串讲05 统计（考点串讲）-【中职专用】2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（高教版2021拓展模块）

串讲04 统计 一、知识网络及常考题型 二、知识梳理 知识点一：集中趋势与离散程度 1．众数、中位数和平均数的定义 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数． (2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数． (3)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数． 2. 方差、标准差的定义 一组数据x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数， 则这组数据的方差为＝（－）， 标准差为. 3. 总体方差、总体标准差的定义 如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝ 为总体方差，S＝为总体标准差． 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝. 4. 样本方差、样本标准差的定义 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为， 则称 为样本方差，s＝为样本标准差． 5. 方差、标准差特征 标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差． 知识点二：一元线性回归 1 一元线性回归模型 用表示父亲身高，表示儿子身高，表示随机误差，假定随机误差的均值为，方差为与父亲身高无关的定值，则它们之间的关系可以表示为 我们称它为关于的一元线性回归模型. 2 线性回归方程 对于变量和变量，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，其中和的均值分别为和，其中 我们将称为关于的经验回归方程，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法. 备注 线性回归直线经过定点. 3 残差分析 通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测量，观测值减去预测值称为残差，残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判定原始数据是否存在可疑数据，这方面的工作称为残差分析. 通过观察残差图可以直观判断模型是否满足一元线性回归模型中对随机误差的假设，那残差应是均值为，方差为的随机变量的观测值. 4 比较模型的拟合效果 残差平方和 残差平方和越小，拟合效果越好. 相关指数 越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好. 四、常考题型探究 考点一 集中趋势与离散程度 1．下列说法错误的是(　　) A．一个样本的众数、中位数和平均数不可能是同一个数 B．统计中，我们可以用样本平均数去估计总体平均数 C．样本平均数既不可能大于也不可能小于这个样本中的所有数据 D．众数、中位数和平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 【答案】A 【解析】用样本估计总体情况时，在一组数据中，众数、中位数和平均数可能是同一个数， 例如：数据10,11,11,11,11,11,12的众数、中位数和平均数都是11，故选：A. 2．一组样本数据为：19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27，则这组数据的众数和中位数分别为(　　) A．14,14　　　　　　　B．12,14 C．14,15.5 D．12,15.5 【答案】A 【解析】把这组数据按从小到大排列为：10,12,12,14,14,14,17,18,19,23,27，则可知其众数为14，中位数为14.，故选：A. 3．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　) A．a＞b＞c　　　 B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 【答案】D 【解析】由题意得a＝(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝＝15.7，中位数为16，众数为18，则b＝16，c＝18，∴c＞b＞a，故选：D. 4． 我校在科技文化节活动中，8位评委给某个节目的评分各不相同，去掉1个最高分和1个最低分，剩下的6个评分与原始的8个评分相比一定不发生变化的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 【答案】B 【解答】根据题意，从8个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效评分．6个有效评分与8个原始评分相比，中位数一定不发生变化，故选：B． 5．在一次科技作品制作比赛中，某小组六件作品的成绩（单位：分）分别是：7，10，9，8，7，9，对这组数据，下列说法正确的是（　　） A．平均数是8 B．中位数8.5 C．众数是8 D．极差是4 【答案】B 【解答】A．平均数为＝，故本选项不合题意； B．中位数为＝8.5，故本选项符合题意； C．众数是7和9，故本选项不合题意； D．极差为10﹣7＝3，故本选项不合题意； 故选：B． 6．两年前，某校七（1）班的学生平均年龄为13岁，方差为4，若学生没有变动，则今年升为九（1）班的学生年龄中（　　） A．平均年龄为13岁，方差改变 B．平均年龄为15岁，方差不变 C．平均年龄为15岁，方差改变 D．平均年龄不变，方差不变 【答案】B 【解析】由题意知七年级（1）班全体学生的人数没有变化，而每位同学的年龄都增加了2岁，∴今年升为九（1）班的学生的平均年龄增加2岁，即15岁，又∵学生的年龄波动幅度没有变化，∴今年升为九（1）班的学生年龄的方差不变，仍然为4，故选：B． 7．一组数据23，27，20，18，x，12，它们的中位数是21，则x=___________，已知一个样本－1，0，2，x，3，它们的平均数是2，则这个样本的方差为s2＝_______． 【答案】     22     6 【解析】（2）根据题意和中位数的定义，21是最中间的两个数的平均数，∵16，18，20都比中位数21小，∴x排在20后面，∵20与23的平均数大于21，∴x排在23前面，∴该组数据从小到大排列为：12，18，20，x，23，27，∴，解得，故答案为：22； （2）∵样本－1，0，2，x，3的平均数是2，∴，解得， ∴故答案为：6． 8．已知一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，以下说法错误的是（    ） A．极差是5 B．众数是8 C．中位数是9 D．方差是2.8 【答案】C 【解析】一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，，解得，这组数据为：5，8，8，9，10，极差为10-5=5，故A选项正确，不符合题意；众数是8，故B选项正确，不符合题意；中位数是8，故C选项错误，符合题意；方差=，D选项正确，不符合题意；故选C． 9．李老师为了了解学生暑期在家的阅读情况，随机调查了20名学生某一天的阅读小时数，具体情况统计如表： 阅读时间 （小时） 2 2.5 3 3.5 4 学生人数（名） 1 2 8 6 3 则关于这20名学生阅读小时数的说法正确的是（　　） A．中位数是3 B．平均数是3.3 C．众数是8 D．极差是7 【答案】A 【解答】A、随机调查了20名学生，所以中位数是第10个和第11个学生的阅读小时数，都是3，故中位数是3，所以此选项符合题意； B、均数＝＝3.2，所以此选项不合题意； C、由统计表得：众数为3，不是8，所以此选项不合题意； D、极差是4﹣2＝2，所以此选项不合题意； 故选：A． 10.已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为(　　) A.1 B. C. D.2 答案　B 解析　＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3， ∴s＝＝ 11．若样本x1，x2，x3，⋯，xn的平均数为8，方差为4，则对于样本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，xn﹣3，下列结论正确的是（　　） A．平均数为8，方差为1 B．平均数为5，方差为1 C．中位数变小，方差不变 D．众数不变，方差为4 【答案】C 【解析】∵样本x1，x2，x3，…，xn的平均数为8，方差为4，∴样本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，…，xn﹣3的平均数为5，方差为4，众数和中位数变小，故选：C． 12．一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是 ． 【答案】 【解析】平均数为：，故方差是：，故答案为：． 13．如果有一组数据-2，0，1，3，的极差是6，那么的值是 ． 【答案】4或-3 【解析】∵3-（-2）=5，一组数据-2，0，1，3，x的极差是6，∴当x为最大值时，x-（-2）=6，解得x=4； 当x是最小值时，3-x=6，解得：x=-3．故答案为：4或-3． 考点二 一元线性回归 14．由变量与相对应的一组数据得到的线性回归方程为，根据样本中心满足线性回归方程，则（    ） A．45 B．51 C．67 D．63 【答案】B 【解析】由题意得，因为线性回归方程为，所以， 故选：B. 15．我国西北某地区开展改造沙漠的巨大工程，该地区对近5年投入的沙漠治理经费x（亿元）和沙漠治理面积y（万亩）的相关数据统计如下表所示． 治理经费x/亿元 3 4 5 6 7 治理面积y/万亩 10 12 11 12 20 根据表中所给数据，得到y关于x的线性回归方程为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为，因回归方程过定点，将其代入，得，解得，故选：C 16．根据变量与的对应关系（如表），求得关于的线性回归方程为，则表中的值为（    ） 2 4 5 6 8 30 40 50 70 A．60 B．55 C．50 D．45 【答案】A 【解析】由表中数据，计算，，因为回归直线方程过样本中心，，解得，故选：A. 17．已知x与y之间的一组数据如下，则y与x的线性回归方程表示的直线必过点（    ） x 0 1 2 3 y 1 2 4 6 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，．则样本中心为，故选：B. 18．在下列所示的四个图中，两个变量间具有较强线性相关关系的是（    ） A． B．C．D． 【答案】B 【分析】由散点图可得答案. 【详解】对于A，散点落在某条曲线上，两个变量具有函数关系； 对于B，散点落在某条直线附近，这两个变量具有线性相关关系； 对于C，散点落在某条曲线附近，这两个变量具有非线性相关关系； 对于D，散点杂乱无章，无规律可言，这两个变量无相关性，不具有相关关系． 故选：B． 19．某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其售价进行调查，5家商场的售价（元）和销售量（件）之间的一组数据如下表所示： 售价（元） 9 9.5 10.5 11 销售量（件） 11 8 6 5 已知销售量与售价之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是，且，则其中的______，样本中心为______． 【答案】     10     【详解】解：因为回归直线一定经过样本中心， ，， 所以，整理得． 又，得方程组，解得， 进而得， 所以，样本中心为． 故答案为：10； 20．某城市2017年到2021年人口总数与年份的关系如表所示，据此估计2022年该城市人口总数______(单位十万).（参考数据和公式：，） 年份（年） 0 1 2 3 4 人口数（十万） 5 7 8 11 19 【答案】 【解析】由题可得，， 又， ∴，故关于的线性回归方程为， 当时，.故答案为：. 21．假定产品产量x（千件）与单位成本y（元/件）之间存在相关关系.数据如下： x 2 3 4 3 4 5 y 73 72 71 73 69 68 (1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图； (2)求y与x之间的回归直线方程，对于单位成本70元/件时，预报产量为多少； 【答案】答案见解析 【解析】解：(1)散点图如下： (2)解：因为，， ，，所以，， 所以回归直线方程为，令，则，解得， 所以单位成本70元/件时，预报产量约为千件. 高教2024版·中职数学基础模块上册·复习大串讲 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 串讲04 统计 一、知识网络及常考题型 二、知识梳理 知识点一：集中趋势与离散程度 1．众数、中位数和平均数的定义 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数． (2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数． (3)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数． 2. 方差、标准差的定义 一组数据x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数， 则这组数据的方差为＝（－） 标准差为. 3. 总体方差、总体标准差的定义 如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝ 为总体方差，S＝为总体标准差． 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝. 4. 样本方差、样本标准差的定义 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为， 则称 为样本方差，s＝为样本标准差． 5. 方差、标准差特征 标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差． 知识点二：一元线性回归 1 一元线性回归模型 用表示父亲身高，表示儿子身高，表示随机误差，假定随机误差的均值为，方差为与父亲身高无关的定值，则它们之间的关系可以表示为 我们称它为关于的一元线性回归模型. 2 线性回归方程 对于变量和变量，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，其中和的均值分别为和，其中 我们将称为关于的经验回归方程，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法. 备注 线性回归直线经过定点. 3 残差分析 通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测量，观测值减去预测值称为残差，残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判定原始数据是否存在可疑数据，这方面的工作称为残差分析. 通过观察残差图可以直观判断模型是否满足一元线性回归模型中对随机误差的假设，那残差应是均值为，方差为的随机变量的观测值. 4 比较模型的拟合效果 残差平方和 残差平方和越小，拟合效果越好. 相关指数 越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好. 四、常考题型探究 考点一 集中趋势与离散程度 1．下列说法错误的是(　　) A．一个样本的众数、中位数和平均数不可能是同一个数 B．统计中，我们可以用样本平均数去估计总体平均数 C．样本平均数既不可能大于也不可能小于这个样本中的所有数据 D．众数、中位数和平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 2．一组样本数据为：19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27，则这组数据的众数和中位数分别为(　　) A．14,14　　　　　　　B．12,14 C．14,15.5 D．12,15.5 3．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　) A．a＞b＞c　　　 B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 4． 我校在科技文化节活动中，8位评委给某个节目的评分各不相同，去掉1个最高分和1个最低分，剩下的6个评分与原始的8个评分相比一定不发生变化的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 5．在一次科技作品制作比赛中，某小组六件作品的成绩（单位：分）分别是：7，10，9，8，7，9，对这组数据，下列说法正确的是（　　） A．平均数是8 B．中位数8.5 C．众数是8 D．极差是4 6．两年前，某校七（1）班的学生平均年龄为13岁，方差为4，若学生没有变动，则今年升为九（1）班的学生年龄中（　　） A．平均年龄为13岁，方差改变 B．平均年龄为15岁，方差不变 C．平均年龄为15岁，方差改变 D．平均年龄不变，方差不变 7．一组数据23，27，20，18，x，12，它们的中位数是21，则x=___________，已知一个样本－1，0，2，x，3，它们的平均数是2，则这个样本的方差为s2＝_______． 8．已知一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，以下说法错误的是（    ） A．极差是5 B．众数是8 C．中位数是9 D．方差是2.8 9．李老师为了了解学生暑期在家的阅读情况，随机调查了20名学生某一天的阅读小时数，具体情况统计如表： 阅读时间 （小时） 2 2.5 3 3.5 4 学生人数（名） 1 2 8 6 3 则关于这20名学生阅读小时数的说法正确的是（　　） A．中位数是3 B．平均数是3.3 C．众数是8 D．极差是7 10.已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为(　　) A.1 B. C. D.2 答案　B 11．若样本x1，x2，x3，⋯，xn的平均数为8，方差为4，则对于样本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，xn﹣3，下列结论正确的是（　　） A．平均数为8，方差为1 B．平均数为5，方差为1 C．中位数变小，方差不变 D．众数不变，方差为4 12．一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是 ． 13．如果有一组数据-2，0，1，3，的极差是6，那么的值是 ． 考点二 一元线性回归 14．由变量与相对应的一组数据得到的线性回归方程为，根据样本中心满足线性回归方程，则（    ） A．45 B．51 C．67 D．63 15．我国西北某地区开展改造沙漠的巨大工程，该地区对近5年投入的沙漠治理经费x（亿元）和沙漠治理面积y（万亩）的相关数据统计如下表所示． 治理经费x/亿元 3 4 5 6 7 治理面积y/万亩 10 12 11 12 20 根据表中所给数据，得到y关于x的线性回归方程为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．根据变量与的对应关系（如表），求得关于的线性回归方程为，则表中的值为（    ） 2 4 5 6 8 30 40 50 70 A．60 B．55 C．50 D．45 17．已知x与y之间的一组数据如下，则y与x的线性回归方程表示的直线必过点（    ） x 0 1 2 3 y 1 2 4 6 A． B． C． D． 18．在下列所示的四个图中，两个变量间具有较强线性相关关系的是（    ） A． B．C．D． 19．某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其售价进行调查，5家商场的售价（元）和销售量（件）之间的一组数据如下表所示： 售价（元） 9 9.5 10.5 11 销售量（件） 11 8 6 5 已知销售量与售价之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是，且，则其中的______，样本中心为______． 20．某城市2017年到2021年人口总数与年份的关系如表所示，据此估计2022年该城市人口总数______(单位十万).（参考数据和公式：，） 年份（年） 0 1 2 3 4 人口数（十万） 5 7 8 11 19 21．假定产品产量x（千件）与单位成本y（元/件）之间存在相关关系.数据如下： x 2 3 4 3 4 5 y 73 72 71 73 69 68 (1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图； (2)求y与x之间的回归直线方程，对于单位成本70元/件时，预报产量为多少； 高教2024版·中职数学基础模块上册·复习大串讲 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$