专题8.3 独立性检验（3类必考点）-2023-2024学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题8.3 独立性检验 【知识要点】 1 【考点1：2×2列联表】 1 【考点2：卡方的计算】 5 【考点3：独立性检验解决实际问题】 10 【知识要点】 1．列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为 y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)，可利用独立性检验判断表来判断“X与Y的关系”． [易错提醒] (1)独立性检验的关键是正确列出2×2列联表，并计算出K2的值． (2)独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对它们是否有关系的判断．　　 【考点1：2×2列联表】 【知识点：2×2列联表】 1．（2024高二下·山西朔州·期中）下表是一个列联表，则表中，的值分别为（    ） 总计 21 25 33 总计 100 A．46，54 B．54，46 C．52，54 D．50，52 【答案】B 【分析】根据列联表的数据特征求解. 【详解】由表格中的数据可得，， 所以，． 故选：B． 2．（2024高二下·西藏日喀则·阶段测试）假设有两个变量X和Y，他们的取值分别为，和，，其列联表为： 总计 21 73 8 25 33 总计 46 106 则表中，的值分别是（    ） A．94，96 B．54，52 C．52，50 D．52，60 【答案】D 【分析】根据列联表直接计算. 【详解】根据列联表知，，又，所以， 故选： 3．（2024高二·全国·课后作业）假设有两个分类变量与，它们的可能取值分别为和，其列联表为 则当整数取______时，与的关系最弱（    ） A．8 B．9 C．14 D．19 【答案】C 【分析】根据列联表分析运算． 【详解】在两个分类变量的列联表中，当的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小． 令，得，解得， 又为整数，所以当时，与的关系最弱． 故选：C． 4．（2024高二·全国·单元测试）假设有两个分类变量与的列联表如下表： 对于以下数据，对同一样本能说明与有关系的可能性最大的一组为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】计算每个选项中的，比较大小后可得出结论. 【详解】对于两个分类变量与而言，的值越大，说明与有关系的可能性最大， 对于A选项，， 对于B选项，， 对于C选项，， 对于D选项，， 显然D中最大， 故选：D. 5．（2024高二下·青海西宁·阶段测试）第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，组委会安排100名志愿者担任对外翻译工作，在下面“性别与会法语”的列联表中， . 会法语 不会法语 总计 男 a b 40 女 12 d 总计 36 100 【答案】 【分析】 根据题意，利用志愿者的总人数为100，列出方程，即可求解. 【详解】 根据表格中的数据，因为志愿者的总人数为100，所以， 解得. 故答案为：. 6．（2024高二上·全国·课后作业）两个分类变量X，Y，它们的取值分别为和，其列联表为： 　　　YX　　　 y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 若两个分类变量X，Y没有关系，则下列结论正确的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】①②⑤ 【分析】根据独立性检验结合列联表逐项分析判断. 【详解】因为分类变量X，Y没有关系，则，整理得，即， 所以①②⑤正确； 又因为与，以及与与上述比例式没有关系，其大小关系无法判断， 故③④不正确． 故答案为：①②⑤. 【考点2：卡方的计算】 【知识点：卡方的计算】 1．（2024高二·全国·单元测试）在一次独立试验中，有200人按性别和是否色弱分类如下表所示（单位：人） 男 女 正常 73 117 色弱 7 3 你能在犯错误的概率不超过 的前提下认为“是否色弱与性别有关”． 附： 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】0.05 【分析】补全列联表，计算，查表可得结论. 【详解】由题意得联表为 男 女 合计 正常 73 117 190 色弱 7 3 10 合计 80 120 200 由列联表中的数据，得，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为“是否色弱与性别有关”． 故答案为：0.05 2．（23-24高二下·福建漳州·期末）为了判断某高中学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到列联表： 理科 文科 男 13 10 女 7 20 根据表中数据，得到，则认为选修文科与性别有关系出错的概率约为 .（参考数据：，） 【答案】 【分析】根据独立性检验的方法即可求解. 【详解】因为，， 所以认为选修文科与性别有关系出错的概率约为. 故答案为：. 3．（2024高二·全国·课后作业）京剧是中国的四大国粹之一，是第一批国家级非物质文化遗产．为纪念京剧表演艺术大师梅兰芳先生，某栏目的一期“我爱京剧”比赛中，2位“梅派”传人和4位京剧票友在幕后登台演唱同一曲目《贵妃醉酒》选段，假设6位演唱者的演唱水平相当，由现场40位大众评委和“梅派”传人的朋友猜测哪两位是真正的“梅派”传人，此栏目编导对本期的40位大众评委的年龄和对京剧知识的了解程度进行了调查，得到如下表所示的数据，则（ ） 对京剧非常了解 对京剧一般了解 总计 50岁及以上 15 10 25 50岁以下 3 12 15 总计 18 22 40 A．有99%的把握认为对京剧知识的了解程度与年龄大小有关 B．有99%的把握认为对京剧知识的了解程度与年龄大小无关 C．有95%的把握认为对京剧知识的了解程度与年龄大小有关 D．有95%的把握认为对京剧知识的了解程度与年龄大小无关 【答案】C 【分析】利用公式计算的值，将的值与几个临界值进行比校，进而做出推断． 【详解】，因为，所以有95%的把握认为对京剧知识的了解程度与年龄大小有关． 故选：C 4．（多选）（2024高二·全国·课后作业）为了增强学生的身体素质，某校将冬天长跑作为一项制度固定下来，每天大课间例行跑操．为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，研究人员随机调查了相同人数的男、女学生，发现男生中有80%喜欢跑步，女生中有40%不喜欢跑步，且有95%的把握判断喜欢跑步与性别有关，但没有99%的把握判断喜欢跑步与性别有关，则被调查的男、女学生的总人数可能为（    ） A．120 B．130 C．240 D．250 【答案】AB 【分析】由题可得列联表，计算进而即得. 【详解】依题意，设男、女学生的人数均为，则被调查的男、女学生的总人数为．建立如下列联表： 喜欢跑步 不喜欢跑步 总计 男 女 总计 则，又， 所以． 故选：AB． 5．（多选）（23-24高三上·广东深圳·期末）深圳某中学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务绘出满意或不满意的评价，得到如表所示的列联表，经计算，则下列结论正确的是（    ） 满意 不满意 男 30 20 女 40 10 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.535 A．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为； B．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意： C．根据小概率值的独立性检验，认为男、女生对该食堂服务的评价有差异； D．根据小概率值的独立性检验，认为男、女生对该食堂服务的评价有差异. 【答案】AC 【分析】根据列联表计算男、女生对食堂服务满意的概率的估计值，即可判断A，B；根据独立性检验的原则，结合，与临界值表比较，可判断C，D. 【详解】对于A，由列联表可知该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为，正确； 对于B，该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为， 即该学校女生比男生对食堂服务更满意，B错误； 对于C，D，由于， 故根据小概率值的独立性检验，认为男、女生对该食堂服务的评价有差异； 根据小概率值的独立性检验，不能认为男、女生对该食堂服务的评价有差异，C正确，D错误， 故选：AC 6．（多选）（2024·湖北·一模）疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据： 未发病 发病 总计 未注射疫苗 30 注射疫苗 40 总计 70 30 100 附表及公式： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 ，． 现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为0.5，则下列判断正确的是（    ） A．注射疫苗发病的动物数为10 B．某个发病的小动物为未注射疫苗动物的概率为 C．能在犯错概率不超过0.005的前提下，认为疫苗有效 D．该疫苗的有效率约为80% 【答案】ABD 【分析】完善列联表可直接判断A，计算比例后判断BD，计算判断C． 【详解】完善列联表如下： 未发病 发病 总计 未注射疫苗 30 20 50 注射疫苗 40 10 50 总计 70 30 100 由列联表知，A正确， ，B正确， ， 不能在犯错概率不超过0.005的前提下，认为疫苗有效，C错误； 疫苗的有效率约为，D正确． 故选：ABD． 【考点3：独立性检验解决实际问题】 【知识点：独立性检验解决实际问题】 1．（23-24高二下·吉林长春·期中）甲、乙两个车间生产同一种产品，为了解这两个车间的产品质量情况，随机抽查了两个车间生产的80件产品，得到下面列联表： 非特等品件数 特等品件数 甲车间 32 8 乙车间 35 5 (1)根据上表，分别估计这两个车间生产的产品的特等品率； (2)依据小概率值的独立性检验，能否推断两个车间生产的产品特等品率有差异?并对（1）的结果作出解释. 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)甲车间的特等品率约为，乙车间的特等品率约为， (2)认为两车间生产的产品特等品率没有差异 【分析】（1）由频数和总数可计算得到频率； （2）计算可得，由此可得结论. 【详解】（1）根据表中数据，甲车间共抽查40件产品，其中特等品8件， 乙车间共抽查40件产品，其中特等品5件， 由此估计甲车间的特等品率约为， 乙车间的特等品率约为， （2）列联表 非特等品件数 特等品件数 合计 甲车间 32 8 40 乙车间 35 5 40 合计 67 13 80 零假设为：两车间生产的产品特等品率没有差异 根据表中数据， 依据小概率值的独立性检验，没有充分的证明推断不成立， 因此可以认为成立，即认为两车间生产的产品特等品率没有差异. 依据（1）的结果两车间生产的产品特等品率是有差异的， 这个差异很有可能是由样本的随机性导致的， 因此，只根据频率的差异得出两车间生产的产品特等品率有差异的结论是不可靠的， 用的独立性检验得到的结果更理性，更全面，理论依据也更充分. 2．（2024高二下·上海·阶段练习）某药物公司为了研发一种抗病毒疫苗，在200名志愿者中进行试验.研究人员将疫苗注射到200名志愿者体内，一段时间后测量志愿者的某项指标值，按[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图.经检测发现，志愿者中体内产生抗体的共有150人，其中该项指标值不小于30的有110人. (1)求这200名志愿者该项指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)填写下列列联表； 指标值 指标值 合计 产生抗体 未产生抗体 合计 (3)根据列联表判断，在显著性水平的前提下，能否认为注射疫苗后产生抗体与指标值不小于30有关？ 参考公式：，其中；参考数据：. 【答案】(1)35.5 (2)表格见解析 (3)不能认为注射疫苗后产生抗体与指标值不小于30有关 【分析】（1）利用区间中点值和频率的积可求答案； （2）根据频率分布直方图可以得出数据，进而完成表格； （3）计算卡方，根据临界值可以判断是否有关. 【详解】（1）由题意平均值为. （2）由频率分布直方图可知指标值不小于30的有人， 指标值 指标值 合计 产生抗体 40 110 150 未产生抗体 10 40 50 合计 50 150 200 （3）零假设：注射疫苗后产生抗体与指标值不小于30有关， ， 没有充分的理由说明注射疫苗后产生抗体与指标值不小于30有关， 即不能认为注射疫苗后产生抗体与指标值不小于30有关. 3．（23-24高二下·浙江·期中）众所周知，体育锻炼能增强人的体质，陶冶情操，消除疲劳，恢复体力. (1)经调查每天锻炼2拾分钟，3拾分钟，4拾分钟，5拾分钟，6拾分钟的学生的学习效率指数分别为2.5，3，3.5，5，6，用表示每天的锻炼时间（单位:拾分钟），用表示学习效率指数，由资料知与呈线性相关关系，求关于的线性回归方程； (2)某班级共40人，其中25人参加篮球训练队，15人参加羽毛球训练队，参加篮球训练队的25人中有15人获得了体能综合测试优秀，参加羽毛球训练队的15人中有10人获得了体能综合测试优秀，依据小概率的独立性检验，试问选择哪种活动与体能综合测试是否优秀有无关联? 参考公式:（1）；（2） 【答案】(1) (2)无关联 【分析】（1）依据给定数据和公式，求解回归方程即可. （2）依据给定数据完善列联表，进行独立性检验即可. 【详解】（1）由题意得， ，， 回归方程为 （2）列联表 优秀 不优秀 合计 篮球 15 10 25 羽毛球 10 5 15 合计 25 15 40 :设选择什么活动与体能测试是否优秀无关联 而， 故选择什么活动与体能测试是否优秀无关联 4．（2024·四川内江·三模）2024年2月10日至17日（正月初一至初八），“2024•内江市中区新春极光焰火草地狂欢节”在川南大草原举行，共举行了8场精彩的烟花秀节目．前5场的观众人数（单位：万人）与场次的统计数据如表所示： 场次编号 1 2 3 4 5 观众人数 0.7 0.8 1 1.2 1.3 (1)已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程； (2)若该烟花秀节目分A、B、C三个等次的票价，某机构随机调查了该烟花秀节目现场200位观众的性别与购票情况，得到的部分数据如表所示，请将列联表补充完整，并判断能否有的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关． 购买A等票 购买非A等票 总计 男性观众 50 女性观众 60 总计 100 200 参考公式及参考数据：回归方程中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为，其中． 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】(1) (2)表格见解析，没有 【分析】（1）利用表中数据结合最小二乘法计算回归直线即可； （2）根据题意补全列联表即可，再由卡方公式及独立性检验的思想判定结果即可. 【详解】（1）由表格可知， ，，所以， 则； （2）根据数据补全表格如下： 购买A等票 购买非A等票 总计 男性观众 40 50 90 女性观众 60 50 110 总计 100 100 200 所以， 故没有的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关. 5．（2024·甘肃张掖·模拟预测）近年来，马拉松比赛受到广大体育爱好者的喜爱.某地体育局在五一长假期间举办比赛，志愿者的服务工作是成功举办的重要保障.现抽取了200名候选者的面试成绩，并分成六组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，绘制成如图所示的频率分布直方图. 男生 女生 合计 被录取 20 未被录取 合计 (1)求； (2)估计候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3)在抽出的200名候选者的面试成绩中，若规定分数不低于80分的候选者为被录取的志愿者，已知这200名候选者中男生与女生人数相同，男生中有20人被录取，请补充列联表，并判断是否有的把握认为“候选者是否被录取与性别有关”. 附：，其中. 0.05 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) (2)68.5 (3)没有的把握认为“候选者是否被录取与性别有关 【分析】（1）由频率分布直方图概率之和为1，求解即可； （2）由频率分布直方图平均数的计算公式求解即可； （3）先完善列联表，然后利用独立性检验公式求解即可. 【详解】（1）由概率和为1得：，解得； （2）由题意知，候选者面试成绩的平均数， 所以候选者面试成绩的平均数约为68.5. （3）由频率分布直方图知不低于80分的人数为，即被录取的共有30人， 所以被录取的女生为，又男生与女生各100人，完善列联表如下： 男生 女生 合计 被录取 20 10 30 未被录取 80 90 170 合计 100 100 200 ， 所以没有的把握认为“候选者是否被录取与性别有关”. 6．（2024·陕西安康·模拟预测）众所周知，阅读能力在各个领域的作用都较为突出，开展阅读能力的培养与训练，对个人综合能力的提升有很大帮助. (1)某研究机构想知道阅读训练对阅读能力的提升有多大的帮助，随机抽查了100名坚持进行阅读训练的同学和100名没有坚持进行阅读训练的同学，对他们进行阅读理解能力测试（满分100分，规定不低于80分为优秀），得到如下列联表： 不优秀 优秀 坚持进行阅读训练 30 70 没有坚持进行阅读训练 60 40 问：能否有的把握认为阅读理解成绩是否优秀与坚持进行阅读训练有关？ (2)数学学科具有较强的逻辑性和抽象性，为了做进一步研究，该机构又从阅读理解成绩优秀的同学中随机选取了10名同学，对这10名同学进行了数学测试（满分150分），这10名同学的两次测试成绩如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 阅读理解成绩（分） 88 92 88 96 96 90 90 94 94 92 数学成绩（分） 80 110 74 138 132 98 102 122 114 110 为判断数学成绩与阅读理解成绩的线性相关性，请利用这10名同学的成绩，求相关系数（精确到0.01）. 附：①，其中. ②独立性检验临界值表： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 ③ ④ 【答案】(1)有 (2)0.97 【分析】（1）计算的值，再结合临界值表分析可得答案； （2）利用相关系数的公式求解即可得. 【详解】（1）根据列联表中的数据，得 因为， 所以有的把握认为阅读理解成绩是否优秀与坚持进行阅读训练有关. （2）由表中数据，得，， 所以， 所以相关系数的值约为0.97. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.3 独立性检验 【知识要点】 1 【考点1：2×2列联表】 1 【考点2：卡方的计算】 3 【考点3：独立性检验解决实际问题】 7 【知识要点】 1．列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为 y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)，可利用独立性检验判断表来判断“X与Y的关系”． [易错提醒] (1)独立性检验的关键是正确列出2×2列联表，并计算出K2的值． (2)独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对它们是否有关系的判断．　　 【考点1：2×2列联表】 【知识点：2×2列联表】 1．（2024高二下·山西朔州·期中）下表是一个列联表，则表中，的值分别为（    ） 总计 21 25 33 总计 100 A．46，54 B．54，46 C．52，54 D．50，52 2．（2024高二下·西藏日喀则·阶段测试）假设有两个变量X和Y，他们的取值分别为，和，，其列联表为： 总计 21 73 8 25 33 总计 46 106 则表中，的值分别是（    ） A．94，96 B．54，52 C．52，50 D．52，60 3．（2024高二·全国·课后作业）假设有两个分类变量与，它们的可能取值分别为和，其列联表为 则当整数取______时，与的关系最弱（    ） A．8 B．9 C．14 D．19 4．（2024高二·全国·单元测试）假设有两个分类变量与的列联表如下表： 对于以下数据，对同一样本能说明与有关系的可能性最大的一组为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 5．（2024高二下·青海西宁·阶段测试）第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，组委会安排100名志愿者担任对外翻译工作，在下面“性别与会法语”的列联表中， . 会法语 不会法语 总计 男 a b 40 女 12 d 总计 36 100 6．（2024高二上·全国·课后作业）两个分类变量X，Y，它们的取值分别为和，其列联表为： 　　　YX　　　 y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 若两个分类变量X，Y没有关系，则下列结论正确的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【考点2：卡方的计算】 【知识点：卡方的计算】 1．（2024高二·全国·单元测试）在一次独立试验中，有200人按性别和是否色弱分类如下表所示（单位：人） 男 女 正常 73 117 色弱 7 3 你能在犯错误的概率不超过 的前提下认为“是否色弱与性别有关”． 附： 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 2．（23-24高二下·福建漳州·期末）为了判断某高中学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到列联表： 理科 文科 男 13 10 女 7 20 根据表中数据，得到，则认为选修文科与性别有关系出错的概率约为 .（参考数据：，） 3．（2024高二·全国·课后作业）京剧是中国的四大国粹之一，是第一批国家级非物质文化遗产．为纪念京剧表演艺术大师梅兰芳先生，某栏目的一期“我爱京剧”比赛中，2位“梅派”传人和4位京剧票友在幕后登台演唱同一曲目《贵妃醉酒》选段，假设6位演唱者的演唱水平相当，由现场40位大众评委和“梅派”传人的朋友猜测哪两位是真正的“梅派”传人，此栏目编导对本期的40位大众评委的年龄和对京剧知识的了解程度进行了调查，得到如下表所示的数据，则（ ） 对京剧非常了解 对京剧一般了解 总计 50岁及以上 15 10 25 50岁以下 3 12 15 总计 18 22 40 A．有99%的把握认为对京剧知识的了解程度与年龄大小有关 B．有99%的把握认为对京剧知识的了解程度与年龄大小无关 C．有95%的把握认为对京剧知识的了解程度与年龄大小有关 D．有95%的把握认为对京剧知识的了解程度与年龄大小无关 4．（多选）（2024高二·全国·课后作业）为了增强学生的身体素质，某校将冬天长跑作为一项制度固定下来，每天大课间例行跑操．为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，研究人员随机调查了相同人数的男、女学生，发现男生中有80%喜欢跑步，女生中有40%不喜欢跑步，且有95%的把握判断喜欢跑步与性别有关，但没有99%的把握判断喜欢跑步与性别有关，则被调查的男、女学生的总人数可能为（    ） A．120 B．130 C．240 D．250 5．（多选）（23-24高三上·广东深圳·期末）深圳某中学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务绘出满意或不满意的评价，得到如表所示的列联表，经计算，则下列结论正确的是（    ） 满意 不满意 男 30 20 女 40 10 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.535 A．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为； B．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意： C．根据小概率值的独立性检验，认为男、女生对该食堂服务的评价有差异； D．根据小概率值的独立性检验，认为男、女生对该食堂服务的评价有差异. 6．（多选）（2024·湖北·一模）疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据： 未发病 发病 总计 未注射疫苗 30 注射疫苗 40 总计 70 30 100 附表及公式： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 ，． 现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为0.5，则下列判断正确的是（    ） A．注射疫苗发病的动物数为10 B．某个发病的小动物为未注射疫苗动物的概率为 C．能在犯错概率不超过0.005的前提下，认为疫苗有效 D．该疫苗的有效率约为80% 【考点3：独立性检验解决实际问题】 【知识点：独立性检验解决实际问题】 1．（23-24高二下·吉林长春·期中）甲、乙两个车间生产同一种产品，为了解这两个车间的产品质量情况，随机抽查了两个车间生产的80件产品，得到下面列联表： 非特等品件数 特等品件数 甲车间 32 8 乙车间 35 5 (1)根据上表，分别估计这两个车间生产的产品的特等品率； (2)依据小概率值的独立性检验，能否推断两个车间生产的产品特等品率有差异?并对（1）的结果作出解释. 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 2．（2024高二下·上海·阶段练习）某药物公司为了研发一种抗病毒疫苗，在200名志愿者中进行试验.研究人员将疫苗注射到200名志愿者体内，一段时间后测量志愿者的某项指标值，按[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图.经检测发现，志愿者中体内产生抗体的共有150人，其中该项指标值不小于30的有110人. (1)求这200名志愿者该项指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)填写下列列联表； 指标值 指标值 合计 产生抗体 未产生抗体 合计 (3)根据列联表判断，在显著性水平的前提下，能否认为注射疫苗后产生抗体与指标值不小于30有关？ 参考公式：，其中；参考数据：. 3．（23-24高二下·浙江·期中）众所周知，体育锻炼能增强人的体质，陶冶情操，消除疲劳，恢复体力. (1)经调查每天锻炼2拾分钟，3拾分钟，4拾分钟，5拾分钟，6拾分钟的学生的学习效率指数分别为2.5，3，3.5，5，6，用表示每天的锻炼时间（单位:拾分钟），用表示学习效率指数，由资料知与呈线性相关关系，求关于的线性回归方程； (2)某班级共40人，其中25人参加篮球训练队，15人参加羽毛球训练队，参加篮球训练队的25人中有15人获得了体能综合测试优秀，参加羽毛球训练队的15人中有10人获得了体能综合测试优秀，依据小概率的独立性检验，试问选择哪种活动与体能综合测试是否优秀有无关联? 参考公式:（1）；（2） 4．（2024·四川内江·三模）2024年2月10日至17日（正月初一至初八），“2024•内江市中区新春极光焰火草地狂欢节”在川南大草原举行，共举行了8场精彩的烟花秀节目．前5场的观众人数（单位：万人）与场次的统计数据如表所示： 场次编号 1 2 3 4 5 观众人数 0.7 0.8 1 1.2 1.3 (1)已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程； (2)若该烟花秀节目分A、B、C三个等次的票价，某机构随机调查了该烟花秀节目现场200位观众的性别与购票情况，得到的部分数据如表所示，请将列联表补充完整，并判断能否有的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关． 购买A等票 购买非A等票 总计 男性观众 50 女性观众 60 总计 100 200 参考公式及参考数据：回归方程中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为，其中． 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 5．（2024·甘肃张掖·模拟预测）近年来，马拉松比赛受到广大体育爱好者的喜爱.某地体育局在五一长假期间举办比赛，志愿者的服务工作是成功举办的重要保障.现抽取了200名候选者的面试成绩，并分成六组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，绘制成如图所示的频率分布直方图. 男生 女生 合计 被录取 20 未被录取 合计 (1)求； (2)估计候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3)在抽出的200名候选者的面试成绩中，若规定分数不低于80分的候选者为被录取的志愿者，已知这200名候选者中男生与女生人数相同，男生中有20人被录取，请补充列联表，并判断是否有的把握认为“候选者是否被录取与性别有关”. 附：，其中. 0.05 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 6．（2024·陕西安康·模拟预测）众所周知，阅读能力在各个领域的作用都较为突出，开展阅读能力的培养与训练，对个人综合能力的提升有很大帮助. (1)某研究机构想知道阅读训练对阅读能力的提升有多大的帮助，随机抽查了100名坚持进行阅读训练的同学和100名没有坚持进行阅读训练的同学，对他们进行阅读理解能力测试（满分100分，规定不低于80分为优秀），得到如下列联表： 不优秀 优秀 坚持进行阅读训练 30 70 没有坚持进行阅读训练 60 40 问：能否有的把握认为阅读理解成绩是否优秀与坚持进行阅读训练有关？ (2)数学学科具有较强的逻辑性和抽象性，为了做进一步研究，该机构又从阅读理解成绩优秀的同学中随机选取了10名同学，对这10名同学进行了数学测试（满分150分），这10名同学的两次测试成绩如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 阅读理解成绩（分） 88 92 88 96 96 90 90 94 94 92 数学成绩（分） 80 110 74 138 132 98 102 122 114 110 为判断数学成绩与阅读理解成绩的线性相关性，请利用这10名同学的成绩，求相关系数（精确到0.01）. 附：①，其中. ②独立性检验临界值表： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 ③ ④ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$