第17讲 函数的零点与方程的解 -2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）

第17讲 函数的零点与方程的解 1.了解函数的零点、方程的解与函数图象与x轴交点三者之间的关系； 2.结合具体连续函数及图象的特点； 3.会借助函数零点存在性定理判定函数的零点所在的大致区间； 4.能借助函数单调性及图象判断零点个数. 1函数的零点 (1)函数零点的概念 对于函数，使的实数叫做函数的零点. (2) 方程根与函数零点的关系 方程有实数根 ⇔函数有零点 ⇔函数的图象与轴有交点，且交点横坐标为. 拓展 方程有实数根函数与函数有交点，且交点横坐标为. (3)求函数零点方法 ① (代数法) 求方程的实数根. ② (几何法) 利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置. 2函数零点存在定理 如果函数在上的图象是连续不断的，且，那么函数在至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 【题型一】 求函数零点 相关知识点讲解 1 函数零点的概念 对于函数，使的实数叫做函数的零点. 注 零点是个数，不是个点. Eg：函数的零点是. 2 方程根与函数零点的关系 方程有实数根 ⇔函数有零点 ⇔函数的图象与轴有交点，且交点横坐标为. 如 方程的实数根是， 函数与轴的交点横坐标是， 函数的零点是，而不是. 3 求函数零点方法 ① (代数法) 求方程的实数根. ② (几何法) 利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置. 【典题1】 函数的零点个数是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 变式练习 1. 函数的零点为(     ) A． B． C． D． 2.函数的零点为(    ) A． B．2 C． D． 3.(多选)下列函数不存在零点的是(   ) ． A． B． C． D． 【题型二】 判断函数零点(方程解)个数 相关知识点讲解 方程有实数根函数与函数有交点，且交点横坐标为. 【例】 研究方程的解. 解 方程的实数根函数与函数的交点横坐标， 如图较容易得到，方程实数根有个. 【典题1】 (2024·广东湛江·二模)已知函数，，则(    ) A．当有2个零点时，只有1个零点 B．当有3个零点时，有2个零点 C．当有2个零点时，有2个零点 D．当有2个零点时，有4个零点 变式练习 1.方程的实数解的个数是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 2.函数的零点个数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 3.函数的零点个数为(   ) A．0 B．1 C．2 D．3 【题型三】 判断函数零点所在区间 相关知识点讲解 函数零点存在定理 如果函数在上的图象是连续不断的，且，那么函数在至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 【典题1】 (多选)下列区间内，函数有零点的是(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 函数的零点所在区间为(    ) A． B． C． D． 2.函数的零点所在区间为(    ) A． B． C． D． 【题型四】 根据函数零点求参数 【典题1】 已知函数，若函数仅有1个零点，则实数的取值范围为 . 变式练习 1. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 2.若函数 有且仅有一个零点，则实数的取值范围为 . 3.已知函数． (1)若在上为增函数，求的取值范围； (2)若函数在上恰有两个零点，求的取值范围． 【题型五】 探究零点间的关系 【典题1】 (2024·新疆乌鲁木齐·二模)设，函数的零点分别为，则(    ) A． B． C． D． 【典题2】已知函数，若存在实数，，，，有，则的范围是 ． 变式练习 1.(2024·贵州贵阳·模拟预测)设方程的两根为，，则(    ) A．， B． C． D． 2.(多选)已知函数，若存在，使得，则的取值可以是(   ) A． B．3 C． D． 【A组---基础题】 1.函数的零点是(    ) A．2 B． C．-2 D．2或-1 2.关于函数的零点，下列判断正确的是(   ) A．只有一个零点，且这个零点在区间内 B．有两个零点，且其中一个零点在区间内 C．只有一个零点，且这个零点在区间内 D．有两个零点，且其中一个零点在区间内 3. 已知方程与的根分别为，则下列说法不正确的是(    ) A． B． C． D． 4.(多选)(2024·广东深圳·模拟预测)(多选)已知函数，下列关于函数的零点个数的判断，其中正确的是(    ) A．当时，有2个零点 B．当时，至少有2个零点 C．当时，有1个零点 D．当时，可能有4个零点 5.若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是 ． 6.已知方程的根在区间，上，则 ． 7.已知函数，. (1)当时，用单调性定义证明：在区间上单调递减； (2)若在区间内有2个零点，求实数的取值范围. 【B组---提高题】 1.已知函数，若方程有6个不等实根，则非零实数的取值范围为 ． 2.已知为常数，函数. (1)当时，求关于的不等式的解集； (2)当时，若函数在上存在零点，求实数的取值范围； (3)对于给定的，且，证明：关于的方程在区间内有一个实数根. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 函数的零点与方程的解 1.了解函数的零点、方程的解与函数图象与x轴交点三者之间的关系； 2.结合具体连续函数及图象的特点； 3.会借助函数零点存在性定理判定函数的零点所在的大致区间； 4.能借助函数单调性及图象判断零点个数. 1函数的零点 (1)函数零点的概念 对于函数，使的实数叫做函数的零点. (2) 方程根与函数零点的关系 方程有实数根 ⇔函数有零点 ⇔函数的图象与轴有交点，且交点横坐标为. 拓展 方程有实数根函数与函数有交点，且交点横坐标为. (3)求函数零点方法 ① (代数法) 求方程的实数根. ② (几何法) 利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置. 2函数零点存在定理 如果函数在上的图象是连续不断的，且，那么函数在至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 【题型一】 求函数零点 相关知识点讲解 1 函数零点的概念 对于函数，使的实数叫做函数的零点. 注 零点是个数，不是个点. Eg：函数的零点是. 2 方程根与函数零点的关系 方程有实数根 ⇔函数有零点 ⇔函数的图象与轴有交点，且交点横坐标为. 如 方程的实数根是， 函数与轴的交点横坐标是， 函数的零点是，而不是. 3 求函数零点方法 ① (代数法) 求方程的实数根. ② (几何法) 利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置. 【典题1】 函数的零点个数是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据零点的定义求解. 【详解】函数的定义域为， 令，即，解得， 所以函数的零点个数是1个， 故选:B. 变式练习 1. 函数的零点为(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解方程，求出零点. 【详解】令，解得或， 故的零点为. 故选：A 2.函数的零点为(    ) A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据零点的定义即可求解. 【详解】令，得，则． 故选：A 3.(多选)下列函数不存在零点的是(   ) ． A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据题意，结合选项，分别令，求得方程的根的情况，进而得到答案. 【详解】对于A中，函数，令，解得， 即函数的零点为，不符合题意； 对于B中，函数，令，解得， 即函数的零点为，不符合题意； 对于C中，函数，令，即， 此时方程无解，所以函数没有零点，符合题意； 对于D中，函数，令，当时，解得不成立， 当时，解得，不成立，即函数没有零点，符合题意. 故选：CD. 【题型二】 判断函数零点(方程解)个数 相关知识点讲解 方程有实数根函数与函数有交点，且交点横坐标为. 【例】 研究方程的解. 解 方程的实数根函数与函数的交点横坐标， 如图较容易得到，方程实数根有个. 【典题1】 (2024·广东湛江·二模)已知函数，，则(    ) A．当有2个零点时，只有1个零点 B．当有3个零点时，有2个零点 C．当有2个零点时，有2个零点 D．当有2个零点时，有4个零点 【答案】D 【分析】作出函数，图象，两个函数的零点个数转化为它们的图象与的图象的公共点的个数，结合图象可得答案. 【详解】两个函数的零点个数转化为图象与的图象的公共点的个数， 作出，的大致图象，如图所示. 由图可知，当有2个零点时，无零点或只有1个零点； 当有3个零点时，只有1个零点； 当有2个零点时，有4个零点. 故选：D 变式练习 1.方程的实数解的个数是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据函数图象的交点个数即可求解. 【详解】在同一直角坐标系中画出函数和的图象， 由图象可知：两个函数图象只有一个交点，故方程的实数解的个数为1， 故选：B    2.函数的零点个数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】 当时，解二次方程得函数零点，当时，把函数零点个数转化为函数与函数的图象的交点个数，即可求解. 【详解】 当时，令，解得或； 当时，令，则，画出函数与函数的图象， 可知在上两函数图象有一个公共点，故的零点个数为3. 故选：C 3.函数的零点个数为(   ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将问题转化为函数与的交点个数，作出函数图象即可得到结果. 【详解】函数的零点个数等价于方程的解得个数， 即函数与的交点个数， 作出函数与的图象如下图所示， 由图象可知：函数与有且仅有两个不同交点， 函数的零点个数为2. 故选：C. 【题型三】 判断函数零点所在区间 相关知识点讲解 函数零点存在定理 如果函数在上的图象是连续不断的，且，那么函数在至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 【典题1】 (多选)下列区间内，函数有零点的是(    ) A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】 根据题意，分别画出函数与的图像，即可得到有两个零点，然后由零点存在定理代入计算，即可得到结果. 【详解】   因为的定义域为，分别画出函数与的图像， 结合图像可知两函数的图像交点有2个， 且，， 所以，所以在内有零点， 又因为， ， 所以，所以在内有零点. 故选：AC 变式练习 1. 函数的零点所在区间为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理可得到答案. 【详解】因为和均是R上的增函数，所以函数是R上的增函数， 又，，， 所以函数的零点所在区间为. 故选：C. 2.函数的零点所在区间为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在性定理判断即可. 【详解】因为函数单调递增， 又，， 故，所以函数的零点所在区间为. 故选：B 【题型四】 根据函数零点求参数 【典题1】 已知函数，若函数仅有1个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】作出函数图象，结合的图象与直线仅有一个交点，即可列不等式求解. 【详解】令，则，作出函数的大致图象如图所示， 当时，， 观察可知，当或时，函数的图象与直线仅有一个交点， ∴实数的取值范围为. 故答案为： 变式练习 1. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：转化成一元二次方程在上有两个不同的解的问题；法二：分离参数，转化成两个函数图像在上有两个交点的问题. 【详解】法一：因为，且有两个零点， 所以方程在上有两个不同的解， 所以解得． 法二：由得， 因为有两个零点，所以直线与函数的图像有两个交点． 函数的图像如图，由图可知． 故选：D． 2.若函数 有且仅有一个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出函数在上的零点，分析可知，直线与函数在上的图象无交点，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】当时，令可得； 当时，，此时函数单调递减， 因为函数有且只有一个零点，所以，函数在上无零点， 由可得， 所以，直线与函数在上的图象无交点，如下图所示： 且当时，，由图可知，当或时，直线与函数在上的图象无交点. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 3.已知函数． (1)若在上为增函数，求的取值范围； (2)若函数在上恰有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)根据已知，利用复合函数的单调性和对数函数的定义域及二次函数的单调性，列式即可求出a的取值范围. (2)利用函数零点的意义，结合对数运算，把问题转化为一元二次方程的实根分布求解. 【详解】(1)令，显然函数在上单调递增， 函数在及右侧区间上单调递增， 而在上为增函数，则，解得， 所以的取值范围是. (2)由，得， 由函数在上恰有两个零点，得在上有两个不等实根， 于是，解得， 所以的取值范围是. 【题型五】 探究零点间的关系 【典题1】 (2024·新疆乌鲁木齐·二模)设，函数的零点分别为，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意分别为函数与函数图象交点的横坐标，作出函数的图象，结合函数图象即可得解. 【详解】分别令， 则， 则分别为函数与函数图象交点的横坐标， 分别作出函数的图象，如图所示，    由图可知，. 故选：A. 【典题2】已知函数，若存在实数，，，，有，则的范围是 ． 【答案】 【分析】画出函数的图象，，结合图象可得.然后求解即可推出.进而得出的范围，即可． 【详解】作出函数的大致图象如图： 当时，，解得， 令. 由图象可知，当时，满足题意.且，. 又由知，， 所以，即. 所以. 由，可得，所以. 故答案为：． 变式练习 1.(2024·贵州贵阳·模拟预测)设方程的两根为，，则(    ) A．， B． C． D． 【答案】C 【分析】由数形结合及零点的判定方法可确定出，即可判断AD，计算出，可判断BC. 【详解】由可得， 在同一直角坐标系中同时画出函数和的图象，如图所示： 因为，， 由图象可知，， 所以故A，D错误； ， 因为，所以，所以， 所以，即，故B错误，C正确. 故选：C 2.(多选)已知函数，若存在，使得，则的取值可以是(   ) A． B．3 C． D． 【答案】CD 【分析】设，则直线与函数的图象有三个交点，结合函数的对称性求出的取值范围即可. 【详解】设，作出函数与的图象，如图： 观察图形知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 点、关于直线对称，则，且函数在上为增函数， 由，，得，因此， 所以的取值可以是，. 故选：CD 【A组---基础题】 1.函数的零点是(    ) A．2 B． C．-2 D．2或-1 【答案】A 【分析】由题意令可得关于的方程，进而求解. 【详解】由题意令，因为，所以，即. 故选：A. 2.关于函数的零点，下列判断正确的是(   ) A．只有一个零点，且这个零点在区间内 B．有两个零点，且其中一个零点在区间内 C．只有一个零点，且这个零点在区间内 D．有两个零点，且其中一个零点在区间内 【答案】B 【分析】根据零点存在性定理，特殊值检验解决即可. 【详解】由题知，， 当时，，令，如图 有图知有两个零点； 因为，， ，， ，，， 说明有两个零点位于和， 故选：B 3. 已知方程与的根分别为，则下列说法不正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A，用函数图象的对称性来判断；对于B，利用零点存在定理来判断；对于C，直接计算可得答案；对于D，作差判断大小． 【详解】对于A、C，方程与的根分别为，， 即与的交点横坐标为，与的交点横坐标为， 由题知，， 与的图象关于对称， 都与相交，可得点与点,关于对称， 所以，即，故A，C正确； 设，显然函数在R上单调递增， 又， 对于B，由零点存在定理可知，根据对称性可得，B正确； 对于D，由B选项知，，， 则， 所以，D错误， 故选：D． 4.(多选)(2024·广东深圳·模拟预测)(多选)已知函数，下列关于函数的零点个数的判断，其中正确的是(    ) A．当时，有2个零点 B．当时，至少有2个零点 C．当时，有1个零点 D．当时，可能有4个零点 【答案】ABD 【分析】 根据的正负分类讨论，分别作出与的函数图象，一一分析计算即可. 【详解】设，函数的零点即的解， 若时，则时，，所以， 如图所示，显然有两个零点，故A正确，C错误； 若时，或， 当时，即时，只有两个零点， 当时，即时，有三个零点， 当时，即时，有四个零点，故B、D正确. 故选：ABD 5.若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是 ． 【答案】1和 【分析】先根据韦达定理求出，进而解方程，得到零点. 【详解】∵函数的两个零点是2和3， ∴，解得， ∴， 令，解得或1 ∴的零点为1和. 故答案为：1和 6.已知方程的根在区间，上，则 ． 【答案】 【分析】移项作差构造函数后，根据零点定理即可求解. 【详解】原问题转化为的零点所在区间问题， 函数是增函数， 所以， ， 所以 ， 函数的零点在之间， 函数的零点在区间，上， ， 故答案：． 7.已知函数，. (1)当时，用单调性定义证明：在区间上单调递减； (2)若在区间内有2个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)首先有，其次利用单调性的定义结合作差法即可得证； (2)首先，其次由题意可得，且，解不等式组即可求解. 【详解】(1)当时，， 任取，且， 则 ， 因为， 所以， 所以， 即， 由函数单调性定义可知，在区间上单调递减. (2)因为， 所以函数必有一个零点 又因为在区间内有2个零点， 所以，且， 解得，且， 所以实数的取值范围为 【B组---提高题】 1.已知函数，若方程有6个不等实根，则非零实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由，可得或，画出函数的图象，由图象可知，有3个不等的实根， 从而可得有3不等实根，进而可得，求解即可. 【详解】函数的图象如图，且，    由，可得或， 当时，有3个不等的实根， 又方程有6个不等实根， 则有3不等实根， 所以，解得. 故答案为：. 2.已知为常数，函数. (1)当时，求关于的不等式的解集； (2)当时，若函数在上存在零点，求实数的取值范围； (3)对于给定的，且，证明：关于的方程在区间内有一个实数根. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】(1)把代入函数解析式，对函数进行因式分解，对进行分类讨论，从而写出不等式的解集. (2)把代入函数解析式，对二次函数的对称轴、判别式、以及端点处函数值的正负进行讨论，进而求出的取值范围. (3)构造函数，通过计算，根据零点存在性定理可以证明方程在内有一个实根. 【详解】(1)当时，. 当，即时，由得或， 不等式的解集为或. 当，即时，恒成立，不等式的解集为R. 当，即时，由得或， 不等式的解集为或. 综上，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. (2)当时，，其图象的对称轴为. 当，即时，在上单调递增， 在上存在零点， ，即得. ∅. 当，即时，在上存在零点， 或或或， 解得或或∅或或. ，. 当，即时，在上单调递减， 在上存在零点， ，即得. ∅. 综上，. 实数的取值范围为. (3)设. 当给定时，为定值. , ，. 又对于给定的R，且，， 在区间上单调，即在区间上单调， 在区间上有且只有一个零点， 即方程在区间内有一个实数根. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$