第3讲 全称量词与存在量词课件-2025届高三数学一轮复习

第3讲全称量词与存在量词 ·必备知识 知识结构 常用结论 1.全称量词命题的否定是存在量词命 全称量词 存在量词 题；存在量词命题的否定是全称量词命题. 2.若一个全称量词命题为真（假）命题， 全称量词命题和存在量词命题的否定 则其否定为假（真）命题 必备知识 名称 符号语言 否定 全称量词命题 Hx∈M,p(x) 3x∈M,p(x) 存在量词命题 3x∈M,p(x) Hx∈M,p(x) ·例题探究 例1(1)已知下列命题： 问题特征全称量词命题与存在量词命 ①至少有一个x,使x2+2x十1=0成立； 题的判定问题 ②对任意的x,都有x2十2x十1=0成立： 思路运用全称量词命题与存在量词命 ③对任意的x,都有x2十2x十1=0不成立： 题的概念进行判断. ④存在x,使x2十2x+1=0不成立. 例1解答(1)只有②③含有全称量词，故选B. 其中是全称量词命题的个数为( (2)只有选项D含有存在量词，故选D. A.1 B.2 C.3 D.4 (2)下列命题为存在量词命题的是( A.偶函数的图象关于y轴对称 B.正四棱柱都是平行六面体 C.不相交的两条直线是平行直线 D.存在实数大于等于3 ·例题探究 例1(1)已知下列命题： 反思(1)判新一个语句是全称量词 ①至少有一个x,使x2+2x十1=0成立； 命题还是存在量词命题的步骤： ②对任意的x,都有x2十2x十1=0成立： ①首先判定语句是否为命题，若不是命 ③对任意的x,都有x2十2x十1=0不成立： 题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题： ④存在x,使x2+2x+1=0不成立. ②若是命题，再分析命题中所含的量 其中是全称量词命题的个数为( 词，含有全称量词的命题是全称量词命题， A.1 B.2 C.3 D.4 含有存在量词的命题是存在量词命题， (2)下列命题为存在量词命题的是( (2)当命题中不含量词时，要注意理解 A.偶函数的图象关于y轴对称 命题含义的实质。 B.正四棱柱都是平行六面体 (3)一个全称量词命题或存在量词命题往 C.不相交的两条直线是平行直线 往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全 D.存在实数大于等于3 称（或存在）量词，应结合具体问题多加体会 ·例题探究 例2 写出下列命题的否定，并判断原 例2解答(1)原命题的否定：3x>1或x<0,】 命题与其否定的真假. ≥1，原命题是真命题，原命题的否定是假命题. (1)Hx>1或x<0,1<1: (2)原命题的否定：对任意a,b,c∈(0,1)，a(1 b).b1-c),c1-a)至少有一个不大于 (2)存在a,b,c∈(0,1)，使得a(1一b), 对于原命题，若a(1一b),b(1一c),c(1-a)都大于 b(1-c.c1-a)都大于 子则va0-0>2 问题特征全称量词命题与存在量词命 因为a,b∈(0,1)， 题的否定与真假判断问题 由均值不等式得√a(1-)≤a十】一b, 2 思路利用全称量词命题与存在量词命题 所以+】一b>2,因此a>6, 2 互否及一真一假，写出命题的否定并判断真假 同理b>c.c>a.这是不可能的. 故原命题是假命题，原命题的否定是真命题 ·例题探究 反思(1)全称量词（存在量词）命题 例2 写出下列命题的否定，并判断原 的否定是存在量词（全称量词）命题 命题与其否定的真假. 以下是一些常见的词语和它的否定词语. (1)Vx>1或x<0,1<1: 原词 否定词语 等于(=) 不等于（≠） (2)存在a,b,c∈(0,1)，使得a(1一b), 大于(>) 不大于（≤） b(1-c).c1-a)都大于 小于(<) 不小于（≥） 是 不是 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 至多有n个 至少有十1个 至少有一个 一个也没有 (2)全称量词（存在量词）命题与其否 定一真一假 ·例题探究 例3解答(1)由题意可知，a.x2-2ax十12>0对 例3(1)若命题“Hx∈R,a.x2-2ax+12 任意x∈R恒成立， >0”是真命题，则实数a的取值范围为( a>0, 所以a=0或 A.(0,4)B.[0,4)C.(0,12) D.[0,12) △=(-2a)2-48a<0, (2)若命题“3x∈R,ax2一4x一4=0”为 解得0≤a<12.故选D. 假命题，则实数a的取值范围是 (2)由题意可知，方程ax2一4x一4=0无实数根， a≠0， 问题特征已知全称量词（存在量词）命 所以 解得a<一1， △=16+16a<0, 题为真（假）命题求参数取值范围问题 反思解决已知全称量词（存在量词）命 思路(1)转化为ax2一2ax+12>0对 题为真（假）命题求参数取值范围问题，关键是 任意x∈R恒成立：(2)转化为方程ax2一4x 理解全称量词（存在量词）命题的含义后进行 一4=0无实数根. 转化，如第(1)小题转化为含参数的不等式恒 成立求参数的取值范围：第(2)小题转化为含 参数的方程无实数根求参数的取值范围. ·例题探究 例4解答对于①，取等差数列4.=2n一1： 对于②，取等差数列a=3n一2，b.=4-1= 例4在等差数列{an}中，公差d是正 (3+1)"-1=C9-1·3"-1+C1·3-2+…+C号· 整数，在等比数列{bn}中，b1=a1,b2=a2,现 3十C}=C0-1·31十C-1·3-2+…十C-月·3 有数据：①2；②3：③4；④5，当{bn}中所有的项 十1被3除余1，所以{b.}中所有的项都是数列{a.》 都是数列{a.}中的项时，d可以取 中的项： (填上你认为正确的序号) 对于③，取等差数列a。=4n一3，同②，{b.}中所有 问题特征全称量词（存在量词）命题的 的项都是数列{a.}中的项： 应用问题 对于①，取等差数列4w=5n一4，同②，{b.}中所有 的项都是数列(a.}中的项. 思路 分别构造公差为2,3,4,5的等差 故填①②③①. 数列{a.},使等比数列{bn}中所有项都是 反思当题中含有“任意”“存在”时， {a。}中的项，再证明. “存在”需构造，“任意”需严格论证.本题是 数列问题，解题中需要经历试验（构造）、观 察、归纳、猜想、证明的过程 ·例题探究 例5 已知函数f(x)=+x+b若 例5解答对任意的实数a,存在x∈[1,2]，使得 |f(x)|≤1成立台对任意的实数a,存在 对任意的实数a,都存在x∈[1,2]，使得 |f(x)|≤1成立，求实数b的取值范围. x∈[1,2]，使得 a=r++d≥1成立 问题特征全称量词（存在量词）命题的 (+2)-(（+)≥2. 应用问题 思路 |f(x)≤1转化为x2十a.x十b 设h(x)=x十名，M=h(x)-h(x), ≥，即++a≥1.设g)=r++a ①当b≤0时，h(x)=x+在[1,2]上是增函数， (1≤x≤2)，则不等式化为|g(x)|≥1.考虑 b≤0， 则 问题的反面：存在实数a,对任意x∈[1,2]， M=h2)-hI)=1-合≥2. g(x)|<1.即-1<g(x)<1,对任意x∈ 解得b≤-2. [1,2]恒成立，等价于g(x)mx一g(x)mm<2. 于是原问题等价于g(x)mx一g(x)mn≥2. ·例题探究 2 例司已知函数f()=x+x十6若 ④当b>0且1<b<2,即1<b<4时，h(x)=x+ 对任意的实数a,都存在x∈[1,2]，使得 在[1瓜]上是减函数，在6,2]上是增函数， 1f(x)≤1成立，求实数b的取值范围. 1<b<4, ②当b>0且v6≤1，即0<b≤1时，h(x)=x+b 则h(1)-2v石≥2，无解. h(2)-2vb≥2. 在[1,2]上是增函数， 综上，所求实数b的取值范围是b≤一2或b>≥6. r0<b≤1， 则 M=h(2)-h(1)=1- 2>2 无解。 反思本题含有“任意”“存在”，利用 ③当b>0且vb≥2，即b>4时，h(x)=x+么在 全称量词命题与存在量词命题互否及一真 一假，先找到反面的等价转化，转化为函数 [1,2]上是减函数， 的最值问题，再确定原问题的等价转化，进 b≥4. 则 而转化为函数的最值问题， M=h1)-h2)=名-1≥2. 解得b≥6.