第八单元：数学广角——找次品（知识清单）-人教版五年级数学下册

第八单元：数学广角——找次品（单元复习讲义） 人教版五年级数学下册 1、用天平找次品 在找次品的活动中,可以通过天平演示，也可以不实际称量，利用天平平衡的原理找出次品。 2、找次品的最优策略 （1）把待测物品分成3份； （2）能够平均分成3份，就平均分成3份，如9（3，3，3）； （3）不能平均分成3份的，也应尽量使多的一份与少的一份只相差1，这样才能使称量的次数最少。如7（2，2，3）。 3、用天平找次品时，所测物品数目与至少需要称的次数有以下关系： 【例1】有7个零件从外观上看完全一样，其中6个一样重，有1个轻一些，至少要称（ ）次才能保证找出轻一些的这个零件。 【解题分析】 把7个零件分成3个，3个，1个三份。第一次：把两份3个的分别放在天平秤两端，若天平平衡，则未取的那1个即是轻一些的； 若不平衡，进行第二次：把在天平秤较高端的3个分成（1，1，1） ，在天平两端分别放1个，若天平平衡，则未取的那个即是轻一些的，若不平衡，较高端的那个即是轻一些的。所以至少要称2次才能保证找出轻一些的这个零件。 【答案】2。 【例2】一个糖果盒里有15颗糖果，有一颗变质（比正品轻）了，用天平称，至少称（ ）次保证找出变质的糖果。 【解题分析】 把15颗糖果分成（5，5，5）。 第一次：把其中两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则变质糖果即在未取的5颗中； 若不平衡，第二次：将天平秤较高端的5颗糖果分成（2，2，1），秤（2，2），若天平秤平衡，则未取的那颗糖果就是变质的； 若不平衡；第三次：将天平秤较高端的2颗分成（1，1），再称，此时在天平秤较高端的那颗糖果就是变质的。 【答案】3。 【例3】有27个外形完全相同的乒乓球，其中有1个质量稍轻些，如果用天平称，至少称（ ）次一定能找出次品。 【解题分析】 ①把27个乒乓球分成（9，9，9）三组，把其中两组放在天平上称，若平衡，则次品在没称的那组中，若不平衡，则次品在轻的那组中； ②再把有次品的那组分成（3，3，3），称其中两组，若平衡，则次品在没称的那组中，若不平衡，则次品在轻的那组中； ③再把有次品的那组分成（1，1，1），称其中两组，即可找出次品，所以至少称3次一定能找出次品。 【答案】3。 【例4】有13盒巧克力，其中12盒质量相同，另有1盒多了几块。如果用天平称，至少（ ）次可以保证找出这盒多了几块巧克力。 【解题分析】 ①把13盒巧克力分成（4，4，5）三组，把两个4盒一组的放在天平上称，如平衡，则多几块的那盒在5盒中； ②若平衡，找出未称的5盒，分成（2，2，1），先称两个2盒的，若平衡，剩下的1盒就是多几块的那盒；若不平衡，找出重的一组，分成（1，1）放在天平上称，重的一组就是多几块的那盒。 ③若不平衡，找出重的那4盒，分成（2，2）放在天平上称，重的一组就是多几块的那盒。然后，再将重的一组分成（1，1）放在天平上称，重的一组就是多几块的那盒。 【答案】3。 【例5】有73盒巧克力，其中1盒稍重一些，如果用天平称，至少称（ ）次能保证找出这盒稍重一些的巧克力。 【解题分析】 第一次：将73颗分成（24，24，25），天平两边各放24颗，若天平平衡，则较重的在剩下的那一份25盒里；若天平不平衡，找出较重的一份24盒再称； 第二次：将24颗分成（8，8，8）；或者将25颗分成（8，8，9），天平两边各放 8颗，找出重的一颗在哪份里面； 第三次：如果是8颗，分成（3，3，2）；如果是9颗，分成（3，3，3），天平两边各放3颗，找出重的一颗在哪份里面； 第四次：如果是2颗，天平两边各放1颗，找出较重的那颗；如果是3颗，任取 2 颗后，天平两边各放1颗，若天平平衡，则剩下那颗是重的；若天平不平衡，较重的那边就是要找的那颗。 【答案】4。 【例6】20个苹果，其中一个是次品（比正品轻一些），用天平称至少称（ ）次可以保证找出次品。 【解题分析】 把20个苹果分成（7，7，6）。第一次：把两份7个的分别放在天平两端，若天平平衡，则轻一些的那个苹果在未取的6个中； 若不平衡，第二次：把较轻的7个苹果分成（3，3，1），天平两端各放3个；若天平平衡，则次品为剩下的一个苹果； 若不平衡，第三次：把较轻的3个苹果分成（1，1，1），天平两端各放1个，若天平平衡，则次品为剩下的一个苹果；若不平衡，天平秤较高端的那个即为轻一些的苹果。 【答案】3。 【例7】有31瓶水，其中30瓶质量相同，另有1瓶水比其他的水略轻一些。假如用天平称，至少称（ ）次能保证找出这瓶水？ 【解题分析】 （1）第一次：把31瓶水分成（10，10，11）。把两份10瓶的分别放在天平两端，若天平平衡，则略轻的那瓶水在剩下的11瓶中； （2）若不平衡，第二次：将在天平较高端的10瓶水分成（4，4，2），天平两端分别放4瓶，若天平平衡，则略轻的那瓶水在剩下的2瓶中； （3）若不平衡，第三次：将在天平秤较高端的4瓶水分成（1，1，2），天平两端分别放1瓶；若不平衡，天平较高端的那瓶水即为略轻的那瓶水。 （4）若天平平衡，则轻的那瓶水在剩下的2瓶中，把剩下的2瓶再称一次，天平较高端的那瓶水即为略轻的那瓶水。 【答案】4。 【例8】某公司生产某批次的17瓶饮料中，只有1瓶质量较轻。如果用没有砝码的天平去称，至少（ ）次能保证找出这瓶轻的饮料。 【解题分析】 把17瓶饮料分成6瓶，6瓶，5瓶三份。 第一次：把两份6瓶的分别放在天平两端，若天平平衡，则较轻的那瓶在未取的5瓶中； 若不平衡，第二次：把在天平较高端的6瓶饮料分成（2，2，2），天平两端分别放2瓶；若不平衡，较轻的那瓶在天平较高端的那2瓶； 若天平平衡，则轻的那瓶在剩下的2瓶中，把剩下的2瓶饮料再称一次，天平高端的那瓶饮料即为较轻的那瓶。 【答案】3。 【例9】有11个外观一样的球，其中有一个是次品（次品轻一些），用天平至少称（ ）次才能保证找到次品。 【解题分析】 把11个球分成4个、4个、3个。第一次，把两份4个的分别放在天平两端，若天平平衡，则次品在未取的3个中； 若不平衡，进行第二次，把天平较高端的4个球分成（1，1，2），分别天平两端各放1个，若不平衡，天平较高端的那个就是次品； 若天平平衡，则次品在剩下的2个中，把剩下的2个再称一次，天平秤高端的那个即为次品。所以至少称3次才能保证找到次品。 【答案】3。 【例10】有35个羽毛球，其中一个是次品（略重），则用天平至少称（ ）次才能保证找到次品。 【解题分析】 把35个羽毛球分成（12，12，11）。把两份12个的分别放在天平两端： （1）若天平平衡，则次品在未取的11个中；再将11个羽毛球分成（4，4，3），天平两端分别放4个，若天平平衡，则次品在未取的那3个；若不平衡，把在天平秤较低端的4个羽毛球分成（1，1，2），天平两端各放1个，若不平衡，天平较低端的那个就是次品；若天平平衡，则次品在剩下的2个中，把剩下的2个再称一次，天平较低端的那个即为次品。 （2）若不平衡，把在天平秤较低端的12个羽毛球分成（4，4，4），天平两端分别放4个，若天平平衡，则次品在未取的那4个；若不平衡，把在天平秤较低端的4个羽毛球分成（1，1，2），分别天平两端各放1个，若不平衡，天平较低端的那个就是次品；若天平平衡，则次品在剩下的2个中，把剩下的2个再称一次，天平较低端的那个即为次品。所以至少称4次才能保证找到次品。 【答案】4。 【例11】有21袋果冻，其中的20袋质量相同，另有1袋多了3个。如果用天平称，至少称（ ）次可以保证把它找出来。 【解题分析】 把21袋果冻分成（7，7，7）。第一次：把两份7袋的分别放在天平两端，（1）若不平衡，第二次：把天平秤较低端的7袋果冻分成（3，3，1），天平两端分别放3袋，若天平平衡，则多3个的那袋果冻在剩下的1袋中；若不平衡，第三次：把天平秤较低端的3袋果冻分成（1，1，1），天平两端各放1袋，若天平平衡，则多3个的那袋在剩下的1袋中，若不平衡，天平秤较低端的那个即为多3个的那袋果冻。（2）第一次若天平平衡，则多3个的那袋果冻在剩下的7袋中；按照以上方法即可找出多3个的那袋果冻。 【答案】3。 【例12】有15个网球，其中有一个是坏的，比其他的略轻一些，至少要称（ ）次才能保证找出坏的那个网球。 【解题分析】 把15个网球分成（5，5，5）三组，把其中的两组放在天平两端： （1）若不平衡，第二次：把在天平较轻一端的那5个分成（2，2，1），在天平两端各放2个，若天平平衡，则坏的是剩下的那1；若不平衡，把天平较轻一端的2个再称一次即可找出坏的。 （2）第一次若天平平衡，坏的在剩下的那5个中；再按照以上方法即可找出坏的那个网球。 【答案】3。 1、一批方便面有16袋，其中15袋质量相同，另外有一袋轻一些，如果用天平称，至少称（ ）次可以保证找出这袋方便面。 2、在18个同种零件中有1个是次品（次品轻一些），用天平秤，至少秤（ ）次能保证找到这个次品。 3、有36个同样的积木，其中有一个是次品（次品轻一些），用天平秤，要保证找出次品那一个，至少要称（ ）次。 1、【答案】3； 【解析】把16袋方便面分成（5，5，6）三份。第一次：把两份5袋的分别放在天平两端，（1）若不平衡，第二次：把在天平较轻一端的那5袋分成（2，2，1），在天平两端各放2袋，若天平平衡，则剩下的那袋即为轻一些的；若不平衡，第三次：把在较高端的2袋，分别放在天平两端，在天平较高端的那袋即为轻一些的那袋。 （2）第一次，若天平平衡，则轻一些的那袋即在剩下的6袋中；按照以上方法即可找出这袋方便面。 2、【答案】3； 【解析】把18个零件分成（6，6，6）。第一次：把其中两份分别放在天平两端： （1）若不平衡，第二次：把在天平较轻一端的那6个分成（2，2，2），在天平两端各放2个，若天平平衡，则次品在剩下的那2个中，再称一次即可找出次品；若不平衡，第三次：把在天平较轻一端的那2个分成（1，1），在天平两端各放1个，若不平衡，天平较高一端的就是次品。 （2）若天平平衡，则次品在剩下的那6个中；再参照上面的方法即可找到这个次品 3、【答案】4； 【解析】把36个积木分成（12，12，12）。第一次：把其中两份分别放在天平两端，（1）若不平衡，第二次：把天平较轻一端的12个分成（4，4，4），任取两份分别放在天平秤两端，若天平平衡，则次品在剩下的那4个中；若不平衡，第三次：把天平较轻一端的那4个分成（1，1，2），分别天平两端各放1个，若不平衡，天平较高端的那个就是次品；若天平平衡，则次品在剩下的2个中，把剩下的2个再称一次，天平秤高端的那个即为次品。所以至少要称4次。 （2）第一次若天平平衡，则次品在剩下的12个中；再按照以上方法可找出那个次品。 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$