第04讲 充分条件与必要条件-2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）

第04讲 充分条件与必要条件 1.理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义； 2.了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系； 3.能通过充分性、必要性解决简单的问题； 4.能对充分条件进行证明. 1 命题的定义 (1)命题的定义：一般地，我们用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题。 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题. (2)命题的表示：命题表示为“若，则”时，是命题的条件，是命题的结论. 2 充分条件与必要条件 (1) 一般地，若，则为真命题，是指以为已知条件通过推理可以得出. 这时，我们就说，由可以推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件. (2) 一般地，若，则为假命题，是指以为已知条件不能通过推理可以得出. 这时，不是的充分条件，不是的必要条件. 3 充要条件 (1)充要条件的定义 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有， 就记作，此时即是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件. (2)充要条件的含义 若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同. (3)充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是是等价. 【题型一】判断充分条件与必要条件 相关知识点讲解 1 概念 一般地，若，则为真命题，是指以为已知条件通过推理可以得出. 这时，我们就说，由可以推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件. 如果若，则和它的逆命题若，则均是真命题， ② 是的______条件(填写是否充分、必要) 完成此题型，可思考 从左到右，若则充分，若则不充分； 从右到左，若则必要，若则不必要. 【例】帅哥是男人的____________条件. ③ 从集合的角度理解－－小范围推得出大范围 命题对应集合， 若，则，即是的充分条件；若，则，即不是的充分条件. 注 若，则称为小范围，为大范围. 【例】帅哥是男人的____________条件. 结论 ① 若是的充分不必要条件，则；② 若是的必要不充分条件，则； ③ 若是的充分条件，则； ④ 若是的必要条件，则. 【典题1】 (多选)下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件是(     ) A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 【典题2】(2024·天津·二模)已知，则“”是“”的(    )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典题3】设，则“”是“”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式练习 1.下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 2.“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.设，则“”是“”的(    ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4.“”是“”的(    ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5.有限集合中元素的个数记作，若都为有限集合,则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6.“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.(23-24高一上·广东东莞·期中)设，则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8.是的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型二】根据充分、必要条件求参数范围 【典题1】 (2024高三·全国·专题练习)若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【典题2】已知，关于的不等式恒成立． (1)当时成立，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 变式练习 1. 集合，，若的充分条件是，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 2.关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是(    ) A． B． C． D． 3.条件，条件，若是的充分条件，则的最小值为(　　) 4.(多选)已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有(    ) A． B． C． D． 5.已知，(a为实数)．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 . 6.在①充分而不必要，②必要而不充分，③充要，这三个条件中任选一个条件补充到下面问题中，若问题中的实数存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.问题：已知集合，非空集合.是否存在实数，使得是的__________条件？ 7.已知集合，. (1)若，求； (2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围. 【题型三】充要条件 相关知识点讲解 (1)充要条件的定义 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有， 就记作，此时即是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件. (2)充要条件的含义 若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同. (3)充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是是等价. (4) 命题对应集合，若是的充要条件，则. 【典题1】 若是正整数，则充要条件是(　　) 有一个为1 且 【典题2】求证：是是等边三角形的充要条件.(这里，，是的三边边长). 变式练习 1. 关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是(    ) A．或 B．或 C． D． 2.已知U为全集，集合A，B为U的两个子集，则“”的充要条件是(    ) A． B． C． D． 3.的一个充要条件是(    ) A． B． C．， D．， 4.求证：等式对任意实数恒成立的充要条件是. 5.已知，是实数，求证：成立的充要条件是. 6.设集合． (1)证明：属于的两个整数，其积也属于； (2)判断是否属于，并说明理由； (3)写出“偶数属于”的一个充要条件并证明． 【A组---基础题】 1.已知，若，则是的(    )条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 2.已知，则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4.(多选)下列说法正确的是(    ) A．“”是“”的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件 C．若a，b，，则“”的充要条件是“” D．若a，，则“”是“”的充要条件 5.在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .(填序号). (1)如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件； (2)如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件； (3)如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件； (4)如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件. 6.若“”是“不等式”成立的充分条件，则实数的取值范围是　　 ． 7.已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 8.设分别为的三边的长，求证：关于的方程与有公共实数根的充要条件是. 【B组---提高题】 1.条件：关于的不等式的解集为； 条件，则是的(　　) 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 2.已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 ． 3.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；(直接写出答案，不必说明理由) (2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 充分条件与必要条件 1.理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义； 2.了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系； 3.能通过充分性、必要性解决简单的问题； 4.能对充分条件进行证明. 1 命题的定义 (1)命题的定义：一般地，我们用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题。 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题. (2)命题的表示：命题表示为“若，则”时，是命题的条件，是命题的结论. 2 充分条件与必要条件 (1) 一般地，若，则为真命题，是指以为已知条件通过推理可以得出. 这时，我们就说，由可以推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件. (2) 一般地，若，则为假命题，是指以为已知条件不能通过推理可以得出. 这时，不是的充分条件，不是的必要条件. 3 充要条件 (1)充要条件的定义 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有， 就记作，此时即是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件. (2)充要条件的含义 若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同. (3)充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是是等价. 【题型一】判断充分条件与必要条件 相关知识点讲解 1 概念 一般地，若，则为真命题，是指以为已知条件通过推理可以得出. 这时，我们就说，由可以推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件. 如果若，则和它的逆命题若，则均是真命题， ② 是的______条件(填写是否充分、必要) 完成此题型，可思考 从左到右，若则充分，若则不充分； 从右到左，若则必要，若则不必要. 【例】帅哥是男人的____________条件. 解析 从左到右，显然若是个帅哥，那他肯定是男人，即充分； 从右到左，若是男人，他不一定是帅哥了，即不必要；故答案是充分不必要. ③ 从集合的角度理解－－小范围推得出大范围 命题对应集合， 若，则，即是的充分条件；若，则，即不是的充分条件. 注 若，则称为小范围，为大范围. 【例】帅哥是男人的____________条件. 解析 设集合帅哥，集合男人，显然，帅哥是小范围，推得出男人这个大范围，即充分条件；故答案是充分不必要条件. 结论 ① 若是的充分不必要条件，则；② 若是的必要不充分条件，则； ③ 若是的充分条件，则； ④ 若是的必要条件，则. 【典题1】 (多选)下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件是(     ) A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 【答案】ABD 【分析】根据四边形的性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】对选项A：对角线相等的菱形是正方形，正确； 对选项B：邻边相等的矩形是正方形，正确； 对选项C：对角线相等的平行四边形是矩形，错误； 对选项D：有一个角是直角的菱形是正方形，正确； 故选：ABD 【典题2】(2024·天津·二模)已知，则“”是“”的(    )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意可直接判断充分性，举例说明必要性不成立即可. 【详解】若，则，即充分性成立； 若，例如，满足条件，但不成立，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【典题3】设，则“”是“”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 【详解】，， ，， 推不出， ， 是的必要不充分条件， 即是的必要不充分条件． 故选：． 变式练习 1.下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【答案】A 【分析】根据充分条件的定义依次判断每个选项即可. 【详解】对选项A：若则，故是的必要条件，故A正确； 对选项B：若，时，不能得到，故B错误； 对选项C：取，满足为无理数，为有理数，故C错误； 对选项D：四边形的对角线互相垂直，则这个四边形不一定是菱形，故D错误； 故选：A 2.“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由不等式的性质，分别判断充分性和必要性是否满足. 【详解】由等价于， 由等价于， 由推不出，由可以推出， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3.设，则“”是“”的(    ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分，必要条件的定义判定即可. 【详解】因为，即充分性成立， 当，可知，此时不成立，即必要性不成立， 故“”是“”的是充分不必要条件. 故选：B 4.“”是“”的(    ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解方程，求出方程的根，分别从充分性，必要性两方面验证即可. 【详解】由，得，解得或, 所以时，具有充分性； 而时，或，不具有必要性. 故选：B 5.有限集合中元素的个数记作，若都为有限集合,则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据集合新定义以及集合交集、子集的含义即可判断. 【详解】因为，所以，又因为都为有限集合， 所以，则正向可以推出， 若，举例，，但，则反向无法推出， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6.“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分必要条件的定义判断. 【详解】若，即，则，或， 所以“”不是“”的充分条件； 若，则，所以， 所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 7.(23-24高一上·广东东莞·期中)设，则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】按充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】， 故是的必要不充分条件， 故选：B 8.是的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】设命题，命题； 所以，但，故是的必要不充分条件． 【题型二】根据充分、必要条件求参数范围 【典题1】 (2024高三·全国·专题练习)若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出不等式的解集，利用充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得. 【详解】依题意，，解不等式，得， 由不等式成立的充分条件是，得， 于是，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 【典题2】已知，关于的不等式恒成立． (1)当时成立，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) ; (2) 【详解】(1)，，， 实数的取值范围为：． (2)， 设，， 是的充分不必要条件， ①由(1)知，时，，满足题意； ②时，，满足题意； ③时，，满足题意； ④，或时，设， 对称轴为，由得或， 或， 或， 或 综上可知： 变式练习 1. 集合，，若的充分条件是，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据充分条件的定义可得，结合集合间的关系即可求解. 【详解】由题意，因为“”的充分条件是“”， 所以，即， 解得， 即实数a的取值范围为. 故选：B 2.关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解. 【详解】因为一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 3.条件，条件，若是的充分条件，则的最小值为(　　) 【答案】C 【详解】条件：，可得．条件：， 若是的充分条件，则，，解得，． 则的最小值为． 故选：． 4.(多选)已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有(    ) A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由成立的充要条件求出对应的参数的范围，结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】当且仅当是的子集，当且仅当，即， 对比选项可知使得成立的充分不必要条件有，. 故选：CD. 5.已知，(a为实数)．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用小范围是大范围的充分不必要条件转换成集合的包含关系求解. 【详解】因为q的一个充分不必要条件是p， 所以是的一个真子集， 则，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 6.在①充分而不必要，②必要而不充分，③充要，这三个条件中任选一个条件补充到下面问题中，若问题中的实数存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.问题：已知集合，非空集合.是否存在实数，使得是的__________条件？ 【答案】答案见解析 【分析】选择条件①，根据是的真子集列不等式求解；选择条件②：根据是的真子集列不等式求解；选择条件③：根据列方程组求解. 【详解】因为集合非空，所以， 选择条件①： 因为是的充分而不必要条件，所以是的真子集， 所以(两个等号不同时取到)， 解得， 故实数的取值范围是. 选择条件②： 因为是的必要而不充分条件，所以是的真子集，     所以有且(两个等号不同时取到)， 解得. 综上，实数的取值范围是. 选择条件③： 因为是的充要条件，所以有且， 即，此方程组无解， 则不存在实数，使得是的充要条件. 7.已知集合，. (1)若，求； (2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)解指数不等式，一元二次不等式化简集合，然后由交集定义计算； (2)根据充分不必要条件的定义得不等式组求解； 【详解】(1) 因，则. 当时，，所以. (2)因“”是“”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集. 所以，经检验“=”满足. 所以实数m的取值范围是. 【题型三】充要条件 相关知识点讲解 (1)充要条件的定义 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有， 就记作，此时即是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件. (2)充要条件的含义 若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同. (3)充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是是等价. (4) 命题对应集合，若是的充要条件，则. 【典题1】 若是正整数，则充要条件是(　　) 有一个为1 且 【答案】 【详解】是正整数，则，， 是正整数，，， 则，，， 若，则， 即或，即有一个为， 即充要条件是有一个为， 故选：． 【典题2】求证：是是等边三角形的充要条件.(这里，，是的三边边长). 【答案】证明见解析 【分析】根据充分性与必要性定义证明即可. 【详解】先证明充分性： 由， 得， 整理得，， 所以，即是等边三角形. 然后证明必要性： 由是等边三角形，则， 所以. 综上所述，是是等边三角形的充要条件. 变式练习 1. 关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是(    ) A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合一元二次方程的的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 2.已知U为全集，集合A，B为U的两个子集，则“”的充要条件是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用维恩图求解. 【详解】因为，则关系如图， 由图可知BCD选项错误，正确. 故选：A 3.的一个充要条件是(    ) A． B． C．， D．， 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，即，所以A符合题意； 由，可得或，所以选项B是的充分不必要条件； 选项C和D都为的既不充分也不必要条件. 故选：A. 4.求证：等式对任意实数恒成立的充要条件是. 【答案】证明见解析. 【分析】利用充分性和必要性的定义证明即可. 【详解】充分性： 若，则等式显然对任意实数恒成立，充分性成立； 必要性：由于等式对任意实数恒成立， 分别将，，代入可得， 解得，必要性成立， 故等式对任意实数恒成立的充要条件是. 5.已知，是实数，求证：成立的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可得到结论． 【详解】解：先证明充分性： 若，则成立． 所以“”是“”成立的充分条件； 再证明必要性： 若，则， 即， ， ， ， ， 即成立． 所以“”是“”成立的必要条件. 综上：成立的充要条件是． 6.设集合． (1)证明：属于的两个整数，其积也属于； (2)判断是否属于，并说明理由； (3)写出“偶数属于”的一个充要条件并证明． 【答案】(1)略；(2)(3)略. 【详解】(1)证明：从里面随便选个数：和； 作乘积， ；； ； 即属于的两个整数之积属于． (2)； 而，故， ，故， ，无整数解，故， (3)集合， 成立，①当同奇或同偶时，均为偶数， 为的倍数， ②当一奇，一偶时，均为奇数， 为奇数， 综上所有满足集合的偶数为，． 反之当，即，． 故“偶数属于”的一个充要条件为这个偶数为． 【A组---基础题】 1.已知，若，则是的(    )条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】时，有，满足，则是的充分条件； 时，有或，不能得到，则不是的必要条件. 所以是的充分非必要条件. 故选：A 2.已知，则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据由能不能推出及由能不能推出即可得答案. 【详解】解：由，可得或； 由可得且， 所以由不能推出，但由能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3.“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用不等式的性质及二次不等式的解法即可得证. 【详解】先证： 因为，所以，，故，即，故； 再证： 因为，所以，即，故； 综上：“”是“”的充分必要条件. 故选：C 4.(多选)下列说法正确的是(    ) A．“”是“”的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件 C．若a，b，，则“”的充要条件是“” D．若a，，则“”是“”的充要条件 【答案】BD 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可得解． 【详解】当时，有，也有，因此不能得出， 反之当时，，但，即由也不能得出， 所以两者既不充分也不必要，故A错误； 当时，，但， 当时，，故B正确； 当时，，从而， 反之，时，若，则， 所以两者不是充要条件，故C错误； 且 ，D正确， 故选：BD． 5.在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .(填序号). (1)如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件； (2)如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件； (3)如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件； (4)如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】 根据充分、必要条件的定义，结合图形依次判断即可求解. 【详解】(1)开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件，故(1)正确； (2)开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件，故(2)正确； (3)开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，故(3)正确； (4)开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件，故(4)错误. 故答案为：(1)(2)(3) 6.若“”是“不等式”成立的充分条件，则实数的取值范围是　　 ． 【答案】 【详解】由得，得， “”是“不等式”成立的充分条件， ， 即，即，即。 7.已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)先求出集合，再求出，最后由交集的运算求出； (2)先求出，再求出，再由充分不必要条件构造关于的方程组，解出即可. 【详解】(1)因为，又， 所以. (2) 或，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 则，又， 所以. 8.设分别为的三边的长，求证：关于的方程与有公共实数根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】设两个方程公共实数根，代入方程化简得到，求得，代入，得到，证得必要性成立；由，可得，代入两个方程，化简得到两方程有公共实数根，进而得到充分性成立，即可得证. 【详解】证明：必要性：设方程与有公共实数根， 则 两式相减并整理，可得 因为，所以，将此式代入中， 整理得，故. 充分性：因为，可得，所以， 将代入方程中，可得， 即， 将代入方程中，可得， 即 故两方程有公共实数根. 所以关于的方程与有公共实数根的充要条件. 【B组---提高题】 1.条件：关于的不等式的解集为； 条件，则是的(　　) 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】条件：关于的不等式的解集为， 当时，恒成立， 当时，则，解得， 综上所述中的取值范围为， 所以则是的必要不充分条件， 故选：． 2.已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】判断在上的单调性，可求得集合A，进而由“”是“”的充分不必要条件，可得，求解即可． 【详解】函数的对称轴为，开口向上， 所以函数在上递增， 当时，；当时，．所以． ，由于“”是“”的充分不必要条件， 所以，，解得或， 所以m的取值范围是． 故答案为：． 3.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；(直接写出答案，不必说明理由) (2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 【答案】(1)是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集” (2)证明见解析 【分析】(1)根据所给定义判断即可. (2)先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质的定义证明即可； 【详解】(1)因为， 对于集合，令，解得，显然，， 所以是集合的“期待子集”； 对于集合，令，则， 因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集” (2)先证明必要性： 当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的，使得， 不妨设，令，，，则，即条件中的①成立； 又，所以，即条件中的②成立； 因为， 所以为偶数，即条件中的③成立； 所以集合满足条件. 再证明充分性： 当集合满足条件时，有存在，满足①，②，③为偶数， 记，，， 由③得，由①得，由②得， 所以， 因为，，，所以，，均属于， 即集合是集合的“期待子集” 10 学科网（北京）股份有限公司 $$