第01讲 集合的概念-2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）

第01讲 集合的概念 1.通过实例了解集合的定义，体会元素与集合间的属于关系； 2.能通过自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，感受集合的意义和作用. 元素与集合的概念 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员). 集合的元素特征 ① 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.  ② 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.  ③ 无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换. 元素与集合的关系 若是集合的元素，则称属于集合，记作；  若不是集合的元素，则称不属于集合，记作.  常用数集  自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作或；整数集，记作； 有理数集，记作；实数集，记作. 集合的分类 有限集，无限集，空集. 集合的表示方法 ① 列举法  把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫列举法. ② 描述法  用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.  方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：.  【题型一】集合的概念 相关知识点讲解 元素与集合的概念 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母表示； (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合，常用大写的拉丁字母…表示. 比如：四十个学生组成的高一(1)班中，班级就是个集合，每个学生就是其中的元素. 集合的元素特征 ① 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.  Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故帅哥不能组成集合. ② 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.  Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名熊大熊二，以视区别. 若集合，就意味且. ③ 无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换. Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，. 【典题1】 (多选)下列说法正确的是(     ) A．我校爱好足球的同学组成一个集合 B．是不大于3的正整数组成的集合 C．集合和表示同一集合 D．数1，0，5，，，，组成的集合有7个元素 变式练习 1.下列对象中不能构成一个集合的是(    ) A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形 2.(23-24高一上·天津南开·期中)下列给出的对象能构成集合的有(    ) ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是(　　) A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形 4.(23-24高一上·安徽蚌埠·阶段练习)下列各组对象能构成集合的是(    ) A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形 C．著名的数学家 D．，，，，，，， 【题型二】元素与集合间的关系 相关知识点讲解 1 常用数集 自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作或；整数集，记作； 有理数集，记作；实数集，记作. 2 元素与集合的关系 若是集合的元素，则称属于集合，记作；  若不是集合的元素，则称不属于集合，记作.  Eg：菱形，. 【典题1】 (多选)(23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习)已知为非零实数，代数式的值组成的集合A，下列判断正确的是(    ) A． B． C． D． 【典题2】(23-24高一下·安徽安庆·开学考试)已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为(    ) A．1 B． C． D．与的取值有关 变式练习 1. (2022高一上·全国·专题练习)下列关系中，正确的个数为(    ) ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 2.(2023·河南驻马店·一模)已知集合，那么下列结论正确的是(    ) A． B． C． D． 3.已知集合，，若，则实数x的取值集合为(    ) A． B． C． D． 4.(多选)(2024·全国·模拟预测)非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的有(    ) A． B． C．若，则 D．若，则 5.设关于的不等式的解集为，若且，则的取值范围是 . 【题型三】 集合互异性的应用 相关知识点讲解 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.  Eg：若集合，就意味且. 【典题1】 (多选)已知集合，，则a的值为(   ). A． B． C．1 D． 变式练习 1. (23-24高三下·山东青岛·开学考试)已知，则的取值为(   ) A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 2.(23-24高一上·江西萍乡·期末)已知集合，若，则a的值可能为(    ) A．，3 B． C．，3，8 D．，8 3.(2024高三·全国·专题练习)已知集合，且，则实数为(    ) A．2 B．3 C．0或3 D． 【题型四】 集合的表示方法 角度1 列举法 相关知识点讲解 把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫列举法. Eg：以内偶数的集合为； 一次函数与的图象的交点组成的集合为． 【典题1】 用列举法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合； (2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合； (3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合； (4)由所有正整数构成的集合． 变式练习 1. 用列举法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)方程的解集； (4)方程的解集； 角度2 描述法 相关知识点讲解 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.  方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：.  用符号描述法表示集合时应注意：  弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？  元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.  Eg 集合 元素 化简结果 方程的解 不等式的解集 函数中取值范围(定义域) 函数中取值范围(值域) 函数的图像上的点 ---- 看集合先看元素类型. 【典题1】 (多选)已知集合，则满足A中有8个元素的m的值可能为(    ) A．6 B． C．9 D． 【典题2】(多选)已知集合，，，且，，，则(    ) A． B． C． D． 变式练习 1.设集合，集合且，则(    ) A． B． C． D． 2.若集合，，则中元素的最大值为(    ) A．4 B．5 C．7 D．10 3.(22-23高一下·江苏苏州·开学考试)集合中的元素个数为(    ) A． B． C． D． 4.(2024高一上·全国·专题练习)已知集合，若集合A中至多有一个元素，则实数a应满足(    ) A． B． C．或 D．不确定 5.(多选)已知集合，，且，，则下列判断正确的是(    ) A． B． C． D． 6. (多选)对于集合.给出如下结论，其中正确的结论是(    ) A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果.那么 D．若.对于，则有 【A组---基础题】 1.下列说法正确的是(    ) A．0与的意义相同 B．某市文明市民可以组成一个集合 C．集合是无限集 D．方程的解集有二个元素 2.由组成一个集合，中含有3个元素，则实数的取值不可以是(    ) A． B．2 C．3 D．6 3.(23-24高一上·上海·期末)数集，，，若，，则(    ) A． B． C． D．A，，都有可能 4.集合，用列举法可以表示为 5.已知集合，则集合B中有 个元素． 6.设数集由实数构成，且满足：若且)，则. (1)若，试证明中还有另外两个元素； (2)集合是否为双元素集合，并说明理由； (3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合. 7.已知n元有限集，)，若，则称集合A为“n元和谐集”. (1)写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程)； (2)若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； (3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 【B组---提高题】 1.若，则下列结论中正确结论的个数为(    ) ①； ②若，则； ③若且，则； ④存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 2.(2024·辽宁丹东·一模)若为完全平方数，则正整数x的取值组成的集合为 ． 3.已知非空集合．用表示集合中元素的个数．设且，且． (1)若，直接写出以及的值． (2)若，求的取值范围． 4.已知集合A是由元素x组成的，其中，m，． (1)设，，，试判断，与A之间的关系； (2)任取，试判断，与A之间的关系． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 集合的概念 1.通过实例了解集合的定义，体会元素与集合间的属于关系； 2.能通过自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，感受集合的意义和作用. 元素与集合的概念 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员). 集合的元素特征 ① 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.  ② 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.  ③ 无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换. 元素与集合的关系 若是集合的元素，则称属于集合，记作；  若不是集合的元素，则称不属于集合，记作.  常用数集  自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作或；整数集，记作； 有理数集，记作；实数集，记作. 集合的分类 有限集，无限集，空集. 集合的表示方法 ① 列举法  把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫列举法. ② 描述法  用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.  方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：.  【题型一】集合的概念 相关知识点讲解 元素与集合的概念 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母表示； (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合，常用大写的拉丁字母…表示. 比如：四十个学生组成的高一(1)班中，班级就是个集合，每个学生就是其中的元素. 集合的元素特征 ① 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.  Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故帅哥不能组成集合. ② 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.  Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名熊大熊二，以视区别. 若集合，就意味且. ③ 无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换. Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，. 【典题1】 (多选)下列说法正确的是(     ) A．我校爱好足球的同学组成一个集合 B．是不大于3的正整数组成的集合 C．集合和表示同一集合 D．数1，0，5，，，，组成的集合有7个元素 【答案】BC 【分析】根据集合的元素的特征逐一判断即可. 【详解】我校爱好足球的同学不能组成一个集合； 是不大于3的正整数组成的集合； 集合和表示同一集合； 由于，所以数1，0，5，，，，组成的集合有5个元素； 故选：BC 变式练习 1.下列对象中不能构成一个集合的是(    ) A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形 【答案】A 【分析】根据集合的性质判断各项描述是否能构成集合即可. 【详解】A：比较出名的标准不清，故不能构成集合； B：，方程根确定，可构成集合； C：不小于3的自然数可表示为，可构成集合； D：所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合. 故选：A 2.(23-24高一上·天津南开·期中)下列给出的对象能构成集合的有(    ) ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据集合的定义判断即可. 【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确； 故选：B 3.若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是(　　) A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形 【答案】D 【详解】由于集合中的元素具有“互异性”，故a，b，c，d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等.选D. 4.(23-24高一上·安徽蚌埠·阶段练习)下列各组对象能构成集合的是(    ) A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形 C．著名的数学家 D．，，，，，，， 【答案】B 【分析】根据构成集合元素的特征满足确定性、互异性判断各选项即可. 【详解】对于A，充分接近的所有实数不能满足集合元素的确定性，故A错误； 对于B，所有的正方形可以构成一个集合，故B正确； 对于C，著名的数学家不能满足集合元素的确定性，故C错误； 对于D，元素有重复，不满足集合元素的互异性，故D错误. 故选：B. 【题型二】元素与集合间的关系 相关知识点讲解 1 常用数集 自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作或；整数集，记作； 有理数集，记作；实数集，记作. 2 元素与集合的关系 若是集合的元素，则称属于集合，记作；  若不是集合的元素，则称不属于集合，记作.  Eg：菱形，. 【典题1】 (多选)(23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习)已知为非零实数，代数式的值组成的集合A，下列判断正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】对非零实数的符号分情况进行讨论即可求得所有可能的取值为，即可得出结论. 【详解】依题意，当都为正数，代数值等于4； 当中只有一个负数两个正数，代数值为0； 当中只有一个正数两个负数，代数值为0； 当都为负数，代数值为. 故选：CD 【典题2】(23-24高一下·安徽安庆·开学考试)已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为(    ) A．1 B． C． D．与的取值有关 【答案】A 【分析】根据题意，递推出集合A中所有元素，可得答案． 【详解】由题意，若，， ， ， ， 综上，集合. 所以集合A中所有元素的乘积为. 故选：A. 变式练习 1. (2022高一上·全国·专题练习)下列关系中，正确的个数为(    ) ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】 根据元素与集合的关系逐个判断即可. 【详解】 由元素与集合的关系，得：在①中，，故①正确； 在②中，，故②正确；在③中，不正确，故③错误；在④中，，故④错误； 在⑤中，，故⑤错误；在⑥中，，故⑥正确.所以正确的个数为3. 故选：D. 2.(2023·河南驻马店·一模)已知集合，那么下列结论正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，结合元素与集合的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】由方程，解得或，所以， 所以，，. 故选：A. 3.已知集合，，若，则实数x的取值集合为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合元素的唯一性分类讨论即可. 【详解】因为，所以. 当时，，得； 当时，则. 故实数x的取值集合为. 故选：B 4.(多选)(2024·全国·模拟预测)非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的有(    ) A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】 根据元素与集合的关系进行分析，从而确定正确答案. 【详解】 对于A，假设，则令，则， 令，则， 令，不存在，即，矛盾， ∴，故A对； 对于B，由题，，则 ∴，故B对； 对于C，∵，，， ∵故C对； 对于D，∵，，若，则，故D错误． 故选：ABC． 5.设关于的不等式的解集为，若且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据已知条件列不等式组，由此求得的取值范围. 【详解】依题意， 解得. 故答案为： 【题型三】 集合互异性的应用 相关知识点讲解 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.  Eg：若集合，就意味且. 【典题1】 (多选)已知集合，，则a的值为(   ). A． B． C．1 D． 【答案】BD 【分析】由题意可得或或，求出对应的a值，结合集合的特征依次验证即可. 【详解】，集合， 得或或， 解得或或， 当时，，，不符合集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，，，满足题意； 当时，，，，满足题意. 故选：BD. 变式练习 1. (23-24高三下·山东青岛·开学考试)已知，则的取值为(   ) A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 【答案】C 【分析】根据条件，利用元素与集合的关系及集合的性质即可求解. 【详解】由元素和集合关系可知：或或， 解的或或， 由集合的性质可知，当时，不满足互异性， 所以的取值为或. 故选：C. 2.(23-24高一上·江西萍乡·期末)已知集合，若，则a的值可能为(    ) A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【答案】D 【分析】由集合与元素的关系分类讨论即可求解. 【详解】由题意若，解得或，若，解得， 当时，满足题意， 当时，违背了集合中元素间的互异性， 当时，满足题意， 综上所述，a的值可能为，8. 故选：D. 3.(2024高三·全国·专题练习)已知集合，且，则实数为(    ) A．2 B．3 C．0或3 D． 【答案】B 【分析】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案. 【详解】因为且， 所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性； ②若，解得或3， 当时不满足元素的互异性，当时，符合题意. 综上所述，. 故选：B 【题型四】 集合的表示方法 角度1 列举法 相关知识点讲解 把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫列举法. Eg：以内偶数的集合为； 一次函数与的图象的交点组成的集合为． 【典题1】 用列举法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合； (2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合； (3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合； (4)由所有正整数构成的集合． 【答案】(1){0，2，4，6，8，10}；(2){0，2}；(3){(0，1)}；(4){1，2，3，…}． 【分析】根据题意求得集合的元素，然后用列举法表示集合. 【详解】解　(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是 {0，2，4，6，8，10}． (2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0，2}． (3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}． (4)正整数有1，2，3，…，所求集合为{1，2，3，…}． 变式练习 1. 用列举法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)方程的解集； (4)方程的解集； 【答案】(1)月，3月，5月，7月，8月，10月，12月 (2) (3) (4) 【详解】(1)月，3月，5月，7月，8月，10月，12月． (2)． (3)方程的解集为. (4). 角度2 描述法 相关知识点讲解 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.  方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：.  用符号描述法表示集合时应注意：  弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？  元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.  Eg 集合 元素 化简结果 方程的解 不等式的解集 函数中取值范围(定义域) 函数中取值范围(值域) 函数的图像上的点 ---- 看集合先看元素类型. 【典题1】 (多选)已知集合，则满足A中有8个元素的m的值可能为(    ) A．6 B． C．9 D． 【答案】AB 【分析】根据题意依次讨论当为6，，9，时，集合中的元素个数． 【详解】当时，满足的有6，3，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故A可选， 当时，满足的有6，3，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故B可选， 当时，满足的有9，3，1，，，，即集合中有6个元素，不符合题意，故C不可选， 当时，满足的有9，3，1，，，，即集合中有6个元素，不符合题意，故D不可选， 故选：AB． 【典题2】(多选)已知集合，，，且，，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由描述法得各集合中元素的共同特征，由，，，分别设出的特征表达式，通过运算及变形整理找到新元素的特征归属即可. 【详解】因为，可设，，， 选项A，， 则，故A正确； 所以， 则，故B正确； 所以，其中， 则，故C错误； 所以，其中， 则，故D正确. 故选：ABD. 变式练习 1.设集合，集合且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对A中元素进行讨论，若满足且则此元素是B集合中的元素. 【详解】集合，集合， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得. 综上. 故选：C 2.若集合，，则中元素的最大值为(    ) A．4 B．5 C．7 D．10 【答案】C 【分析】根据B中元素的特征，只需满足即可得解. 【详解】由题意， . 故选：C 3.(22-23高一下·江苏苏州·开学考试)集合中的元素个数为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，，分别代入即可求得结果. 【详解】，故有个元素， 故选：D． 4.(2024高一上·全国·专题练习)已知集合，若集合A中至多有一个元素，则实数a应满足(    ) A． B． C．或 D．不确定 【答案】C 【分析】根据给定条件，按方程是一元一次方程和一元二次方程分类求解即得. 【详解】因为集合中至多有一个元素，则： ①当时，只有一个元素，符合题意； ②当时，方程有两个相等的实数根或没有实数根， 于是，即，解得， 所以实数a应满足或． 故选：C 5.(多选)已知集合，，且，，则下列判断正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用元素的特征及元素与集合的关系一一判定选项即可. 【详解】由题知：集合A为奇数集，集合B为偶数集， 所以为奇数，为偶数． 所以是奇数，是偶数，是偶数，是偶数． 即，，，. 故选：ABC． 6. (多选)对于集合.给出如下结论，其中正确的结论是(    ) A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果.那么 D．若.对于，则有 【答案】AC 【分析】对于A：设，则，进而分析判断；对于B：先说明，再取特值，分析判断；对于C：令，，可知对任意，均有，所以，故C正确；对于D：取特值，分析判断. 【详解】对于选项A：因为，，设， 则， 因为，则， 所以，故A正确； 对于选项B：因为，不妨设， 若，则； 若，则为奇数； 若，则； 综上可知：. 显然，令，则，故B错误； 对于选项C：令，，则， 即对任意，均有，所以，故C正确； 对于选项D：由选项B可知：，故D错误. 故选：AC. 【A组---基础题】 1.下列说法正确的是(    ) A．0与的意义相同 B．某市文明市民可以组成一个集合 C．集合是无限集 D．方程的解集有二个元素 【答案】C 【分析】根据元素与集合的定义逐一判断即可. 【详解】A：0是集合的一个元素，因此本选项不正确； B：因为文明市民的标准不确定，所以组成不了集合，因此本选项不正确； C：由，显然给一个自然数的值，都有唯一的一个实数与之对应， 而自然数集是无限集，因此集合是无限集，因此本选项正确； D：， 方程的解集有一个元素，因此本选项不正确， 故选：C 2.由组成一个集合，中含有3个元素，则实数的取值不可以是(    ) A． B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据集合元素互异性求解即可. 【详解】由题意知，，解得且. 所以实数的取值可以是，3,6 故选：B 3.(23-24高一上·上海·期末)数集，，，若，，则(    ) A． B． C． D．A，，都有可能 【答案】B 【分析】根据可知：集合A为奇数集，结合B为偶数集，结合元素与集合之间的关系分析判断. 【详解】由题意可知：集合A为奇数集，集合B为偶数集， 即a为奇数，b为偶数，则为奇数， 所以AD错误，B正确； 例如，令，即， 解得，所以，故C错误； 故选：B. 4.集合，用列举法可以表示为 【答案】 【分析】利用中元素满足的条件可知，可以取，分别对其进行验证看是否符合题意即可. 【详解】根据集合中的可知可以取； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 即符合题意的的值可以取， 对应的值依次是， 所以可得集合列举法可以表示为. 故答案为： 5.已知集合，则集合B中有 个元素． 【答案】6 【分析】由题意分类讨论x的取值，确定y的值，即可求得答案. 【详解】因为，所以． 当时，； 当时，或； 当时，． 故集合，即集合B中有6个元素， 故答案为：6 6.设数集由实数构成，且满足：若且)，则. (1)若，试证明中还有另外两个元素； (2)集合是否为双元素集合，并说明理由； (3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合. 【答案】(1)证明见解析； (2)不是，理由见解析； (3). 【分析】(1)利用集合与元素之间的关系证明即可； (2)根据条件求出元素间的规律即可； (3)先利用求出集合中元素个数，再根据所有元素和求解即可. 【详解】(1)由题意得若，则； 又因为，所以； 即集合中还有另外两个元素和. (2)由题意，若且)，则，则，若则； 所以集合中应包含，故集合不是双元素集合. (3)由(2)得集合中的元素个数应为3或6， 因为且中有一个元素的平方等于所有元素的积， 所以中应有6个元素，且其中一个元素为， 由结合条件可得， 又因为，所以剩余三个元素和为，即， 解得， 故. 7.已知n元有限集，)，若，则称集合A为“n元和谐集”. (1)写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程)； (2)若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； (3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3)存在1个，，理由见解析 【分析】(1)令得到答案； (2)利用反证法进行证明或者构造一元二次方程利用判别式法证明； (3)设满足要求，则，不妨设，则，从而求出，求出答案. 【详解】(1)不妨令，此时，满足要求； (2)法一：假设命题不成立，即元素，均小于等于2， 因为，故可设， ，两边同时除以得，， 因为，所以，与矛盾，不合要求， 故假设不成立，元素，中至少有一个大于2； 法二；集合是“二元和谐集”，设， 则可以看成一元二次方程的两正根， 则，解得：(舍)或，即， 所以至少有一个大于2. (3)设正整数集为“三元和谐集”， 则， 不妨设，则，解得， 因为，故只有满足要求， 综上，满足要求，其他均不合要求， 存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即. 【B组---提高题】 1.若，则下列结论中正确结论的个数为(    ) ①； ②若，则； ③若且，则； ④存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用集合的特征性质对选项进行判断. 【详解】若， 对于①，，①正确； 对于②，若，不妨设， 则，，所以，②正确； 对于③，若且，不正确， 例如，，③不正确； 对于④，存在且，满足， 例如，，， 若， 则， 故，④正确. ①②④正确. 故选：B. 2.(2024·辽宁丹东·一模)若为完全平方数，则正整数x的取值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】由题意设，进一步得，分析得到与必然都是偶数，从而考虑80的分解方式得数组的可能情况即可进一步求解. 【详解】由题意设，则， 注意到是偶数，所以与的奇偶性相同， (否则若和中，有一个是奇数，有一个是偶数，则它们的和是奇数，这与是偶数矛盾)， 注意到是偶数，所以与必然都是偶数， 考虑80的分解方式， 满足题意的数组只可能是三种情况， 所以x的取值可能是. 故答案为：. 3.已知非空集合．用表示集合中元素的个数．设且，且． (1)若，直接写出以及的值． (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】(1)根据题意即可求解； (2)根据题意可得，，从而可得，再分别求出的最小值，即可求解. 【详解】(1)根据题意可得，, 所以. (2)令，且， 任取两个元素作和，可得：，共个， 任取两个元素作差，可得：，共个， 因此，，则有； 显然，当时，， 此时集合T中只有3个元素，因此， 对于是满足的任意4个实数， 必有， 显然，当时，集合S中只有5个元素， 因此，所以， 综上所述，的取值范围为. 4.已知集合A是由元素x组成的，其中，m，． (1)设，，，试判断，与A之间的关系； (2)任取，试判断，与A之间的关系． 【答案】(1)，，． (2)，． 【分析】(1)利用分母有理化和完全平方公式进行化简即可； (2)设,，然后将，表示出来，进行判断即可. 【详解】(1)∵，∴． ∵, ∴． ∵，∴． 综上，，，． (2)任取，设，， 则， 其中，，∴． ∵， 其中，，∴． 综上，，． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$