第11章 图形的平移与旋转 学业水平测试-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学同步大考卷全程复习（青岛版）

全程复习大考卷·数学·QD·八年级下册　 　 　 ·31　 · 第 11 章学业水平测试 (时间:60 分钟 满分:100 分) 题序 一 二 三 总分 得分 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分) 1. 下列各组图形,可以经过平移由一个图形得到另一个图形的是 (　 　 ) A 　 B 　 C 　 D 2. (传统文化)我国民间建筑装饰图案中,蕴含着丰富的数学之美。 下列图案中,既是轴对称图形 又是中心对称图形的是 (　 　 ) A 　 B 　 C 　 D 3. (易错题)木匠有 32 m 的木材,想要在花圃周围做边界,以下四种设计方案中,设计不合理的是 (　 　 ) A 　 B 　 C 　 D 4. 如图,在矩形 ABCD 中,AD>AB,AC 与 BD 相交于点 O,下列说法正确的是 (　 　 ) A. 点 O 是矩形 ABCD 的对称中心　 B. 点 O 是线段 AB 的对称中心 C. 直线 BD 是矩形 ABCD 的对称轴　 D. 直线 AC 是线段 BD 的对称轴 第 4 题图 　 　 　 　 第 7 题图 5. 点 P( -1,-3)向右平移 3 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度,则所得点的坐标为 (　 　 ) A. ( -4,-2)　 B. ( -4,-8)　 C. (2,2)　 D. (2,-8) 6. 以原点为中心,将点 P(4,5)按逆时针方向旋转 90°,得到的点 Q 所在的象限为 (　 　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图,将△OAB 绕点 O 逆时针旋转到△OA′B′,点 B 恰好落在边 A′B′上。 已知 AB = 4 cm,BB′ = 1 cm,则 A′B 的长是 (　 　 ) A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm 8. 在如图所示的方格纸(1 格长为 1 个单位长度)中,△ABC 的顶点都在格点上,将△ABC 绕点 O 按顺时针方向旋转得到△A′B′C′,使各顶点仍在格点上,则其旋转角的度数是 (　 　 ) A. 50° B. 64° C. 77° D. 90° 第 8 题图 　 　 　 　 　 第 9 题图 　 　 　 　 　 第 10 题图 9. 如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在 AB,AD 边上,将△BCE 绕点 C 顺时针旋转 90°,得到 △DCG。 若△EFC≌△GFC,则∠ECF 的度数是 (　 　 ) A. 60° B. 45° C. 40° D. 30° 10. 如图,指针 OA,OB 分别从与 x 轴和 y 轴重合的位置出发,绕着原点 O 顺时针转动,已知 OA 每 秒转动 45°,OB 的转动速度是 OA 的 1 3 ,则第 2 024 秒时,OA 与 OB 之间夹角的度数为 (　 　 ) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分) 11. 已知点 M( 2 ,-3),那么它关于原点的对称点 M′的坐标为　 　 　 　 。 12. 如图,在一块长为 10 m,宽为 7 m 的矩形草地上,有一条弯曲的小路,小路的左边线向右平移 1 m 就是它的右边线,这块草地的绿地面积为 m2。 第 12 题图 　 第 13 题图 　 第 14 题图 　 第 15 题图 　 第 16 题图 13. 如图,将等边三角形 OAB 绕点 O 按顺时针方向旋转 160°,得到三角形 OA′B′(点 A′,B′分别是点 A,B 的对应点),则∠1 = °。 14. 如图,在△ACB 中,∠C= 90°,AB = 10,AC = 8,D 是 AC 的中点,点 B,E 关于点 D 成中心对称,则 AE 的长为　 　 　 　 。 15. 如图,在△ABC 中,AB= 4,BC= 6,∠B = 60°,将△ABC 沿射线 BC 的方向平移 2 个单位长度后, 得到△A′B′C′,连接 A′C,则△A′B′C 的周长为 。 16. 如图,在△ABC 中,∠B = 60°,∠C = 75°,将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 α( 0° <α< 180°) 得到 △ADE。 若点 C 落在△ADE 的边上,则 α 的度数是 。 三、解答题(本大题共 9 个小题,共 52 分。 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (4 分)如图,将△ABC 绕点 C 顺时针旋转得到△DEC,点 D 落在线段 AB 上。 求证:DC 平分∠ADE。 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 18. (4 分)如图,将△ABC 绕点 O 旋转 180°,得到△A′B′C′,当点 O 不在△ABC 三边所在的直线上 时,求证:四边形 BCB′C′是平行四边形。 19. (4 分)如图,在等边三角形 ABC 中,D 是边 AC 上一点,连接 BD,将△BCD 绕点 B 逆时针旋转 60°,得到△BAE,连接 DE。 求证:AE∥BC。 20. (6 分)如图,在△ABC 中,BC= 4 cm,将△ABC 以 0. 2 cm / s 的速度沿 BC 所在直线向右平移,所 得图形对应为△DEF,设运动时间为 t 秒。 (1)若∠ADE= 60°,求∠B 的度数; (2)当 t 为何值时,CE= 1 cm? 21. (6 分)已知点 P(3a-15,2-a)。 (1)若点 P 到 x 轴的距离是 3,试求出 a 的值; (2)在(1)题的条件下,点 Q 如果是点 P 向上平移 2 个单位长度得到的,试求出点 Q 的坐标; (3)若点 P 位于第三象限且横、纵坐标都是整数,试求点 P 的坐标。 22. (6 分)如图,四边形 ABCD 是正方形,△ADE 旋转后能与△ABF 重合。 (1)判断△AEF 的形状,试说明理由; (2)若 CF= 7,CE= 3,求四边形 AECF 的面积。 23. (6 分)如图,在由边长都为 1 的小正方形组成的网格中,A,B,C 均为格点,∠ACB = 90°,BC = 3, AC= 4,D 为 BC 的中点,P 为 AC 上的一个动点。 (1)当 P 为线段 AC 的中点时,DP 的长度等于 ; (2)将点 P 绕点 D 逆时针旋转 90°得到点 P′,连接 BP′,当线段 BP′+DP′取得最小值时,请借助 无刻度直尺在给定的网格中画出点 P、点 P′,并简要说明你是怎么画出点 P、点 P′的。 24. (6 分)如图,在平面直角坐标系中,三个顶点的坐标分别是点 A( - 2,3),点 B( - 1,1),点 C(0,2)。 (1)作△ABC 关于点 O 成中心对称的△A1B1C1; (2)将△A1B1C1 向右平移 4 个单位长度,作出平移后的△A2B2C2; (3)在 x 轴上求作点 P,使 PA1 +PC2 的值最小并写出点 P 的坐标。 25. (10 分)(1)如图 1,O 是等边三角形 ABC 内一点,连接 OA,OB,OC,且 OA= 3,OB= 4,OC = 5,将 △BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD,连接 OD。 ①求旋转角的度数; ②求线段 OD 的长; ③求∠BDC 的度数; (2)如图 2,O 是等腰直角三角形 ABC(∠ABC = 90°)内一点,连接 OA,OB,OC,将△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD,连接 OD。 当 OA,OB,OC 满足什么条件时,∠ODC = 90°? 请给出 证明。 图 1 　 　 图 2 · 32·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·八年级下册 ∴ 直线 AC 的表达式为 y= 2 3 x+17 3 。 当 x= 0 时,y= 17 3 。 ∴ 直线 AC 与 y 轴的交点坐标为(0,17 3 )。 故答案为(0,17 3 )。 7.解:(1)∵ AD∥BC,∴ ∠B+∠BAD = 180°。 ∵ ∠B = 50°, ∴ ∠BAD= 130°。 ∵ AF 平分∠BAE,∴ ∠BAF = ∠EAF。 ∵ ∠CAD = ∠CAE, ∴ ∠CAF = 1 2 ∠BAE + 1 2 ∠DAE = 1 2 ∠BAD= 65°。 故答案为 65。 (2)∠ACB 与∠AEB 度数的比值不发生变化。 ∵ AD∥BC, ∴ ∠CAD= ∠ACE。 ∵ ∠CAD= ∠CAE, ∴ ∠ACE= ∠CAE。 ∵ ∠AEB= ∠ACE+∠CAE= 2∠ACB, ∴ ∠ACB ∶ ∠AEB= 1 ∶ 2。 ∴ ∠ACB 与∠AEB 度数的比值不发生变化。 (3)存在。 设∠ACD= x,∠CAD= y。 ∵ ∠CAD= ∠ACB= y,∠BCD= ∠ACD+∠ACB= 130°, ∴ x+y= 130°。 ∵ ∠AFB= ∠ACD= ∠ACB+∠CAF, ∴ x= y+65°。 解得 y= 32. 5°。 ∴ x= 97. 5°。 ∴ ∠ACD= 97. 5°。 8. A　 【解析】如图,作五角星的对称轴 交于点 O。 ∵ 五角星为轴对称图形, ∴ ∠OBD= 1 2 ×36° = 18°,∠ODB = 1 2 × 36° = 18°。 ∴ ∠BOD= 180°-18°-18° = 144°。 ∵ 将五角 星绕其旋转中心按顺时针旋转一定角度,线段 AB 恰好 与线段 CD 重 合, ∴ ∠BOD 为 旋 转 角, 即 旋 转 角 为 144°。 故选 A。 9. A　 【解析】如图,过点 Q 作 QM⊥y 轴于点 M。 设点 P(0,m),则 OP=m。 ∵ 点 A(2,0),∴ OA = 2。 ∵ ∠APQ = 90°, ∴ ∠OAP + ∠APO = ∠APO + ∠MPQ。 ∴ ∠OAP =∠MPQ。 ∵ ∠AOP =∠PMQ = 90°,PA = QP,∴ △AOP ≌ △PMQ ( AAS)。 ∴ MQ=OP = m,PM = OA = 2。 ∴ 点 Q(m,m+2)。 ∵ 点 B (4,0),∴ BQ= (4-m)2+(m+2)2 = 2(m-1) 2 +18 。 ∴ 当 m= 1 时,BQ 有最小值 3 2 。 故选 A。 10. ( 3 ,-1) 　 【解析】如图,由题意,得点 B′的坐标为 (1, 3)。 ∵ △OCB′≌△OC′B″,∴ OC = OC′ = 1,CB′ = C′B″= 3 。 ∴ 点 B″( 3 ,-1)。 11. 75°　 【解析】∵ OA 是∠BAC 的平分线,∠BAC = 50°, ∴ ∠BAO=∠CAO= 1 2 ∠BAC=25°。 依据旋转的性质可知 ∠C′AO′ = ∠CAO = 25°,旋转角为∠OAO′,∴ ∠OAO′ = ∠OAC′-∠C′AO′= 100°-25° = 75°。 12.解:(1)∵ △DAE 旋转后能与△DCF 重合, ∴ 旋转中心是点 D。 (2)根据旋转的性质可知,△DAE≌△DCF。 ∵ ∠ADC= 90°, ∴ △DAE 顺时针旋转 270°后能与△DCF 重合, △DAE 逆时针旋转 90°后能与△DCF 重合, 即旋转的最小角是 90°。 (3)由旋转的性质可知,△DAE≌△DCF, ∴ AE=CF= 5,DE=DF= 13。 ∴ BE+BF=BE+BC+CF=BE+BC+AE=AB+BC= 24。 ∴ 四边形 DEBF 的周长为 BE+BF+DE+DF= 24+13+13 = 50,四边形 DEBF 的面积为正方形 ABCD 的面积 = AB2 = 144。 13. (1)解:∵ AB=AC,∠BAC= 36°, ∴ ∠ABC= ∠ACB= 1 2 ×(180°-∠BAC)= 72°。 ∵ 将 △ABC 绕 点 A 顺 时 针 旋 转 一 个 角 度 α 得 到△ADE, ∴ ∠ADB= ∠ABD= 72°。 ∵ DF⊥AB, ∴ ∠DFB= 90°。 ∴ ∠BDF= 90°-72° = 18°。 (2)证明:由旋转的性质可知,AE = AC,∠AED = ∠ACB = 72°,∠BAC= ∠DAE= 36°, ∵ α= 108°,即∠CAE= 108°,AE=AC, ∴ ∠AEC= ∠ACE= 1 2 (180°-∠CAE)= 36°。 ∴ ∠DAE= ∠AEC= 36°。 ∴ DA∥EG。 ∵ ∠BAC= 36°,∴ ∠EAB= 108°-36° = 72°。 ∵ ∠AED= ∠ACB= 72°,∴ ∠AED= ∠EAB。 ∴ DE∥AG。 ∴ 四边形 ADEG 是平行四边形。 14.解:(1)如图,延长 GC 交 AE 于点 H,标注各角。 在正 方形 ABCD 与正方形 DEFG 中, AD = CD, ∠ADE = ∠CDG=90°,DE=DG,∴ △ADE≌ △CDG(SAS)。 ∴ ∠1 = ∠2,AE= CG。 ∵ ∠2+∠3 = 90°,∴ ∠1+∠3 = 90°。 ∴ ∠AHG = 180° - ( ∠1 + ∠3)= 180°-90° = 90°。 ∴ AE⊥GC。 故答案为 AE⊥GC,AE=GC。 (2)成立。 证明如下, 如图,延长 AE 和 GC 相交于点 H。 在正方形 ABCD 和正方形 DEFG 中,AD=CD,DE=DG, ∠ADC= ∠DCB= ∠B= ∠BAD= ∠EDG= 90°, ∴ ∠1 = ∠2 = 90°-∠3。 ∴ △ADE≌△CDG(SAS)。 ∴ ∠5 = ∠4,AE=CG。 又∵ ∠5+∠6 = 90°, ∠4+∠7 = 180°-∠DCB= 180°-90° = 90°, ∴ ∠6 = ∠7。 又∵ ∠6+∠AEB= 90°,∠AEB= ∠CEH, ∴ ∠CEH+∠7 = 90°。 ∴ ∠EHC= 90°。 ∴ AE⊥GC。 ∴ (1)中的结论还成立。 15. A 16. D　 【解析】 ∵ OB 是等腰三角形 ABC 的底边中线, ∴ OA=OC = 1 2 AC = 1,OB⊥AC。 ∴ ∠AOB = ∠BOC = 90°。 ∴ OB = AB2 -AO2 = 42 -12 = 15 。 ∵ △PQC 与△BOC 关于点 C 中心对称,∴ CQ = OC = 1,∠Q = ∠BOC= 90°,PQ=BO= 15。 ∴ AQ=AC+CQ= 3。 ∴ AP = AQ2 +PQ2 = 32 +( 15 ) 2 = 2 6 。 故选 D。 17. A　 【解析】∵ 平行四边形是中心对称图形,∴ 直线经 过两个平行四边形的对角线的交点即可。 观察图象 可知,选项 B,C,D 符合题意。 故选 A。 18. ( -a,2-b)　 【解析】设点 A′(m,n)。 根据题意,得 AC =A′C。 ∵ 点 C(0,1),A(a,b),∴ m +a 2 = 0,n +b 2 = 1。 解 得 m= -a,n= 2-b。 ∴ 点 A′(-a,2-b)。 19. 5　 【解析】∵ △ABC 与△CDA 关于点 O 对称,∴ AB = CD,AD=BC。 ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 ∴ 点 O 就是▱ABCD 的对称中心。 ①点 M 和点 N,点 B 和点 D 是关于中心 O 的对称点,正确;②直线 BD 必经过点 O,正确;③四边形 ABCD 是中心对称图形,正确;④四 边形 DMOC 与四边形 BNOA 的面积必相等,正确; ⑤△AOM 与△CON 成中心对称,正确。 综上所述,正 确的为①②③④⑤,共 5 个。 20.解:(1)如图,点 O 即为所求作。 (2)由题意,知△ABC≌△DEF, ∴ △DEF 的周长= △ABC 的周长= AC+AB+BC = 6+5+ 4 = 15。 (3)四边形 ACDF 是平行四边形。 理由如下: 由题意,得 OA=OD,OC=OF,AC=DF, ∴ △AOC≌△DOF(SSS)。 ∴ ∠OAC= ∠ODF。 ∴ AC∥DF。 ∵ AC=DF, ∴ 四边形 ACDF 是平行四边形。 21.解:(1)如图,△A1B1C1 即为所求作。 (2)如图,△A2B2C2 即为所求作。 (3)如图,△A3B3C3 即为所求作。 22.解:(1)四边形 ABDF 是菱形。 证明如下, ∵ D,E 分别是边 BC,AC 的中点, ∴ DE∥AB,AB= 2DE。 由旋转的性质可知 DE=EF, ∴ AB=DF,AB∥DF。 ∴ 四边形 ABDF 是平行四边形。 ∵ BC= 2AB,BD=DC, ∴ AB=BD。 ∴ 平行四边形 ABDF 是菱形。 (2)如图,连接 BF,AD 交于点 O。 ∵ 四边形 ABDF 是菱形, ∴ AD⊥BF,OB=OF,OA=OD。 设 OA= x,OB= y,则 AD= 2x,BF= 2y。 ∴ 2x+2y= 14,x2 +y2 = 52。 ∴ x+y= 7。 ∴ (x+y) 2 = x2 +2xy+y2 = 49。 ∴ 2xy= 24。 ∴ 四边形 ABDF 的面积 S= 1 2 ·BF·AD= 2xy= 24。 第 11 章学业水平测试 1. C　 2. A 3. A　 【解析】∵ 垂线段最短,∴ A 选项的平行四边形的另 一边一定大于 6 m。 ∵ 2×(10+6)= 32(m),∴ A 选项的 周长一定大于 32 m。 故选 A。 4. A　 【解析】矩形 ABCD 是中心对称图形,对称中心是对 角线的交点 O,故 A 选项符合题意;线段 AB 的中点是 线段 AB 的对称中心,故 B 选项不符合题意;矩形 ABCD 的对称轴是过一组对边中点的直线,故 C 选项不符合 题意;过线段 BD 的中点的垂线是线段 BD 的对称轴, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 66·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·八年级下册 全程复习大考卷·数学·QD·八年级下册　 　 　 ·67　 · 故 D 选项不符合题意。 故选 A。 5. C　 【解析】点 P(-1,-3)向右平移 3 个单位长度,再向 上平移 5 个单位长度,所得到的点的坐标为( - 1 + 3, -3+5),即(2,2)。 故选 C。 6. B　 【解析】如图,点 P(4,5)按逆时针方向旋转 90°,得 到的点 Q(-5,4)所在的象限为第二象限。 故选 B。 7. C　 【解析】∵ 将△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转至 △OA′B′,∴ △OAB≌△OA′B′。 ∴ AB=A′B′= 4 cm。 ∵ BB′ =1 cm,∴ A′B=A′B′-BB′= 4-1 = 3(cm)。 故选 C。 8. D　 【解析】根据对应点与旋转中心连线的夹角可知 ∠BOB′是旋转角,且∠BOB′= 90°。 故选 D。 9. B　 【解析】∵ 将△BCE 绕点 C 顺时针旋转 90°,得到 △DCG, ∴ ∠BCE = ∠DCG。 ∵ △EFC ≌ △GFC, ∴ ∠ECF= ∠GCF。 ∴ ∠ECF = ∠DCG+∠DCF = ∠BCE+ ∠DCF。 ∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ ∠BCD = 90°。 ∴ ∠ECF= 1 2 ∠BCD= 45°。 故选 B。 10. A　 【解析】∵ OA 每秒转动 45°,OB 的转动速度是 OA 的 1 3 ,∴ OB 每秒转动 15°。 设 t 秒 OA 与 OB 第一次相 遇。 根据题意,得 270+15t = 45t。 解得 t = 9。 相遇后设 m 秒第二次相遇,根据题意,得 45m-15m = 360。 解得 m= 12。 以后每过 12 秒相遇一次。 (2 024-9) ÷12 = 167……11,∴ 第 2 024 秒时,11×45° -11×15° = 330°, 此时 OA 与 OB 之间夹角的度数为 30°。 故选 A。 11. ( - 2 ,3) 12. 63　 【解析】(10-1) ×7 = 9×7 = 63(m2)。 故这块草地 的绿地面积为 63 m2。 13. 100　 【解析】∵ 将等边三角形 OAB 绕点 O 按顺时针 方向旋转 160°,∴ ∠AOA′ = 160°。 ∵ ∠AOB = ∠A′OB′ = 60°,∴ ∠1 = 100°。 14. 6　 【解析】在△ABC 中,∠C = 90°,AB = 10,AC = 8,由 勾股定理,得 BC = AB2 -AC2 = 102 -82 = 6。 ∵ D 是 AC 的中点,点 B,E 关于点 D 成中心对称,∴ △ADE 与 △CDB 关于点 O 成中心对称。 ∴ AE=BC= 6。 15. 12　 【解析】∵ △ABC 平移 2 个单位长度得到△A′B′C′, ∴ BB′= 2,AB=A′B′。 ∵ AB= 4,BC = 6,∴ A′B′= 4,B′C =BC-BB′= 6-2 = 4 = A′B′。 又∵ ∠B = 60°,∴ ∠A′B′C = 60°。 ∴ △A′B′C 是等边三角形。 ∴ △A′B′C 的周长 为 4×3 = 12。 16. 45°或 30° 　 【解析】 如图 1,当点 C 在边 AD 上时, ∵ ∠B = 60°, ∠ACB = 75°, ∴ ∠BAC = 180° - ∠B - ∠ACB= 180° -60° -75° = 45°。 ∵ 将△ABC 绕点 A 顺 时针旋转 α ( 0° < α < 180°) 得到 △ADE, ∴ ∠DAE = ∠BAC=α = 45°。 如图 2,当点 C 在边 DE 上时,∵ 将 △ABC 绕 点 A 顺 时 针 旋 转 α ( 0° < α < 180°) 得 到 △ADE,∴ AC=AE,∠E = ∠ACB = 75°。 ∴ ∠E = ∠ACE = 75°。 ∴ ∠EAC = α = 180° - 75° - 75° = 30°。 综上所 述,α 的度数是 45°或 30°。 图 1 　 　 　 图 2 17.证明:由旋转可知△ABC≌△DEC。 ∴ ∠A= ∠CDE,AC=DC。 ∴ ∠A= ∠ADC。 ∴ ∠ADC= ∠CDE,即 DC 平分∠ADE。 18.证明:如图,连接 BB′,CC′。 ∵ 点 B 绕点 O 旋转 180°到点 B′,∴ OB=OB′。 ∵ 点 C 绕点 O 旋转 180°到点 C′,∴ OC=OC′。 ∴ 四边形 BCB′C′是平行四边形。 19.证明:∵ △ABC 是等边三角形, ∴ BA=BC,∠ABC= ∠C= ∠BAC= 60°。 ∵ △BCD 绕点 B 逆时针旋转 60°,得到△BAE, ∴ ∠BAE= ∠C= 60°。 ∴ ∠BAE= ∠ABC。 ∴ AE∥BC。 20.解:(1)∵ △ABC 沿 BC 所在直线向右平移,所得图形 对应为△DEF, ∴ ∠B= ∠DEF,AD∥BF。 ∵ AD∥BF,∴ ∠DEF= ∠ADE= 60°。 ∴ ∠B= 60°。 (2)∵ △ABC 以 0. 2 cm / s 的速度沿 BC 所在直线向右 平移,所得图形对应为△DEF, ∴ BE= 0. 2t cm。 当点 E 在线段 BC 上时, ∵ BE+CE=BC,CE= 1 cm,BC= 4 cm,∴ 0. 2t+1 = 4。 解得 t= 15。 当点 E 在 BC 的延长线上时, ∵ BE=BC+CE,CE= 1 cm,BC= 4 cm,∴ 0. 2t= 4+1。 解得 t= 25。 综上所述,当 t= 15 或 25 时,CE= 1 cm。 21.解:(1)∵ 点 P(3a-15,2-a)到 x 轴的距离是 3, ∴ | 2-a | = 3。 ∴ a= -1 或 5。 (2)由 a= -1,得点 P( -18,3); 由 a= 5,得点 P(0,-3)。 ∵ 点 Q 是点 P 向上平移 2 个单位长度得到的, ∴ 点 Q 的坐标为( -18,5)或(0,-1)。 (3)∵ 点 P(3a-15,2-a)位于第三象限, ∴ 3a-15<0,2-a<0。 解得 2<a<5。 ∵ 点 P 的横、纵坐标都是整数, ∴ a= 3 或 4。 当 a= 3 时,点 P( -6,-1);当 a= 4 时,点 P( -3,-2)。 ∴ 点 P 的坐标为( -6,-1)或( -3,-2)。 22.解:(1)△AEF 为等腰直角三角形。 理由如下: ∵ 四边形 ABCD 为正方形, ∴ AD=AB,∠DAB= 90°。 ∵ △ADE 旋转后能与△ABF 重合, ∴ AE=AF,∠DAB= ∠EAF= 90°。 ∴ △AEF 为等腰直角三角形。 (2)∵ 四边形 ABCD 为正方形, ∴ ∠D= ∠ABC= 90°,CD=CB。 ∵ △ADE 旋转后能与△ABF 重合, ∴ △ABF≌△ADE,BF=DE,∠ABF= ∠D= 90°。 ∴ ∠ABC= ∠ABF= 90°。 ∴ 点 F 在 CB 的延长线上。 ∴ S四边形AECF = S△ABF + S四边形AECB = S△ADE + S四边形AECB =S正方形ABCD。 ∵ CF= 7, ∴ CB+BF=CB+DE= 7。 ∵ DE=CD-CE=CB-CE=CB-3, ∴ CB+CB-3 = 7。 解得 CB= 5。 ∴ S四边形AECF =S正方形ABCD = 52 = 25。 23. 解: ( 1 ) ∵ ∠ACB = 90°, BC = 3, AC = 4, ∴ AB = AC2 +BC2 = 5。 ∵ D 为 BC 的中点,P 为线段 AC 的中点, ∴ DP= 1 2 AB= 5 2 。 故答案为 5 2 。 (2)如图,取格点 E,F,G,H,连接 EF,GH,它们分别与 网格线交于点 I,J, 取格点 B′,连接 IJ,DB′,它们相交于点 P′,则点 P′即 为所求作。 取格点 M,N,连接 MN,与网格线交于点 L,连接 DL, 与 AC 线交于点 P,则点 P 即为所求作。 24.解:(1)如图,△A1B1C1 即为所求作。 (2)如图,△A2B2C2 即为所求作。 (3)如图,作点 C2 关于 x 轴的对称点 C′,连接 C′A1 交 x 轴于点 P,点 P 即为所求作。 则此时 PA1 +PC2 的值最小。 设直线 C′A1 的表达式为 y= kx+b。 把点 A1(2,-3),C′(4,2)代入,得 2k+b= -3, 4k+b= 2。{ 解得 k= 5 2 , b= -8。 ì î í ïï ï ∴ 直线 C′A1 的表达式为 y= 5 2 x-8。 当 y= 5 2 x-8 = 0 时,解得 x= 16 5 。 ∴ 点 P 的坐标为(16 5 ,0)。 25.解:(1)①∵ △ABC 为等边三角形, ∴ BA=BC,∠ABC= 60°。 ∵ △BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD, ∴ ∠OBD= ∠ABC= 60°。 ∴ 旋转角的度数为 60°。 ②∵ △BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD, ∴ OB=DB。 ∵ ∠OBD= 60°, ∴ △OBD 为等边三角形。 ∴ OD=OB= 4。 ③由②,得△BOD 为等边三角形。 ∴ ∠BDO= 60°。 ∵ △BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD, ∴ DC=OA= 3。 在△OCD 中,DC= 3,OD= 4,OC= 5, ∵ 32 +42 = 52, ∴ DC2 +OD2 =OC2。 ∴ △OCD 为直角三角形,∠ODC= 90°。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ∴ ∠BDC= ∠BDO+∠ODC= 60°+90° = 150°。 (2)当 OA2 +2OB2 =OC2 时,∠ODC= 90°。 证明:∵ △BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到△BCD, ∴ ∠OBD= ∠ABC= 90°,OB=DB,DC=OA。 ∴ △OBD 为等腰直角三角形。 ∴ OD= OB2 +DB2 = 2OB。 ∵ 当 DC2 +OD2 =OC2 时,∠ODC= 90°, ∴ 当OA,OB,OC满足OA2+2OB2 =OC2 时,∠ODC=90°。 专项突破一　 特殊四边形的性质与判定 1. (6,4)或( -6,4)或(0,-4) 【解析】 ∵ 点 A ( - 3, 0),B (3,0),C(0,4),∴ OA = OB = 3,OC= 4,AB=OA+OB = 6。 如图,分三种情况:①当 AB∥ CD,AC∥BD 时,点 D 的坐标 为(6,4);②当 AB∥CD′,AD′∥BC 时,点 D′的坐标为 (-6,4);③当 AD″∥BC,AC∥BD″时,点 D″的坐标为(0,-4)。 综上所述,点 D 的坐标为(6,4)或(-6,4)或(0,-4)。 2. (1)证明:∵ D,E 分别是边 AB,AC 的中点, ∴ DE 是△ABC 的中位线。 ∴ DE∥BC,即 DF∥BC。 ∵ CF∥AB,∴ 四边形 BCFD 是平行四边形。 (2)解:∵ AB=BC,E 是边 AC 的中点, ∴ BE⊥AC,AC= 2AE。 ∵ D 是边 AB 的中点,∴ AB= 2BD= 4。 在 Rt△ABE 中,AE= AB2 -BE2 = 42 -32 = 7 , ∴ AC= 2AE= 2 7 。 3.解:(1)如图,过点 A 作 AM⊥BC 于点 M,设 AC 交 PE 于点 N。 ∵ ∠BAC= 90°,∠B= 45°, ∴ ∠C= 45° = ∠B。 ∴ AB=AC。 ∴ BM=CM。 ∴ AM= 1 2 BC= 5。 ∵ AD∥BC,∴ ∠PAN= ∠C= 45°。 ∵ PE⊥BC,∴ PE∥AM。 ∴ 四边形 AMEP 为平行四边 形。 ∴ PE=AM= 5,PE⊥AD。 ∴ △APN 和△CEN 是等腰直角三角形。 由题意,得 PA= t,QC= 2t。 ∴ PN=PA= t,CE=EN= 5-t。 ∵ CE=QC-QE= 2t-2, ∴ 5-t= 2t-2。 解得 t= 7 3 。 ∴ BQ=BC-CQ= 10-2× 7 3 = 16 3 。 (2)存在。 若以 A,B,E,P 为顶点的四边形为平行四边形,则 PA =BE, 分两种情况:①当点 E 在线段 BC 上时,BE=BC-CE,即 t= 10-2t+2,解得 t= 4。 ②当点 E 在线段 CB 的延长线上时,BE =CE-BC,即 t = 2t-2-10,解得 t= 12。 ∴ 存在 t= 4 或 12,使以 A,B,E,P 为顶点的四边形为平 行四边形。 4. A 　 【解析】 如 图, 连 接 AD。 ∵ ∠BAC= 90°,且 AB = 6,AC = 8,∴ BC = AB2 +AC2 = 62 +82 = 10。 ∵ DM ⊥ AB, DN ⊥ AC, ∴ ∠DMA= ∠DNA = ∠BAC = 90°。 ∴ 四边形 DMAN 是 矩形。 ∴ MN=AD。 ∴ 当 AD⊥BC 时,AD 的值最小,即 MN 的值最小。 此时,S△ABC = 1 2 AB·AC = 1 2 BC·AD。 ∴ AD= AB·AC BC = 6×8 10 = 4. 8。 ∴ MN 的最小值为 4. 8。 故选 A。 5. (1)证明:∵ CE∥BD,DE∥AC, ∴ 四边形 DOCE 是平行四边形。 ∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AC⊥BD。 ∴ ∠COD= 90°。 ∴ 四边形 DOCE 是矩形。 (2)解:∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AC⊥BD,OC= 1 2 AC= 3,OD= 1 2 BD= 4。 ∴ CD= OC2 +OD2 = 32 +42 = 5。 由(1),得四边形 DOCE 是矩形。 ∴ OE=CD= 5。 ∴ EF= 1 2 OE= 5 2 。 6. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB=CD,AB∥CD,OB=OD,OA=OC。 ∴ ∠ABE= ∠CDF。 ∵ E,F 分别是 OB,OD 的中点, ∴ BE= 1 2 OB,DF= 1 2 OD。 ∴ BE=DF。 在△ABE 和△CDF 中, AB=CD, ∠ABE= ∠CDF, BE=DF, ì î í ïï ïï ∴ △ABE≌△CDF(SAS)。 (2)解:当 AC= 2AB 时,四边形 EGCF 是矩形。 理由如下, ∵ AC= 2OA,AC= 2AB,∴ AB=OA。 ∵ E 是 OB 的中点, ∴ AE⊥OB,即 AG⊥OB。 ∴ ∠OEG= 90°。 同理可得 CF⊥OD,∴ AG∥CF。 ∴ EG∥CF。 ∵ EG=AE,OA=OC, ∴ OE 是△ACG 的中位线。 ∴ OE∥CG。 ∴ EF∥CG。 ∴ 四边形 EGCF 是平行四边形。 ∵ ∠OEG= 90°,∴ 平行四边形 EGCF 是矩形。 7. 2　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ OA=OC,OB =OD = 1 2 BD,BD⊥AC。 ∴ BD= 2OB= 8。 ∵ S菱形ABCD = 1 2 AC· BD= 16,∴ AC= 4。 ∵ AE⊥BC,∴ ∠AEC = 90°。 ∴ OE = 1 2 AC= 2。 8.证明:(1)∵ △ABC≌△ABD,∴ ∠ABC= ∠ABD。 ∵ CE∥BD,∴ ∠CEB= ∠DBE。 ∴ ∠CEB= ∠CBE。 (2)∵ △ABC≌△ABD,∴ BC=BD。 ∵ ∠CEB= ∠CBE,∴ CE=CB。 ∴ CE=BD。 ∵ CE∥BD,∴ 四边形 BCED 是平行四边形。 ∵ BC=BD,∴ 平行四边形 BCED 是菱形。 9. (1)证明:∵ EF 是 AC 的垂直平分线, ∴ OA=OC,∠AOE= ∠COF= 90°。 ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD∥BC。 ∴ ∠EAO= ∠FCO。 在△AEO 和△CFO 中, ∠EAO= ∠FCO, OA=OC, ∠AOE= ∠COF, ì î í ïï ïï ∴ △AEO≌△CFO(ASA)。 ∴ OE=OF。 又∵ OA=OC,∴ 四边形 AECF 是平行四边形。 又∵ EF⊥AC,∴ 四边形 AECF 是菱形。 (2)解:设 AF= x。 ∵ EF 是 AC 的垂直平分线,BC= 16, ∴ AF=CF= x,BF= 16-x。 在 Rt△ABF 中,由勾股定理,得 AB2 +BF2 =AF2, 即 82 +(16-x) 2 = x2。 解得 x= 10。 ∴ AF= 10。 ∴ 菱形 AECF 的周长为 4×10 = 40。 10. B　 【解析】设 AC = a,BC = b。 ∵ 四边形 ACDE 是正方 形,∴ CD=AC=a。 ∵ 四边形 BCFG 是正方形,∴ FG = BC= b,GF⊥CD。 ∵ AB = 9 2 ,∴ a+b = 9 2 。 ∵ △CDG 的 面积为 7 4 ,∴ 1 2 ab = 7 4 ,即 2ab = 7。 ∴ (a+b) 2 = 81 4 ,即 a2 +2ab+b2 = 81 4 。 ∴ a2 +b2 = 81 4 -7 = 53 4 。 ∴ 正方形 ACDE 与正方形 BCFG 的面积和为53 4 。 故选 B。 11.证明:(1)∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠B= 90°。 ∵ EF⊥AB,EG⊥BC, ∴ ∠BFE= 90°,∠BGE= 90°。 ∴ ∠B= ∠BFE= ∠BGE= 90°。 ∴ 四边形 BFEG 是矩形。 (2)∵ 正方形 ABCD 的周长为 40 cm, ∴ AB= 40÷4 = 10(cm)。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∠EAF= 45°。 ∴ △AEF 是等腰直角三角形。 ∴ AF=EF。 ∵ AF= 5 cm,AB= 10 cm, ∴ EF=AF= 5 cm,BF=AB-AF= 5 cm。 ∴ EF=BF= 5 cm。 ∵ 四边形 BFEG 是矩形, ∴ 四边形 BFEG 是正方形。 12.证明:(1)∵ AB=AC,AD 是∠BAC 的平分线, ∴ AD⊥BC,即∠ADC= 90°。 ∵ AD 是∠BAC 的平分线,AE 是∠BAC 的邻补角的平 分线,∴ ∠DAC= 1 2 ∠CAB,∠CAE= 1 2 ∠FAC。 ∵ ∠CAB+∠FAC= 180°, ∴ ∠DAC+∠CAE= 90°,即∠DAE= 90°。 又∵ CE⊥AE,∴ ∠ADC= ∠AEC= ∠DAE= 90°。 ∴ 四边形 ADCE 是矩形。 (2)如图,连接 DE 交 AC 于点 O。 ∵ 四边形 ADCE 是矩形, ∴ AC=DE,OE=OD,OA=OC。 ∴ OC=OD。 ∴ ∠OCD= ∠ODC。 ∵ AB=AC,∴ ∠B= ∠ACB。 ∴ ∠B= ∠OCD= ∠ODC。 ∵ ∠AOE= ∠COD= 2∠B, ∴ 2∠B+∠OCD+∠ODC= 180°。 ∴ 4∠B= 180°。 ∴ ∠B= 45°。 ∴ ∠CAD= ∠ACD= 45°。 ∴ AD=CD。 ∵ 四边形 ADCE 是矩形,∴ 矩形 ADCE 是正方形。 专项突破二　 用勾股定理及其逆定理解决实际问题 1.解:在 Rt△ABD 中,BD2 =AD2 -AB2 = 92 -62 = 45。 在 Rt△BCD 中,BC2 +CD2 = 32 +62 = 45。 ∴ BC2 +CD2 =BD2。 ∴ ∠BCD= 90°。 ∴ BC⊥CD。 故该婴儿车符合安全标准。 2.解:由题意可得 RP= 12×2 = 24(海里), PQ= 16×2 = 32(海里),QR= 40 海里。 ∵ 322 +242 = 402, ∴ △RPQ 是直角三角形。 ∴ ∠RPQ= 90°。 ∵ “远航”号沿东北方向航行,即沿北偏东 45°方向航 行,∴ ∠SPQ= 45°。 ∴ ∠RPS= 45°。 ∴ “海天”号沿北偏西 45°(或西北)方向航行。 3.解:(1)∵ ∠C= 90°,BC= 7 m,CD= 24 m, ∴ BD= BC2 +CD2 = 72 +242 = 25(m)。 ∴ BD 的长为 25 m。 (2)∵ AB= 20 m,AD= 15 m,BD= 25 m, ∴ AB2 +AD2 = 202 +152 = 252 =BD2。 ∴ ∠A= 90°。 ∴ S四边形ABCD =S△ABD+S△BDC = 1 2 ×15×20+ 1 2 ×7+24=234(m2)。 234×1 000 = 234 000(元)。 ∵ 234 000<240 000, ∴ 将这块地打造成“口袋公园”政府投入的费用够用。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 68·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·八年级下册