第19讲 函数模型的应用 -2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）

第19讲 函数模型的应用 1. 理解函数是描述客观世界中的变量关系和规律的重要数学语言和工具； 2. 养成画图、识图和用图的习惯，从图中观察出函数模型； 3. 了解数学模型的概念，知道数学建模的意义，能利用给定的函数模型解决实际问题，能选择适当的函数模型拟合实际问题. 1 各种函数的增速 (1)一次函数的增长速度 一次函数在区间上是增函数，其增长的速度不变，越大，其增长得越快． 当时，越大，其增长得越快． (2) 幂函数的增长速度 幂函数在区间上是增函数，其增长速度较快，指数越大，增长速度越快． 如比的增长速度更快.当时，的函数值比小；当时，的函数值比大，并且越来越大。 (3) 对数函数的增长速度 对数函数在区间上是增函数，其增长的速度较慢，随着的增大，的图象类似于与轴平行一样． 其底数越小，增长的速度越快．科网] 如比的增长速度更快.当时，的函数值比大；当时，的函数值比小，并且越来越小。 (4) 指数函数的增长速度 指数函数在区间上是增函数，其增长速度最快． 其底数越大，增长的速度越快． 如比的增长速度更快。当时，的函数值比小；当时，的函数值比大，并且越来越大。 (5) 几类不同增长的函数模型的比较 (1)指数函数、对数函数、幂函数的增长趋势比较 在区间的单调性 增函数 增函数 增函数 增长速度 先慢后快 先快后慢 相对平稳 图象变化 随的增大逐渐加快增大 随的增大逐渐减慢增大 随的不同而不同 如， 三个函数在上都是增函数，但它们的增速不一样， 我们列表看看， 在同一坐标系内，作出函数图象，如下图， 由图和表，易知对数函数增长得很慢，指数函数增长得很快，比幂函数更快.而当时，的函数值有些比小；当时，的函数值比大，且相差越来越大. 综上所述，在区间上，尽管函数和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢，总会存在一个，当，就有． 2 函数模型 (1)函数模型 一次函数 二次函数 指数函数 指数型函数 对数函数 对数型函数 幂函数 幂函数型 (2)函数模型解决实际问题 通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下： 第一步：收集数据． 第二步：根据收集到的数在平面直角坐标系内画出散点图． 第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型． 第四步：选择其中的几组数据求出函数模型． 第五步：将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际．若不符合实际，则重复第三、四、五步；若符合实际，则进入下一步．[来源:学.科.网Z.X.X.K] 第六步：用求得的函数模型去解释实际问题． 【题型一】 常见函数模型的增长差异 【典题1】 在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据： 在四个函数模型(为待定系数)中，最能反映函数关系的是(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是(    ) A． B． C． D． 2.下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是(    ) A． B． C． D． 3.2006年至2018年北京市电影放映场次(单位：万次)的情况如图所示，下列函数模型中，无法近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是(    )    A． B． C． D． 4.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　) ． ． 【题型二】 幂函数模型的应用 【典题1】 党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②(注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元)． (1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 变式练习 1. 2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为(参考值：)(    ) A．10% B．20% C．22% D．32% 2.某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为 (为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为 万元. 【题型三】 指数函数模型的应用 【典题1】 (2024·江苏·一模)德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：，其中M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的(    ) A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍 【典题2】茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵奇葩！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌．立德中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，小明同学用沸水泡了一杯茶，泡好后置于室内，开始时测得这杯茶的温度为100℃，经过1分钟测得其温度变为80℃，再经过1分钟测得其温度变为65℃．小明想利用上述数据建立这杯茶的温度y(单位：℃)随经过的时间t(单位：分钟)的函数关系式，选用了两种函数模型： ①为常数，且)； ②为常数，)． (1)请通过计算帮小明同学选出恰当的函数模型； (2)现代研究结果显示，饮茶温度不要超过60℃，请利用(1)中选出的模型该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待多长时间？(参考数据：) 变式练习 1. (2024·广东·一模)假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过(    )天，甲的“日能力值”是乙的20倍(参考数据：，，) A．23 B．100 C．150 D．232 2.2024年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，其中，中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，当空间站运行周期增加1倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是(参考数据：，)(    ) A．1.587 B．1.442 C．0.587 D．0.442 3.某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为42，48，52．为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型，乙选择了模型，其中y为患病人数，x为月份数，都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为54，57，58． (1)求的值；(2)你认为谁选择的模型好． 4.环保部门为了研究某池塘里某种植物生长面积S(单位：)与时间t(单位：月)之间的关系，通过观察建立了函数模型，且.已知第一个月该植物的生长面积为，第三个月该植物的生长面积为. (1)求证：若，则； (2)若该植物的生长面积达到100 以上，则至少要经过多少个月？ 5.某地区不同身高未成年男性体重平均值如下表： 身高 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 体重 10 12 15 17 20 27 31 45 50 67    根据表中数据及散点图，为了能近似地反映该地区未成年男性平均体重与身高的关系，现有以下三种模型提供选择： ①，②，③ (1)你认为最符合实际的函数模型是哪个(说明理由)？并利用，，这三组数据求出此函数模型的解析式； (2)若某男性体重超过同一地区相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区一名身高为164cm，体重为62kg的未成年男性的体重是否正常？ (参考数据：) 【题型四】 对数函数模型的应用 【典题1】 (2023·山东·模拟预测)我们通常用里氏震级来标定地震规模的大小，里氏震级与震源中心释放的能量有关，二者满足关系式，则里氏6.2级地震释放的能量是里氏4.1级地震释放的能量的(   ) A．2.1倍 B．3.15倍 C．倍 D．倍 【典题2】生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量进行监测. 第一次监测时的总量为(单位：吨)，此时开始计时，时间用(单位：月)表示. 甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数据： 月 吨 为了研究该生物总量与时间的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达与的变化关系： ①；②且. (1)请根据表中提供的前列数据确定第一个函数模型的解析式； (2)根据第列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型；甲发现总量由翻一番时经过了个月，根据你选择的函数模型，若总量再翻一番时还需要经过多少个月？(参考数据：，) 变式练习 1. 研究表明，地震时释放的能量(单位：焦耳)与地震里氏震级之间的关系为.2024年1月30日在新疆克孜勒苏州阿合奇县发生了里氏5.7级地震，所释放的能量记为年1月13日在汤加群岛发生了里氏5.2级地震，所释放的能量记为，则比值的整数部分为(    ) A．4 B．5 C．6 D．7 2. 学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间(单位：分钟，)的函数关系式，要求如下： (i)函数的图象接近图示； (ii)每天锻炼时间为0分钟时，当天得分为0分； (iii)每天锻炼时间为9分钟时，当天得分为6分； (iiii)每天得分最多不超过12分. 现有以下三个函数模型供选择： ①；②；③. (1)请根据函数图像性质，结合题设条件，从中选择一个最合适的函数模型并求出解析式； (2)若学校要求每天的得分不少于9分，求每天至少锻炼多少分钟？ (参考值：) 【A组---基础题】 1.有一组实验数据及对应散点图如下所示，则下列能体现这些数据的最佳函数模型是(    ) 0 4 9 16 36 3 7 9 11 15 A． B． C． D． 2.设光线通过一块玻璃，强度损失、如果光线原来的强度为，通过块这样的玻璃以后强度为，则，那么光线强度减弱到原来的以下时，至少通过这样的玻璃块数为(　　)(参考数据：) 3.把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，则t min后该物体的温度℃可由公式求得．若将温度分别为100℃和40℃的两块物体放入温度是20℃的空气中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过10℃，至少要经过(    )(取：，) A．4.14min B．5.52min C．6.60min D．7.16min 4.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度(单位：与燃料的质量(单位：)，火箭(除燃料外)的质量(单位：)的函数关系是．当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到．若要使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值应为(    ) A． B． C． D． 5.某商店销售两款商品，利润(单位：元)分别为和，其中为销量(单位：袋)，若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为 . 6.某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的，要使该物质上的细菌少于原来的，则至少要喷洒 次 7.某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快．开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为18平方米，经过3个月其覆盖面积达到27平方米．该生物覆盖面积(单位：平方米)与经过时间个月的关系有两个函数模型与可供选择． (Ⅰ)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式； (Ⅱ)问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的倍？(参考数据：，，) 8.某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，若该公司从第1年到第年花在该渔船维修等事项上的所有费用为万元，该船每年捕捞的总收入为万元． (1)该船捕捞几年开始盈利？(即总收入减去成本及所有费用之差为正值) (2)该船捕捞若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以万元的价格卖出； 哪一种方案较为合算？请说明理由． 9.一片森林原来面积为，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的， (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？ 【B组---提高题】 1.从金山区走出去的陈驰博士，在《自然﹣可持续性》杂志上发表的论文中指出：地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导地位．已知某种树木的高度(单位：米)与生长年限(单位：年，)满足如下的逻辑斯蒂函数：，其中为自然对数的底数．设该树栽下的时刻为． (1)需要经过多少年，该树的高度才能超过米？(精确到个位) (2)在第几年内，该树长高最快？ 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 函数模型的应用 1. 理解函数是描述客观世界中的变量关系和规律的重要数学语言和工具； 2. 养成画图、识图和用图的习惯，从图中观察出函数模型； 3. 了解数学模型的概念，知道数学建模的意义，能利用给定的函数模型解决实际问题，能选择适当的函数模型拟合实际问题. 1 各种函数的增速 (1)一次函数的增长速度 一次函数在区间上是增函数，其增长的速度不变，越大，其增长得越快． 当时，越大，其增长得越快． (2) 幂函数的增长速度 幂函数在区间上是增函数，其增长速度较快，指数越大，增长速度越快． 如比的增长速度更快.当时，的函数值比小；当时，的函数值比大，并且越来越大。 (3) 对数函数的增长速度 对数函数在区间上是增函数，其增长的速度较慢，随着的增大，的图象类似于与轴平行一样． 其底数越小，增长的速度越快．科网] 如比的增长速度更快.当时，的函数值比大；当时，的函数值比小，并且越来越小。 (4) 指数函数的增长速度 指数函数在区间上是增函数，其增长速度最快． 其底数越大，增长的速度越快． 如比的增长速度更快。当时，的函数值比小；当时，的函数值比大，并且越来越大。 (5) 几类不同增长的函数模型的比较 (1)指数函数、对数函数、幂函数的增长趋势比较 在区间的单调性 增函数 增函数 增函数 增长速度 先慢后快 先快后慢 相对平稳 图象变化 随的增大逐渐加快增大 随的增大逐渐减慢增大 随的不同而不同 如， 三个函数在上都是增函数，但它们的增速不一样， 我们列表看看， 在同一坐标系内，作出函数图象，如下图， 由图和表，易知对数函数增长得很慢，指数函数增长得很快，比幂函数更快.而当时，的函数值有些比小；当时，的函数值比大，且相差越来越大. 综上所述，在区间上，尽管函数和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢，总会存在一个，当，就有． 2 函数模型 (1)函数模型 一次函数 二次函数 指数函数 指数型函数 对数函数 对数型函数 幂函数 幂函数型 (2)函数模型解决实际问题 通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下： 第一步：收集数据． 第二步：根据收集到的数在平面直角坐标系内画出散点图． 第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型． 第四步：选择其中的几组数据求出函数模型． 第五步：将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际．若不符合实际，则重复第三、四、五步；若符合实际，则进入下一步．[来源:学.科.网Z.X.X.K] 第六步：用求得的函数模型去解释实际问题． 【题型一】 常见函数模型的增长差异 【典题1】 在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据： 在四个函数模型(为待定系数)中，最能反映函数关系的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出散点图，对照四个选项即可得出结果. 【详解】由题，作出散点图如下， 由散点图可知，散点图和对数函数图象接近，可选择反映函数关系， 故选：C. 变式练习 1. 下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照基本函数的性质即可求解. 【详解】依据常函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质可知增长速度最快的函数模型是指数函数，故随着x的增长，增长速度最快. 故选：D. 2.下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的增长快慢差异判断. 【详解】解：因为指数函数的底数大于1，其增长速度随着时间的推移会越来越快， 比幂函数，对数函数，一次函数增长的速度快， 所以从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是， 故选：A 3.2006年至2018年北京市电影放映场次(单位：万次)的情况如图所示，下列函数模型中，无法近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是(    )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数、指对数函数的增长趋势判断是否可以描述变化规律即可. 【详解】由图知：电影放映场次逐年递增，且增速有变快的趋势， 函数、、均可以描述变化规律， 而可以描述逐年递增，但增速有变慢的趋势，故不能描述变化规律. 故选：D 4.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　) ． ． 【答案】A 【详解】对于选项：各组数据都很接近，故y可以近似地表示这些数据的规律， 对于选项：当时，，与实际数据相差较大，当时，，与实际数据相差较大，故选项不合适， 对于选项；当时，，实际数据相差较大，故选项不合适， 对于选项：=x是减函数，显然不符合题意， 故选：． 【题型二】 幂函数模型的应用 【典题1】 党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②(注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元)． (1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 【分析】(1)由题设，，根据图象上数据得解； (2)列出企业利润的函数解析式，利用换元法求得函数最值得解. 【详解】(1)设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元 由题设，， 由图知，故，又，所以． 从而，． (2)设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元， 则， 令，则，所以， 当时，，此时. 故产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 变式练习 1. 2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为(参考值：)(    ) A．10% B．20% C．22% D．32% 【答案】B 【分析】设年平均增长率为，依题意列方程求即可. 【详解】由题意，设年平均增长率为，则， 所以，故年平均增长率为20%. 故选：B 2.某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为 (为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为 万元. 【答案】125 【分析】利用代入法，结合指数幂的运算定义进行求解即可. 【详解】因为投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元， 所以，即 当今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为， 故答案为： 【题型三】 指数函数模型的应用 【典题1】 (2024·江苏·一模)德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：，其中M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的(    ) A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍 【答案】B 【分析】根据已知的公式，由周期的倍数关系求出长半轴长的倍数关系即可. 【详解】设火星的公转周期为，长半轴长为，火星的公转周期为，长半轴长为， 则，，且 得： ， 所以，，即：. 故选：B． 【典题2】茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵奇葩！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌．立德中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，小明同学用沸水泡了一杯茶，泡好后置于室内，开始时测得这杯茶的温度为100℃，经过1分钟测得其温度变为80℃，再经过1分钟测得其温度变为65℃．小明想利用上述数据建立这杯茶的温度y(单位：℃)随经过的时间t(单位：分钟)的函数关系式，选用了两种函数模型： ①为常数，且)； ②为常数，)． (1)请通过计算帮小明同学选出恰当的函数模型； (2)现代研究结果显示，饮茶温度不要超过60℃，请利用(1)中选出的模型该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待多长时间？(参考数据：) 【答案】(1) (2)2.5分钟 【分析】(1)分别代入得到函数模型，结合生活实际进行判断即可； (2)根据(1)求出的函数模型解不等式即可. 【详解】(1)若选用①，根据条件可得，解得， 所以． 此时，随着的增大而减小，符合生活实际； 若选用②，根据条件可得，解得， 所以． 又，当时，随着的增大而增大，不符合生活实际，应舍去． 所以该函数模型为． (2)由(1)，令， 于是，两边取常用对数得，又， 故， 所以该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待2.5分钟． 变式练习 1. (2024·广东·一模)假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过(    )天，甲的“日能力值”是乙的20倍(参考数据：，，) A．23 B．100 C．150 D．232 【答案】B 【分析】根据给定信息，列出方程，再利用指数式与对数式的互化关系求解即可. 【详解】令甲和乙刚开始的“日能力值”为1，天后，甲、乙的“日能力值”分别， 依题意，，即，两边取对数得， 因此， 所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍. 故选：B 2.2024年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，其中，中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，当空间站运行周期增加1倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是(参考数据：，)(    ) A．1.587 B．1.442 C．0.587 D．0.442 【答案】C 【分析】利用指数和对数的运算求解即可. 【详解】空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比， 设， 当空间站运行周期增加1倍时，设此时半径为， 则， 两式相比得：，即， 故， 故圆轨道半径增加的倍数大约是. 故选：C. 3.某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为42，48，52．为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型，乙选择了模型，其中y为患病人数，x为月份数，都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为54，57，58． (1)求的值；(2)你认为谁选择的模型好． 【答案】(1) ，，，，，．(2) 模型 【详解】 (1)由甲模型：令， 可得：，，， 解得，，． 由乙模型：设， 可得：，，， 解得，，． (2)由 (1)可得：， ， ， ； 由乙模型可得：， ，，． 可得：、、比、、更接近真实值． 模型更好. 4.环保部门为了研究某池塘里某种植物生长面积S(单位：)与时间t(单位：月)之间的关系，通过观察建立了函数模型，且.已知第一个月该植物的生长面积为，第三个月该植物的生长面积为. (1)求证：若，则； (2)若该植物的生长面积达到100 以上，则至少要经过多少个月？ 【答案】(1)证明见解析 (2)8个月 【分析】(1)先根据条件求出参数，利用指数的运算可得答案； (2)根据题意可得，求解指数不等式即可. 【详解】(1)证明：∵，∴. ∴. 由，得，∴. (2)令，又，， ∴，即至少需要经过8个月． 5.某地区不同身高未成年男性体重平均值如下表： 身高 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 体重 10 12 15 17 20 27 31 45 50 67    根据表中数据及散点图，为了能近似地反映该地区未成年男性平均体重与身高的关系，现有以下三种模型提供选择： ①，②，③ (1)你认为最符合实际的函数模型是哪个(说明理由)？并利用，，这三组数据求出此函数模型的解析式； (2)若某男性体重超过同一地区相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区一名身高为164cm，体重为62kg的未成年男性的体重是否正常？ (参考数据：) 【答案】(1)选择模型①，理由见解析， (2)正常 【分析】(1)根据散点图和表中的数据特征确定应选择模型①，代入三组值，解一个三元方程组即得函数模型的解析式； (2)依题意，根据该男性的身高代入解析式算出对应的体重平均值，结合其实际体重与平均体重的比值进行判断即可. 【详解】(1)选择模型①，因为体重随着身高的增大而增大，并且增长的速度越来越快，属于指数爆炸性增长模型． 把，，这三组数据分别代入， 可得(Ⅰ)消去，可得： (Ⅱ)将两式相除可得：， 将其代入(Ⅰ)式，可得：解得：，故． (2)由(1)得， 所以，当时， 由可得：，所以， 所以， 因， 故该未成年男性的体重正常． 【题型四】 对数函数模型的应用 【典题1】 (2023·山东·模拟预测)我们通常用里氏震级来标定地震规模的大小，里氏震级与震源中心释放的能量有关，二者满足关系式，则里氏6.2级地震释放的能量是里氏4.1级地震释放的能量的(   ) A．2.1倍 B．3.15倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】借助所给关系式，分别计算出里氏6.2级地震释放的能量与里氏4.1级地震释放的能量后作商即可得. 【详解】当时，有，即，即， 当时，有，即，即， 故. 故选：C. 【典题2】生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量进行监测. 第一次监测时的总量为(单位：吨)，此时开始计时，时间用(单位：月)表示. 甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数据： 月 吨 为了研究该生物总量与时间的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达与的变化关系： ①；②且. (1)请根据表中提供的前列数据确定第一个函数模型的解析式； (2)根据第列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型；甲发现总量由翻一番时经过了个月，根据你选择的函数模型，若总量再翻一番时还需要经过多少个月？(参考数据：，) 【答案】(1) (2)第二个模型与监测数据差距较小；总量再翻一番时还需要经过个月 【分析】(1)将前列数据代入第一个函数模型即可解方程组求得结果； (2)将前列数据代入第二个函数模型可求得第二个函数模型的解析式；再将列数据分别代入两个模型，比较预估值与检测数据即可确定差距较小的函数模型；将代入模型即可求得总量再翻一番时所需时长，进而得到结果. 【详解】(1)将前列数据代入第一个函数模型得：，解得：， 第一个函数模型的解析式为：. (2)将前列数据代入第二个函数模型得：，解得：， 第二个函数模型的解析式为：； 将代入第一个函数模型得：；代入第二个函数模型得：； 将代入第一个函数模型得：； 代入第二个函数模型得：； 根据第列数据，第二个模型与监测数据差距较小； 总量翻一番时，，此时； 若总量再翻一番，则，由得：，， ，总量再翻一番时还需要经过个月. 变式练习 1. 研究表明，地震时释放的能量(单位：焦耳)与地震里氏震级之间的关系为.2024年1月30日在新疆克孜勒苏州阿合奇县发生了里氏5.7级地震，所释放的能量记为年1月13日在汤加群岛发生了里氏5.2级地震，所释放的能量记为，则比值的整数部分为(    ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由对数运算性质可得，进而可得，结合可得结果. 【详解】由已知得，所以， 所以， 因为，所以， 所以. 故选：B. 2. 学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间(单位：分钟，)的函数关系式，要求如下： (i)函数的图象接近图示； (ii)每天锻炼时间为0分钟时，当天得分为0分； (iii)每天锻炼时间为9分钟时，当天得分为6分； (iiii)每天得分最多不超过12分. 现有以下三个函数模型供选择： ①；②；③. (1)请根据函数图像性质，结合题设条件，从中选择一个最合适的函数模型并求出解析式； (2)若学校要求每天的得分不少于9分，求每天至少锻炼多少分钟？ (参考值：) 【答案】(1)选择③，； (2)29.25. 【分析】(1)根据三种函数的图象特征选择合适的函数模型，然后代入点和解方程组即可得解析式； (2)根据题意解对数不等式即可. 【详解】(1)模型①，由图象过点， 得，解得，    ，在原点附近增长速度先快后慢，不符合； 模型②为爆炸增长型函数，不符合， 故选模型③. 由题知，，解得， 所以. (2)由(1)知，， 令，得，解得， 所以，若每天的得分不少于9分，至少每天要锻炼29.25分钟. 【A组---基础题】 1.有一组实验数据及对应散点图如下所示，则下列能体现这些数据的最佳函数模型是(    ) 0 4 9 16 36 3 7 9 11 15 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格中的数据及散点图中点的变化趋势，逐项分析判断即得. 【详解】观察散点图，图中的那些点显然不在一条直线上，模型不符合，A不是； 若选择作为与的函数模型，将代入，得，解得， 则，显然当时，；当时，；当时，， 与表格中的实际值相同，因此适合作为与的函数模型，B是； 模型在处无意义，模型不符合，C不是； 散点图中的点有单调递增的趋势，且增势逐渐变缓，模型不符合，D不是. 故选：B 2.设光线通过一块玻璃，强度损失、如果光线原来的强度为，通过块这样的玻璃以后强度为，则，那么光线强度减弱到原来的以下时，至少通过这样的玻璃块数为(　　)(参考数据：) 【答案】B 【详解】设通过这样的玻璃x块，则由题意得，化得， 两边同时取常用对数，可得， 因为，所以， 则至少通过块玻璃， 故选：． 3.把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，则t min后该物体的温度℃可由公式求得．若将温度分别为100℃和40℃的两块物体放入温度是20℃的空气中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过10℃，至少要经过(    )(取：，) A．4.14min B．5.52min C．6.60min D．7.16min 【答案】D 【分析】根据给定信息，列出不等式，再利用指数函数单调性求解即得. 【详解】100℃的物体放入20℃的空气中冷却t min后的温度是， 40℃的物体放入20℃的空气中冷却t min后的温度是， 要使得这两块物体的温度之差不超过10℃，则， 解得，所以至少要经过7.16min. 故选：D 4.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度(单位：与燃料的质量(单位：)，火箭(除燃料外)的质量(单位：)的函数关系是．当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到．若要使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值应为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度达到，根据题意得到，列出方程，即可求解. 【详解】设燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度达到， 根据题意得， 所以，所以， 可得，所以， 即要使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值应为. 故选：B. 5.某商店销售两款商品，利润(单位：元)分别为和，其中为销量(单位：袋)，若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为 . 【答案】170 【分析】设该商店销售商品袋，则商品袋，根据题意求得利润的函数解析式，结合二次函数的性质，即可求解． 【详解】设该商店销售商品袋，则商品袋， 所以可获得的利润， ，当或10时，利润最大，最大利润为170元. 故答案为：170. 6.某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的，要使该物质上的细菌少于原来的，则至少要喷洒 次 【答案】 【分析】可设喷洒次，根据题意可得出，代入即可求出，从而得出答案． 【详解】设喷洒次，则：， ， ，且， ， ，即至少喷洒次． 故答案为： 7.某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快．开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为18平方米，经过3个月其覆盖面积达到27平方米．该生物覆盖面积(单位：平方米)与经过时间个月的关系有两个函数模型与可供选择． (Ⅰ)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式； (Ⅱ)问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的倍？(参考数据：，，) 【答案】 【详解】 (Ⅰ)因为y=k•ax(k＞0，a＞1)的增长速度越来越快，而增长速度越来越慢， 故依题意应选择，则有，解得，所以； (Ⅱ)当时，，设经过个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍， 则，解得； 故，经过17个月后该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍． 8.某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，若该公司从第1年到第年花在该渔船维修等事项上的所有费用为万元，该船每年捕捞的总收入为万元． (1)该船捕捞几年开始盈利？(即总收入减去成本及所有费用之差为正值) (2)该船捕捞若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以万元的价格卖出； 哪一种方案较为合算？请说明理由． 【答案】(1) 捕捞3年开始盈利 (2) ①经过年捕捞，年平均盈利最大，共盈利 (万元)； ②方案①合算． 【详解】(1)设捕捞年的盈利为万元， 则． 由，得，解得，则． 所以捕捞3年开始盈利． (2)方案①合算．理由如下： ①， 当且仅当，即时取等号． 故经过年捕捞，年平均盈利最大，共盈利 (万元)； ②因为， 所以当时，取得最大值． 即经过年捕捞盈利总额最大，共盈利 (万元)． 综上知，两种方案获利相等，但方案②的时间长，所以方案①合算． 9.一片森林原来面积为，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的， (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？ 【答案】(1) (2) 年 年 【详解】(1)设每年砍伐面积的百分比为．则， 即，解得 (2)设经过年剩余面积为原来的，则， 即，，解得 故到今年为止，已砍伐了年． (3)设从今年开始，以后砍了年，则年后剩余面积为 令，即，，， 解得 故今后最多还能砍伐年． 【B组---提高题】 1.从金山区走出去的陈驰博士，在《自然﹣可持续性》杂志上发表的论文中指出：地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导地位．已知某种树木的高度(单位：米)与生长年限(单位：年，)满足如下的逻辑斯蒂函数：，其中为自然对数的底数．设该树栽下的时刻为． (1)需要经过多少年，该树的高度才能超过米？(精确到个位) (2)在第几年内，该树长高最快？ 【答案】(1) (2) 该树在第四年内或第五年内长高最快． 【详解】 (1)令，解得， 即需要经过年，该树的高度才能超过米； (2)当时， 设，则，． 令，则． 上式当且仅当时，取得最大值． 此时，u=e﹣0.25，即，解得． 由于要求为正整数，故树木长高最快的可能值为或， 又，， 所以，该树在第四年内或第五年内长高最快． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$