串讲04 随机变量及其分布（考点串讲）-【中职专用】2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（高教版2021拓展模块）

串讲04 随机变量及其分布 一、知识网络 二、常考题型 三、知识梳理 知识点一：离散型随机变量及其分布 1．离散型随机变量 一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，通常用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊字母)等表示，而用小写拉丁字母x，y，z(加上适当下标)等表示随机变量取的可能值. 注意:(1)一般地，一个试验如果满足下列条件：i)试验可以在相同的情形下重复进行；ii)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；iii)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.这种试验就是个随机试验，为了方便起见，也简称试验. (2)所谓随机变量，即是随机试验的试验结果与实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的.这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量是实数，而在随机变量的概念中，随机变量的自变量是试验结果. (3)一般情况下，我们所说的随机变量有以下两种： 如果随机变量所有可能的取值都能一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量.如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. (4)离散型随机变量和连续型随机变量的区别： 离散型随机变量和连续型随机变量都用来刻画随机试验所出现的结果，但二者之间又有着根本的区别：对于离散型随机变量来说，它所可能取的值为有限个或至多可列个，或者说能将它的可能取值，按一定次序一一列出，而连续型随机变量可取某一区间内的一切值，我们无法将其中的值一一列举. 2．离散型随机变量的分布列及其数字特征 1、 概念 一般地，设离散型随机变量可能取的值为，取每一个值的概率，则称以下表格 为随机变量的概率分布列，简称的分布列. 2、 性质 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质 3．离散型随机变量的均值与方差 1、均值 若离散型随机变量的分布列为 称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 注意：（1）均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征； （2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质． 2、均值的性质 （1）（为常数）． （2）若，其中为常数，则也是随机变量，且． （3）． （4）如果相互独立，则． 3、方差 若离散型随机变量的分布列为 则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差． 注意：（1）描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小； （2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方． 4、方差的性质 （1）若，其中为常数，则也是随机变量，且． （2）方差公式的变形：． 4、二项分布与超几何分布 1. 定义： 在一次随机试验中，事件A可能发生也可能不发生，在次独立重复试验中事件A发生的次数是一个离散型随机变量．如果在一次试验中事件A发生的概率是，则此事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率是 ，（）． 于是得到离散型随机变量的概率分布如下： ξ 0 1 … k … n P … … 由于表中第二行恰好是二项展开式 中各对应项的值，所以称这样的随机变量服从参数为，的二项分布，记作． 2．如何求有关的二项分布 （1）分清楚在n次独立重复试验中，共进行了多少次重复试验，即先确定n的值，然后确定在一次试验中某事件A发生的概率是多少，即确定p的值，最后再确定某事件A恰好发生了多少次，即确定k的值； （2）准确算出每一种情况下，某事件A发生的概率； （3）用表格形式列出随机变量的分布列。 3. 二项分布的均值与方差 若随机变量服从参数为,的二项分布，即,则, . 知识点二：正态分布 1.正态曲线及性质 （1）正态曲线的定义 函数其中实数和（>0）为参数，我们称的图象（如图）为正态分布密谋曲线，简称正态曲线。 注：是正态分布的期望，是正态分布的标准。 （2）正态曲线的性质： ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x=对称； ③曲线在x=处达到峰值 ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑥当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙表示。 2．正态分布 （1）正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P（a<X≤b）=,则称X的分布为正态分布，记作。 （2）正态总体在三个特殊区间取值的概率值 ①P（-＜X≤+）=0.6826; ②P(-2＜X≤+2)=0.9544; ③P(-3＜X≤+3)=0.9974. （3）3原则 通常认为服从于正态分布的随机变量X只取（-3，+3）之间的值，并简称为3原则。 正态总体几乎总取值于区间（-3，+3）之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。 要点诠释： 正态曲线的对称性 正态曲线的函数很显然，当μ＝0时，是偶函数，关于y轴对称；当μ≠0时，对称轴为x＝μ，所以正态曲线是一个轴对称图形，很多关于正态分布的概率问题，都是根据其对称性求解． 四、常考题型探究 考点一 随机变量的概念、表示及特征 1．甲、乙两班进行足球对抗赛，每场比赛赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，共进行三场．用表示甲的得分，则表示（    ）． A．甲赢三场 B．甲赢一场、输两场 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次 【答案】D 【解析】由于赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分， 所以可以分成两种情况，即或，即甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次．故选：D． 2．将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（       ） A．两次掷得的点数 B．两次掷得的点数之和 C．两次掷得的最大点数 D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机变量为一个变量判断. 【详解】因为随机变量为一个变量， 而A中两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数， 所以不能作为随机变量，故选A. 考点二 离散型随机变量 3．10件产品中有3件次品,从中任取2件,可作为随机变量的是 A．取到产品的件数 B．取到正品的概率 C．取到次品的件数 D．取到次品的概率 【答案】C 【详解】逐一考查所给的选项： A中取到产品的件数是一个常量而不是变量, B,D中的量也是一个定值, 而C中取到次品的件数可能是0,1,2,是随机变量. 本题选择C选项. 4．下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（    ） ①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数； ②一个沿直线进行随机运动的质点离坐标原点的距离； ③某同学射击3次，命中的次数； ④某电子元件的寿命； A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【解析】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量； 对于②，沿直线进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量； 对于③，某同学射击3次，命中的次数可以一一列举出来，故③是离散型随机变量； 对于④，某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，故④不是离散型随机变量； 故选：C. 5．已知X，Y均为离散型随机变量，且X＝2Y，若X的所有可能取值为0,2,4，则Y的所有可能取值为________． 【解析】由题意Y＝X且X∈{0,2,4}，得Y∈{0,1,2}． 6．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100分，回答不正确得分，则选手甲回答这三个问题的总得分的所有可能取值的个数为（       ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，即可得到得分的可能取值； 【详解】可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，分，分，因此甲回答这三个问题的总得分的所有可能取值有4个． 故选：B 考点三 离散型随机变量的分布列及其性质 7．已知随机变量的分布列是： 1 2 3 则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】解：因为，所以，所以，故选：A. 8．已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）： X 0 1 2 3 4 5 P 0.1 0.1 a 0.3 0.2 0.1 则等于（ ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】C 【解析】因为，所以，所以.故选：C. 9．袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列． 【解析】X的可能取值为1,2,3,4,5， 则第1次取到白球的概率为P(X＝1)＝， 第2次取到白球的概率为P(X＝2)＝＝， 第3次取到白球的概率为P(X＝3)＝＝， 第4次取到白球的概率为P(X＝4)＝＝， 第5次取到白球的概率为P(X＝5)＝＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 10．设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求常数a的值； (2)求P. (3)求P 【解析】由题意，所给分布列为 X 1 P a 2a 3a 4a 5a (1)由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1， 解得a＝. (2)方法一　P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝. 方法二　P＝1－P＝1－＝. (3)∵<X<，∴X＝，，. ∴P＝P＋P＋P＝＋＋＝. 11．若随机变量X的概率分布表如下： X 0 1 P 0.4 则（    ） A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16 【答案】C 【解析】根据概率的性质可得，所以， 所以，故选:C. 12．一袋中装5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】随机变量的可能值为1，2，3，，，，故选C. 13．若离散型随机变量，，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，得， 所以 ，故选：C. 14.若随机变量ξ只能取两个值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，写出ξ的分布列. 【答案】答案见解析 【解析】解：由题意及分布列满足的条件知P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝3P(ξ＝1)＋P(ξ＝1)＝1，所以，故，所以ξ的分布列为 ξ 0 1 P 15．袋中有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值． 【答案】答案见解析 【解析】解：取出4只球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，X的可能取值为5,6,7,8， P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝，P(X＝7)＝＝，P(X＝8)＝＝，故X的分布列为 X 5 6 7 8 P ∴E(X)＝5×＋6×＋7×＋8×＝. 16．某商店试销某种商品20天，获得如下数据： 日销售量(件) 0 1 2 3 频数 1 5 9 5 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率. （1）求当天商店不进货的概率； （2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列. 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【解析】（1）记“当天商品销售量为0件”为事件A，“当天商品销售量为1件”为事件B，“当天商店不进货”为事件C， 则； （2）由题意知，X的可能取值为2，3. P(X＝2) ＝P(当天商品销售量为1件)＝； P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件) ＝， 故X的分布列为： X 2 3 P 17．现有甲，乙两名篮球运动员，甲､乙两人各投篮一次，投中的概率分别和，假设每次投篮是否投中，相互之间没有影响.（结果需用分数作答） （1）求甲投篮3次，至少有2次未投中的概率； （2）求两人各投篮2次，甲恰好投中2次且乙恰好投中1次的概率； （3）设乙单独投篮3次，用表示投中的次数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）（2）（3）分布列答案见解析，数学期望： 【解析】解：（1）记“甲投篮3次至少有2次未投中”为事件， 由题意知投篮3次，相当于3次独立重复试验，故； （2）记“甲投篮2次，恰有2次投中”为事件，“乙投篮2次，恰有1次投中”为事件， 则，，由于甲､乙投篮相互独立，故； （3）根据题意可知，的可能取值为0，1，2，3，服从二项分布，， 则，， ，，则的分布列为： 0 1 2 3 的数学期望为. 考点四 正态分布 18．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数的图像，且，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（    ）． A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10 【答案】B 【解析】因为，所以，即正态总体的平均数与标准差分别为与.故选：B． 19．已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可得，，则.故选:D 20．已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A．0.3 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【答案】D 【解析】解：因为且，所以.故选：D 21．【变式】已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝(　　) (A)0.477 (B)0.625 (C)0.954 (D)0.977 【解析】选C.因为随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝0对称又P(ξ＞2)＝0.023，所以P(ξ＜－2)＝0.023，所以P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ＞2)－P(ξ＜－2)＝1－2×0.023＝0.954，故选C. 22．已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】由题图中的对称轴知：，与(一样)瘦高，而胖矮， 所以.故选：C 23．已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中60分为及格线，则下列结论中正确的是（    ） 附：随机变量服从正态分布，则 A．该校学生成绩的均值为25 B．该校学生成绩的标准差为 C．该校学生成绩的标准差为70 D．该校学生成绩及格率超过95% 【答案】D 【解析】由正态分布的定义，为期望值，为方差， 选项A：该校学生成绩的均值为70.判断错误； 选项B：该校学生成绩的标准差为.判断错误； 选项C：该校学生成绩的标准差为.判断错误； 选项D：该校学生成绩及格率，判断正确，故选：D. 24.工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？ 【解析】∵X～，∴μ＝4，σ＝. ∴不属于区间(3,5]的概率为 P(X≤3)＋P(X>5)＝1－P(3<X≤5) ＝1－P(4－1<X≤4＋1) ＝1－P(μ－3σ<X≤μ＋3σ) ＝1－0.9974＝0.002 6≈0.003， ∴1 000×0.003＝3(个)， 即不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有3个。 高教2024版·中职数学基础模块上册·复习大串讲 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 串讲04 随机变量及其分布 一、知识网络 二、常考题型 三、知识梳理 知识点一：离散型随机变量及其分布 1．离散型随机变量 一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，通常用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊字母)等表示，而用小写拉丁字母x，y，z(加上适当下标)等表示随机变量取的可能值. 注意:(1)一般地，一个试验如果满足下列条件：i)试验可以在相同的情形下重复进行；ii)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；iii)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.这种试验就是个随机试验，为了方便起见，也简称试验. (2)所谓随机变量，即是随机试验的试验结果与实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的.这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量是实数，而在随机变量的概念中，随机变量的自变量是试验结果. (3)一般情况下，我们所说的随机变量有以下两种： 如果随机变量所有可能的取值都能一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量.如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. (4)离散型随机变量和连续型随机变量的区别： 离散型随机变量和连续型随机变量都用来刻画随机试验所出现的结果，但二者之间又有着根本的区别：对于离散型随机变量来说，它所可能取的值为有限个或至多可列个，或者说能将它的可能取值，按一定次序一一列出，而连续型随机变量可取某一区间内的一切值，我们无法将其中的值一一列举. 2．离散型随机变量的分布列及其数字特征 1、 概念 一般地，设离散型随机变量可能取的值为，取每一个值的概率，则称以下表格 为随机变量的概率分布列，简称的分布列. 2、 性质 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质 3．离散型随机变量的均值与方差 1、均值 若离散型随机变量的分布列为 称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 注意：（1）均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征； （2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质． 2、均值的性质 （1）（为常数）． （2）若，其中为常数，则也是随机变量，且． （3）． （4）如果相互独立，则． 3、方差 若离散型随机变量的分布列为 则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差． 注意：（1）描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小； （2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方． 4、方差的性质 （1）若，其中为常数，则也是随机变量，且． （2）方差公式的变形：． 4、二项分布与超几何分布 1. 定义： 在一次随机试验中，事件A可能发生也可能不发生，在次独立重复试验中事件A发生的次数是一个离散型随机变量．如果在一次试验中事件A发生的概率是，则此事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率是 ，（）． 于是得到离散型随机变量的概率分布如下： ξ 0 1 … k … n P … … 由于表中第二行恰好是二项展开式 中各对应项的值，所以称这样的随机变量服从参数为，的二项分布，记作． 2．如何求有关的二项分布 （1）分清楚在n次独立重复试验中，共进行了多少次重复试验，即先确定n的值，然后确定在一次试验中某事件A发生的概率是多少，即确定p的值，最后再确定某事件A恰好发生了多少次，即确定k的值； （2）准确算出每一种情况下，某事件A发生的概率； （3）用表格形式列出随机变量的分布列。 3. 二项分布的均值与方差 若随机变量服从参数为,的二项分布，即,则, . 知识点二：正态分布 1.正态曲线及性质 （1）正态曲线的定义 函数其中实数和（>0）为参数，我们称的图象（如图）为正态分布密谋曲线，简称正态曲线。 注：是正态分布的期望，是正态分布的标准。 （2）正态曲线的性质： ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x=对称； ③曲线在x=处达到峰值 ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑥当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙表示。 2．正态分布 （1）正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P（a<X≤b）=,则称X的分布为正态分布，记作。 （2）正态总体在三个特殊区间取值的概率值 ①P（-＜X≤+）=0.6826; ②P(-2＜X≤+2)=0.9544; ③P(-3＜X≤+3)=0.9974. （3）3原则 通常认为服从于正态分布的随机变量X只取（-3，+3）之间的值，并简称为3原则。 正态总体几乎总取值于区间（-3，+3）之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。 要点诠释： 正态曲线的对称性 正态曲线的函数很显然，当μ＝0时，是偶函数，关于y轴对称；当μ≠0时，对称轴为x＝μ，所以正态曲线是一个轴对称图形，很多关于正态分布的概率问题，都是根据其对称性求解． 四、常考题型探究 考点一 随机变量的概念、表示及特征 1．甲、乙两班进行足球对抗赛，每场比赛赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，共进行三场．用表示甲的得分，则表示（    ）． A．甲赢三场 B．甲赢一场、输两场 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次 2．将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（       ） A．两次掷得的点数 B．两次掷得的点数之和 C．两次掷得的最大点数 D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差 考点二 离散型随机变量 3．10件产品中有3件次品,从中任取2件,可作为随机变量的是 A．取到产品的件数 B．取到正品的概率 C．取到次品的件数 D．取到次品的概率 4．下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（    ） ①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数； ②一个沿直线进行随机运动的质点离坐标原点的距离； ③某同学射击3次，命中的次数； ④某电子元件的寿命； A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 5．已知X，Y均为离散型随机变量，且X＝2Y，若X的所有可能取值为0,2,4，则Y的所有可能取值为________． 6．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100分，回答不正确得分，则选手甲回答这三个问题的总得分的所有可能取值的个数为（       ） A．2 B．4 C．6 D．8 考点三 离散型随机变量的分布列及其性质 7．已知随机变量的分布列是： 1 2 3 则（    ） A． B． C．1 D． 8．已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）： X 0 1 2 3 4 5 P 0.1 0.1 a 0.3 0.2 0.1 则等于（ ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 9．袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列． 10．设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求常数a的值； (2)求P. (3)求P 11．若随机变量X的概率分布表如下： X 0 1 P 0.4 则（    ） A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16 12．一袋中装5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为(　　) A． B． C． D． 13．若离散型随机变量，，且，则为（    ） A． B． C． D． 14．若随机变量ξ只能取两个值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，写出ξ的分布列. 15．袋中有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值． 16．某商店试销某种商品20天，获得如下数据： 日销售量(件) 0 1 2 3 频数 1 5 9 5 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率. （1）求当天商店不进货的概率； （2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列. 17．现有甲，乙两名篮球运动员，甲､乙两人各投篮一次，投中的概率分别和，假设每次投篮是否投中，相互之间没有影响.（结果需用分数作答） （1）求甲投篮3次，至少有2次未投中的概率； （2）求两人各投篮2次，甲恰好投中2次且乙恰好投中1次的概率； （3）设乙单独投篮3次，用表示投中的次数，求的分布列和数学期望. 考点四 正态分布 18．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数的图像，且，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（    ）． A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10 19．已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 20．已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A．0.3 B．0.3 C．0.2 D．0.1 21．【变式】已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝(　　) (A)0.477 (B)0.625 (C)0.954 (D)0.977 22．已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 23．已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中60分为及格线，则下列结论中正确的是（    ） 附：随机变量服从正态分布，则 A．该校学生成绩的均值为25 B．该校学生成绩的标准差为 C．该校学生成绩的标准差为70 D．该校学生成绩及格率超过95% 24.工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？ 高教2024版·中职数学基础模块上册·复习大串讲 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$