第17章 勾股定理 学业水平测试-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学同步大考卷全程复习（人教版）

第十七章学业水平测试 7,在学习“勾服数”的知识时，爱思考的小成爱现了一组有规 2知周.在△BC中，AB=AC,D为A5上一点.连接CD.若 {时闻：0分钟满分：100登) 律的勾股数，并将它门记录在如下的表格中： =5,D=12,C=13,用AR= 题序 思分 6810 1214 得分 815243548 1017263750 一，进播题（本大题共0个小题，每小题3分，头30合） 当a=18时，+r的值为 第12菊因 第13题图 上.如图.正方形ACD的面积是 A.242 R.20 C128 D.162 3对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形.现有如倒所 A.5 长.25 C.7 D.1 然由12个有公共顶点心的直角三角形拼成的图形知图所示， 示的票美”四边形ACD,对角线AC,BD交于点.若AD ∠A0n=∠C=∠D=∠D0E=∠E0F=∠FOG=∠GOM =2.BC=4.则AF+G7■ =∠W=∠U=∠原=∠=∠M=30.若W= 14《数学文化)勾股定理被记载于我国古代的数学秀作（周牌 3,周D的长为 算经》中，风代数学家赵刻为了证明匀取定理，侧利了一幅 如图1所示的弦图”，后人称之为“赵寒弦图”.图2山弦 第1题润 第2趋周 第3题周 B.I C512 图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接面成记 2如图所示的一段楼梯，高C是3米.斜边A形长是5米，我 图中正方形ABGD,正方形EFC,正方形NT的面积分 打算在楼棉上销地毯，至少需要地毯的长度为() A.5米 k6米 C7张 D.8米 别为5,3,5，若5，+55，=24.划正方形GH的边长为 3如图.在△AC中，C=3,4C=4,A初=5，D是AC的中点，连 接BD,则BD的长为 L√15 k23 .3 .4 第8殖国 第9思国 4由线段年.春，可以尔成直角三角影的是 生.如图。一棵大树在离虚面3，子申两处折成三段，中问一夏 A,9=5,6=8,女=7 B.w=1.b=1,e=3 A形恰好与地面0汇平行.大树面部落在离大树底部6处 C.u=5.&=2、5,.e=5 D.0=5,5=5.e=6 的位置，用大树折断黄的高度是 副1 5如图，在由边长均为1的小正方形组成的4×4网格中，将连 A.9 m B.14 m C.lI m D.10m 3.如图1是一台多功佳于机支黑，图2是其到而示意周，0 接任童两个格点的线段称作“路点规”，则格点线”的长度 组传镜，古埃及人常用”拉绳的方法新直角，有一根长为w 为地面，支架垂直于地雀，房，汇可分别缝点B,C转 不可使为 的绳子，古埃及人用这根绳千控出了一个斜边长为n的直 动，测量如AB=30em,BC=20em.GD=15m当AB.BC A.T B13 C.3 D.5 角三角形，那么这个直角三角彩的面积用含m和n的式子 转动到∠D=12,且，C,三点共线时，点A到地面 可表示为 的形离为 A.m-2mn m242 C.m-2m D.'+2ruw 4 4 2 2 二，填空题{本大题共6个小题，每题3分，类8分) 第5题图 第6题围 6如图.以点0为周心.以0P的长为率径料无.交x轴的负半 L如图，学校书前面有一条笔直的公蹄，学 生枚学后走，G两条路叫到达公路。 12 射于点L若点A的坐标为(-5,2,0)，点P的城坐标为-1， 经测量C=0m,B=0m,AG=100L 第5箱围 第16题泪 点P的横坐标为 现紫修建一条公路从学校B到公路，用 6.如图，在A4BC中，B℃=5，AC=6,AB=了，则A4C的面积 A.-7 焦7 C.-√3i D.v51 学校B到公路的量如距离为m 54w 全程复习大考春·数学·凡师顿下制 7* 三、解答题（本大题共6个小则，共52分） 2组.(8分》如周，在△中，B=42,LAC=45,D是B边 22.《10分)【课木再现】 17.(8分)如图.同格中小正方形的边长均为1.精在网格中面 上一点，且AD=4C,若--1求C的长 《)如图，四个金等的直角三角形拼城一个大正方形.中 出一个凸C,要求：顶点都在路点（博小正方形的顶点） 网空白部分也是正方形已知直角三角形的两直角边 上：三边长满足AB=10,C=2,2,AC=√10，并求出该三 长分群为“，，斜边长为么误堂上，老师结合图形.用 角形的而积 不月的力式表示大正方形的面积，证明了钩橙定理请 证明2+=2： 【类比迁移】 (2》观将图【中的两个直角三角形件内鞋新.得到图2若等 =3=4,期空白部分的面积为三： 【方法运用】 然.(8分)塔品是建抗工地上最煮用的一种起重设备，义名塔 《3》小明将四个全等的直角三角形拼成图3的“帽子彩 式起重乩，用来吊工用的解筋、术爵盟凝土，脑管等依 找若=3，明=4，请求出帽子”外围轮常（实线） 工的原材林.如图1是塔吊实物图，图2是塔吊示意图，缓 的周长： 段℃，B0表示相绳，AD表示起重臂，AB1AD,绿合与实美 (4》如阁4，分别以R1△AC的三茶边为边间外作三个正 我小相向工人了解到如下位息：A层=8米，C=17米，D= 方形，连接EC,批若设8a=S,Sae=为，S:wW 0采求屑能绳D的长度.〔站果酷确到1米，参考数据： 21,{分)如图。一皱轮船从A准向南编丙4城方向能行10m =5,则5高，高之间的关系为 1289m36) 到达B岛，再从B岛沿形W方向航行25km到达C岛. A港到航线的最短距离AD是60 (1)若轮船的速度为25申/h.求轮船从C岛沿M返间 A港新需的时间： 图2 (2)C岛在4楼的什么方啊？ I男，{8分)图.已短G是线段D上的一点，∠R=∠》=0 若AB=3,=2,CD=6.0E=4.AB=v65 (1)求AC,E的长： (2)求证：∠AE■ 鲁人泰斗 全型复习大秀善·效学·八年级下团全程复习大考卷·数学·八年级下册　 　 　 ·49　 · ②当∠BAP 为直角时, 如图 2,BP= t cm,CP= ( t-4)cm,AC= 3 cm. 在 Rt△ACP 中,AP2 =AC2 +CP2 = 32 +( t-4) 2 . 在 Rt△BAP 中,AB2 +AP2 =BP2,即 52 +32 +( t-4) 2 = t2 . 解得 t= 25 4 . 综上所述,当△ABP 为直角三角形时,t 的值为 4 或25 4 . 8. (1)证明:∵ ∠ACB= 90°,CD 平分∠ACB, ∴ ∠BCD= ∠ACD= 1 2 ∠ACB= 1 2 ×90° = 45°. ∵ BD∥AC,∴ ∠D= ∠ACD= 45°. ∴ ∠BCD= ∠D. ∴ BC=BD. (2)解:在 Rt△ACB 中,BC= AB2-AC2 = 62-32 =3 3, 由(1),得 BC=BD. ∴ BD= 3 3 . ∵ ∠BCD= ∠D= 45°, ∴ ∠CBD= 180°-∠BCD-∠D= 90°. ∴ CD= BC2 +BD2 = (3 3 ) 2 +(3 3 ) 2 = 3 6 . 考点三　 勾股定理的证明 9. A 10. ①③　 【解析】①∵ 大正方形的面积是 10,∴ 其边长是 10 . ∵ x,y 表示直角三角形的两直角边(x>y),利用 勾股定理,得 x2 +y2 = 10. 故①正确;③∵ 小正方形的面 积是 2,∴ 其边长是 2 . 根据题图可发现 y+ 2 = x,即 x-y= 2 ,故③正确;②根据图形得 4 个三角形的面 积+小正方形的面积 = 大正方形的面积,即 4× 1 2 xy+2 = 10. 化简,得 xy= 4. 故②错误. ∴ 正确的有①③. 11. 96 　 【解析】 根 据 题 意, 得 4c+4(b-a)= 48, a= 6, a2 +b2 = c2 . ì î í ïï ïï 解 得 a= 6, b= 8, c= 10. ì î í ïï ïï ∴ 该图形的面积为 1 2 ab×4 = 2ab= 2×6×8 = 96. 考点四　 在数轴上作表示无理数的点 12. B　 【解析】由题意,得 AB= | 1-(-2) | = 3. ∵ BC = 3,由 勾股定理,得 AC = AB2 +BC2 = 32 +32 = 3 2 . ∴ AP = AC= 3 2 . ∵ 点 P 位于数轴正半轴,∴ 点 P 所表示的数 为 3 2 -2. ∵ 1. 4< 2 <1. 5,∴ 4. 2<3 2 <4. 5. ∴ 2. 2< 3 2 -2<2. 5. ∴ 点 P 所表示的数介于 2 和 3 之间. 故 选 B. 13.解:(1)由题图可得,OC=OA= 22 +12 = 5 . ∵ 点 A 在原点的左侧,点 B 和点 C 在原点的右侧, BC= 2, ∴ 点 A 表示的数为- 5 ,点 B 表示的数为 5 -2,点 C 表示的数为 5 . 故答案为- 5 ; 5 -2; 5 . (2)由(1)可知,点 C 表示的数为 5 ,点 B 表示的数为 5 -2,∴ DC= 3- 5 ,OB= 5 -2. ∴ DC-OB= (3- 5 ) -( 5 -2)= 3- 5 - 5 +2 = 5-2 5 . ∵ 2 5 = 20 < 25 = 5,∴ 5-2 5 >0. ∴ DC>OB. 考点五　 勾股定理的逆定理和简单勾股数 14. C　 15. A 16.解:(1)点 C(2,6)或(6,2)或(4,0)或(1,5)或(5,1)或 (0,4) . (2)△ABD 为直角三角形.理由如下: ∵ 点 D(1,3),A(2,2),B(4,4), ∴ AD2 =(2-1)2 +(2-3)2 = 2,AB2 = (4-2)2 +(4-2)2 = 8, BD2 =(4-1)2 +(4-3)2 = 10. ∴ AD2 +AB2 = 2+8= 10. ∴ AD2 +AB2 =BD2 . ∴ △ABD 是直角三角形. 17.解:∵ ∠B= 90°,AB=BC= 5 2 , 根据勾股定理, 得 AC2 =AB2 +BC2 =(5 2 )2 +(5 2 )2 = 100. 又∵ CD= 6,AD= 8, ∴ CD2 +AD2 = 62 +82 = 36+64= 100. ∴ CD2 +AD2 =AC2 . ∴ △ACD 为直角三角形,∠ADC= 90°. ∴ S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD = 1 2 AB·BC+ 1 2 AD·CD = 1 2 ×5 2 ×5 2 + 1 2 ×8×6= 49. 18.解:∵ AH= 3,CH= 4,AC= 5,∴ AH2 +CH2 =AC2 . ∴ △AHC 是直角三角形. ∴ ∠AHC= 90°,∠CHB= 90°. ∵ ∠ACB= 90°,∴ AB2 -AC2 =BC2 . 又∵ BC2 =CH2 +BH2,∴ AB2 -AC2 =CH2 +BH2 . ∴ (AH+BH)2 -AC2 =CH2 +BH2 . ∵ AH= 3,CH= 4,AC= 5,∴ (3+BH)2 -52 = 42 +BH2 . 解得 BH= 16 3 ,即 BH 的长是16 3 . 考点六　 勾股定理和其逆定理的综合应用 19. B 20. 4　 【解析】如图,连接 CD. ∵ 中点 C 竖直向上拉升 6 cm 至点 D,∴ CD 是 AB 的垂直平分线,CD= 6 cm. ∴ ∠ACD = 90°,AC=BC= 1 2 AB= 8 cm,AD =BD. 在Rt△ACD 中,由勾股定 理,得 AD = AC2 +CD2 = 82 +62 = 10 ( cm) . ∴ BD = 10 cm. ∴ AD+BD= 20 cm. ∵ AB= 16 cm,∴ 此时该弹性 皮筋被拉长了 20-16 = 4(cm) . 21.解:如图,连接 AC. ∵ AE⊥BC,E 是 BC 的中点, ∴ AB=AC. ∴ ∠ACB= ∠B= 30°. ∴ AC= 2AE= 2. ∵ 在△ACD 中,AD2 = 8,AC2 +CD2 = 4+4 = 8, ∴ AD2 =AC2 +CD2 . ∴ ∠ACD= 90°. ∴ ∠BCD= ∠ACB+∠ACD= 120°. 22.解:(1)根据题意,得∠ACB= 90°,AC= 30 m,AB= 50 m, ∴ BC= AB2 -AC2 = 502 -302 = 40(m) . ∴ BC 的长为 40 m. (2)这辆小汽车超速了. 理由如下: 该小汽车的速度为 40÷2= 20(m / s). 20 m / s = 72 km / h>70 km / h, ∴ 这辆小汽车超速了. 23.解:(1)∵ 在 Rt△ABC 中,AB= 25 m,BC= 15 m, ∴ AC= AB2 -BC2 = 252 -152 = 20(m) . 在 Rt△CDE 中, ∵ DE=AB= 25 m,CD=BC+BD= 15+5 = 20(m), ∴ CE= DE2 -CD2 = 252 -202 = 15(m) . ∴ 梯子滑动后,梯子的高度 CE 是 15 m. (2)由(1)知,AC= 20 m,CE= 15 m, 则 AE=AC-CE= 20-15 = 5(m) . ∴ 梯子顶端 A 下滑的长度 AE 有 5 m. 第十七章学业水平测试 1. B　 2. C　 3. A　 4. C　 5. A 6. A　 【解析】 由作图可知 OA = OP. ∵ 点 A 的坐标为 (-5 2 ,0),∴ OP=OA= 5 2 . 设点 P 的坐标为(x,-1) . ∴ OP= x2 +1 = 5 2 . 解得 x = ±7. ∵ 点 P 在第三象限, ∴ x= -7. 故选 A. 7. D　 【解析】根据表格中的数据可得 a2 +b2 = c2,且 c = b+ 2. ∴ a2 +b2 =(b+2) 2 . 当 a= 18 时,182 +b2 =(b+2) 2 . 解得 b= 80. ∴ c= 80+2 = 82. ∴ b+c= 162. 故选 D. 8. D　 【解析】由题意知,∠ABO = ∠BCO = … = ∠LMO = 90°. ∵ ∠AOB=∠BOC=…=∠LOM=30°,∴ AB= 1 2 OA,OB = OA2 -AB2 = 3 2 OA. 同 理 可 得, OC = 3 2 OB = ( 32 ) 2 OA,OD = 3 2 OC = ( 32 ) 3 OA,…,OM = 3 2 OL = ( 32 ) 12 OA = 3 . ∴ OA = 2 12 ( 3 ) 11 . ∴ OD = ( 32 ) 3 · 212 ( 3 ) 11 = 2 9 ( 3 ) 8 = 512 81 . 故选 D. 9. D　 【解析】如图,过点 B 作 BD⊥OC 于点 D. 由题意,得 AO=BD= 3 m,AB=OD= 5-3 = 2(m) . ∵ OC = 6 m,∴ DC = 4 m. ∴ 由勾股定理,得 BC = BD2 +DC2 = 32 +42 = 5(m) . ∴ 大树的高度为 5+5 = 10(m) . 故选 D. 10. A　 【解析】设这个直角三角形的两直角边分别为 a,b. 由题意,得 a+b=m-n, a2 +b2 =n2 .{ ∴ 2ab=(a+b) 2 -(a2 +b2)= (m- n) 2 -n2 =m2 -2mn. ∴ ab =m 2 -2mn 2 . ∴ 这个直角三角形 的面积= 1 2 ab=m 2 -2mn 4 . 故选 A. 11. 48 　 【解析】如图,过点 B 作 BD⊥ AC,垂足为 D. ∵ 602 +802 = 1002, ∴ BC2 +AB2 =AC2 . ∴ ∠ABC= 90°. ∴ S△ACB = 1 2 AB·BC = 1 2 AC·BD,即 1 2 ×80×60 = 1 2 ×100×BD. 解得 BD = 48. ∴ 学校 B 到公 路的最短距离为 48 m. 12. 16. 9　 【解析】在△BDC 中,BD = 5,CD = 12,BC = 13, ∴ BD2 +CD2 = 25 + 144 = 169,BC2 = 169. ∴ BD2 +CD2 = BC2 . ∴ △BCD 是直角三角形. ∴ ∠BDC = 90°. ∴ ∠ADC = 180°-∠BDC = 90°. 设 AB = AC = x,则 AD = AB-BD = x-5. 在 Rt△ADC 中,AD2 +CD2 = AC2,∴ (x-5) 2 +144 = x2 . 解得 x= 16. 9. ∴ AB=AC= 16. 9. 13. 20　 【解析】∵ AC⊥BD,∴ ∠AOD = ∠AOB = ∠BOC = ∠COD= 90°. 由勾股定理,得 AB2 +CD2 =AO2 +BO2 +CO2 + DO2,AD2 +BC2 = AO2 +DO2 +BO2 +CO2 . ∴ AB2 +CD2 = AD2 +BC2 . ∵ AD= 2,BC= 4,∴ AB2 +CD2 = 22 +42 = 20. 14. 2 2 　 【解析】设全等的直角三角形的两条直角边分别 为 a,b 且 a>b. 由题意可知 S1 = (a+b) 2,S2 = a2 +b2,S3 =(a-b) 2 . ∵ S1 +S2 +S3 = 24,即(a+b) 2 +a2 +b2 +(a-b) 2 = 3a2 + 3b2 = 24,∴ 3S2 = 24. 解得 S2 = 8. 所以正方形 EFGH 的边长为 8 = 2 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 15. (25+10 6 )　 【解析】如图,过点 B 作 BH⊥ AC 于点 H. ∵ ∠BCD = 120°,∴ ∠BCA = 60°. ∴ ∠CBH= 30°. 在 Rt△BCH 中,∵ BC= 20 cm,∠CBH = 30°,∴ CH = 1 2 BC = 10 cm, BH= BC2 -CH2 = 10 3 cm. 在 Rt △ABH 中, AH = AB2 -BH2 = 302 -(10 3 ) 2 = 10 6 ( cm),∴ 点 A 到 地面的距离为 AH +CH +CD = 10 6 + 10 + 15 = ( 25 + 10 6 )(cm) . 16. 6 6 　 【解析】如图,过点 C 作 CD⊥AB 于点 D. 设 BD = x,则 AD = 7 - x. 在 Rt △ACD 中,CD = AC2 -AD2 = 62 -(7-x) 2 . 在 Rt △BCD 中, CD = BC2 -BD2 = 52 -x2 ,∴ 62 -(7-x) 2 = 52 -x2 . 解得 x = 19 7 . ∴ CD = BC2 -BD2 = 25- ( 197 ) 2 = 12 6 7 . ∴ S△ABC = 1 2 AB· CD= 1 2 ×7×12 6 7 = 6 6 . 17.解:如图,△ABC 即为所求作. (答案不唯一) S△ABC = 3×3- 1 2 ×1×3- 1 2 ×2×2- 1 2 ×1×3 = 4. 18.解:∵ AB⊥AD,∴ ∠BAD= 90°. 在 Rt△ABC 中,AC= BC2 -AB2 = 172 -82 = 15(米), ∴ AD=AC+CD= 35 米. 在 Rt△ABD 中,BD = AD2 +AB2 = 352 +82 = 1 289 ≈36(米) . ∴ 钢丝绳 BD 的长度约为 36 米. 19.解:(1)∵ 在 Rt△ABC 中,∠B= 90°,AB= 3,BC= 2, ∴ AC= AB2 +BC2 = 32 +22 = 13 . ∵ 在 Rt△EDC 中,∠D= 90°,CD= 6,DE= 4, ∴ CE= CD2 +DE2 = 62 +42 = 52 = 2 13 . (2)证明:∵ AC2 +CE2 = ( 13 ) 2 +(2 13 ) 2 = 65, AE2 = ( 65 ) 2 = 65, ∴ AC2 +CE2 =AE2 . ∴ △ACE 是直角三角形,∠ACE= 90°. 20.解:如图,过点 A 作 AE⊥BC 于点 E. ∵ AD=AC,AE⊥BC, ∴ ∠AEB= 90°,DE=CE. ∵ ∠ABC= 45°,∴ ∠BAE= 45°. ∴ ∠BAE= ∠ABE. ∴ AE=BE. 在 Rt△ABE 中,AB = 4 2 ,AE2 + BE2 =AB2,即 BE2 +BE2 = (4 2 ) 2, ∴ BE= 4. ∴ BD+ 1 2 DC= 4. 又∵ BD-DC= 1,∴ BD=DC+1. ∴ DC+1+ 1 2 DC= 4. ∴ DC= 2. 21.解:(1)由题意,得 AD= 60 km,BC= 125 km,AB= 100 km, ∠AOB= 90°. 在 Rt△ABD 中,AD2 +BD2 =AB2,即 602 +BD2 = 1002, ∴ BD= 80 km. ∴ CD=BC-BD= 125-80 = 45(km) . ∴ AC= CD2 +AD2 = 452 +602 = 75(km) . ∵ 轮船的速度为 25 km / h,∴ 轮船从 C 岛沿 CA 返回 A 港所需的时间为 75÷25 = 3(h) . ∴ 轮船从 C 岛沿 CA 返回 A 港所需的时间为 3 h. (2)∵ AB2 +AC2 = 1002 +752 = 15 625, BC2 = 1252 = 15 625, ∴ AB2 +AC2 =BC2 . ∴ ∠BAC= 90°. ∴ ∠NAC= 180°-90°-48° = 42°. ∴ C 岛在 A 港的北偏西 42°方向. 22. (1)证明:如题图 1,∵ 大正方形的面积可以表示为 (a+b) 2,也可以表示为 c2 +4× 1 2 ab, ∴ c2 +4× 1 2 ab=a2 +b2 +2ab. ∴ a2 +b2 = c2 . (2)解:如题图 2,空白部分的面积 = 边长为 c 的正方 形的面积-2 个直角三角形的面积= c2 -2× 1 2 ab, ∵ a= 3,b= 4, ∴ 空白部分的面积= 32 +42 -3×4 = 13. 故答案为 13. (3)解:如题图 3,在 Rt △ABH 中,AB = AH2 +BH3 = 32 +42 = 5, ∵ △ABH≌△AFH≌△ADI≌△ADG, ∴ AD=AF=AB= 5,AH=AI= 3. ∴ DH=AD-AH= 5-3 = 2,BI=AB-AI= 5-3 = 2. ∴ DH=BI= 2. ∵ ∠DCH= ∠BCI,∠CHD= ∠CIB= 90°, ∴ △CDH≌△CBI(AAS) . ∴ CD=CB. 设 CB=CD= x,则 CH= 4-x. 在 Rt△CDH 中,CH2 +DH2 =CD2, ∴ (4-x) 2 +22 = x2 . 解得 x= 5 2 . ∴ CB=CD= 5 2 . 同理可得 DE=EF= 5 2 . ∴ “帽子”外围轮廓(实线)的周长为 AB+AF+CB+CD+ DE+EF= 5+5+ 5 2 + 5 2 + 5 2 + 5 2 = 20. (4)如图,过点 A 作 AK⊥HI 于点 K, 交 BC 于点 J. ∵ △ABC 是直角三角形, ∴ AB2 +AC2 =BC2 . ∵ 四边形 ABED、四边形 ACGF、四边 形 BCIH 均为正方形, ∴ AB=AD=DE,AC = AF =FG,S正方形ABED = AB2,S正方形ACGF =AC2,S3 =S正方形BCIH =BC2 . ∵ S1 =S△EBC =S四边形BEDC -S△EDC =AB2 + 1 2 AB·AC- 1 2 DE· (AD+AC)= AB2 + 1 2 AB·AC- 1 2 AB(AB+AC) = 1 2 AB2, ∴ AB2 = 2S1 . ∵ S2 =S△BCG =S四边形CGFB-S△BGF =AC2 + 1 2 AB·AC- 1 2 FG· (AF + AB) = AC2 + 1 2 AB · AC - 1 2 AC·(AC+AB) = 1 2 AC2,∴ AC2 = 2S2 . ∵ S正方形BCIH =BC2,∴ BC2 =S3 . 在 Rt△ABC 中,AB2 +AC2 =BC2,∴ 2S1 +2S2 =S3, 即 2(S1 +S2)= S3 . 故答案为 2(S1 +S2)= S3 . 阶段性检测(一) 1. B　 2. B　 3. C　 4. A　 5. B　 6. B　 7. D 8. B　 【解析】∵ CE 平分∠ACB,CF 平分∠ACD,∴ ∠ACE = 1 2 ∠ACB,∠ACF = 1 2 ∠ACD. ∴ ∠ECF = 1 2 (∠ACB+ ∠ACD)= 90°. ∴ △EFC 为直角三角形. ∵ EF∥BC, ∴ ∠ECB= ∠MEC = ∠ECM,∠DCF = ∠CFM = ∠MCF. ∴ CM=EM=MF= 5. ∴ EF=EM+MF= 10. ∴ 在 Rt△EFC 中,由勾股定理,得 CE2 +CF2 =EF2 = 100. 故选 B. 9. C　 【解析】设 AE= 2a,BE= b,则正方形 ABCD 的面积 = 4a2 +b2 . 由题意可知 FG=(2a-b)-2(a-b)= 2a-b-2a+ 2b= b. ∵ AE= 3FG,∴ 2a = 3b. ∴ a = 3 2 b. ∵ 正方形 FGHI 的面积为 S,∴ b2 =S. ∴ 正方形 ABCD 的面积 = 4a2 +b2 = 4× ( 32 b ) 2 +b2 = 9b2 +b2 = 10b2 = 10S. 故选 C. 10. D　 【解析】如图,过点 A 作 AD⊥BC 于 点 D. ∵ AD⊥BC,∴ △ADP 与 △ABD 均为直角三角形. ∴ AP2 = AD2 +DP2, AB2 = AD2 +BD2 . ∵ AB = AC,AD⊥BC, ∴ BD=CD. ∵ PC=CD+DP,∴ PC =BD+DP. ∵ BP =BD- DP,∴ BP·PC = (BD -DP) (BD +DP) = BD2 -DP2 . ∵ AP2 =AD2 +DP2,∴ AP2 +BP·PC=AD2 +BD2 . ∵ AB2 = AD2 +BD2,∴ AP2 +BP·PC = AB2 . ∵ AB = 4,∴ AP2 + BP·PC= 16. 故选 D. 11. x≥2+ 2 　 12. 2 3 　 13. x2 +62 = (10-x) 2 14. a<c<b　 【解析】 c = 1 3 - 2 = 3 + 2 ( 3 - 2 )( 3 + 2 ) = 3 + 2 . ∵ 2 = 4 > 2 ,∴ b>c. 又∵ a2 = ( 7 ) 2 = 7,c2 = ( 3 + 2 ) 2 = 5+2 6 ,且 6 >1,∴ a2 <c2 . ∴ a<c. ∴ a<c<b. 15. 25-10 3 　 【解析】如图,过点 D 作 DH⊥EF 于点 H. ∵ ∠CAB= 30°,AD= 2, ∴ DH= 1 2 AD= 1,AH= AD2 -DH2 = 3 . 在 Rt△DEH 中,ED2 =EH2 +DH2, 在 Rt△DHF 中,FD2 =HF2 +DH2, ∴ ED2 +FD2 =EH2 +1+HF2 +1. ∵ AE= 1,EF= 3,∴ EH=AH-AE= 3 -1, HF=EF-EH= 3-( 3 -1)= 4- 3 . ∴ ED2 +FD2 =( 3 -1) 2 +1+(4- 3 ) 2 +1 = 25-10 3 . 16. 9　 【解析】如图,过点 A 作 AG⊥ BC 于点 G. ∵ 小于 2 5 的最大整 数为 4,小于 29 的最大整数为 5,∴ 点 G 左侧的“整 点”比点 G 右侧的“整点”少一个. ∵ BC 边上有 6 个 “整点”,∴ 点 G 左侧的“整点”到点 A 的距离分别为 4,3,点 G 右侧的“整点”到点 A 的距离分别为 5,4,3, 且 AG= 2. ∴ BG = (2 5 ) 2 -22 = 4,CG = ( 29 ) 2 -22 = 5. ∴ BC=BG+CG= 9. 17.解:(1)原式=3 3 × 6 3 - 8 +2- 2 =3 2 -2 2 +2- 2 =2. (2)原式= (2 2 ) 2 -2×2 2 +1+1-( 5 ) 2 = 8-4 2 +1+ 1-5 = 5-4 2 . 18.解:原式= 5 2x - 2x +2 2x = 6 2x . 当 x= 4 时,原式= 6× 2×4 = 12 2 . 19.解:(1)AB= 12 +22 = 5 . (2)如图,点 C 即为所求. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 50·　 　 　 全程复习大考卷·数学·八年级下册