第17章 勾股定理 知识点梳理与复习-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学同步大考卷全程复习（人教版）

第十七章考点梳理与复习 6.如图，有一块直角三角移纸片，两直角边C=6m,C三 所列多式不正确的是 8cm,观将直角边4C悟直线AB对折，使它落在斜边A保 考点一勾股定理的板含和简单度用 上.且与AE重合，求GD的长 1.已知一+个三角形的最知边是5，最长边是0，要使该三角彩 是直角三角形，用另边的长是 A.S k52 C55 D.53 图2 2如图.在4x4的同格中，每个小正方形的边长均为1，点4， A.S-g246+2b 5=2a动 B.C都在格点上，D1C于点D,期AD的长为() G.3=S D.a2+w=2 A.1 焦2 推.知图是用4个全等的直角三角形与1个小正方彩第嵌面成 的正方形图案，已知大止方形的面积为0，本正方形的面 7,图.在称△AG中.∠ACB=0严，AB=5m,AC=3m.动 积为2，若用xy表示直角三角形的两直角边(y),下列 点P从点B出爱沿刻线能C以1m的速度移幼，设运动 三个说法：①+=10：2灯=2：3x-y=2.其中正确的有 的时间为t ,《只填序号 (1)c边的长 第2理函 第3用国 (2)当△AP为直角三角形时，求t的值 3将一直角三角板和一一把宽度为2m的直尺按加图方式积 收.先把60和45°角的项点及它们的直角边重合，再将此直 角边垂直于直尺的上沿，重合的国点落在直尺下沿上，这两 图 蓝2 个三角板的斜边分别交直尺上沿于A.两点，则？的长是 %10碧图 第1川是国 1,被誉为“中国数学界的图聘“的赵爽蕊图“，是用四个全等 A,(2√3)m B.(2w3-2cm 的直角三角思拼成如加图L所后的大正方形.中间也是一个 C.2 cm D.23m 益.知图，在△AB℃中，∠AGB=0,过点B作DC,交乙AB 正方形，其中四个直角三角悬的直角边长分别为，(< 4如图.己知CD=6,AB=4,∠AC=∠D=90,BD=G.求AC 的平分线GD干点D,D交AB于点E ),斜边长为，将这四个全等的直角三角形无莓闲无重叠 的长. (1》求证：=D! 崖拼接在一起，得到图形AFH.若该图形的周长为 (2)若AC=3,AB=6,求CD的长 48,出=6，则该图形的面积为 考点四在数辅上作表示无理数的点 2渠同学学了在数轴上出表示无理数的点的方法后，进行 满习：面数物非在数轴上找可表示数-2的点4以及表示数 考点二勾股定理在解答和证明题中的应用 1的点B,然后过点B作C⊥轴，且℃=3（知周）.以点 5图，在四边形AD中，AB■2，D“1.∠A=60,∠B■ A为周心，以C的长为半径作氯，交数正半结于点，则 ∠D=0P,求国边形AD的度积 点P所表示的数位于 考点三勾程定理的证明 A1和2之间 男将一表派片明拼出不一样的空闲，前博个空润的面积是相 B.2移3之屑 等的，如图所示，可以证明句胶定里若设图1中空白部分 C.3和4之何 的面积为品图2中望白富分的积为S,用下列对品，S D4和5之间 全程复习大考春·数学·凡师顿下制 5 13.如图，矩形的一条边在数箱上，长为2个单位长度，宽为 17.如图，在四边感AD中，∠B=Y,AB=BC=5,2.D=6 22.某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行晚建度不得 1个单位长度，以原点0为圆心，以矩影对角线的长为半径 D=常，求这个四边形的面积 过用kmh.如屏，一辆小汽车在该笔直路段l上行统， 第，与正负半分期交于点公，A,在点G的左侧截取B 某一时刻闲好行2到路对面的车建检测仪A的正确力 =2,点》表示的数为3，列答下列问思： 30m的点C处，2。后小汽车行较到点B处，两得此时小汽 (1)点A,B.C表示的实数依次为 车车连检测仅A可的面离为50m (1》求C的长： (2》计再线段G和的长度，并用作差法比较它门的 (2》这辆小汽车超速了吗：说明理出 大小 IM如图，在R△AG中.∠C界=，AH=3,=4,AG=5,求 睛的长 车南忙到权 考点★勾股定理和其逆定裤的嫁合应用 考点五勾整定理的送定理和简单勾脸数 9.如图所示的是一个长方体笔有，底而的长，宽分别为8em 4下列的出的四组数中，是句最数的一组是 和6m,高为10em,将一支长为18cm的签字笔放人笔筒 A,2.4.6 B1.5.2 内，喇签字笔雨在笔前外的长度最少为 【 G,8,15,17 D.1.3,04.05 A.10 cm E(18-102)m 21如图，一个梯子AB长5刚，顶馏A靠在墙4G上，这时梯子雪 5在下列以线段4,6，一的长为三边的三角形中，不能构成直 下端B与墙角C的离为15m,梯子滑动后停在DE的位 C.8 cm D.10、2m 角三角形的是 置上，测得D长为5m,请间客 A.m=1.5.6=2,c=3 k.m=5,6=12,c=13 (1)梯子滑动后，牌子的高度CE是多少米？ c.t=3,6=4.e=5 0.u=7,6=24.e=25 (2》梯子顶满A下滑的长度AE有多少米？ 1依知图，在x6的网格中，每个小方格的边长都为1 第19夏避 就30利国 (1》建立适当的平面直角墮标系后，点A(2.2》,B(4,4), 2组图，将一根长度为6m,自然伸直的弹性皮，A月同精 若点C也在小方格的格点上，且以A,B,C为顶点的三 圆定在水平的桌面上，然日把中点C竖直向上拉升6©m 角形的面积为4个平方单位，睛直接写出所有调是条 至点D,则优时该弹性皮防被拉长了丝 件的点C的标： 2L.如图.在四边形AC0中，AD=22,D=2,∠=30，过点 (2》若点D的坐标为(1,3)，判断△AD是否为直角三角 A作AE⊥，重足为E,45=1,且E是m的中点，求 形，并说明理山 ∠D的度数 鲁人泰 全程复习大秀春·数学·八年级下园且 a≠1. 故选 C. 3. D 　 【解析】 ∵ y = x-1 + 1-x + 10, ∴ x-1≥0, 1-x≥0,{ 即 x≥1, x≤1.{ 解得 x= 1. ∴ y= 10. ∴ 2x+y 5x-2y = 2+10 5-20 = -12 15 = - 4 5 . 故选 D. 4. B　 5. B 6. D　 【解析】 A. 2 × 3 = 6 ,故此选项错误;B. 9 3 × 1 27 = 9 1 9 = 9 × 1 3 = 3,故此选项错误;C. 6 × 2 = 2 3 ,故此选项错误;D. 24 × 3 2 = 36 = 6,故此选项 正确. 故选 D. 7. C　 【解析】A. ( 3 -1)÷( 3 -1)= 1,故该选项不符合题 意;B. ( 3 -1)×( 3 +1)= 2,故该选项不符合题意;C. 3 -1 与 3 3 无论运用哪种运算,都无法得出有理数,故 该选项符合题意;D. ( 3 -1) ÷(1- 3 )= -1,故该选项 不符合题意. 故选 C. 　 8. C　 【解析】A. 当 a = 6 时,3 2a-5 = 3 7 ,与 3 不是同 类二次根式,故本选项不符合题意; B. 当 a = 5 时, 3 2a-5 = 3 5 ,与 3 不是同类二次根式,故本选项不符 合题意;C. 当 a= 4 时,3 2a-5 = 3 3 ,与 3 是同类二次 根式,故本选项符合题意;D. 当 a = 3 时,3 2a-5 = 3, 与 3 不是同类二次根式,故本选项不符合题意. 故 选 C. 9. A　 【解析】∵ 一个三角形的三边长分别为 1,k,4, ∴ 1+4>k, 4-1<k.{ 解得 3 <k< 5. ∴ 2k- 5 > 0,k- 6 < 0. ∴ 原式 = 2k-5- (k-6) 2 = 2k-5-[-(k-6)] = 3k-11. 故选 A. 10. B　 【解析】设小长方形卡片的长为 x cm,宽为 y cm. 根据题意,得 x+2y = 21 . ∴ 题图 2 中两块阴影部分 的周长和是 2 21 +2(4-2y) +2(4-x)= 2 21 +8+8- 4y- 2x = 2 21 + 16 - 2( x + 2y) = 2 21 + 16 - 2 21 = 16(cm) . 故选 B. 11. 2 +1　 12. 7 3 　 13. 5 14. b　 【解析】由数轴得 a<0,b>0, | a | > | b | ,∴ a-b<0. ∴ 原式= | a-b | - | a | = -(a-b)-(-a)= -a+b+a= b. 15. x>-2- 3 　 【解析】∵ 3 x<2x+1,∴ 3 x-2x<1. ∴ ( 3 -2)x<1. ∵ 3 -2<0,∴ x> 1 3 -2 ,即 x>-2- 3 . 16. ±2 3 　 【解析】∵ xy = 3,∴ x,y 同号. ∴ 原式 = x xy x2 + y xy y2 = x x xy + y y xy . 当 x>0,y>0 时,原式= xy + xy = 2 xy = 2 3 ;当 x< 0,y < 0 时,原式 = - xy + (- xy )= -2 xy = -2 3 . ∴ 原式= ±2 3 . 17.解:(1)原式= 2 5 +4 2 - 5 -2 2 = 5 +2 2 . (2)原式= 5 3 × 6 3 ×2 2 = 10 3 ×6×2 3 = 20. (3)原式= 1 2 48×2 -2 6 + 30 5 = 2 6 -2 6 + 6 = 6 . (4)原式 = 2×6 -(12-2) +3-2 3 +1 = 2 3 -10+4 - 2 3 = -6. 18.解:由题意,得 a2 -1≥0,1-a2≥0,a+1≠0.解得 a= 1. ∴ b= 1 2 , c2 = 4. ∴ c= ±4. 当 c= 4 时,原式= 1 2 +4 = 9 2 ; 当 c= -4 时,原式= 1 2 -4 = - 7 2 . 综上所述,ab+c 的值为 9 2 或- 7 2 . 19. 解: ∵ 两个正方形木板的面积分别为 18 dm2 和 32 dm2, ∴ 这两个正方形木板的边长分别为 18 = 3 2 (dm), 32 = 4 2 (dm) . ∴ 剩余木料的面积为(4 2 -3 2 ) × 3 2 = 2 × 3 2 = 6(dm2) . 20.解:(1)原式= 4 2 +2 2 -5 2 = 2 . (2)①(a±b) 2 =a2 ±2ab+b2 ②3　 (2 6 ) 2 计算错误 ③( 3 - 2 ) 2 ×(5+2 6 ) = (3-2 6 +2) ×(5+2 6 ) = (5-2 6 ) ×(5+2 6 ) = 52 -(2 6 ) 2 = 25-24 = 1. ∴ 正确的计算结果为 1. 21. 解: ( 1 ) 方 法 一: 2 5 + 3 = 2( 5 - 3 ) ( 5 + 3 )( 5 - 3 ) = 2( 5 - 3 ) ( 5 ) 2 -( 3 ) 2 = 5 - 3 ; 方法 二: 2 5 + 3 = 5-3 5 + 3 = ( 5 + 3 )( 5 - 3 ) 5 + 3 = 5 - 3 . (2)原式= 1 2 ( 4 - 2 + 6 - 4 + 8 - 6 +…+ 2 024 - 2 022 )= 1 2 ( 2 024 - 2 )= 506 - 2 2 . 22.解:(1)( x2 +42 + x2 +10 )( x2 +42 - x2 +10 ) = ( x2 +42 ) 2 -( x2 +10 ) 2 = (x2 +42) -(x2 +10)= 32. ∵ x2 +42 + x2 +10 = 16, ∴ x2 +42 - x2 +10 = 32÷16 = 2. ∴ x2 +42 = 9, x2 +10 = 7.{ ∵ ( x2 +42 ) 2 = x2 +42 = 92 = 81, ∴ x2 = 39. ∴ x= ± 39 . 经检验,x= ± 39都是原方程的解. ∴ 方程 x2 +42 + x2 +10 = 16 的解是 x= ± 39 . 故答案为 x= ± 39 . (2)( 4x2+6x-5+ 4x2-2x-5)( 4x2+6x-5- 4x2-2x-5) = ( 4x2 +6x-5 ) 2 -( 4x2 -2x-5 ) 2 = (4x2 +6x-5) -(4x2 -2x-5)= 8x. ∵ 4x2 +6x-5 + 4x2 -2x-5 = 4x, ∴ 4x2 +6x-5 - 4x2 -2x-5 = 8x÷4x= 2. ∴ 4x2 +6x-5 = 2x+1, 4x2 -2x-5 = 2x-1.{ ∵ ( 4x2 +6x-5 ) 2 = (2x+1) 2, ∴ 4x2 +6x-5 = 4x2 +4x+1. ∴ 2x= 6. 解得 x= 3. 经检验,x= 3 是原方程的解. ∴ 方程 4x2 +6x-5 + 4x2 -2x-5 = 4x 的解是 x= 3. 第十七章考点梳理与复习 考点一　 勾股定理的概念和简单应用 1. C 2. B　 【解析】由勾股定理,得 BC = 32 +42 = 5. ∵ S△ABC = 4×4- 1 2 ×1×2- 1 2 ×2×4- 1 2 ×4×3 = 5,∴ 1 2 BC·AD = 5. ∴ 5 2 AD= 5. ∴ AD= 2. 故选 B. 3. B　 【解析】如图,在 Rt△ACD 中,∠ACD = 45°,∴ ∠CAD = 45° = ∠ACD. ∴ AD = CD = 2 cm. 在 Rt △BCD 中, ∠BCD= 60°,∴ ∠CBD = 30°. ∴ BC = 2CD = 4 cm. ∴ BD = BC2 -CD2 = 42 -22 = 2 3 ( cm) . ∴ AB = BD-AD = (2 3 -2)cm. 故选 B. 4.解:∵ ∠D= 90°,CD= 6,BD=DC,即 BD= 6, ∴ BC2 =BD2 +CD2 = 72. ∵ ∠ABC= 90°,AB= 4, ∴ AC= AB2 +BC2 = 42 +72 = 2 22 . 考点二　 勾股定理在解答和证明题中的应用 5.解:如图,延长 AD,BC 相交于点 E. ∵ ∠A= 60°,∠B= 90°, ∴ ∠E= 30°. 在 Rt△CDE 中,∠CDE= 90°, CD= 1,∴ CE= 2CD= 2. ∴ DE= CE2 -CD2 = 22 -12 = 3 . ∴ S△CDE = 1 2 CD·DE= 1 2 ×1× 3 = 3 2 . 在 Rt△ABE 中,∠ABE= 90°,∠E= 30°,AB= 2, ∴ AE= 2AB= 2×2 = 4. ∴ BE= AE2 -AB2 = 42 -22 = 2 3 . ∴ S△ABE = 1 2 AB·BE= 1 2 ×2×2 3 = 2 3 . ∴ S四边形ABCD =S△ABE-S△CDE = 2 3 - 3 2 = 3 3 2 . 6.解:在 Rt△ABC 中,AC = 6 cm,BC = 8 cm,由勾股定理, 得 AB= AC2 +BC2 = 10 cm. ∵ 将直角边 AC 沿直线 AD 对折,使它落在斜边 AB 上, 且与 AE 重合, ∴ CD=DE,AE=AC= 6 cm,∠BED= ∠AED= 90°. ∴ BE= 10-6 = 4(cm) . 设 DE=CD= x cm,BD= (8-x)cm. 在 Rt△BDE 中,根据勾股定理,得 BD2 =DE2 +BE2, 即(8-x) 2 = x2 +42 . 解得 x= 3. ∴ CD 的长为 3 cm. 7.解:(1)在 Rt△ABC 中,由勾股定理, 得 BC2 =AB2 -AC2 = 52 -32 = 16. ∴ BC= 4 cm. (2)由题意,得 BP= t cm. ①当∠APB 为直角时, 如图 1,点 P 与点 C 重合,BP=BC= 4 cm,∴ t= 4; 　 　 　 　 　 图 1　 　 　 　 　 　 　 图 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 48·　 　 　 全程复习大考卷·数学·八年级下册 全程复习大考卷·数学·八年级下册　 　 　 ·49　 · ②当∠BAP 为直角时, 如图 2,BP= t cm,CP= ( t-4)cm,AC= 3 cm. 在 Rt△ACP 中,AP2 =AC2 +CP2 = 32 +( t-4) 2 . 在 Rt△BAP 中,AB2 +AP2 =BP2,即 52 +32 +( t-4) 2 = t2 . 解得 t= 25 4 . 综上所述,当△ABP 为直角三角形时,t 的值为 4 或25 4 . 8. (1)证明:∵ ∠ACB= 90°,CD 平分∠ACB, ∴ ∠BCD= ∠ACD= 1 2 ∠ACB= 1 2 ×90° = 45°. ∵ BD∥AC,∴ ∠D= ∠ACD= 45°. ∴ ∠BCD= ∠D. ∴ BC=BD. (2)解:在 Rt△ACB 中,BC= AB2-AC2 = 62-32 =3 3, 由(1),得 BC=BD. ∴ BD= 3 3 . ∵ ∠BCD= ∠D= 45°, ∴ ∠CBD= 180°-∠BCD-∠D= 90°. ∴ CD= BC2 +BD2 = (3 3 ) 2 +(3 3 ) 2 = 3 6 . 考点三　 勾股定理的证明 9. A 10. ①③　 【解析】①∵ 大正方形的面积是 10,∴ 其边长是 10 . ∵ x,y 表示直角三角形的两直角边(x>y),利用 勾股定理,得 x2 +y2 = 10. 故①正确;③∵ 小正方形的面 积是 2,∴ 其边长是 2 . 根据题图可发现 y+ 2 = x,即 x-y= 2 ,故③正确;②根据图形得 4 个三角形的面 积+小正方形的面积 = 大正方形的面积,即 4× 1 2 xy+2 = 10. 化简,得 xy= 4. 故②错误. ∴ 正确的有①③. 11. 96 　 【解析】 根 据 题 意, 得 4c+4(b-a)= 48, a= 6, a2 +b2 = c2 . ì î í ïï ïï 解 得 a= 6, b= 8, c= 10. ì î í ïï ïï ∴ 该图形的面积为 1 2 ab×4 = 2ab= 2×6×8 = 96. 考点四　 在数轴上作表示无理数的点 12. B　 【解析】由题意,得 AB= | 1-(-2) | = 3. ∵ BC = 3,由 勾股定理,得 AC = AB2 +BC2 = 32 +32 = 3 2 . ∴ AP = AC= 3 2 . ∵ 点 P 位于数轴正半轴,∴ 点 P 所表示的数 为 3 2 -2. ∵ 1. 4< 2 <1. 5,∴ 4. 2<3 2 <4. 5. ∴ 2. 2< 3 2 -2<2. 5. ∴ 点 P 所表示的数介于 2 和 3 之间. 故 选 B. 13.解:(1)由题图可得,OC=OA= 22 +12 = 5 . ∵ 点 A 在原点的左侧,点 B 和点 C 在原点的右侧, BC= 2, ∴ 点 A 表示的数为- 5 ,点 B 表示的数为 5 -2,点 C 表示的数为 5 . 故答案为- 5 ; 5 -2; 5 . (2)由(1)可知,点 C 表示的数为 5 ,点 B 表示的数为 5 -2,∴ DC= 3- 5 ,OB= 5 -2. ∴ DC-OB= (3- 5 ) -( 5 -2)= 3- 5 - 5 +2 = 5-2 5 . ∵ 2 5 = 20 < 25 = 5,∴ 5-2 5 >0. ∴ DC>OB. 考点五　 勾股定理的逆定理和简单勾股数 14. C　 15. A 16.解:(1)点 C(2,6)或(6,2)或(4,0)或(1,5)或(5,1)或 (0,4) . (2)△ABD 为直角三角形.理由如下: ∵ 点 D(1,3),A(2,2),B(4,4), ∴ AD2 =(2-1)2 +(2-3)2 = 2,AB2 = (4-2)2 +(4-2)2 = 8, BD2 =(4-1)2 +(4-3)2 = 10. ∴ AD2 +AB2 = 2+8= 10. ∴ AD2 +AB2 =BD2 . ∴ △ABD 是直角三角形. 17.解:∵ ∠B= 90°,AB=BC= 5 2 , 根据勾股定理, 得 AC2 =AB2 +BC2 =(5 2 )2 +(5 2 )2 = 100. 又∵ CD= 6,AD= 8, ∴ CD2 +AD2 = 62 +82 = 36+64= 100. ∴ CD2 +AD2 =AC2 . ∴ △ACD 为直角三角形,∠ADC= 90°. ∴ S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD = 1 2 AB·BC+ 1 2 AD·CD = 1 2 ×5 2 ×5 2 + 1 2 ×8×6= 49. 18.解:∵ AH= 3,CH= 4,AC= 5,∴ AH2 +CH2 =AC2 . ∴ △AHC 是直角三角形. ∴ ∠AHC= 90°,∠CHB= 90°. ∵ ∠ACB= 90°,∴ AB2 -AC2 =BC2 . 又∵ BC2 =CH2 +BH2,∴ AB2 -AC2 =CH2 +BH2 . ∴ (AH+BH)2 -AC2 =CH2 +BH2 . ∵ AH= 3,CH= 4,AC= 5,∴ (3+BH)2 -52 = 42 +BH2 . 解得 BH= 16 3 ,即 BH 的长是16 3 . 考点六　 勾股定理和其逆定理的综合应用 19. B 20. 4　 【解析】如图,连接 CD. ∵ 中点 C 竖直向上拉升 6 cm 至点 D,∴ CD 是 AB 的垂直平分线,CD= 6 cm. ∴ ∠ACD = 90°,AC=BC= 1 2 AB= 8 cm,AD =BD. 在Rt△ACD 中,由勾股定 理,得 AD = AC2 +CD2 = 82 +62 = 10 ( cm) . ∴ BD = 10 cm. ∴ AD+BD= 20 cm. ∵ AB= 16 cm,∴ 此时该弹性 皮筋被拉长了 20-16 = 4(cm) . 21.解:如图,连接 AC. ∵ AE⊥BC,E 是 BC 的中点, ∴ AB=AC. ∴ ∠ACB= ∠B= 30°. ∴ AC= 2AE= 2. ∵ 在△ACD 中,AD2 = 8,AC2 +CD2 = 4+4 = 8, ∴ AD2 =AC2 +CD2 . ∴ ∠ACD= 90°. ∴ ∠BCD= ∠ACB+∠ACD= 120°. 22.解:(1)根据题意,得∠ACB= 90°,AC= 30 m,AB= 50 m, ∴ BC= AB2 -AC2 = 502 -302 = 40(m) . ∴ BC 的长为 40 m. (2)这辆小汽车超速了. 理由如下: 该小汽车的速度为 40÷2= 20(m / s). 20 m / s = 72 km / h>70 km / h, ∴ 这辆小汽车超速了. 23.解:(1)∵ 在 Rt△ABC 中,AB= 25 m,BC= 15 m, ∴ AC= AB2 -BC2 = 252 -152 = 20(m) . 在 Rt△CDE 中, ∵ DE=AB= 25 m,CD=BC+BD= 15+5 = 20(m), ∴ CE= DE2 -CD2 = 252 -202 = 15(m) . ∴ 梯子滑动后,梯子的高度 CE 是 15 m. (2)由(1)知,AC= 20 m,CE= 15 m, 则 AE=AC-CE= 20-15 = 5(m) . ∴ 梯子顶端 A 下滑的长度 AE 有 5 m. 第十七章学业水平测试 1. B　 2. C　 3. A　 4. C　 5. A 6. A　 【解析】 由作图可知 OA = OP. ∵ 点 A 的坐标为 (-5 2 ,0),∴ OP=OA= 5 2 . 设点 P 的坐标为(x,-1) . ∴ OP= x2 +1 = 5 2 . 解得 x = ±7. ∵ 点 P 在第三象限, ∴ x= -7. 故选 A. 7. D　 【解析】根据表格中的数据可得 a2 +b2 = c2,且 c = b+ 2. ∴ a2 +b2 =(b+2) 2 . 当 a= 18 时,182 +b2 =(b+2) 2 . 解得 b= 80. ∴ c= 80+2 = 82. ∴ b+c= 162. 故选 D. 8. D　 【解析】由题意知,∠ABO = ∠BCO = … = ∠LMO = 90°. ∵ ∠AOB=∠BOC=…=∠LOM=30°,∴ AB= 1 2 OA,OB = OA2 -AB2 = 3 2 OA. 同 理 可 得, OC = 3 2 OB = ( 32 ) 2 OA,OD = 3 2 OC = ( 32 ) 3 OA,…,OM = 3 2 OL = ( 32 ) 12 OA = 3 . ∴ OA = 2 12 ( 3 ) 11 . ∴ OD = ( 32 ) 3 · 212 ( 3 ) 11 = 2 9 ( 3 ) 8 = 512 81 . 故选 D. 9. D　 【解析】如图,过点 B 作 BD⊥OC 于点 D. 由题意,得 AO=BD= 3 m,AB=OD= 5-3 = 2(m) . ∵ OC = 6 m,∴ DC = 4 m. ∴ 由勾股定理,得 BC = BD2 +DC2 = 32 +42 = 5(m) . ∴ 大树的高度为 5+5 = 10(m) . 故选 D. 10. A　 【解析】设这个直角三角形的两直角边分别为 a,b. 由题意,得 a+b=m-n, a2 +b2 =n2 .{ ∴ 2ab=(a+b) 2 -(a2 +b2)= (m- n) 2 -n2 =m2 -2mn. ∴ ab =m 2 -2mn 2 . ∴ 这个直角三角形 的面积= 1 2 ab=m 2 -2mn 4 . 故选 A. 11. 48 　 【解析】如图,过点 B 作 BD⊥ AC,垂足为 D. ∵ 602 +802 = 1002, ∴ BC2 +AB2 =AC2 . ∴ ∠ABC= 90°. ∴ S△ACB = 1 2 AB·BC = 1 2 AC·BD,即 1 2 ×80×60 = 1 2 ×100×BD. 解得 BD = 48. ∴ 学校 B 到公 路的最短距离为 48 m. 12. 16. 9　 【解析】在△BDC 中,BD = 5,CD = 12,BC = 13, ∴ BD2 +CD2 = 25 + 144 = 169,BC2 = 169. ∴ BD2 +CD2 = BC2 . ∴ △BCD 是直角三角形. ∴ ∠BDC = 90°. ∴ ∠ADC = 180°-∠BDC = 90°. 设 AB = AC = x,则 AD = AB-BD = x-5. 在 Rt△ADC 中,AD2 +CD2 = AC2,∴ (x-5) 2 +144 = x2 . 解得 x= 16. 9. ∴ AB=AC= 16. 9. 13. 20　 【解析】∵ AC⊥BD,∴ ∠AOD = ∠AOB = ∠BOC = ∠COD= 90°. 由勾股定理,得 AB2 +CD2 =AO2 +BO2 +CO2 + DO2,AD2 +BC2 = AO2 +DO2 +BO2 +CO2 . ∴ AB2 +CD2 = AD2 +BC2 . ∵ AD= 2,BC= 4,∴ AB2 +CD2 = 22 +42 = 20. 14. 2 2 　 【解析】设全等的直角三角形的两条直角边分别 为 a,b 且 a>b. 由题意可知 S1 = (a+b) 2,S2 = a2 +b2,S3 =(a-b) 2 . ∵ S1 +S2 +S3 = 24,即(a+b) 2 +a2 +b2 +(a-b) 2 = 3a2 + 3b2 = 24,∴ 3S2 = 24. 解得 S2 = 8. 所以正方形 EFGH 的边长为 8 = 2 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋