串讲01 指数幂与指数函数（考点串讲）-【中职专用】2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（高教版2021）

串讲01 指数幂与指数函数 知识结构 要点梳理 知识点一 根式 1．n次方根 定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N* 个数 n是奇数 a＞0 x＞0 x仅有一个值，记为 a＜0 x＜0 n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为± a＜0 x不存在 [归纳总结]　(1)任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根． (2)＝0(n＞1，且n∈N*)． 2．根式 (1)定义：式子____叫做根式，这里n叫做__根指数__，a叫做__被开方数__. (2)性质：(n＞1，且n∈N*) ①()n＝a. ②＝ 知识点二 指数幂 1.分数指数幂的意义 分 数 指 数 幂 正分数 指数幂 规定：a＝____(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数 指数幂 规定：a－＝＝____ (a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于__0__， 0的负分数指数幂__不存在__ 2.无理数指数幂 无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数． 3.实数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈R) (1)aras＝ar＋s．(2)(ar)s＝ars．(3)(ab)r＝arbr． [知识点拨]　在引入分数指数幂的概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩展；在引入无理数指数幂的概念后，指数概念就实现了由有理数指数幂向实数指数幂的扩展． 知识点三　指数函数 1.函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R． 思考：为什么指数函数的底数a>0，且a≠1? 提示：①如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义． ②如果a<0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义． ③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1. 2.指数函数的图象和性质 0＜a＜1 a＞1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 在R上是减函数 在R上是增函数 思考：对于指数函数y＝2x，y＝3x，y＝()x，y＝()x，…，为什么一定过点(0，1)? 提示：当x＝0时，a0＝1(a≠0)恒成立，即指数函数的图象一定过点(0，1)． 题型探究： 考点一 n次方根的概念 例1.若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是（  ） A． B． C． D． 例2.若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 『规律方法』　(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数； (2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定． 【变式】1. 是实数，则下列式子中可能没有意义的是（　　） A． B． C． D． 2. 若，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．2 考点二 根式的化简 例3．当有意义时，化简的结果是（    ）． A． B． C． D． [归纳提升]　 1.根式化简或求值的注意点 解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值． 2．对与()n的进一步认识 (1)对()n的理解：当n为大于1的奇数时，()n对任意a∈R都有意义，且()n＝a，当n为大于1的偶数时，()n只有当a≥0时才有意义，且()n＝a(a≥0)． (2)对的理解：对任意a∈R都有意义，且当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝. 【变式探究】1. （    ） A． B． C． D． 2. 计算下列各式： ①＝__－a__； ②＝__π－3__； 考点三 根式与分数指数幂的互化 例4.　 将下列各分数指数幂写成根式的形式： （1）； （2）； （3）． 【思路分析】　(1)关键是理解分数指数幂的意义，先将根式化为分数指数幂的形式．(2)运用分数指数幂的运算性质进行化简． 『规律方法』　进行分数指数幂与根式的互化时，主要依据公式a＝(a>0，m、n∈N＋)，同时应注意以下几点： (1)在分数指数幂中，若幂指数为负数，可先将其化为正数，再利用公式化为根式； (2)若表达式中根式较多，含有多重根号时，要理清被开方数，由里向外逐次用分数指数幂表示，最后再运用相关的运算性质化简． 例5. 将写成分数指数幂的形式为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1. 已知a>0，则等于（    ） A． B． C． D． 2．将化成分数指数幂为（    ） A． B． C． D． 考点四 实数指数幂的求值 例5. 计算下列各式： （2） (3)(2)0.5＋0.1－2＋(2)－＋ [规律方法]　关于实数指数幂的运算 (1)底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算． (2)若式子中含有根式，则先化为指数式再进行运算，一般指数中的根式可以保留． 【变式】1.计算下列各式： （2）××. 2．化简求值: 考点五 实数指数幂的运算 例6.下列运算错误的是（    ） A．a3+a3=2a6 B．a6÷a-3=a9 C．a3·a3=a6 D．（-2a2）3=-8a6 例7.化简求值： ； 【变式探究】1. 化简求值： 2．化简求值: 考点六 指数函数的概念 例8. (1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是(　 　) A．y＝(－4)x　　　　　 B．y＝πx C．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0，a≠1) (2) 函数是指数函数，求的值． [归纳提升]　1.指数函数的解析式必须具有三个特征： (1)底数a为大于0且不等于1的常数； (2)指数位置是自变量x； (3)ax的系数是1. 2．求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件． 【变式探究】1. 已知指数函数，求. 考点七 指数函数解析式 例9. 已知函数(，且)，若函数的图像过点，求实数的值． 【变式探究】已知指数函数的图象经过点，求和． 考点八 与指数函数有关的定义域 例10. 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 考点九 指数函数的图象 例11. 设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 例12. 若，则函数与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式探究】1. 已知函数，则函数的图像不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2. 函数与，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（    ） A． B． C． D． 考点十 幂式大小的比较 例13. 用“>”连接下列各数，， 例14. 请将三个数，，，按照从小到大的排序排列 ． 【变式探究】已知a＝0.32，b＝0.30.2，c＝1，a，b，c的大小关系是 （用“＞”连接）. 考点十一 幂式大小的比较 例15.解指数方程 【变式探究】解指数方程 素养作业 1. 把根式a化成分数指数幂是(　 　) A．(－a) B．－(－a) C．－a D．a 2. 下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4. 将写成根式，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（    ） A． B． C． D． 6．已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7. 指数函数与的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 8．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 9．计算 . 10．比大小：2. 32.3 2.33.2，0.75-0.1 0.750.1. 11．计算下列各式（式中字母均为正数）. (1)； (2). 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 串讲01 指数幂与指数函数 知识结构 要点梳理 知识点一 根式 1．n次方根 定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N* 个数 n是奇数 a＞0 x＞0 x仅有一个值，记为 a＜0 x＜0 n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为± a＜0 x不存在 [归纳总结]　(1)任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根． (2)＝0(n＞1，且n∈N*)． 2．根式 (1)定义：式子____叫做根式，这里n叫做__根指数__，a叫做__被开方数__. (2)性质：(n＞1，且n∈N*) ①()n＝a. ②＝ 知识点二 指数幂 1.分数指数幂的意义 分 数 指 数 幂 正分数 指数幂 规定：a＝____(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数 指数幂 规定：a－＝＝____ (a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于__0__， 0的负分数指数幂__不存在__ 2.无理数指数幂 无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数． 3.实数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈R) (1)aras＝ar＋s．(2)(ar)s＝ars．(3)(ab)r＝arbr． [知识点拨]　在引入分数指数幂的概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩展；在引入无理数指数幂的概念后，指数概念就实现了由有理数指数幂向实数指数幂的扩展． 知识点三　指数函数 1.函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R． 思考：为什么指数函数的底数a>0，且a≠1? 提示：①如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义． ②如果a<0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义． ③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1. 2.指数函数的图象和性质 0＜a＜1 a＞1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 在R上是减函数 在R上是增函数 思考：对于指数函数y＝2x，y＝3x，y＝()x，y＝()x，…，为什么一定过点(0，1)? 提示：当x＝0时，a0＝1(a≠0)恒成立，即指数函数的图象一定过点(0，1)． 题型探究： 考点一 n次方根的概念 例1.若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式的性质，负数无偶次方根判断. 【详解】A. 式子对于有意义； B.式子对于有意义； C. 式子对于有意义； D. 式子对于无意义； 故选：D 例2.若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的式子有意义，列式求解即得. 【详解】由有意义，得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：B 『规律方法』　(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数； (2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定． 【变式】1. 是实数，则下列式子中可能没有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根式有意义的条件即可判断. 【详解】当时，的偶次方根无意义. 故选：D 2. 若，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用分数指数幂的性质即可得解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B. 考点二 根式的化简 例3．当有意义时，化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式有意义求得的范围，化简所求根式即可. 【详解】因为有意义，所以，则， 则 ， 故选：C. [归纳提升]　 1.根式化简或求值的注意点 解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值． 2．对与()n的进一步认识 (1)对()n的理解：当n为大于1的奇数时，()n对任意a∈R都有意义，且()n＝a，当n为大于1的偶数时，()n只有当a≥0时才有意义，且()n＝a(a≥0)． (2)对的理解：对任意a∈R都有意义，且当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝. 【变式探究】1. （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：C. 2. 计算下列各式： ①＝__－a__； ②＝__π－3__； 【解析】　(1)①＝－a. ②＝＝π－3. 考点三 根式与分数指数幂的互化 例4.　 将下列各分数指数幂写成根式的形式： （1）； （2）； （3）． 【思路分析】　(1)关键是理解分数指数幂的意义，先将根式化为分数指数幂的形式．(2)运用分数指数幂的运算性质进行化简． 【解析】　 （1），，故； （2），，故； （3），，故． 『规律方法』　进行分数指数幂与根式的互化时，主要依据公式a＝(a>0，m、n∈N＋)，同时应注意以下几点： (1)在分数指数幂中，若幂指数为负数，可先将其化为正数，再利用公式化为根式； (2)若表达式中根式较多，含有多重根号时，要理清被开方数，由里向外逐次用分数指数幂表示，最后再运用相关的运算性质化简． 例5. 将写成分数指数幂的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式与指数幂的互化即可求解. 【详解】将写成分数指数幂的形式为. 故选：B. 【变式探究】1. 已知a>0，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用分数指数与根式的互化公式求解即可 【详解】. 故选：B 2．将化成分数指数幂为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用根式与分数指数幂的互化公式求解即可 【详解】解： 故选：A 考点四 实数指数幂的求值 例5. 计算下列各式： （2） (3)(2)0.5＋0.1－2＋(2)－＋ [解析]　(1)原式＝(3×2)3＝36×22＝2 916. (3)原式＝()＋＋()－＋＝＋100＋＋＝103. [规律方法]　关于实数指数幂的运算 (1)底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算． (2)若式子中含有根式，则先化为指数式再进行运算，一般指数中的根式可以保留． 【变式】1.计算下列各式： （2）××. [解析]　(1)原式＝(π－)2＝(π)2＝π3. （2）××＝3×3×3＝3. 2．化简求值: 【详解】原式. 考点五 实数指数幂的运算 例6.下列运算错误的是（    ） A．a3+a3=2a6 B．a6÷a-3=a9 C．a3·a3=a6 D．（-2a2）3=-8a6 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算规则，逐个验证选项. 【详解】，选项A的运算错误； ，选项B的运算正确； ，选项C的运算正确； ，选项D的运算正确； 运算错误的是A， 故选：A 例7.化简求值： ； 【详解】 【变式探究】1. 化简求值： 【详解】由题意得 原式= 2．化简求值: 解:原式为 考点六 指数函数的概念 例8. (1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是(　B　) A．y＝(－4)x　　　　　 B．y＝πx C．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0，a≠1) (2) 函数是指数函数，求的值． [解析]　(1)函数y＝(－4)x的底数－4<0，故A中函数不是指数函数；函数y＝πx的系数为1，底数π>1，故B中函数是指数函数； 函数y＝－4x的系数为－1，故C中函数不是指数函数； 函数y＝ax＋2＝a2·ax的系数为a2，故D中函数不是指数函数，故选B． (2) 【详解】由是指数函数， 可得，解得． [归纳提升]　1.指数函数的解析式必须具有三个特征： (1)底数a为大于0且不等于1的常数； (2)指数位置是自变量x； (3)ax的系数是1. 2．求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件． 【变式探究】1. 已知指数函数，求. 【答案】 【分析】根据指数函数的概念，列出方程求得，得到函数的解析式，即可求解的值. 【详解】由题意，函数为指数函数，可得， 解得或（舍），所以，所以. 考点七 指数函数解析式 例9. 已知函数(，且)，若函数的图像过点，求实数的值． 【答案】 【分析】将点代入，结合的范围，即可求得实数的值． 【详解】将点代入，得，即， 所以或， 又因为，且， 所以． 【变式探究】已知指数函数的图象经过点，求和． 【答案】，． 【分析】将代入指数函数表达式中可得，进入代入即可求解. 【详解】因为且的图象经过点，所以， 解得（负根舍去），于是． 所以，． 考点八 与指数函数有关的定义域 例10. 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域列不等式组求解. 【详解】由题意，，得，所以. 故选：A 【变式探究】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由被开方数非负，解不等式即可 【详解】要使函数有意义，则需， 即为，解得，，则定义域为. 故选：A. 【点睛】与指数函数有关的复合函数的定义域､值域 （1）的定义域与的定义域相同. （2）先确定的值域，再根据指数函数的值域､单调性确定函数的值域. 考点九 指数函数的图象 例11. 设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据指数函数的单调性，确定，，，与的关系，再由时，函数值的大小判断. 【详解】因为当底数大于时，指数函数是定义域上的增函数， 当底数大于且小于时，指数函数是定义域上的减函数， 所以，大于，，大于且小于， 由图知： ，即， ，即， 所以. 故选：B 例12. 若，则函数与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数和一次函数的图象性质求解. 【详解】因为，所以是增函数，的图象与轴上的交点为 故只有A项正确． 故选：A. 【变式探究】1. 已知函数，则函数的图像不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据函数 的单调性和函数平移规则分析. 【详解】 是单调递增的函数，经过 ，渐近线为 ，当 时， ， ，渐近线为 ， 所以图像如下图： 故选：B. 2. 函数与，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线方程得到直线为增函数，又，可排除D选项. 【详解】对于A，C，由于函数是增函数，图象应该呈上升趋势，所以A，C错误； 对于B，又由指数函数的性质可得，故D错误； 故选：B 考点十 幂式大小的比较 例13. 用“>”连接下列各数，， 【答案】 【分析】根据指数函数单调性比较大小. 【详解】因为是上的减函数，所以，又，，所以. 故答案为: 例14. 请将三个数，，，按照从小到大的排序排列 ． 【答案】 【分析】化为同底指数式，利用指数函数的单调性可求解． 【详解】， ∵在上单调递增，且， ∴， ∴． 故答案为： 【变式探究】已知a＝0.32，b＝0.30.2，c＝1，a，b，c的大小关系是 （用“＞”连接）. 【答案】c>b>a 【分析】根据指数函数的单调性即可判断出大小. 【详解】为单调递减函数，且 ，故c>b>a 故答案为：c>b>a 考点十一 幂式大小的比较 例15.解指数方程 解  ．解方程，得． 【变式探究】解指数方程 【详解】，故， ∴，∴，得. 素养作业 1. 把根式a化成分数指数幂是(　D　) A．(－a) B．－(－a) C．－a D．a 【解析】　a＝a·a＝a，故选D． 2. 下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选项A，表示的算术平方根； 选项B，除法运算：； 选项C，满足乘法分配律，； 选项D，满足乘法结合律. 【详解】对于选项A，，不正确； 对于B，，正确， 对于C，，错误； 对于D，，不正确. 故选：B. 4. 将写成根式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直接利用根式与分数指数幂互化的公式求解. 【详解】将写成根式为. 故选：D. 5．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂的运算性质计算即可. 【详解】. 故选：C. 6．已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数性质确定图象所过定点. 【详解】令，则，故函数恒过定点. 故选：C 7. 指数函数与的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质即可得答案. 【详解】解：因为函数的图象是下降的，所以； 又因为函数的图象是上升的，所以. 故选：C. 8．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，结合指数函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，函数有意义，则满足，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 9．计算 . 【答案】/ 【分析】由分数指数幂以及根式的运算即可求解. 【详解】. 故答案为：. 10．比大小：2. 32.3 2.33.2，0.75-0.1 0.750.1. 【答案】 < > 【分析】根据指数函数和的单调性易得. 【详解】因函数在R上为增函数，由可得：； 又由在R上为减函数，由可得：. 故答案为：< ；>. 11．计算下列各式（式中字母均为正数）. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用运算法则化简； （2）分数指数幂的运算 【详解】（1）原式 （2）原式 12. 解指数方程： 【详解】根据指数运算得到，解得答案x=4. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$