第10讲 函数的单调性与最大（小）值 -2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）

第10讲 函数的单调性与最大(小)值 1.理解函数的单调性及其意义，明确增函数、减函数的图象特征； 2.能根据图象写出函数的单调区间，并能利用定义进行证明； 3.理解函数的最大(小)值及其几何意义，会求一些简单函数的最值. 1 函数单调性的概念 (1)增函数和减函数 一般地，设函数的定义域为，区间: 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(左图).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(右图).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. (2) 单调性 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性．区间叫做函数的单调区间． 2 单调性概念的拓展 ① 若递增，，则. ② 若递增，，则. 递减，有类似结论！ 3 判断函数单调性的方法 ① 定义法 ② 数形结合 ③ 性质法 增函数+增函数增函数，减函数+减函数减函数； 但增函数增函数不一定是增函数，比如，均是增函数，而不是. ④ 复合函数的单调性 (1)如果则称为的复合函数； (2) 同增异减 设函数的值域是，函数 若在各自区间单调性相同，则复合函数在区间上递增； 若在各自区间单调性不同，则复合函数在区间上递减. 4 函数的最值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： (1) ，都有；(2)，使得； 那么，我们称是函数的最大值.(最小值类似定义) 【题型一】 函数单调性的理解 相关知识点讲解 (1)增函数和减函数 一般地，设函数的定义域为，区间: 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(左图).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(右图).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. (2) 单调性 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性．区间叫做函数的单调区间． 解释 1 先从初中学过的一次函数、反比例函数、二次函数的单调性去理解； 【例1】说下函数的单调性. 2 的三个特征一定要予以重视．函数单调性定义中的有三个特征：一是任意性，即任意取，“任意”二字绝对不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定；三是同属一个单调区间，三者缺一不可． 【典题1】 若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上(    ) A．一定是增函数 B．没有单调性 C．不可能是减函数 D．存在减区间 【典题2】下列说法正确的是(    ) A．若，当时，，则在上为增函数 B．函数在上为增函数 C．函数 在定义域内为增函数 D．函数的单调增区间为 变式练习 1. 已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为(    ) A． B．和 C． D．和 2.已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的(    ) A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 3.已知函数是上的增函数，那么(    ) A． B． C． D． 4.若函数是上的严格减函数，则下列不等式一定成立的是(    ). A． B． C． D． 【题型二】利用定义法证明函数的单调性 相关知识点讲解 定义法证明函数的单调性的解题步骤 (1) 任取，且； (2) 作差； (3) 变形(通常是因式分解和配方)； (4) 定号(即判断差的正负)； (5) 下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)． 【典题1】 已知函数，． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)若，求实数的取值范围． 变式练习 1. 已知函数，且． (1)求函数的解析式； (2)用定义证明函数在上是增函数. 【题型三】 求函数的单调性或单调区间 【典题1】 函数(    ) A．在内单调递增 B．在内单调递减 C．在内单调递增 D．在内单调递减 【典题2】函数的单调递增区间是 ( ) A． B． C． D． 变式练习 1. 列函数中，在上为增函数的是(    ) A． B． C． D． 2.函数的单调减区间为(    ) A． B． C． D． 3.函数的单调区间是(    ) A． B． C． D． 4.函数的单调递增区间是(    ) A． B． C． D． 【题型四】 根据函数的单调性求参数 【典题1】 函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【典题2】若函数是减函数，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围(　　) A． B． C． D． 2.已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 3.已知函数是上的增函数，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【题型五】 求函数的最值 相关知识点讲解 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： (1) ，都有；(2)，使得； 那么，我们称是函数的最大值.(最小值类似定义) 简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值. 【例1】下图为函数，的图象，指出它的最大值、最小值． 【典题1】 已知：，则(　　) A．，无最小值 B．，无最大值 C． D． 【典题2】已知为二次函数，且，． (1)求的解析式： (2)若，试求的最小值． 变式练习 1. 若，则的最大值为(    ) A． B． C． D．18 2.函数，的最大值是(    ) A． B． C．1 D．2 3.函数的最小值为(    ) A．0 B．1 C． D．2 4.若函数的值域是，则函数的值域是(     ) A． B． C． D． 5.已知函数满足，且. (1)求的解析式； (2)求的值，使在区间上的最小值为. 【A组---基础题】 1.已知函数，则下列结论正确的是(    ) A．递增区间是 B．递减区间是 C．递增区间是 D．递增区间是 2.已知函数在上具有单调性，则k的取值范围是(    ) A． B． C． D． 3.已知函数，则对任意实数x，函数的值域是(    ) A． B． C． D． 4.已知函数，则满足的a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 5.函数的定义域是，则其值域为 6.已知函数． (1)试用单调性定义判断在上的单调性； (2)求函数在上的最值． 7. 已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (2)设函数，若对任意，总有，使得，求的取值范围. 【B组---提高题】 1.设a＞0，b＞0，若，则(    ) A．a＜b B．a＞b C．2a＞3b D．3a＞4b 2.若函数在上是增函数，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 3.函数的定义域为，对于区间，)，若满足以下两条性质之一，则称在区间上具有性质. 性质1：对任意，有； 性质2：对任意，有. (1)分别判断下列两函数在区间是否具有性质； ①；②； (2)若函数在区间)具有性质，求的取值范围 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 函数的单调性与最大(小)值 1.理解函数的单调性及其意义，明确增函数、减函数的图象特征； 2.能根据图象写出函数的单调区间，并能利用定义进行证明； 3.理解函数的最大(小)值及其几何意义，会求一些简单函数的最值. 1 函数单调性的概念 (1)增函数和减函数 一般地，设函数的定义域为，区间: 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(左图).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(右图).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. (2) 单调性 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性．区间叫做函数的单调区间． 2 单调性概念的拓展 ① 若递增，，则. ② 若递增，，则. 递减，有类似结论！ 3 判断函数单调性的方法 ① 定义法 ② 数形结合 ③ 性质法 增函数+增函数增函数，减函数+减函数减函数； 但增函数增函数不一定是增函数，比如，均是增函数，而不是. ④ 复合函数的单调性 (1)如果则称为的复合函数； (2) 同增异减 设函数的值域是，函数 若在各自区间单调性相同，则复合函数在区间上递增； 若在各自区间单调性不同，则复合函数在区间上递减. 4 函数的最值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： (1) ，都有；(2)，使得； 那么，我们称是函数的最大值.(最小值类似定义) 【题型一】 函数单调性的理解 相关知识点讲解 (1)增函数和减函数 一般地，设函数的定义域为，区间: 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(左图).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(右图).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. (2) 单调性 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性．区间叫做函数的单调区间． 解释 1 先从初中学过的一次函数、反比例函数、二次函数的单调性去理解； 【例1】说下函数的单调性. 解析 函数在整个定义域上不具有单调性，但是在上是减函数，在上是增函数； 2 的三个特征一定要予以重视．函数单调性定义中的有三个特征：一是任意性，即任意取，“任意”二字绝对不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定；三是同属一个单调区间，三者缺一不可． 【例】 若函数的定义域为且满足，则函数在上为 (　　) A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不能确定 解析 由于函数单调性的定义突出了的任意性，所以仅凭区间内几个有限的函数值的关系，是不能做为判断单调性的依据的，也就是说函数单调性定义的三个特征缺一不可．故选． 【典题1】 若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上(    ) A．一定是增函数 B．没有单调性 C．不可能是减函数 D．存在减区间 【答案】C 【分析】利用函数的单调性分析即可得解. 【详解】因为函数在区间和上均为增函数， 对于A，符合条件的图像如图所示， 函数在区间上不是增函数，，但，故A错误； 对于B，符合条件的图像如图所示， 函数在区间和上连续，此时在区间上是增函数，故B错误； 对于CD，函数在区间和上不论是否连续，都不可能是减函数，所以不存在减区间，故C正确，D错误； 故选：C 【典题2】下列说法正确的是(    ) A．若，当时，，则在上为增函数 B．函数在上为增函数 C．函数 在定义域内为增函数 D．函数的单调增区间为 【答案】B 【分析】 根据单调函数的定义、函数的单调性和单调区间的概率依次判断即可. 【详解】 对A，由函数单调性的定义知，应为对于任意，没有“任意”二字，故A错误； 对B，该二次函数是一条对称轴为，开口向上的抛物线， 函数在上为增函数，故B正确； 对C，函数在和上分别为增函数， 但不能说定义域内单调递增，故C错误； 对D，函数在和上分别为减函数， 同时区间不能用 “”符号连接，故D错误. 故选：B 变式练习 1. 已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为(    ) A． B．和 C． D．和 【答案】B 【分析】根据函数图象直接确定递增区间即可. 【详解】由图象知：该函数的单调增区间为和. 故选：B 2.已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的(    ) A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】 利用函数单调性的定义易得“”是“函数在区间上单调递增”的必要条件；可通过举例子说明“”不是“函数在区间上单调递增”的充分条件，即得. 【详解】由得不到“函数在区间上单调递增”， 如，，显然满足，但是函数在上递增，在上递减， 故“”不是“函数在区间上单调递增”的充分条件； 而由“函数在区间上单调递增”可得.则“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件. 故选：D. 3.已知函数是上的增函数，那么(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数在为增函数即可得答案. 【详解】因为函数是上的增函数，， 故， 故选：A 4.若函数是上的严格减函数，则下列不等式一定成立的是(    ). A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，可判断A，B；由二次函数的性质可得，结合单调性可判断C，D，进而可得正确选项. 【详解】当时，，此时，故选项AB不正确； 因为，所以， 因为函数是上的严格减函数，所以， 故选：D. 【题型二】利用定义法证明函数的单调性 相关知识点讲解 定义法证明函数的单调性的解题步骤 (1) 任取，且； (2) 作差； (3) 变形(通常是因式分解和配方)； (4) 定号(即判断差的正负)； (5) 下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)． 【典题1】 已知函数，． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减；证明见解析 (2) 【分析】(1)根据条件，利用单调性的定义即可证明结果； (2)利用(1)中结果，即可建立不等式组，即可求出结果. 【详解】(1)在上单调递减，证明如下： 任取， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 故在上单调递减. (2)在上单调递减， 所以，可得，解得， 故实数m的取值范围是． 变式练习 1. 已知函数，且． (1)求函数的解析式； (2)用定义证明函数在上是增函数. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】(1)代入，即可求解函数的解析式； (2)利用函数单调性的定义，设，再作差，分解因式，判断正负，即可证明函数的单调性. 【详解】(1)， ； (2)设， ， ，即 则函数在上是增函数 【题型三】 求函数的单调性或单调区间 【典题1】 函数(    ) A．在内单调递增 B．在内单调递减 C．在内单调递增 D．在内单调递减 【答案】C 【解析】先根据图象变换得f (x)图象，结合图象确定单调性. 【详解】因为，函数的图象可由y＝－图象沿x轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如下图所示．所以函数在内单调递增， 故选：C. 【典题2】函数的单调递增区间是 ( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性，在定义域内求出 的减区间，即为所求增区间. 【详解】因为 所以，即该函数的定义域为 又因为的增区间是，减区间是 所以函数的单调递增区间是 故选：D 变式练习 1. 列函数中，在上为增函数的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求出各选项中函数的单调区间，从而可得正确的选项. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，故A错. 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，故B对. 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，故C错. 对于D，因为在上单调递减，在上单调递增，故D错. 故选：B. 2.函数的单调减区间为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将函数化简为分段函数，画出函数图象，根据图象得到单调区间. 【详解】，画出函数图象，如图所示： 根据图象知：函数的单调减区间为. 故选：B. 3.函数的单调区间是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对函数的解析式进行化简，得到反比例函数平移的形式，从而得到其单调区间 【详解】函数， 由函数向右平移个单位，向上平移个单位后得到的， 所以函数函数的单调区间是. 故选：C. 4.函数的单调递增区间是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求出的定义域，进而结合复合函数的单调性，求出的单调递增区间即可. 【详解】由题意，可得，解得或， 所以函数的定义域为， 二次函数的对称轴为，且在上的单调递增区间为， 根据复合函数的单调性，可知函数的单调递增区间是. 故选：B. 【题型四】 根据函数的单调性求参数 【典题1】 函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论，根据一次函数、二次函数性质运算求解即可. 【详解】当时，在区间上单调递增，符合题意； 当时，因为函数的对称轴为， 若函数在区间上是增函数， 则或，所以或； 综上，，故实数的取值范围是. 故选：D 【典题2】若函数是减函数，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意先分段，由单调递减依次得，，但还需保证，由此即可求解. 【详解】由题意当时，单调递减，则，即， 当时，单调递减，则， 要保证单调递减，则还需，解得， 综上所述，a的取值范围是. 故选：A. 变式练习 1. 如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合一次、二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由函数在区间上为单调递增函数， 当时，在上为单调递增函数，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：D. 2.已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数的单调性及二次函数的对称轴和单调性，求解a的取值范围. 【详解】函数在区间上单调递减，由函数在定义域内单调递增， 则函数在上单调递减，且在上恒成立， 则有，解得． 所以a的取值范围是. 故选：C 3.已知函数是上的增函数，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】因为函数是上的增函数， 所以，解得，即的取值范围是. 故选：D 【题型五】 求函数的最值 相关知识点讲解 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： (1) ，都有；(2)，使得； 那么，我们称是函数的最大值.(最小值类似定义) 简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值. 【例1】下图为函数，的图象，指出它的最大值、最小值． 解析 观察函数图象可以知道，图象上最高点坐标为，最低点坐标为，所以当时，函数取得最大值；当时，取得最小值． 【典题1】 已知：，则(　　) A．，无最小值 B．，无最大值 C． D． 【详解】的定义域为， 因为在上单调递增， 所以． 故选：． 【典题2】已知为二次函数，且，． (1)求的解析式： (2)若，试求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)设，根据求出，由得到，求出、，即可求出解析式； (2)分、、三种情况讨论，结合函数的单调性计算可得. 【详解】(1)设，∵，∴． 又∵， ∴，解得， ∴． (2)由(1)知，，则对称轴为，开口向上， 若，则在上是增函数，； 若，即，则在上是减函数，； 若，即，则． 综上可得． 变式练习 1. 若，则的最大值为(    ) A． B． C． D．18 【答案】B 【分析】将原函数的最值转化为二次函数的最值即可 【详解】由 设 所以当时，函数有最大值 所以在的最大值为， 故选：B. 2.函数，的最大值是(    ) A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】先分离常数，再利用函数单调性求解最值即可. 【详解】， 而的图象由函数图象向左平移1个单位再向上平移2个单位得到， 所以在上单调递增， 所以当时，函数，有最大值为. 故选：B 3.函数的最小值为(    ) A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】去掉绝对值得到分段函数，结合函数单调性得到最小值. 【详解】， 由于在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增， 又，即分段处端点值相等， 故在处取得最小值，最小值为. 故选：B 4.若函数的值域是，则函数的值域是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，则，然后由对勾函数的单调性可求出函数的值域 【详解】解：令，，则． 当时，单调递减， 当时，单调递增， 又当时，，当时，，当时，， 所以函数的值域为， 故选：B． 5.已知函数满足，且. (1)求的解析式； (2)求的值，使在区间上的最小值为. 【答案】(1) (2)或者 【分析】(1)直接用代入即可得到的解析式； (2)先求出的解析式，然后根据对称轴不同区间对应的最小值也不同，分别求出对应的，最后排除不符合条件即可. 【详解】(1)因为， 所以； (2)， 所以对称轴为直线， ①当时，在上单调递增， 所以，解得，不符合条件； ②当时，， 解得或者，都符合条件； ③当时，在上单调递减， 所以，解得，不符合条件， 故或者. 【A组---基础题】 1.已知函数，则下列结论正确的是(    ) A．递增区间是 B．递减区间是 C．递增区间是 D．递增区间是 【答案】D 【解析】根据绝对值的意义，将函数写成分段函数形式，作出图象即可判断． 【详解】因为函数，作出函数的图象， 如图所示： 由图可知，递增区间是，递减区间是和． 故选：D． 2.已知函数在上具有单调性，则k的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次函数对称轴及单调性列出不等式来求解即可. 【详解】易知的对称轴为直线，因为在上具有单调性，所以或，解得或． 故选:C 3.已知函数，则对任意实数x，函数的值域是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解. 【详解】依题意，， 显然，则，于是， 所以函数的值域是. 故选：C 4.已知函数，则满足的a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分，和三种情况讨论，结合函数的单调性求解即可. 【详解】当时，， 则， 故无解； 当时，， 故无解； 当时，要使，有两种情况， 第一种情况，，即时， 此时由于函数在上单调递增， 则，解得； 第二种情况，，即时， 此时， 则，解得， 综上所述，a的取值范围是. 故选：D. 5.函数的定义域是，则其值域为 【答案】 【分析】 判断函数的单调性，根据单调性可求得函数最小值以及最大值，即得答案. 【详解】 由题意知函数均在上单调递增， 故在定义域上为增函数， 所以，， 即的值域为， 故答案为： 6.已知函数． (1)试用单调性定义判断在上的单调性； (2)求函数在上的最值． 【答案】(1)答案见详解； (2)最小值为，最大值为. 【分析】(1)根据函数单调性的定义进行判断； (2)利用单调性求最值. 【详解】(1)任取，且， 则 因为，且，所以，，， 所以，所以， 所以，即. 所以在上单调递减. (2)由(1)知在上单调递减， 所以， . 所以函数在上的最小值为，最大值为. 7. 已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (2)设函数，若对任意，总有，使得，求的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析； (2) 【分析】(1)判断函数在单调递增，再由定义证明即可； (2)原题可转化为在上的值域是在上值域的子集，再分别求出函数值域，建立不等式求解即可. 【详解】(1)若，则，在上单调递增. 证明如下： 设且， 则， 因为，所以， 即， 故在上单调递增. (2)对任意，总有，使得， 则在上的值域是在上值域的子集. 因为，所以在上单调递增， 当时，所以的值域为. 当时，在上单调递增，所以的值域为. 由，可得，解得； 当时，，满足题意； 当时，由在时，，由对勾函数性质可知， 只需且，解得. 综上可得，的取值范围. 【B组---提高题】 1.设a＞0，b＞0，若，则(    ) A．a＜b B．a＞b C．2a＞3b D．3a＞4b 【答案】B 【分析】由题可得，构造函数，利用函数的单调性即可求解. 【详解】解：因为a＞0，所以，所以， 令函数，因为函数在上单调递增且b＞0，a>0，所以a＞b． 故选：B． 2.若函数在上是增函数，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形换元得到，，考虑，和三种情况，结合对勾函数性质得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】， 令，故，， 当，即时，在上单调递增，满足要求， 当，即时，在上单调递增，满足要求， 当，即时，由对勾函数性质得到在上单调递增， 故，解得， 综上，实数的取值范围是. 故选：C 3.函数的定义域为，对于区间，)，若满足以下两条性质之一，则称在区间上具有性质. 性质1：对任意，有； 性质2：对任意，有. (1)分别判断下列两函数在区间是否具有性质； ①；②； (2)若函数在区间)具有性质，求的取值范围 【答案】(1)①具有性质，②不具有性质； (2). 【分析】(1)记当时，的值域为M，则性质1 ；性质2 .然后求出①的值域，根据集合包含关系即可判断；注意当时，②的函数值不存在即可判断； (2)分，和分别求出函数值域，根据集合关系讨论即可. 【详解】(1)记当时，的值域为M， 则性质1 ；性质2     . 对于①，当时，，即， 所以，，即函数满足性质1，具有T性质. 对于②，因为当时，函数值不存在，故函数不具有T性质. (2)由二次函数性质知，函数在上单调递增， 在上单调递减， 当时，的值域为，显然不满足性质2， 故，要使具有T性质，则， 所以，解得(舍去)或(舍去)； 当时，， 所以的值域为，满足，即满足性质1，具有T性质； 当时，的值域为， 因为，所以不是的子集， 且， 所以，此时不具有T性质. 综上，若函数在区间具有性质，则的取值范围为. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$