第4讲 不等关系与不等式性质课件-2025届高三数学一轮复习

第4讲不等关系与不等式性质 ·必备知识 知识结构 (2)作商法： 8>1=a>ba∈R.6>0 不等关系 4=1台a=b(a,b≠0)， 不等式 不等式性质 a<1台a<b(a∈R,b>0). 2.不等式的性质 必备知识 (1)对称性：a>b白b<a (2)传递性：a>b,b>c→a>c. 1.两个实数比较大小的方法 (3)可加性：a>b台a十c>b+c a-b>0=a>b, a>b,c>d→a+c>b+d. (1)作差法：a-b=0台a =b, (4)可乘性：a>b,c>0→ac>bc； a-b<0=a<b. a>b,c0→ac<bc: a>b>0,c>d>0→ac>bd. ·必备知识 必备知识 常用结论 (5)乘方法则：a>b>0→a”>b 真分数性质：若a>b>0,m>0,则2< (n∈N,n≥1). (6)开方法则：a>b>0→a>肠(n b十 a十n ∈N·,n≥2). ·例题探究 例1(1)已知a>b>c>1,设M=a 问题特征数（式）的大小比较问题 E,N=a-6,P=2生a)则M,N 思路 (1)运用作差比较法：(2)运用作 商比较法. P的大小关系为( 例1解答(1)M-N=(a-√c)-(a一√b)=√b- A.P>N>M B.N>M>P V,因为a>b>c>1,所以B>√，所以wb一√> C.M>N>P D.P>M>N 0,所以M>N,排除选项A,B. (2)设a>0,b>0,且a≠b,则ab与 a“b的大小关系是 M-P=a-60-2(生-Va)=2vam-6 c=(Vab-b)+(ab-c). 因为√ab>=b,√ab>c>we,所以M-P> O,即M>P,排除选项D.故选C ·例题探究 例1 (1)已知a>b>c>1,设M=a- 2==（ EN=a-石，P=2a画)小则MN, 当a>b>0时，8>1，a-b>0,所以（号）“>1， P的大小关系为( 因此ab>ab“; A.P>N>M B.N>M>P 当b>a>0时.0<8<1，a-b<0,所以（合） C.M>N>P D.P>M>N >1,因此ab>ab. (2)设a>0,b>0,且a≠b,则ab“与 综上，ab<ab. ab的大小关系是 反思(1)比较两个式子大小关系的 常用方法：作差法、作商法、不等式性质法、 单调性法、中间量法、特殊值法、综合法、分 析法、反证法等： (2)作差法的一般步骤是：作差，变形， 定号，得出结论.作商比较法相类似. ·例题探究 问题特征利用不等式的性质比较数 例2(1)对于实数a,b,c,下列说法中 (式)的大小问题 正确的是( 思路(1)利用不等式性质或举反例逐 A若a>b,则。<8 个判断：(2)利用不等式性质或函数单调性逐 B.若a>b,则ac2≥bc2 个判断. C.若a>0>b,则a2<一ab 例2解答(1)根据a>b,取a=1,6=-1,则日 n若c>a>b>0,则“。<中 <名不成立，故选项A错误。 因为a>b,所以ac2≥bc2成立，故选项B正确. (2)(多选题)已知x十y>0,且x<0,则 根据a>0>b,取a=1,b=一1，则a<一ab不成 立，故选项C错误， A.12>-xy B.z<lyl 因为>a>b>0,所以0<c-a<c-b,从面亡a C.Igx2>Igy D.￥+-2 。=b>0.又因为a>b>0,因此a>b 0a>c6放 选项D错误. ·例题探究 (2)(多选题)已知x十y>0,且x<0,则 (2)由条件知，x(x十y)<0,可得x2<一ry,故选 ) 项A错误。 A.12>-xy B.z<lyl 由于y>-x>0,则0<|x|<|y且lgx2<lgy, 故选项B正确，选项C错误. C.Igx>Igy2 D.义+x<-2 x y 由y>-x>0得兰<-1，-1<<0，故 反思解决不等式性质及其应用问题 常用的三种方法： (-)+(-)≥2√(-￥)=2，注意 (1)直接利用不等式的性质逐个验证， 到-兰≠1，所以(-￥）+(-)>2，则兰+号 利用不等式的性质判新不等式是否成立时 <一2，故选项D正确. 要特别注意前提条件： (2)利用特殊值法排除错误答案： (3)利用函数的单调性，当直接利用不等 式的性质不能比较大小时，可以利用指数函 数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较 ·例题探究 例3(1)已知实数a∈(-2,1)，b∈ 问题特征利用不等式性质求变量的取 值范围（最值）问题 (保，2)，则号的取值范围是 思路(1)利用同向不等式的乘法法则： (2)设函数f(x)=ax2十bx,且-1≤ (2)先将f(3)用f(1),f(2)线性表示， f(1)≤1,1≤f(2)2,求f(3)的取值范围. 再利用不等式的性质求解. 例3解答(1)由题意可知方∈(2,4). 当-2<a≤0时，0≤-a<2,-6∈[0,8)，所以 号∈(-8.0]： 当0<a<1时，分∈(0,4). 综上可知，号的取值范围是(-8,4). ·例题探究 例3(1)已知实数a∈(-2,1)，b∈ 反思(1)运用同向不等式乘法法则 (保，)则公的取值范围是 “若a≥b≥0，c≥d≥0，则ac≥bl”,需注意适 用条件是两边均为非负数，第(1)小题需分 (2)设函数f(.x)=a.x2+bx,且一1≤ 类讨论，在一2<a≤0时，化负为正，转化为0 f(1)≤1,1≤f(2)≤2，求f(3)的取值范围. ≤一a<2,从而运用同向不等式乘法法则： (2)f(1)=a+b,f(2)=4a+2b,f(3)=9a+3b. (2)解决第(2)小题的方法称为待定系 设9a+3b=m(a十b)+n(4a+2b). 数法，在上述解题过程中，运用了同向不等 十4n=9, m=-3, 式的加法法则“若a≥b,c≥d,则a十c≥b十 比较系数得 解得 m+2n=3, n=3. d,当且仅当a=b,c=d时取等号”，本例若 所以f(3)=-3f(1)+3f(2). 先求出a,b的范围，再求f(3)的范围，则扩 -1≤f(1)≤1，-3≤-3f(1)≤3 ① 大了f(3)的范围，原因是多次利用同向不 由 得 1≤f(2)≤2 3≤3f(2)≤6②. 等式的加法法则。 由①十②得0≤f(3)≤9. ·例题探究 例4元旦将近，调查鲜花市场价格得 例4解答设1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格分别 知：购买2枝玫瑰与1枝康乃馨所需费用大 为x元、y元，则A=2x,B=3y, 于8元，而购买4枝玫瑰与5枝康乃馨所需 2x+y>8①， 故 4.x+5y<22②. 费用小于22元.设购买2枝玫瑰所需费用为 由①×11得22.x+11y>88③， A元，购买3枝康乃馨所需费用为B元，则 由②×4得16x+20y<88④. A,B的大小关系是 由③，④得，6x>9y,即2x>3y. 问题特征不等式性质的应用问题 故A>B. 思路设1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格 分别为x元、y元，则A=2x,B=3y,先根据 题意建立关于x,y的不等式，再利用不等式 性质比较A,B的大小，