。 答：不能正好分完，因为偶数＋偶数＝偶数而43是奇数。 【点睛】此题的解题关键是理解奇数和偶数相关的运算性质，并灵活运用。 【对应练习】 1. 一只小狗在甲乙两棵树之间来回跑动。小狗从甲树跑到乙树，一共跑了15次（往返算2次）最后小狗停在哪棵树？第90次呢？ 【答案】乙树，甲树 【分析】第1次，小狗最初从甲树跑向乙树， 第2次，小狗从乙树跑向甲树， 第3次，小狗从甲树跑向乙树， 第4次，小狗从乙树跑向甲树， … 所以，可得规律：奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁，据此解答即可。 【详解】根据分析可得：奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁， 因为15是奇数，所以一共跑了15次（往返算2次），最后小狗停在乙树旁； 因为90是偶数，所以一共跑了90次（往返算2次），最后小狗停在甲树旁。 【点睛】本题考查了奇偶性的实际应用，解答此题关键是确定：奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁。 2. 长江两岸的船工以摆渡为生，每天都从南岸出发驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。记船由南岸驶向北岸为1次。 （1）摆渡第10次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ （2）摆渡第103次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ 【答案】（1）南岸；见详解 （2）北岸；见详解 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 根据题意，记船由南岸驶向北岸为1次，也就是说摆渡第1次结束时，船在北岸；摆渡第2次结束时，船在南岸；摆渡第3次结束时，船在北岸；摆渡第4次结束时，船在南岸……由此可知，摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆渡偶数次结束时，船在南岸，据此解答。 【详解】（1）摆渡第10次结束时，船在南岸。因为摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆渡偶数次结束时，船在南岸；10是偶数，所以船在南岸。 （2）摆渡第103次结束时，船在北岸。因为摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆渡偶数次结束时，船在南岸；103是奇数，所以船在北岸。 【考点四】连续偶数或奇数的和。 【典型例题】 1．三个连续偶数的和是168，这三个数的平均数是( )，其中最大的数是( )。 【答案】 56 58 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 根据连续偶数的特点，两个相邻的偶数相差2；用这三个连续偶数的和除以3，求出平均数，即是中间的偶数，再用中间的偶数加2，即是这三个连续偶数中最大的数。 【详解】168÷3＝56 56＋2＝58 这三个数的平均数是56，其中最大的数是58。 2．三个连续奇数的和是135，其中最大的一个数是( )，最小的数是( )。 【答案】 47 43 【分析】不能被2整除的数叫做奇数，三个连续的奇数每相邻的两个奇数之间相差2，可以设中间的奇数为n，则左边的奇数就是n－2，右边的奇数就是n＋2， 【详解】设中间的奇数为n，则左边的奇数就是n－2，右边的奇数就是n＋2。将这三个数相加得出这三个奇数的和是3n为135，则中间的奇数就是45，最大的数就是加2，最小的数就是减2，。 n－2＋n＋n＋2＝3n 3n＝135 n＝135÷3 n＝45 最大的数：45＋2＝47 最小的数：45－2＝43 则最大的一个数是47，最小的数是43。 【点睛】 【对应练习】 1．3个连续偶数的和是120，这3个偶数分别是( )、( )、( )。 【答案】 38 40 42 【分析】相邻的偶数相差2，用三个连续偶数的和除以3，求出中间数，中间数减2，中间数加2，即可求出另外两个偶数。 【详解】120÷3＝40 40－2＝38 40＋2＝42 3个连续偶数的和是120，这3个偶数分别是38、40、42。 2．若三个连续奇数的和是111，则最小的奇数是( )。 【答案】35 【分析】这三个连续奇数的平均数是中间的那个数，平均数＝总数÷总份数，用111除以3即可算出这三个连续奇数中间的那个数，中间的数再减去2就是最小的奇数。 【详解】111÷3－2 ＝37－2 ＝35 若三个连续奇数的和是111，则最小的奇数是35。 【点睛】此题主要考查奇数的认识和对平均数意义的理解，解题关键是掌握三个连续奇数的排列规律。 【第三篇】质数和合数 【知识总览】 一、质数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只要两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 二、合数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 ③0、1既不是质数，也不是合数。 三、分解质因数。 1.分解质因数： 指的就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2.注意： ①分解质因数是解决数论最有效最直接的途径； ②100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个。 【考点一】质数和合数的认识。 【典型例题】 筷子的标准长度是七寸六分，大约25厘米，一双筷子两根放在一起像数字11，超市里卖的一盒筷子通常是8双或者10双。筷子中的数字：7，6，25，1，2，11，8，10中，偶数有( )个，奇数有( )个，质数有( )个，合数有( )个。 【答案】 4 4 3 4 【分析】能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数。因数只有1和它本身的数是质数。因数除了1和它本身还有其它的因数的数是合数，1既不是质数也不是合数。 【详解】在7，6，25，1，2，11，8，10中，偶数有：6、2、8、10；奇数有：7、25、1、11；质数：7、2、11；合数：6、25、8、10。 即偶数有4个，奇数有4个，质数有3个，合数有4个。 【对应练习】 1．在8.2，3，51，12，，24这些数中，( )是奇数，( )是偶数，( )是质数，( )是合数。 【答案】 3，51 12，24 3 51，12，24 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【详解】在8.2，3，51，12，，24这些数中， 3，51是奇数； 12，24是偶数； 3是质数； 51，12，24是合数。 2．在2，5，6，9，13，51，90这些数中，偶数有( )；质数有( )；既是奇数又是合数的数有( )。 【答案】 2、6、90 2、5、13 9、51 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【详解】在2，5，6，9，13，51，90这些数中，偶数有2、6、90；质数有2、5、13；既是奇数又是合数的数有9、51。 【考点二】质数的分解与组合。 【典型例题】 在括号里里填上适当的质数。 30＝( )×( )×( )    12＝( )＋( )＋( ) 【答案】 2 3 5 2 3 7 【分析】根据质数的意义：除了1和它本身，没有其它因数的数是质数，由此即可填空。 【详解】30＝2×3×5 12＝2＋3＋7 【对应练习】 1．哥德巴赫猜想提出，所有大于9的偶数都可以麦示为两个质数的和。比如：4＝2＋2，6＝3＋3，8＝5＋3，10＝7＋3，……请你仿照填写：24＝( )＋( )。 【答案】 5 19 【分析】24是大于9的偶数，根据哥德巴赫猜想，把24拆解成两个质数相加的形式即可。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，个位上是0、2、4、6、8的数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 【详解】24＝5＋19＝7＋17＝11＋13 所以，24＝5＋19（答案不唯一）。 2．在括号里填上合适的质数。 12＝( )＋( )＝( )－( )＝( )＋( )＋( ) 91＝( )×( )       30＝( )＋( ) 【答案】 5 7 17 5 2 3 7 7 13 7 23 【分析】质数是只有1和它本身两个因数的数。20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19，根据题中各数的组成，在括号里填上合适的质数，使等号两边相等，等式成立。 【详解】12＝5＋7＝17－5＝2＋3＋7 91＝7×13 30＝7＋23 【考点三】因、倍、奇、偶、质、合综合应用与猜数问题。 【典型例题】 有一个电话号码是ABCDEFG。已知：A是5的最小倍数；B是最小的质数；C是6的最大因数；D既是3的倍数，又是3的因数；E的所有因数是1、2、3、6；F的所有因数是1、3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 【答案】5263631 【分析】一个数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身，一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数，最小的质数是2；1只有1个因数。据此解答。 【详解】根据分析可知，A是5，B是2，C是6，D是3，E是6，F是3，G是1，所以这个号码是：5263631。 【对应练习】 1．妈妈的银行卡密码是由六个数字组成的，其中不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；第二位数既是5的倍数，又是5的因数；第三位数既是2的倍数，又是3的倍数；第四位数既不是质数，也不是合数；第五位数既是奇数，又是合数；第六位数是一位数中最大的合数。妈妈银行卡密码是多少？ 【答案】256199 【分析】根据偶数的意义：能被2整除的数；奇数：不能被2整除的数； 一个数既是它的因数，也是它的倍数； 2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数； 一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身两个因数外，还有其他因数，这样的数叫做合数，1既不是质数，也不是合数；据此分析解答。 【详解】第一个数字：不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；这个数字是2； 第二位数既是5的倍数，又是5的因数；这个数字是5； 第三位数既是2的倍数，又是3的倍数，在1~9中，只有6既是2的倍数，又是3的倍数，这个数字是6； 第四位数既不是质数，也不是合数；1既不是质数，也不是合数，这个数字是1； 第五位数既是奇数，又是合数，在1~9中，9既是奇数，也是合数，这个数字是9； 第六位数是一位数中最大的合数，在1~9中，最大的合数是9，这个数字是9。 妈妈银行卡的密码是256199。 答：妈妈银行卡密码是256199。 2．小明的QQ号码是一个十位数，且每位上的数字都不相同。从左看起，它第一位上的数既不是质数，也不是合数，第二位、第十位上的数分别是最大的一位数、最小的偶数；第三位到第五位上的数既是连续的奇数，又是连续的质数；从第六位起，是连续的偶数。这个QQ号码是多少试试用一一对应的方法来解决吧！ 【答案】1935786420 【分析】根据奇数与偶数、质数与合数的意义，在自然数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数；一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫质数，一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫合数。 【详解】从左看起，它第一位上的数既不是质数，也不是合数，是1；第二位、第十位分别是最大的一位数和最小的偶数，即分别是9和0；第三位到第五位上的数既是连续的奇数，又是连续的质数，分别是3、5、7；从第六位起，是连续的偶数，是8、6、4、2、0；所以这个数写作：1935786420。 【考点四】质数的实际应用。 【典型例题】 1．两个质数的和是20，这两个质数的积最大是多少？ 【答案】91 【分析】先找出符合条件的数，如：3和17，7和13。再分别计算出两个质数的积，进行大小比较即可。 【详解】3＋17＝20 3×17＝51 7＋13＝20 7×13＝91 91＞51 答：这两个质数的积最大是91。 2．一个长方形的周长是32米，它的长和宽的米数都是质数，这个长方形的面积最大是多少平方米？ 【答案】55平方米 【分析】一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数就叫做质数。根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，将32÷2＝16米，即求出了长与宽的和是16；再将16分解成两个质数相加，这两个质数就是长方形的长和宽，最后求出长方形的面积，比较即可。 【详解】长＋宽：32÷2＝16（米） 16＝3＋13＝5＋11 13×3＝39（平方米） 11×5＝55（平方米） 55＞39 答：这个长方形的面积最大是55平方米。 【对应练习】 1．如果一个两位数乘最小的合数，结果是96，那么这个数乘最小的质数结果是多少？ 【答案】48 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此确定最小的合数和最小的质数，根据积×因数＝另一个因数，确定这个两位数，用这个两位数×最小的质数即可。 【详解】96÷4＝24 24×2＝48 答：这个数乘最小的质数结果是48。 2．为积极响应“绿美狮山”号召，某小学用56米长的栅栏圈出一块长方形地，供师生种植花草，已知长方形的长和宽都是质数，这个长方形的面积最大是多少平方米？ 【答案】187平方米 【分析】根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，长＋宽＝周长糊2，代入数据，求出长方形地的长与宽的和，即56÷2＝28米；长方形的长和宽都是质数，把28分解成两个质数相加，再根据长方形面积公式：面积＝长×宽，求出长方形面积，比较大小即可得解。 【详解】56÷2＝28（米） 28以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23 5＋23＝28（米） 11＋17＝28（米） 长方形长是23米，宽是5米； 面积：5×23＝115（平方米） 长方形长是17米，宽是11米； 面积：11×17＝187（平方米） 115＜187，最大面积是187平方米。 答：这个长方形的面积最大是187平方米。 【考点五】分解质因数。 【典型例题】 把下面各数分解质因数。 45         28          104 【答案】45＝3×3×5 28＝2×2×7 104＝2×2×2×13 【分析】分解质因数就是把这个数分解成几个质数相乘的式子。 【详解】45的质因数有3，5所以45＝3×3×5 28的质因数有2，7所以28＝2×2×7 104的质因数有2，13所以104＝2×2×2×13 【对应练习】 1．把下列各数分解质因数。 111        375 【答案】111＝3×37；375＝3×5×5×5 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般从简单的质数试着分解。 【详解】111＝3×37 375＝3×5×5×5 2．把下面的各数分解质因数。 36                     57                             105 【答案】36＝2×2×3×3；57＝3×19；105＝3×5×7 【分析】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数，求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 【详解】 36＝2×2×3×3； 57＝3×19； 105＝3×5×7 【考点六】分解质因数与实际应用其一。 【典型例题1】问题一。 已知A＝2×2×3×3，那么A的因数一共有（     ）个。 A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据A＝2×2×3×3，求出A的值，再根据求一个数因数的方法，写出A所有的因数，最后数出因数的个数即可。 【详解】A＝2×2×3×3＝36 36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36；共有9个因数。 故答案为：D 【点睛】掌握找一个数的因数的方法是解题的关键。 【典型例题2】问题二。 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。 解析：210分解质因数：210=2×3×5×7 可知这三个数是5、6和7。 【对应练习】 1. 一个数既是45的因数，又是3的倍数，这个数共有（     ）种可能。 A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据因数和倍数的意义，当a×b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此先找出45的因数，再找出45的因数里面有几个是3的倍数。 【详解】45＝1×45＝3×15＝5×9 45的因数有1、45、3、15、5、9，其中45、3、15、9是3的倍数； 所以一个数既是45的因数，又是3的倍数，这个数共有4种可能。 故答案为：C 【点睛】此题是考查因数和倍数的意义，注意不要忽略a、b、c为非0自然数这点。 2. 四个连续自然数的乘积是360，这四个自然数分别是多少？ 解析： 360=2×2×2×3×3×5=3×4×5×6 答：这四个连续的自然数分别是3，4，5，6。 【考点七】分解质因数与实际应用其二。 【典型例题1】问题一。 盒里有48块糖块，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，共有多少种拿法？每次拿出多少个？ 解析： 48=2×2×2×2×3 不一次拿出可以分为以下4组： 48=2×24=3×16=4×12=6×8 答：有8种不同拿法，每次分别拿出2、3、4、6、8、12、16、24个。 【典型例题2】问题二。 有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。共有多少种分法？ 解析：先把168分解质因数，168=2×2×2×3×7，由于每份不得少于10颗，也不能多于50颗，所以，每份有2×2×3=12颗，2×7=14颗，3×7=21颗，2×2×2×3=24颗，2×3×7=42颗，共有5种分法。 【对应练习】 1．马超、刘涛和王阳三位小朋友购买兔年邮票的枚数的积是540，其中马超比刘涛多1枚，王阳比刘涛少3枚，他们三人分别购买了多少枚兔年邮票？ 【答案】马超：10枚；刘涛：9枚；王阳：6枚 【分析】根据分解质因数的意义：把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式；把540分解质因数，再根据题意进行组合，即可得出三人分别购买邮票的枚数。 【详解】540＝2×2×3×3×3×5 化为：540＝（2×3）×（2×5）×（3×3） 540＝6×10×9 因为： 10－9＝1 9－6＝3 马超买的邮票枚数－刘涛买的邮票枚数＝1（枚） 刘涛买的邮票枚数－王阳买的邮票枚数＝3（枚） 所以马超买了10枚邮票，刘涛买了9枚邮票；王阳买了6枚邮票。 答：马超买了10枚邮票，刘涛买了9枚邮票，王阳买了6枚邮票。 【点睛】解答本题的关键是利用分解质因数的方法进行解答。 2．3月12日植树节，李老师带五（2）班的同学参加植树活动，五（2）班的同学能平均分成4组进行活动。如果李老师和同学们每人植树一样多，他们一共植树539棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？ 【答案】76人；7棵或48人；11棵 【分析】由李老师和学生每人植树一样多，可知：每人植树棵数×人数＝植树总棵数。每人植树棵数和人数都应是整数，将植树总棵数分解质因数，539＝7×7×11，写成两数相乘的形状有539＝7×77、539＝49×11、539＝539×1三种情况，又由于学生恰好分成4组，而77、49减1后能被4整除，据此解答即可。 【详解】因为：539＝7×7×11＝7×77＝49×11＝539×1，由于学生恰好平均分成4组， 所以，539＝7×（76＋1）＝（48＋1）×11，76和48都是4的倍数， 所以，当学生人数为76人时，每人植树7棵；当学生人数为48人时，每人植树11棵； 答：这个班的人数有两种情况，一种是有76名学生，平均每人植树7棵；另一种是有48人，平均每人植树11棵。 【点睛】解答本题的关键是把539分解质因数，找到能被4整除的数。 【第四篇】分数的意义和认识 【知识总览】 一、分数的意义和认识。 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。 二、分数单位的认识和确定。 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。 三、单位“1”的认识和确定。 一个物体，一个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示，一个整体可以用自然数1来表示，我们通常把它叫做单位“1”。 四、分数与除法。 1. 在除法中，被除数÷除数=商，在分数中，被除数相当于分子，除数相当于分母，商相当于分数值，除号相当于分数线，用分数表示为。 2. 求一个数占另一个数的几分之几，用一个数÷另一个数=。 【考点一】分数的意义和认识。 【典型例题】 把一张长方形的纸对折4次，再展开，其中的每一小份是这张纸的( )，三份是这张纸的( )。 【答案】 【分析】把一张长方形的纸对折1次，把这张长方形的纸平均分成了2份； 把一张长方形的纸对折2次，把这张长方形的纸平均分成了4份； 把一张长方形的纸对折3次，把这张长方形的纸平均分成了8份； 则把一张长方形的纸对折4次，把这张长方形的纸平均分成了16份，其中的每一小份是这张纸的，三份是这张纸的3个，是。 【详解】2×2×2×2＝16 则把一张长方形的纸对折4次，再展开，其中的每一小份是这张纸的，三份是这张纸的。 【对应练习】 1．元可以表示把1元平均分成5份，取其中的( )份；也可以表示把2元平均分成( )份，取其中的( )份。 【答案】 2 5 1 【分析】分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数；分母是平均分的总份数，分子是取的其中的几份。 【详解】元可以表示把1元平均分成5份，取其中的2份； 也可以表示把2元平均分成5份，取其中的1份。 2．看图写出阴影部分所表示的分数。 ( )    ( )     ( ) 【答案】 【分析】分数的意义：把一个物体或一个计量单位平均分成若干份，这样的一份或几份可用分数表示。在分数里，中间的横线叫作分数线；分数线下面的数叫作分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线上面的数叫作分子，表示有这样的多少份。第一个圆被平均分成4份，其中3份被涂色，用分数表示为；第二个图形平均分成4个小正方形，涂色部分占1个小正方形，用分数表示为；第三个图形平均分成6份，阴影部分占4份，用分数表示为。 【详解】 【考点二】分数单位的认识和确定。 【典型例题】 一个分数，分子是最小的质数，分母是最大的一位数，这个分数是( )，它的分数单位是( )，再加上( )个这样的分数单位就是1。 【答案】 7 【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。据此可知最小的质数是2，最大的一位数是9，所以这个分数是；分数单位的意义，把单位“1”平均分成若干份，表示其中1份的数叫分数单位。据此可知，的分数单位是，根据分数的意义，可知1里面有9个，里面有2个，再加上（9－2）个即可得到1。 【详解】最小的质数是2，最大的一位数是9，所以这个分数是； 1－＝ 这个分数是，它的分数单位是，再加上7个这样的分数单位就是1。 【对应练习】 1．的分数单位是( )，去掉( )个这样的单位后就与自然数中最小的奇数相等。 【答案】 15 【分析】分母是几，分数单位就是几分之一；奇数的意义：不能被2整除的数叫做奇数；最小的奇数是1；把1化成分母是7的分数，再用的分子减去1化成分母是7的分数的分子，得到的差，就是去掉几个这样的单位后就与自然数中最小的奇数相等。 【详解】的分数单位是； 1＝ 22－7＝15 的分数单位是，去掉15个这样的单位后就与自然数中最小的奇数相等。 2．的分数单位是( )，再加上( )个这样的单位就是最小的合数。 【答案】 18 【分析】判定一个分数的分数单位看分母，分母是几，分数单位就是几分之一；最小的合数是4，将4和都化成分母是7的假分数，求出两个分子的差，就是需要加上的分数单位的个数。 【详解】、4＝、28－10＝18 的分数单位是，再加上18个这样的单位就是最小的合数。 【考点三】单位“1”的认识和确定。 【典型例题1】问题一。 “五（2）班男生人数占全班人数的”，这是把( )看作单位“1”，把它平均分成8份，男生人数占其中的( )份。 【答案】 全班人数 5 【分析】将全班人数看作单位“1”，将它平均分成8份，则每一份占了，男生占全班人数的，就占了5份。据此可得出答案。 【详解】“五（2）班男生人数占全班人数的”，这是把全班人数看作单位“1”，把它平均分成8份，男生占其中的5份。 【对应练习】 1．女生人数是全班人数的，表示把( )看作单位“1”，平均分成了( )份，女生人数表示这样的( )份。 【答案】 全班人数 9 4 【分析】要找准单位“1”，在同一整体中，部分量和总量作比较关系时，部分量通常作为比较量，而总量则作为标准量，也就是单位“1”；女生人数是全班人数的，是用女生人数和全班人数比较，所以单位“1”是全班人数，再根据分数的意义可知，将全班人数平均分成了9份，据此解答即可。 【详解】女生人数是全班人数的，表示把全班人数看作单位“1”，把单位“1”平均分成了9份，女生人数表示这样的4份。 2．在新版《铁路旅客运输规程》中，儿童旅客以年龄划分优惠标准。儿童优惠票的价格是全价票的，是把( )的价格看成单位“1”，妈妈为浩浩购买一张全价为156元的儿童优惠票，优惠了( )元。 【答案】 全价票 78 【分析】根据判断单位“1”的方法：一般是把“比、占、是、相当于”后面的量看作单位“1”，即分数“的”字前面的量看作单位“1”，进行解答即可； 再根据分数的意义，把全票价的价格平均分成2份，用全票价的价格÷2，求出其中的1份，即可求出优惠的钱数，据此解答。 【详解】把全票价的价格看作单位“1”。 156÷2＝78（元） 在新版《铁路旅客运输规程》中，儿童旅客以年龄划分优惠标准。儿童优惠票的价格是全价票的，是把全票价的价格看成单位“1”，妈妈为浩浩购买一张全价为156元的儿童优惠票，优惠了78元。 【典型例题2】问题二。 有两根一样长的铁丝，从第一根上截去它的，从第二根上截去米，余下的部分( )。 A．一样长 B．第一根长 C．不能确定哪根长 【答案】C 【分析】铁丝长度不确定，假设长度分别为1米、小于1米、大于1米分开讨论即可解答。 【详解】当这两根铁丝长都是1米，1米的是米，两根铁丝截去的一样长，则余下部分也一样长； 当这两根铁丝长都小于1米，它的也小于米，第一根截去的短，余下的长； 当这两根铁丝长都大于1米，它的也大于米，第一根截去的长，余下的短。 由于这两根铁丝的长度不确定，因此，余下的部分无法比较。 故答案为：C 【对应练习】 1．一根绳子被剪成两段，第一段长米，第二段占全长的这两段绳子相比( )。 A．第一段长 B．第二段长 C．无法比较 【答案】B 【分析】把这根绳子的全长看作单位“1”，由第二段占全长的可知，第一段占全长的（），比较这两段绳子占全长的分率即可得出结论。 【详解】 因为，所以第二段绳子比较长。 故答案为：B 2．一根绳子剪成两段，第一段是全长的，第二段长，( )长。 A．第一段 B．第二段 C．一样长 D．无法确定 【答案】B 【分析】一根绳子剪成两段，将整段绳子看作单位“1”，第一段是全长的，那么第二段就占全长的，据此比较大小即可。 【详解】 因为，所以第二段长。 故答案为：B 【点睛】 【考点四】分数与除法的关系问题。 【典型例题1】问题一。 有一箱桔子共有40个（每个大小一样），重10千克，平均分给5个小朋友，每个小朋友分到( )个桔子，每个小朋友分到( )千克桔子，每个小朋友分到这箱桔子的( )。 【答案】 8 2 【分析】用桔子的总个数除以总人数，即可求出每个小朋友分到多少个桔子；用桔子的总千克数除以总人数，即可求出每个小朋友分到多少千克桔子；根据分数的意义，把这箱桔子的总数看作单位“1”，平均分给5个小朋友，可知每人分得。 【详解】40÷5＝8（个） 10÷5＝2（千克） 1÷5＝ 每个小朋友分到8个桔子，每个小朋友分到2千克桔子，每个小朋友分到这箱桔子的。 【对应练习】 1．一包饼干平均分给3人，每人分得包。如果一包有2块，平均每人分得( )块。 【答案】； 【分析】将一包饼干除以3，求出每人分得多少包。将2块饼干除以3，求出每人分得多少块。 【详解】1÷3＝（包） 2÷3＝（块） 一包饼干平均分给3人，每人分得包。如果一包有2块，平均每人分得块。 2．3米长的绳子，平均分成4段，每段占全长的( )，每段长( )米。 【答案】 /0.75 【分析】求每段占全长的几分之几，是把这根绳子的全长看作单位“1”，把“1”平均分成4段，用1除以4；求每段的长度，是把3米长的绳子平均分成4段，用这根绳子的长度除以4。 【详解】1÷4＝ 3÷4＝（米） 3米长的绳子，平均分成4段，每段占全长的，每段长米。 【典型例题2】问题二。 计算下面各题，怎样简便怎样算。 81立方厘米＝( )毫升    79平方分米＝平方米 1.43立方米＝( )立方分米＝( )升 【答案】81； 1430；1430 【分析】立方厘米与毫升是等量关系二者互化数值不变。 低级单位平方分米化高级单位平方米除以进率100。 高级单位立方米化低级单位立方分米乘进率1000；立方厘米与毫升是等量关系二者互化数值不变。 【详解】81立方厘米＝81毫升 79平方分米＝平方米 1.43立方米＝1430立方分米＝1430升 【对应练习】 1．在括号里填上适当的分数。 9cm＝( )dm           13dm3＝( )m3     43mL＝( )L 【答案】 【分析】1dm＝10cm，1m3 ＝1000dm3，1L＝1000mL，高级单位转化为低级单位用乘法，低级单位转化高级单位用除法。注意题目最后的要求是分数，即分数和除法的关系是被除数作为分数的分子，除数作为分数的分母。 【详解】9÷10＝（dm） 9cm＝dm 13÷1000＝ 13dm3＝m3 43÷1000＝ 43mL＝L 【点睛】 2．0.36立方米＝( )立方分米   3.5升＝( )立方分米＝( )毫升   87立方分米＝( )立方米（用分数表示） 【答案】 360 3.5 3500 【分析】根据1立方米＝1000立方分米，1升＝1立方分米＝1000毫升，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。其中用分数表示的根据分数与除法的关系表示出换算结果，即分数的分子相当于被除数，分母相当于除数。 【详解】0.36×1000＝360（立方分米）；3.5×1000＝3500（毫升）；87÷1000＝（立方米） 0.36立方米＝360立方分米；3.5升＝3.5立方分米＝3500毫升；87立方分米＝立方米 【典型例题3】问题三。 在下面的括号填上适当的数。 5÷6＝         ＝( )÷( )   11÷( )＝ 【答案】；7；9；13 【分析】分数与除法的关系：被除数÷除数＝，据此解答。 【详解】 【对应练习】 1．在括号里填上适当的数。         ( )÷( )       ( ) 【答案】；5；8；4 【分析】分数的分子相当于被除数，分母相当于除数，分数值相当于商，据此填空。 【详解】        5÷8       4 2．( )÷( )＝＝0.4＝( )÷20。 【答案】4；10；4；8 【分析】把0.4化成分数是；根据分数与除法的关系：分数的分子是除法算式中的被除数，分母是除数即＝4÷10；根据商不变的性质，4÷10的被除数、除数都乘2就是8÷20。 【详解】4÷10＝（4×2）÷（10×2）＝8÷20 4÷10＝＝0.4＝8÷20 【第五篇】分数的分类和基本性质 【知识总览】 一、分数的分类。 1. 真分数的意义和特征：分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。 2. 假分数的意义和特征：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于1或等于1。 3. 带分数的意义和特征：由整数（不包括0）和真分数合成的数叫做带分数，带分数大于1。 二、假分数与带分数互化。 1. 假分数化成整数或带分数的方法：用分子除以分母，当分子是分母的倍数时，能化成整数，商就是这个整数；当分子不是分母的倍数时能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是带分数中分数部分的分子，分母不变。 2. 带分数化成假分数的方法：带分数也能化成假分数，用分数部分的分母作分母，用分母和整数的积再加上分数部分的分子的和作分子。 三、分数的基本性质。 分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。 四、分小互化。 1. 分数和小数的互化 （1）小数化为分数：有几位小数分母就是1后面带几个0，例如：0.1=，0.23=。 （2）分数化常见的为小数：先将分数化为除法，再计算成小数，例如=1÷4=0.25。 2. 分数与小数之间的互化： =0.5 =0.2 =0.625 =0.25 =0.4 =0.125 =0.75 =0.6 =1.375 =0.0625 =0.8 =0.875 =0.04 =0.08 =0.12 =0.16 五、分数化有限小数。 判断一个分数能否化成有限小数，首先要看这个分数是不是最简分数，如果不是最简分数，要先约分，再根据一个最简分数，如果分母中只含有质因数2或5，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2或5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。 【考点一】分数的分类。 【典型例题1】问题一。 在直线上面的□里填上适当的假分数，在直线下面的□里填上适当的带分数。 【答案】见详解 【分析】分数的意义，把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。分母是平均分的总份数，分子是取的其中的几份。 分子比分母小的分数叫做真分数；分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数；由一个整数（0除外）和一个真分数合成的数叫做带分数。 根据分数的意义，把一大格平均分成5份，那么1小格就表示；直线上面的□在第几小格处，分子就是几，分母都是5，据此在□里填上相应的假分数；直线下面的□在哪两个整数的第几个小格处，那么带分数的整数部分是较小的整数，在第几小格处，真分数的分子就是几，分母是5，整数与真分数合起来即是带分数，填写在□里。 【详解】 【点睛】掌握分数的意义和真分数、假分数、带分数的意义是解题的关键。 【对应练习】 1．把一个图形看作单位“1”，用分数表示图中的涂色部分。 【答案】/ 【分析】前3个正六边形全部涂色，表示整数3，后一个正六边形平均分成了6份，其中的1份表示，涂色部分占5份，表示，合起来表示是；据此解答。 【详解】由分析可得：图中的涂色部分表示为。 2．照样子，在直线上找出表示下面各数的点，并在□内写下来。       0.5             【答案】0.5；；； 【分析】在1和2之间，将1到2之间平均分成6段，在左起第5段； 0.5在0和1的正中间； ＝3，那么恰好在3处； 在1和2之间，将1和2之间平均分成3份，每份是2小段，在左起第2段。 【详解】填空如下： 【典型例题2】问题二。 若是假分数，是真分数，则一定是( )。 【答案】8 【分析】真分数：分子比分母小的分数； 假分数：分子和分母相等或分子比分母大的分数。 【详解】若是假分数，m≤8，是真分数，m＞7，则一定是8。 【对应练习】 1．在中，当a＝( )时，这个分数可以化成最小假分数；当a＝( )时，它是最大的真分数。 【答案】 5 4 【分析】分子比分母小的分数叫做真分数。分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。据此解答即可。 【详解】分母为5的假分数有：、、、… 分母为5的最小假分数为， 所以当a＝5时，这个分数可以化成最小假分数。 分母为5的真分数有：、、、， 分母为5的最小大真分数为， 当a＝4时，这个分数它是最大的真分数。 2．在分数中（m是非0自然数），当m( )时，是真分数；当m( )时，是假分数；当m( )时，实际上是整数。 【答案】 小于9 大于或等于9 是9的倍数 【分析】分子比分母小的分数叫作真分数；分子大于或等于分母的分数叫作假分数；当假分数的分子是分母的倍数时，分数可化为整数。 【详解】在分数中，当m小于9时，是真分数；当m大于或等于9时，是假分数；当m是9的倍数时，实际上是整数。 【考点二】假分数与带分数或整数的互化。 【典型例题】 在括号里填上适当的数。 5＝          ＝5 【答案】16；3 【分析】带分数化假分数，用整数乘分母的积再加上原分子的和作分子，分母不变；假分数化带分数，用分子除以分母，商作整数部分，余数作分子，分母不变；据此解答。 【详解】＝＝ 23÷4＝5……3 ＝ 【对应练习】 1．把下面的假分数化成带分数或整数。 ( )  ＝( )   ＝( )    ＝( ) 【答案】 21 2 【分析】假分数化成整数的方法：用假分数的分子除以分母，如果分子是分母的倍数，所得的商就是整数；假分数化成带分数的方法：用假分数的分子除以分母，如果分子不是分母的倍数，所得的商就是带分数的整数部分，分母不变，余数做分数部分的分子；据此解答。 【详解】      ＝21        ＝        ＝2 2．的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，再添上( )个这样的单位后就是最小的质数。 【答案】 13 5 【分析】分数单位是指：将单位“1”平均分成9份，则为分数单位；一个分数的分子是几则就有几个分数单位。最小的质数是2，可将2化为，根据分数单位的应用可得出答案。 【详解】的分数单位是，，则它有13个这样的分数单位。最小的质数是2，化为分数为，即有18个这样的分数单位。再添加上个这样的单位后得到最小的质数。 【考点三】分数的基本性质其一。 【典型例题】 3÷4＝＝。 【答案】3；20 【分析】除法与分数的关系：被除数相当于分子，除数相当于分母，除号相当于分数线； 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 【详解】3÷4＝ ＝＝ 即3÷4＝＝。 【对应练习】 1．＝( )÷32＝。 【答案】12；24；20 【分析】根据分数的基本性质，的分子和分母都乘4就是；的分子和分母都乘5就是；根据分数与除法的关系，＝3÷4；根据商不变的规律，3÷4＝24÷32；据此解答。 【详解】 ＝（3×8）÷（4×8）＝24÷32 ＝＝24÷32＝ 2．＝( )÷( )＝＝56÷( )。 【答案】7；4；28；32 【分析】根据分数与除法的关系，可得＝7÷4；根据分数的基本性质，将的分子和分母同时乘4，可得＝；将的分子和分母同时乘8，可得＝；根据分数与除法的关系，可得＝56÷32。 【详解】＝7÷4＝＝56÷32 【考点四】分数的基本性质其二。 【典型例题】 如果的分母变成64，要使分数的大小不变，分子应乘( )。 【答案】8 【分析】分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，据此分析。 【详解】64÷8＝8 如果的分母变成64，要使分数的大小不变，分子应乘8。 【对应练习】 1．把的分子增加5，要使分数大小不变，分母应( )。 【答案】乘2 【分析】根据分数的基本性质，分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变，据此确定分子的值，进而确定分子扩大的倍数，最后求出分母应乘几或增加多少。 【详解】（5＋5）÷5 ＝10÷5 ＝2 12×2－12 ＝24－12 ＝12 则把的分子增加5，要使分数大小不变，分母应乘2或增加12。 2．如果的分母加上21，要使分数的大小不变，分子应该加( )，如果的分子减10，要使分数的大小不变，分母应该减( )。 【答案】 12 16 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数的大小不变，据此解答即可。 【详解】7＋21＝28 28÷7＝4 4×4－4 ＝16－4 ＝12 如果的分母加上21，则表示的分母扩大到原来的4倍，要使分数的大小不变，分子应该加12。 15－10＝5 15÷5＝3 24－24÷3 ＝24－8 ＝16 如果的分子减10，则表示的分子缩小到原来的，要使分数的大小不变，分母应该减16。 【考点五】分数的基本性质其三。 【典型例题】 一个分数与相等，它的分子比分母大15，则这个分数是( )。 【答案】 【分析】的分子比分母大5，15÷5＝3，所以要想使它的分子比分母大15，就需要根据分数的基本性质，把的分子、分母同时乘3。 【详解】9－4＝5 15÷5＝3 ＝＝ 所以这个分数是。 【点睛】若分数的分子、分母同时扩大到原来的n倍，则分子与分母的差也扩大到原来的n倍。 【对应练习】 1. 一个分数，分母比分子大25，约分后为，原分数是( )。 【答案】 【分析】约分后分母比分子大5，原来分子比分母大25，用25除以5即可求出原分数分子与分母缩小的倍数，由此把约分后的分数的分子与分母扩大这个倍数即可求出原来的分数。 【详解】分子分母缩小的倍数： 25÷（9－4） ＝25÷5 ＝5 原分数： ＝＝ 【点睛】分数的基本性质。 2. 一个分数，分母比分子大15，它的分数值是，这个分数是多少？ 【答案】 【分析】本题考查的知识点是用“抓不变量”的方法，利用份数知识解答分数问题。先求出分子和分母的份数差8-3=5，然后用数量差15除以份数差15÷（8-3）=3就是一份量；接着用还原法或逆推法计算出原来分数的值：== 【详解】15÷（8-3）=3  == 答：这个分数是。 【考点六】分数的基本性质其四。 【典型例题】 比大又比小的分数有( )、( )（写出任意两个）。 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】根据分数的基本性质，把两个分数的分母扩大，找到两个分数之间的分数即可。 【详解】 所以比大又比小的数有、。（答案不唯一） 【点睛】本题考查分数的基本性质，解答本题的关键是掌握分数的基本性质。 【对应练习】 1．比大而又比小的分数有( )个。 【答案】无数 【分析】根据分数的基本性质，分别将和的分子、分母扩大到原来的若干倍，中间又会出现其它分数，据此分析。 【详解】、，比大而又比小的分数有、、等无数个分数。 【点睛】分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 2．比大，比小，且分母是21的真分数有( )个。 【答案】3 【分析】现根据分数的基本性质，将和化成分母是21的分数，在根据分数大小比较方法和真分数的认识，找出所有分母是21的真分数，数一数即可。 【详解】＝，＝，比大，比小，且分母是21的真分数有、、，共3个。 【点睛】关键是掌握分数的基本性质，分子比分母小的分数叫真分数。 【考点七】分小互化·有限小数。 【典型例题】 1．把下列小数化成分数，分数化成小数。                     ( )        ( )        ( )      ( ) 【答案】；；；； 0.875；1.65；2.6；0.26 【分析】小数化成分数，原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，再化简成最简分数；分数化成小数，用分子除以分母即可。 【详解】 0.875 1.65 2.6 0.26 2．在、、三个数中，( )化不成有限小数。 【答案】 【分析】判断一个分数能否化成有限小数，首先要看这个分数是不是最简分数，如果不是最简分数，要先约分，再根据一个最简分数，如果分母中只含有质因数2或5，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2或5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。 【详解】中的分母中只含有质因数2，能化成有限小数； 化简后是，中的分母中只含有质因数5，能化成有限小数； 中的分母中含有质因数3，不能化成有限小数。 【点睛】此题主要考查分数与小数之间的互化以及分数可以化成有限小数的具体规律。 【对应练习】 1．化成最简分数是( )，化成带分数是( )，化成小数是( )。 【答案】 2.4 【分析】将分子、分母同时除以它们的公因数，直至分子与分母成互质数为止，即成最简分数；再把假分数化成带分数：用分子除以分母，得到的商和余数；商是带分数的整数部分，余数是带分数的分子，分母不变；分数化小数，直接用分子除以分母即可。 【详解】化成最简分数是，化成带分数是，化成小数是2.4。 2．、、、中，能化成有限小数的有( )，能化成无限小数的有( )。 【答案】 、、 【分析】 分数化成小数，用分数的分子除以分母，能除尽的就能化成有限小数，除不尽的写成无限小数的形式，据此解答。 【详解】 因此能化为有限小数的有：、和；能化为无限小数的有：。 【考点八】分数大小比较。 【典型例题】 红红、丫丫和聪聪参加100米短跑测试，红红用时0.3分，丫丫用时分，聪聪用时分，三人中( )跑得最快。 【答案】聪聪 【分析】相同的路程里面，用的时间越短，就跑的越快。即只需要比较三个人的时间大小即可，小数和分数比较大小，可以将小数转化为分数，再利用通分转化为同分母分数比较大小即可。 【详解】 ，聪聪用的时间最短。 则三人中聪聪跑得最快。 【对应练习】 1．比较下面每组中两个数的大小。 1.205( )1.250    6.35m( )6.53m    ( )0.45 【答案】 ＜ ＜ ＝ 【分析】先把分数转化为小数，再根据小数大小的比较方法，先比较小数的整数部分，整数部分大的这个小数就大，如果整数部分相同，就比较十分位，十分位大的这个小数就大，如果十分位相同，就比较百分位，百分位大的这个小数就大，如果百分位相同，就比较千分位……据此可解答。 【详解】根据分析可得： 1.205＜1.250 6.35m＜6.53m 0.45 2．把1.87、、、四个数按照从大到小的顺序排列是( )。 【答案】＞＞＞1.87 【分析】根据题意，把分数化成小数，先比较小数的整数部分，整数部分大，这个小数就大，如果整数部分相同，就比较十分位，十分位相同，就比较百分位，以此列推。 【详解】＝1.875 1.87、、1.875、的整数部分、十分位和百分位都相同；1.87的千分位是0，1.875的千分位是5，的千分位是7，的千分位是8。 所以＞＞1.875＞1.87，即＞＞＞1.87。 【第六篇】约分和通分 【知识总览】 一、约分。 1. 约分： 利用分数的基本性质，将分子和分母同时除以同一个非零的数，这个过程叫做约分。 2. 最简分数： 一个分数的分子和分母互质且都为整数时，我们称这个分数为最简分数。 （互质数：只有公因数1的两个数。） 3. 约分的时候很容易一次约不到位，可以用短除法先找到最大公因数再约分，或者多约几次，直到互质再停，注意强调互质再停止约分。 二、通分。 1. 通分： 将两个或者两个以上的分数的分母化为相同的数的过程叫做通分。 2. 通分的方法。 （1）利用短除法或者枚举法找到分母的最小公倍数； （2）计算每个分数的分母化为最小公倍数时的变化情况，分子也随之变化。 注意：通分也不改变分数的大小。 【考点一】约分。 【典型例题】 约分成最简分数。（结果是假分数的要化成带分数或整数）                   【答案】；；；3 【分析】分子和分母只有公因数1的分数叫作最简分数。把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比原来小的分数的过程是约分。约分根据分数的基本性质，即分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 假分数化带分数：用分子除以分母。当分子是分母的整数倍时，能化成整数，商就是这个整数。当分子不是分母的整数倍时，能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。 【详解】 【对应练习】 1．约分，结果是假分数的要化成带分数。                       【答案】；；； 【分析】把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比原来小的分数的过程是约分。根据分数的基本性质进行约分，即分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 假分数化带分数：用分子除以分母。当分子是分母的整数倍时，能化成整数，商就是这个整数。当分子不是分母的整数倍时，能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。 【详解】 、5÷4＝1……1、 2．先约分，再比较每组分数的大小。 和              和                和 【答案】见详解 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变；根据分数的基本性质，将分数约分成最简分数，约分：分子和分母同时除以它们的最大公因数即可得到最简分数，最简分数的分子和分母互质。 分数比较大小：分母相同，分子较大的分数比较大，分子较小的分数比较小；分子相同，分母较大的分数比较小，分母较小的分数比较大；整数和假分数比较，先把假分数化为带分数，再比较整数部分，整数部分大的那个数就大，如果整数部分相同，则假分数大，据此解答。 【详解】＝，＝，＜，＜ ＝，＝，＞，＞ ＝，＝，＞，＞ 【考点二】关于最简分数。 【典型例题】 写出分母是6的最简真分数( )。 【答案】、 【分析】分子比分母小的分数叫做真分数，再根据最简分数的意义，分数的分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数，根据最简真分数的意义写出分母是6的所有最简真分数。 【详解】分母是6的最简真分数有、。 【点睛】此题考查的目的是理解和掌握最简分数以及真分数的意义。 【对应练习】 1．一个最简真分数，它的分子与分母的积是18，这个分数可能是( )。 【答案】/ 【分析】最简分数：在分数中，分子与分母只有公因数1的分数为最简分数；真分数：在分数中，分子小于分母的分数为真分数；由此将18分解因数后，据此意义填空即可求解。 【详解】18＝1×18＝2×9＝3×6， 所以这个分数可能是或。 2．一个最简真分数，把它的分子扩大到原来的3倍，分母缩小到原来的得，则原分数为( )。 【答案】 【分析】运用倒推法解答。由题意可知：把的分子除以3，分母乘2，即可求得原分数。 【详解】＝ 所以原分数为。 【点睛】解决此类题可采用倒推法。从最后的分数入手，逐步向前逆推还原，得到最初的分数。 【考点三】约分的实际应用。 【典型例题1】其一。 一个分数，用2约分一次，再用3约分一次，得到，原来这个分数是( )。 解析：2×3×2＝12、3×3×2＝18，原来这个分数是。 【对应练习】 化简一个分数时，用2约了两次，用3约了两次，得。化简之前原来的分数是( )。 解析： ＝＝ 化简之前原来的分数是。 【典型例题2】其二。 一个分数约分后是。约分之前分子与分母的和是160，约分前的分数是( )。 解析： 160÷（3＋5） ＝160÷8 ＝20 ＝＝ 约分前的分数是。 【对应练习】 一个分数，分子与分母的和是60，这个分数约分后是，原分数是( )。 解析： 60÷（2＋3） ＝60÷5 ＝12 12×2＝24 12×3＝36 所以，原来这个分数是。 【典型例题3】其三。 一个分数的分母比分子大24，约分后是，这个分数是。 解析： 一份数： 24÷（8－5）＝8； 这个分数是。 【对应练习】 一个分数，它的分母比分子大24，约分后是，这个分数原来是( )。 解析： 【典型例题4】其四。 的分子和分母同时减去一个数，约分后得，同时减去的这个数是多少？ 解析： 差：30-23=7 一份：7÷（4-3）=7 约分前为 减去：23-21=2 答：同时减去的这个数是2。 【对应练习】 将的分子和分母都减去同一个数得到一个新分数，新分数约分后是，减去的数是多少？ 解析： 答：减去的数是9。 【考点四】通分。 【典型例题】 通分。 和            、和 【答案】，；，， 【分析】把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作通分。通分根据分数的基本性质，即分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。通分时用原分母的公倍数作公分母（为了计算简便，通常选用最小公倍数作公分母），然后把每个分数都化成用这个公倍数作分母的分数。 【详解】、 、、 【对应练习】 1．将下列各组分数通分并比较大小。 和        和              、和 【答案】；； ；； ；；； 【分析】把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作通分。通分根据分数的基本性质，即分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。通分后，根据分母相同，分子大的分数大，比较大小。 【详解】、，＜ 、，＜ 、、，＜＜ 2．把下面每组中的两个分数先通分，再比较大小。 和        和        和 【答案】＞；＜；＞ 【分析】通分时用原分母的公倍数作公分母（为了计算简便，通常选用最小公倍数作公分母），然后把每个分数都化成用这个公倍数作分母的分数。再按照同分母分数的比较方法进行比较即可。 【详解】（1） ＞，则＞。 （2） ＜，则＜。 （3） ＞，则＞。 【考点五】通分的实际应用。 【典型例题】 甲、乙两个工程队修两条同样长的路，在相同时间内，甲队修了全程的，乙队修了全程的。哪一队修得快些？ 【答案】甲队 【分析】本题考查了异分母分数的比较大小，根据题意，在相同时间内，甲队修了全程的，乙队修了全程的，即可以把两个分数通分，再比较和的大小，哪个分数大，哪队修的就快一些。 【详解】由分析可得： ＝ ＝ ＞，所以＞，即甲队更快。 答：甲队修得快些。 【对应练习】 1．王师傅和李师傅加工同一批零件，王师傅3小时加工26个零件，李师傅4小时加工37个零件。谁加工的速度快些？ 【答案】李师傅 【分析】根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别求出王师傅、李师傅平均每小时的工作效率，然后进行比较大小即可。 【详解】26÷3＝（个） 37÷4＝（个） ＝ ＝ ＞ 答：李师傅加工的速度快些。 2．亚洲、非洲、南美洲的陆地面积分别约占全球陆地面积的、和。这三个洲，哪个洲的陆地面积最大？哪个最小？ 【答案】亚洲的陆地面积最大，南美洲的陆地面积最小 【分析】异分母分数的大小比较，先通分为同分母分数，再比较大小。分母相同的分数，分子大的就大。据此解题。 【详解】＝ ＝ ＝ 因为，所以。 答：亚洲的陆地面积最大，南美洲的陆地面积最小。 【第七篇】最大公因数和最小公倍数 【知识总览】 一、最大公因数。 1. 最大公因数的定义。 几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数 2. 求两个数的最大公因数的方法： （1）列举法；（2）短除法 3.短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。 注意：求两个数的最大公因数用小括号表示。 二、最小公倍数。 1. 最小公倍数的定义。 几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法： （1）列举法；（2）短除法。 3. 短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。 注意：求两个数的最小公因数用中括号表示。 三、分解质因数求最大公因数和最小公倍数。 求两数的最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积。 四、最大公因数和最小公倍数的特殊情况。 1. 公因数只有1的两个数，叫做互质数。 2. 当两个数是互质关系时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。 3. 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。 【考点一】求最大公因数和最小公倍数。 【典型例题】 求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 12和18 22和11        7和8 【答案】12和18的最大公因数：6；最小公倍数：36 22和11的最大公因数：11；最小公倍数：22 7和8的最大公因数：1；最小公倍数：56 【分析】最大公因数：两个数的公有质因数的连乘积； 最小公倍数：两个数的公有质因数和每一个数的独有质因数的连乘积； 如果两个数成倍数关系，最大公因数是较小的那个数，最小公倍数是较大的那个数； 如果两个数为互质数，最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积。 【详解】12和18 12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和18的最大公因数是2×3＝6。 最小公倍数是2×3×2×3＝36。 22和11 22和11成倍数关系，最大公因数是11；最小公倍数是22。 7和8 7和8为互质数，最大公因数是1，最小公倍数是7×8＝56。 【对应练习】 1．用短除法求出每组数的最大公因数和最小公倍数。 60和18        15和24        25和75       45和30 【答案】60和18的最大公因数是6，最小公倍数是180 15和24的最大公因数是3，最小公倍数是120     25和75的最大公因数是25，最小公倍数是75   45和30的最大公因数是15，最小公倍数是90 【分析】用短除法将两个数分解因数，将相同的因数相乘得到最大公因数，将相同因数相乘，再乘不同的因数得到最小公倍数。据此可得出答案。 【详解】60和18          最大公因数：，最小公倍数： 15和24          最大公因数为：3，最小公倍数： 25和75        最大公因数为：，最小公倍数： 45和30         最大公因数： 最小公倍数： 2．求下列各组数的最大公因数与最小公倍数。 12和16          7和8           6和24           2，3和5 【答案】4，48；1，56；6，24；1，30 【分析】对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数的乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的乘积是最小公倍数；对于两个数是互质数的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数即这两个数的乘积；倍数关系的最小公倍数是较大数，最大公因数是较小数。 【详解】12和16 12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 12和16的最大公因数＝2×2＝4； 最小公倍数＝4×3×2×2＝48。 7和8是互质数 7和8的最大公因数是1； 最小公倍数＝7×8＝56。 6和24存在倍数关系 6和24的最大公因数是6； 最小公倍数是24。 2，3和5是互质数 2、3、5的最大公因数＝1； 最小公倍数＝2×3×5＝6×5＝30。 【考点二】三种特殊情况求最大公因数和最小公倍数。 【典型例题1】其一。 甲数＝3×5×7，乙数＝5×3×2，甲、乙两数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 15 210 【分析】两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 【详解】甲数＝3×5×7 乙数＝5×3×2 最大公因数：3×5＝15 最小公倍数：2×3×5×7＝210 甲、乙两数的最大公因数是15，最小公倍数是210。 【对应练习】 1．若a＝2×3×3×7，b＝3×5×7，则a和b的最大公因数是( )，a和b的最小公倍数是( )。 【答案】 21 630 【分析】两个数的最大公因数：两个数的最大公因数是两个数的公有质因数的连乘积；如果两个是为倍数关系，较小的那个数为最大公因数；如果两个数为互质数，最大公因数是1； 两个数的最小公倍数：两个数的最小公倍数是两个数的公有质因数与每一个独有质因数的连乘积；如果两个数为倍数关系：较大的数为最小公倍数；如果两个数为互质数：最小公倍数是两个数的乘积。 【详解】a＝2×3×3×7 b＝＝3×5×7 a和b的最大公因数是3×7＝21； a和b的最小公倍数是2×3×3×7×5＝630 若a＝2×3×3×7，b＝3×5×7，则a和b的最大公因数是21，a和b的最小公倍数是630。 2．已知，，（n为非零自然数），则A与B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 n 30n 【分析】求最大公因数也就是求这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，据此计算即可。 【详解】已知，，（n为非零自然数），则A与B的最大公因数是n，最小公倍数是3×2×5×n＝30n。 【典型例题2】其二。 如果a÷3＝b（a、b均为非零自然数），那么a与b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 b a 【分析】已知a÷3＝b（a、b均为非零自然数），说明a和b是倍数关系，它们的最大公因数是较小数、最小公倍数是较大数，据此解答。 【详解】由分析可得：那么a与b的最大公因数是b，最小公倍数是a。 【对应练习】 1．如果自然数C是B的5倍，则B与C的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 【答案】 C B 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数；如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答。 【详解】由分析可知：如果自然数C是B的5倍，则B与C的最小公倍数是C，最大公因数是B。 【点睛】本题主要考查了求最大公因数和最小公倍数的方法，熟练掌握相应的方法是解答本题的关键。 2．如果a＝3b，且a，b都是大于0的自然数，那么a和b的最大公因数是( )；最小公倍数是( )。 【答案】 b a 【分析】若两个数是倍数关系，则较小数就是它们的最大公因数，较大数就是它们的最小公倍数。据此填空即可。 【详解】因为a＝3b，所以a÷b＝3 则a和b的最大公因数是b；最小公倍数是a。 【点睛】本题考查最大公因数和最小公倍数，明确互为倍数关系的特殊求法是解题的关键。 【典型例题3】其三。 A＝B＋1，（A，B均为非零的自然数），则A与B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 1 AB 【分析】因为A＝B＋1，则A－B＝1，所以A和B是相邻的两个自然数；那么A和B是互质数；根据两个数为互质数的最大公因数和最小公倍数的求法：两个数为互质数，最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积，据此解答。 【详解】A＝B＋1 A－B＝1，A和B是相邻的两个自然数；即A和B是互质数。 A和B的最大公因数是1， A和B的最小公倍数是AB。 A＝B＋1，（A，B均为非零的自然数），则A与B的最大公因数是1，最小公倍数是AB。 【对应练习】 1．如果a－1＝b（a、b分别为非零的自然数），那么a、b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 1 ab 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积； 如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数； 如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答。 【详解】如果a－1＝b（a、b分别为非零的自然数），则a和b是两个相邻的自然数，它们的公因数只有1，所以a和b互质，它们的最大公因数是1，最小公倍数是ab。 【点睛】本题考查了最大公因数和最小公倍数的求法，掌握相应的计算方法是解答本题的关键。 2．a和b是大于1且相邻的两个自然数，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 1 ab 【分析】根据题意，a、b是大于1且相邻的两个自然数，表示a和b的公因数只有1，它们是互质数；两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积；据此解答。 【详解】a和b是大于1且相邻的两个自然数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是ab。 【点睛】掌握当两个数互质时，求它们的最大公因数和最小公倍数的方法是解题的关键。 【考点三】最大公因数与实际应用。 【典型例题1】分线段问题。 用下面的两种彩带包装礼品盒。现在要把它们剪成同样长的小段且没有剩余，每段最长是多少分米？一共能剪成几段？ 解析： 56＝2×2×2×7 48＝2×2×2×2×3 2×2×2＝8 每段最长是8分米， （56＋48）÷8 ＝104÷8 ＝13（段） 答：每段最长是8分米，一共能剪成13段。 【典型例题2】分长方形问题。 选修课上，老师要求同学们将一张长28厘米，宽12厘米的长方形彩纸。在无剩余的前提下，裁成大小相等且尽可能大的正方形，正方形的边长是多少？一共可以裁成多少张？ 解析： 28＝2×2×7 12＝2×2×3 2×2＝4（厘米） 28×12÷（4×4） ＝336÷16 ＝21（张） 正方形的边长是4厘米，一共可以裁成21张。 【对应练习】 1. 有两根钢管，分别长45厘米、30厘米，把它们截成长度相等的小段，且没有剩余。每一小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？ 解析： 45＝3×3×5 30＝2×3×5 45和30的最大公因数是：3×5＝15。 即每一小段最长是15厘米。 （45÷15）＋（30÷15） ＝3＋2 ＝5（段） 答：每一小段最长15厘米，一共可以截成5段。 2. 爸爸打算给长72分米、宽48分米的客厅铺上地砖。从不浪费材料的角度考虑（使用的地砖都是整块），可以选择边长是多少分米的正方形地砖？（地砖的边长是整分米数且在5～10分米之间） 解析： 72的因数有1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72； 48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48； 72和48在5～10的公因数有6、8； 答：可以选择边长是6分米或8分米的正方形地砖。 【考点四】最小公倍数与实际应用。 【典型例题1】分东西问题。 篮子里的萝卜无论是分给12只小兔子，还是分给15只小兔子，都能正好分完。篮子里至少有多少根萝卜？ 解析： 12＝2×2×3 15＝3×5 2×2×3×5＝60 12和15的最小公倍数是60， 答：篮子里至少有60根萝卜。 【典型例题2】人数问题。 篮球队的同学们分组练习，分成6人一组或8人一组都多4人，已知篮球队的人数在50－60人之间，篮球队有多少人？ 【答案】52人 【分析】由题意可知，篮球队的人数应是6和8的公倍数再 4，先求出6和8的最小公倍数，再结合人数在50－60人之间解答即可。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 则6和8的最小公倍数是2×3×2×2＝24 24×2＋4 ＝48＋4 ＝52（人） 答：篮球队有52人。 【点睛】本题考查公倍数和最小公倍数，明确求公倍数和最小公倍数的方法是解题的关键。 【典型例题3】日期问题其一。 我市7路和10路公共汽车的起点站都在汽车西站。这两路公共汽车同时发车后，过多少分钟两路车第二次同时发车？ 7路：每隔6分钟发一次车10路：每隔8分钟发一次车 解析： 6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数就是：2×2×2×3＝24。 即过24分钟两路车第二次同时发车。 答：这两路公共汽车同时发车后，过24分钟两路车第二次同时发车。 【典型例题4】日期问题其二。 甲、乙、两人到图书馆去借书，甲每12天去一次，乙每16天去一次，如果4月25日他们两人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？ 解析： 12和16的最小公倍数为：2×2×3×4＝48 4月25日＋48天＝6月12日 答：下一次都到图书馆是6月12日。 【典型例题5】同余数问题。 现在有一筐苹果，无论是平均分给8个人，还是平均分给14个人，结果都剩下1个。这筐苹果至少有多少个？ 解析： 8＝2×2×2 14＝2×7 8和14的最小公倍数是2×7×2×2＝56 56＋1＝57（个） 答：这筐苹果至少有57个。 【典型例题6】同差问题。 有一些糖果，平均分给8个人多7块，平均分给6个人多5块，这些糖果最少有多少块? 解析： 由题可知，这些糖果加上1块就变为了8和6的公倍数，通过短除法求出最小公倍数为24，则这些糖果最少有23块。 【对应练习】 1. 为庆祝“五一”，张老师买来一些糖果，如果每位小朋友分4颗或6颗，都正好分完。这些糖果的颗数在30－40之间，张老师买来多少颗糖果？ 解析： 4＝2×2 6＝2×3 4、6的最小公倍数是：3×2×2＝12 因为12×3＝36，糖果总数在30 ~ 40之间，所以张老师一共买来36颗糖果。 2. 1路车每5分钟发一次车，2路车每8分钟发一次车，15路车每10分钟发一次车。6时，1路、2路、15路车第一次同时发车，它们第二次同时发车是几时几分？ 解析： 5、8、10的最小公倍数：5×2×1×4×1＝40 所以，再经过40分钟1路、2路、15路车第二次同时发车。 6时＋40分钟＝6时40分 答：它们第二次同时发车是6时40分。 3. 五年级三班买来一批树苗，分给同学们种植。每组同学分9棵，余1棵：每组同学分11棵，也余1棵。这批树苗至少有几棵？ 解析： 9×11＋1 ＝99＋1 ＝100（棵） 答：这批树苗至少有100棵。 4. 一些贝壳，4个4个地数，最后多1个；5个5个地数，最后多2个；7个7个地数，最后少3个。这些贝壳至少有多少个？ 解析： 4×5×7－3 ＝140－3 ＝137（个） 答：这些贝壳至少有137个。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$