假期作业4 函数的概念与性质-【快乐假期】2024年高一数学暑假大作业（北师大版）

　　　　假期作业４　函数的概念与性质　　　　　　　 １．函数的概念 在给定实数集 R中,设A,B 是两个非空的 　　　　,如果存在一个对应关系f,使对 于集合A 中的每一个数x,在集合B 中都有 　　　　　　的数y和它对应;那么就称对 应关系f 为定义在集合A 上一个函数．记 作y＝f(x),x∈A． ２．函数的单调性 条件 一般地,设函数f(x)的定义域为D:如果对于定义 域D 上某个区间I 上的任意两个自变量的值x１, x２,当x１＜x２ 时 都有　　　　　　 都有　　　　　　　 结论 那么就说函数f(x)在 区间I上是　　　　 那么就说函数f(x)在区间 I上是减函数 图示 ３．函数奇偶性的概念 偶函数 奇函数 条件 对于函数f(x)定义域内任意一个x都有 f(－x)＝　　　　 f(－x)＝　　　　 结论 函数f(x)叫做偶函数 函数f(x)叫做奇函数 ４．奇、偶函数图象的对称性 (１)偶函数的图象关于　　　　对称,图象关 于y轴对称的函数一定是　　　　． (２)奇函数的图象关于　　　　对称,图象关 于原点对称的函数一定是奇函数． ◆[考点一]　函数的概念 １．函数f(x)＝ x－１x－３＋ (x－１)０的定义域为 (　　) A．[１,＋∞)　　　　B．(１,＋∞) C．[１,３)∪(３,＋∞)D．(１,３)∪(３,＋∞) ２．已知函数f(x)＝ log２x,x＞０, ３x,x≤０,{ 则 ff １４ æ è ç ö ø ÷ æ è ç ö ø ÷的值是 (　　) A．９ B．１９ C．－９ D．－１９ ３．已知f(x)是一次函数,且满足３f(x＋１)－ ２f(x－１)＝２x＋１７,则f(x)＝　　　　． ◆[考点二]　函数的单调性 ４．下列函数在区间(０,４)上单调递增的是 (　　) A．y＝２０２４－２０２３x B．y＝２x２＋３ C．y＝－(x－２)２ D．y＝x２－８x－６ ５．(多选)下列命题中正确的是 (　　) A．函数y＝２x２＋x＋１在(０,＋∞)上单调 递增 B．函数y＝ １x－１ 在(－∞,１)∪(１,＋∞)上 是减函数 C．函数y＝ ５＋４x－x２的单调区间是[２,＋∞) D．已知f(x)在R上是增函数,若a＋b＞０, 则有f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b) ６．在区间 １２ ,２é ë êê ù û úú 上,函数f(x)＝x２＋bx＋c (b,c∈R)与g(x)＝x ２＋x＋１ x 在同一个点取 得相 同 的 最 小 值,那 么 f(x)在 区 间 １ ２ ,２é ë êê ù û úú 上 的 最 大 值 为 　 　 　 　,最 小 值 为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７ ◆[考点三]　函数的奇偶性 ７．(２０２３􀅰全国乙卷)已知f(x)＝ xe x eax－１ 是偶 函数,则a＝ (　　) A．－２　　B．－１　　C．１　　D．２ ８．(多选)已知函数f(x)＝x|x|－２x,则下列 结论正确的是 (　　) A．f(x)是偶函数,递增区间是(０,＋∞) B．f(x)是偶函数,递减区间是(－∞,１) C．f(x)是奇函数,递减区间是(－１,１) D．f(x)是奇函数,递增区间是(－∞,－１) ９．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln２x－１２x＋１ 为偶函数,则a＝ (　　) A．－１ B．０ C．１２ D．１ ◆[考点四]　函数性质的综合应用 １０．若定义在 R上的奇函数f(x)在(－∞,０) 单调递减,且f(２)＝０,则满足xf(x－１)≥０ 的x的取值范围是 (　　) A．[－１,１]∪[３,＋∞) B．[－３,－１]∪[０,１] C．[－１,０]∪[１,＋∞) D．[－１,０]∪[１,３] １１．已知函数f(x)＝－２x＋m,其中 m 为 常数． (１)求证:函数f(x)在R上是减函数; (２)当函数f(x)是奇函数时,求实数 m 的值． １２．已知函数f(x)＝ax＋b(a≠０,a,b为实 数),且 满 足 ３f(x－１)－２f(x＋１) ＝２x－６． (１)求a,b的值． (２)求函数g(x)＝x[f(x)－６]在区间 [０,２]上的最值． １．(多选)定义在(－∞,０)∪(０,＋∞)上的函 数f(x),对于任意的x,y 都有f(xy)＝ f(x)＋f(y)－１,且f(２)＝３,当x＞１时, f(x)＞１,则下列结论正确的是 (　　) A．f(１)＝１ B．f(x)是奇函数 C．f(x)在(０,＋∞)上单调递增 D．f(x－１)＞７的解集为{x|x＜－７或x＞９} ２．已知函数f(x)＝ ex＋１,x＜０ ２,x≥０{ ,则方程f(１＋ x２)＝f(２x)的解集是　　　　　　　． 高 中 数 学 到 底 有 多 可怕? 课上弯腰捡了一下笔 帽,起 来 后 就 再 也 没 听 懂 过􀆺􀆺 我题目还没抄完呢,学霸已经给出答案 了􀆺􀆺 我眼睁睁地看着数学老师把一堆字母算 成一个数字􀆺􀆺 上数学课的时候,我把这一周的早、中、晚 餐都想好吃什么了􀆺􀆺 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８ 三022 高一教学 假期作业4 10.D 思维整合室 11.解：(1)证明：设x1,x是R上的任意两个实数，且x<x4, 1.数集唯一确定2.(x)f()f(1)>f(x2)增函数 则f(x1)一f(x4)=(一2x1十m)一（一2x2十m) 3.f(x)一f(.x)4.(1)y轴偶函数(2)原点 2(x4一x1),x1<x4x2-x1>0. 技能提升台素养提升 ∴f(x,)>f(x)..函数f(x)在R上是减函数 1.D (2):函数f(x)是奇函数，.对任意x∈R,有f(一x)= 2.B/(）=log:1=log:2=-2 -f(x)..2x十m=-(一2x十m)..m=0. 12.解：(1)因为f(x-1)=a(.x-1)+b,f(x+1)=a(x+1)+ f)月=f-2)=3=1 b,所以3f(x-1)-2f(x十1)=3[a(x-1)十b] 2[a(x+1)+b]=a.x-5a+b=2x-6, 3.解析：因为f(x)是一次函数，可设f(x)-ax十b(a≠0)， .3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17.即a.x+(5a+ 5a十6=-6.解得{0=2 所以4=2， b=4. b)=2x+17, (2)由(1)可知：f(x)=2.x+4. 5十b=17.解得/2， 因此应有=2， 所以g(x)=x[f(x)-6]=x(2x+4-6)=2(x-x) 1b=7. 故f(x)的解析式是f(x)=2x十7. 答案：2.x十7 =()-]=(-）-安 4.B[对于A,y=2024-2023.x在R上单调递减，故A 当x=2时，gx)取最小值-之： 错误： 当x=2时，g(x)取最大值4. 对于B,易知y=2x+3开口向上，对称轴为x=0, 新题快递 所以y=2x2十3在区间(0,4)上单调递增，故B正确： 1.ACD[对于A,对于任意的x,y都有f(xy)=f(x)十f(y) 对于Cy=一(x一2)开口向下，对称轴为x=2, -1,令x=y=1,则有f1)=f(1)+f(1)-1,所以f(1)= 所以y=一(x一2)在（一∞，2）上单调递增，在(2，十0)上 1,故A正确： 单调递减，故C错误： 对于B,对于任意的x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)一1，令x 对于Dy=x-8x一6开口向上，对称轴为x=4, =y=一1，则有f(1)=f(一1)+f(一1)一1，所以f(一1)= 所以y=x2-8.x一6在（一∞，4）上单调递减，故D错误.] 1:令y=一1，则有f(一x)=f(x)十f(一1)一1，所以f(一x) 5.AD[对于A,函数y=2x十x十1图象的对称轴为直线x =f(x),故f(x)是偶函数，故B错误； 子，开口向上，所以函最y=2十x十1在(0，十四)上 对于C,任取y>x>0,不纺令y=tx(1>1),则有f(y) f(r)=f(1x)-f(x)=f(t)+f(x)-1一f(x)=f(t)一1，因 单调递增，故A正确： 为当x>1时，f(x)>1,所以f(t)>1,即f(y)-f(x)>0, 对于B,周为当x=一2时y=- 3· 所以f(x)在(0，十○)上单调逆增，故C正确： 对于D,由B的判断过程，可知f(x)是惕函数，由C的推导 当x=2时，y=1, 可知f(x)在(0，十∞)上单调递增.对于任意的r,y都有 所以函数y=在(-60,1U1,十∞)上不是减画数，故 f(xy)=f(x)十f(y)一1，且f(2)=3,令x=y=2,可得 B错误：对于C,解不等式5+4xx≥0，得一1≤x≤5， f(4)=f(2)+f(2)-1=5,令x=4,y=2,可得f(8)=f(4) 十f(2)一1=7，所以f(x-1)>7可化为f(x-1)>f(8), 所以函数y=√5十4x一x的定义城为[一1,5]，故C错误： 脚x一1>8，解得x<一7或x>9,即f(x-1)>7的解集 对于D,由a十b>0,得a>一b,b>一a,由于f(x)在R上是 为{xx<-7或x>9),故D正确.故选ACD.] 增函数，故f(a)>f(一b),f(b)>f(一a),所以f(a)十f(b) >f(-a)十f(一b),故D正确，故选AD.] 2解折画数=侣00 6.解析：由g(r)=++1=工++1易知g(x)在 方程f(1十x)=f(2x), .当x<0时，2=e十1，解得x=0,不成立： [合1]上单调适减，在(1,2]上单词递增，则gx)- 当x≥0时，f(1+x)=f(2.x)=2,成立， g(1)=3.于是f(,x)也在x=1处取得最小值3，则b=一2，c ,.方程f(1十x)=f(2x)的解集是{xx≥0} =4,即f(x)=x2一2.x+4=(x一1)+3.所以f(.x)在区间 答案：{xx≥0} [合，2]上的最大值为2)= 假期作业5 思维整合室 答案：43 1,(1)根式(2)aa2.(1Da”元 没有意义 7.D[因为fx)=e 。一为偶函数，则f化x) (2)a+74单ab°3.(1)y=a(a>0且a≠1) =0,又图为x (2)(0,+∞)(0,1)y>10<y<1y>10<y<1增 er-1 函数减函数 不恒为0， 可得e-er=0,即e=e-r, 技能提升台素养提升 则x=(u-1)x.即1=a-1.解得a=2.] 1.B[原式=(52)×宁=5=5量=5.] 8.CD[将西数f(x)=xx一2x去掉绝对值 2.D[6是祸数，故当x=6时，x=士，故选D.] 得f(x)=1-2,x≥0， 3.AD[a3·a=a+=a,故A正确；(-d2)=-a,故B不 {-x2-2r,x<0, 正确：派=a,故C不正确：(-x下=一π，故D正确. 画出西数f(x)的图象，如图，观察图象可知， 故选AD.] 函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f (x)为奇函数，且在（一1,1）上单调递减，在（一∞，一1）上单 4期折：原式=2×：。：6-g×10-号 调递增，故达CD.门 10·a年·b量 9,B[由题意知g)=n是奇品数，而)=（十ag 答案：8 (x)为偶函数，有f(-x)=(-x十a)g(-x)=-(一x十a)g 5.D[,函数f(x)=(2a一3)a是指数函数，，2a一3=1，解 (x)=(x+a)g(x=f(x),故x-a=x+a,则a=0.] 得a=2.∴f(x)=2.∴.f1)=2.] 85