假期作业5 指数、指数函数-【快乐假期】2024年高一数学暑假大作业（北师大版）

　假期作业５　指数、指数函数　　　　　　　 １．根式 (１)概念:式子na叫做　　　,其中n叫做根指 数,a叫做被开方数． (２)性质:(na)n＝　　(a使na有意义);当n 为奇数时,nan＝　　,当n为偶数时, n an ＝|a|＝ a,a≥０, －a,a＜０．{ ２．分数指数幂 (１)规定:正数的正分数指数幂的意义是a m n ＝ 　　(a＞０,m,n∈N∗ ,且n＞１);正数的负 分数指数幂的意义是a－ m n ＝　　(a＞０,m, n∈N∗ ,且n＞１);０的正分数指数幂等于 ０;０的负分数指数幂　　　　． (２)有理指数幂的运算性质:aαaβ＝　　;(aα)β ＝　　;(ab)α＝　　,其中a＞０,b＞０,α,β ∈Q． ３．指数函数及其性质 (１)概念:函数　　　　　叫做指数函数,其中 指数x是自变量,函数的定义域是 R,a是 底数． (２)指数函数的图象与性质 a＞１ ０＜a＜１ 图象 定义域 R 值域 　　　　 性质 过定点　　　,即x＝０时,y＝１ 当x＞０时,　　　; 当x＜０时,　　　 当x＜０时,　　　; 当x＞０时,　　　 在(－∞,＋∞)上是 　　　 在(－∞,＋∞)上是 　　　 ◆[考点一]　有理数指数幂的运算 １．化简[ ３(－５)２] ３ ４ 的结果为 (　　) A．５ B．５ C．－５ D．－５ ２．已知x６＝６,则x等于 (　　) A．６ B． ６ ６ C．－６６ D．± ６ ６ ３．(多选)下列运算结果中,一定正确的是 (　　) A．a３􀅰a４＝a７ B．(－a２)３＝a６ C． ８ a８＝a D． ５(－π)５＝－π ４．化简:１４ æ è ç ö ø ÷ －１２ 􀅰 (４ab －１)３ (０．１)－１􀅰(a３􀅰b－３) １ ２ (a＞０,b＞０)＝　　　　． ◆[考点二]　指数函数的图象及应用 ５．函数f(x)＝(２a－３)ax 是指数函数,则 f(１)＝ (　　) A．８ B．３２ C．４ D．２ ６．函数f(x)＝ex＋x－１x＋１ 的图象大致是(　　) ７．(多选)某数学课外兴趣小组对函数f(x)＝ ２|x－１|的图象与性质进行了探究,得到的下 列四个结论中正确的有 (　　) A．该函数的值域为(０,＋∞) B．该函数在区间[０,＋∞)上单调递增 C．该函数的图象关于直线x＝１对称 D．该函数的图象与直线y＝－a２(a∈R)不 可能有交点 ８．已知函数f(x)是指数函数,如果f(３)＝ ９f(１),那么f(８)　　　　f(４)(请在横线 上填写“＞”“＝”或“＜”)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９ ◆[考点三]　指数函数的性质 ９．(多选)下列函数中,最小值为２的是(　　) A．f(x)＝x２＋２x＋３ B．g(x)＝ex＋e－x C．h(x)＝３x＋２ D．m(x)＝２|x|＋１ １０．函数y＝ １２ æ è ç ö ø ÷ ８－２x－x２ 的单调递增区间为 　　　　． １１．已知函数f(x)＝ax(a＞０且a≠１)的图象 经过点(－２,１６)． (１)求a,并比较f m２＋７４ æ è ç ö ø ÷与f m－１４ æ è ç ö ø ÷的 大小; (２)求函数g(x)＝a－x ２ ＋２x－４的值域． １２．已知函数f(x)＝a－ ２３x＋１ (a∈R)． (１)当a＝１２ 时,求函数g(x)＝ f(x)的定 义域; (２)判断函数f(x)的单调性,并用单调性 的定义证明你的结论． １．若a＝(３) ４ ３ ,b＝９ １ ５ ,c＝８ ７ １０,则 (　　) A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b ２．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝２x(x－a) 在区间(０,１)单调递减,则a的取值范围是 (　　) A．(－∞,－２] B．[－２,０) C．(０,２] D．[２,＋∞) 竹子 用 了 ４ 年 的 时 间,仅 仅 长 了 ３cm,在 第 五年 开 始,以 每 天 ３０cm 的速度疯狂的生长,仅仅 用了六周的时间就长到了１５米． 其实,在前面的四年,竹子将根在土壤里 延伸了数百平米． 做人做事亦是如此,不要担心你此时此刻 的付出得不到回报,因为这些付出都是为了 扎根． 人 生 需 要 储 备! 多 少 人,没 熬 过 那 三 厘米! 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０１ 高~数学 假期作业4 10.D 思维整合室 11.解:(1)证明:设x,:是R上的任意两个实数,且x. x。· 1.数集 唯一确定 2.f(x.)/(x)f(x.)>f(x)增函数 则 (x)-f(x.)-(-2xr +m)-(-2x +m) 3./(x) 一f(x) 4.(1)y轴 偶函数 (2)原点 2(.-x),.一0. 技能提升台 素养提升 '.f()f(工。).,函数/(x)在R上是减函数。 1.D (2):函数f(x)是奇函数,',对任意x后R,有f(一x) 2.B [/()-log:-log.2--2, 一f(x)..2r+n=-(-2x+n)...m=。. 12.解:(1)因为f(x-1)=a(x-1)+b,f(r+1)=a(x+1)+ (/()-f(-2)-3--.] b,所以3f(r-1)-2f(x+1)=3[a(x-1)+b] $[a(x+1)+b]=ar-5a+b-2x-6$ 3.解析:因为f(x)是一次函数,可设f(x)一ax十b(a:0). $3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17,即ax+(5a+ 6)-2x+17. (2)由(1)可知:f(x)-2r+4. 所以g()=fx)-6]- (2+4-6)=2(”- -[()#-]-2(-)-. 故f(x)的解析式是f(x)一2x十7. 答案:2r+7 #当#时,g(n)取最小值## 4.B [对于A,y-2024-2023x 在R上单调递减,故A 错误: 当x-2时,g(x)取最大值4. 对于B,易知y一2r{十3开口向上,对称轴为x-0; 新题快递 所以x-2x^}+3在区间(0,4)上单调递增,故B正确; 1.ACD[对于A,对于任意的x.y都有f(xy)=f(x)十/(y) 对于C,y--(x-2){开口向下,对称轴为x-2, 一1,令x=y=1,则有/(1)=f(1)十/(1)-1,所以f(1) 所以y=-(x-2)②在(-,2)上单调递增,在(2,+)上 1.故A正确; 单调递减,故C错误: 对于B,对于任意的x,y都有f(xy)-f(x)十f(y)一1,令 对于D,y-x-8x-6开口向上,对称轴为x-4, =y=-1,则有f(1)-f(-1)+/(-1)-1,所以f(-1) 所以y-x2-8x-6在(-co,4)上单调递减,故D错误。] 1;令y=-1,则有/(-x)=f(x)+f(-1)-1,所以f(-) 5.AD [对于A,函数y=2r^}十x十1图象的对称轴为直线1 一f(x),故f(x)是偶函数,故B错误; 对于C,任取y>x>0,不妨令v=tx(t1),则有f(y) f(x)-f(tx)-f(x)=f(t)+f(x)-1-f(x)=/(t)-1,因 单调递增,故A正确: 为当x>1时,f(x)1,所以f(t)>1,即f(y)一f(x)>0, 对于B,因为当x一一2时,y=一 所以f(x)在(0.十)上单调递增,故C正确; 对于D,由B的判断过程,可知f(x)是偶函数,由C的推导 当-2时,y-1. 可知f(x)在(0:十o)上单调递增,对于任意的x·v都有 所以函数y-- f(xy)=f(x)+f(y)-1,且f(2)=3,令x=y=2,可得 B错误;对于C,解不等式5+4x-r0,得一1<x5. $$4)=f(2)+f(2)-1-5,令x-4,y=2,可得f(8)=f(4) +f(2)-1-7,所以f(x-1)>7可化为f(x-1)f(8) 所以函数y- 5+4x-x^的定义域为[-1,5],故C错误; 即x-18,解得x -7或x9,即/(x-1)7的解集 对于D,由a十b>o,得a>-b,b>一a,由于f(x)在R上是 为xlx一7或r9),故D正确,故选ACD.] 增函数,故/(a)>f(一b),f(b)>f(一a),所以f(a)十f(b) >/(一a)十f(一b),故D正确,故选AD.] 2.解析:·'函数/(x)-{+1.<0. f2.二0 1+1,易知g(x)在 . 6.解析:由g()--+x+1=+ 方程f(1+x)一f(2x). 7 .当x0时,2-十1,解得x-0,不成立; [1]上单调逃减,在(1.2]上单调逃增,则x(c) 当x0时,f(1十r*)-f(2x)-2,成立. g(1)-3.于是f(x)也在x-1处取得最小值3,则b--2.c &方程f(1+)-f(2x)的解集是(x1>0 -4,即f(x)-x-2x+4-(x-1)+3,所以f(x)在区间 答案:xlx二0) 假期作业5 思维整合室 答案:43 1.(1)根式(2)aa 2.(1)a” 没有意义 7.D[因为/()re “为偶函数,则/(c)- (2)*}ab*3.(1)y-a(a>0且a1) (2)(0.+)(0,1)y10<y110<y<1增 *-1e“-1 “-1 函数 减函数 不恒为0, 技能提升台 素养提升 可得--0,即-“-l, 则x=(a-1)x,即1-a-1,解得a-2.] 1.B [原式-(5)x}-5*×+-5-5.] 8.CD [将函数f(x)一xlx|一2x去掉绝对值 2.D [6是偶数,故当x-6时,x-士,故选D.] 得/()-{-2-二0 3.AD[a·a-a-a,故A正确;(-a)一-a,故B不 1--2,x0. 正确;一lal,故C不正确;(一)一一n,故D正确。 画出函数f(x)的图象,如图,观察图象可知, 故选AD.] 函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f (x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减,在(-oo,一1)上单 4.解析:原式-22”·a.6-^{ 调递增,故选CD.] 答案 9.B [由题意知g(x)-ln (r)为偶函数,有f(一x)-(一x十a)g(一x)=-(-x十a)g 5.D[.函数f(x)-(2a-3)a是指数函数,.',2a-3-1,解 ()-(x+a)g(x)-f(x),故x-a=x十a,则a-0] 得a-2../(x)-2...f(1)-2.] 85 # 乐期 6.D [f(r)=+1 2,易函数的定义域为 新题快递 1.B ['a-3)-,b--,1→, xlx-1),当x -1时,f(x)1,排除A和B;当x无限 增大时,/(x)无限趋近于e十1,呈指数增长,排除C,故 .3<3<3,即ba<3. 选D] 又,c-8-2'cab,故选B] 7.CD [画出/(x)一21的图象 如图所示。 2.D [由题意易得,二1,所以a的取值范围是[2,十oo).] 对于A,由f(x)的图象可知,函 数/(x)的值域为[1,十),A错 假期作业6 误;对于B,由f(z)的图象可知, 思维整合室 画数/(x)在[0,1)上单调递减, 1.(1)r=log.N (2)10 lgN e lnN 2.(1)0 1 N b 在[1,十)上单调递增,B错误; (2)log M+log N log M-log N nlog M (3)①log N C正确;对于D.因为y=一a< log.N -log.b ②log.d 3.(2)(0.+)R (1.0)y>o y< 0.所以D正确,故选CD.] 0 yo 0增函数 8.解析:函数f(x)是指数函数,故设f(x)一a(a>0,且a 减函数 1).依题意得:f(3)-a}-9al-9f(1),又a>0,所以a -3 1.B [log. 2-log,6=logt2=1og1 技能提升台 素养提升 所以f(x)=3,因此f(4)-3,f(8)-3-3 33= 1--1,故选B.] f(4),所以f(8)>f(4). 答案:> 2.B [lg 6-161g2+1g3 1 9.ABD[对于A,f(x)-x*+2x+3-(x+1)*+22,当x- lg3 g3 一1时,等号成立,故A正确;对于B,g(x)一e十e一十 3.解析:根据题意有f(3)-log。(9十a)-1,可得9十a-2,所 以a--7. -2,当且仅当工=0时,等号成立,故B正确;对于C. 答案:-7 (lg 3)-2lg3+1 (21g3+31g2-3) h(x)-3+2,由于3 0,所以h(x)2,故C错误;对于D. n(x)-2 +1→2^}+1-2,当且仅当x-0时,等号成立,故 4.解析:原式一- (lg3-1)·(lg3+2lg2-1) D正确,故选ABD.1 (1-lg3)·(1g 3+21g 2-1) 10.解析:设(-8-2x-x”,则y-(),易知y-()在R -(1g3-1)·(lg3+21g 2-1) 上单调递减,又知(-8-2x-在(-,-1]上单调 答 增,在[一1,+o00)上单调逃减,所以由y-()与1-8- 5.B [因为y一2*的图象为过点(0.1)的递增的指数函数图 象,故排除选项C,D;y-log。(一x)的图象为过点(-1,0)的 的单调递增区间 递减的对数型函数图象,故排除选项A,故选B 为[一1,+). 6. BCD[作出&数f(x)-log(x十2)(0 a 1)的大致图象 答案:[-1,+o) 如图所示,则函数f(工)的图象过第二、三、四象限。] _进 .7 所以()() 因为画数/(x)一()在R上单调减, (n{})(7)_#-m ##)#7_O y=lng(x+2) -225 所以/(n+)</(u-). 7.A [作直线y=1(图略),则1-logx,1=logx,1 log,1-logx,解得x=a,=b,=c,x=,由图可 (2)因为y=-r*+2x-4=-(r-1) -3<-3 )#()64 知>x>l>x>x,即c<d<1<a b,故选A.] 所以() 8.解析:.y-logx是定义域内的减函数,.'.log。(m-1) (-1>0.” 即n3. log.(3-m)-3-m0. (n>1, 故g(x)的值域是[64,十). 1m-1<3-m,n2. 12.解:(1)当a--时,画数g(c)-f(c)= 231' .1m2. 即n的取值范围是(1,2). 答案:(1,2) 9.B [由()*-5,得b=logt5--log-5,又-log:3-- -log3,所以-log5<-log3<0<log 2,即b<a<c.故 所以画数g(x)的定义域为[1,十。o). 10.A般0 选B (2)画数/(x)在定义域B上为增函数. 证明如下:在B上任取r.x。,且x<x。. 则 ( )-(u:)-(-)(-2) 解得一8 x2,所以函数f(x)-v1-lg(2-x)的定义域 为[一8,2),故选A.] -2(3-3) (3+1)(3+1) 11.解:(1)证明:任取x,x。(a,十c). 由<x。,可知0<3<3,则3-3<0, 又因为31+1>0,3+1>0. 则g()一g(x) 所以f(x、)一f(x。)<0,即f(x.)<f(x。),所以f(x)在定 #(1)#-(1-)-()0 义域R上为增函数. :1) 86