2023-2024学年人教版数学七年级下册期末培优专题复习专题十四 二元一次方程组实际应用二

2023-2024年人教版七年级下期末培优专题复习 专题十四 二元一次方程组实际应用二 （知识点精讲+易错点点拨+专题检测卷） 1、 知识点精讲 知识点1 二元一次方程组中的工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 名师点拨 工程问题中的基本等量关系是工作效率x工作时间=工作总量，各部分工作量之和=总工作量，各部分工作效率之和=总工作效率 知识点2 二元一次方程组中的行程问题 行程问题 ： 速度x时间=路程，符号语言： 速度=路程÷时间，符号语言： 时间=路程÷速度，符号语言： 航行问题： 顺水速度=船在静水中的平均速度+水流速度 逆水速度=船在静水中的平均速度-水流速度 相遇问题： 总路程=速度和x时间 相遇时间=总路程÷速度和 列车过桥问题： 列车速度x过桥时间=车长+桥长 追及问题： 追及时间x速度差=追及路程 追及时间=追及路程÷速度差 钟面问题： 时针转动的速度= 分针转动的速度= 超车问题： 超车时间=两车车长之和÷速度差 名师点拨 行程问题中关键是分清属于行程问题中的那种类型，相遇问题等量关系是两人（车）所走路程之和等于总路程。追及问题的等量关系是（1）同地不同时：两人所走路程相等。（2）同时不同地：等量关系是两人所走路程之差等于两地之间的距离，（3）不同时也不同地：等量关系是两人所走路程之差等于两地之间的距离， 知识点3 二元一次方程组中图形图表问题 挖掘图形中的隐含条件，由隐含条件找等量关系，运用数形结合思想，将图形中存在的等量关系，通过列二元一次方程组建立数学模型，进而解决所求问题。 名师点拨 认真读懂图表，从图表中获取有用信息，利用数形结合，找出题目中蕴含的相等关系，建立二元一次方程组的数学模型求解。 知识点4 二元一次方程组中的古代问题 利用方程组解决古代问题时，弄懂题意是关键，要先用通俗的文字把题目叙述出来，然后找出题目中的等量关系，列出方程求解。 名师点拨 古代数学问题，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键。 2、 易错点点拨 易错点1 工程问题 例1-1 .古运河是扬州的母亲河．为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：；乙：. 根据甲、乙两名问学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示______，y表示_______； 乙：x表示_____，y表示_______． (2)求A、B两工程队分别整治河道多少米．(写出完整的解答过程) 易错点拨 利用基本数量关系：A工程队用的时间+B工程队用的时间=20天，A工程队整治河道的米数+B工程队整治河道的米数=180 变式训练1 1.巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为360米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用时20天. （1）求A、B两工程队分别整治河道多少天？(用二元一次方程组解答) （2）若A工程队整改一米的工费为200元，B工程队整改一米的工费为150元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？ 2.一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． （1）甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元； （2）已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？ （3）若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结论） 3．已知，某医用材料厂商有甲、乙两条口罩生产线，在原有产能下，每天甲生产线比乙生产线少生产56万只，两条生产线3天共生产口罩336万只． （1）在原有产能下，求甲、乙两条生产线每天各生产口罩多少万只？ （2）该厂家收到订单，需要生产840万只口罩，两条生产线同时工作了2天后，该厂家加快了生产速度，又用5天时间完成了全部订单，求提升产能后，该厂家的日产量增加了多少万只？ 4．为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）-益（阳）-常（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开通后的高铁的． （1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？ （2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成；施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？ 易错点2 行程问题 例2-1 .甲乙二人相距18千米，二人同时出发相向而行，1小时相遇；同时出发同向而行，甲3小时可以追上乙．求二人的平均速度各是多少？ 易错点拨 相遇问题：总路程=速度和x时间，追及问题：追及时间x速度差=追及路程 变式训练2 1．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是（　　） A. 3分钟 B. 4分钟 C. 5分钟 D. 6分钟 2．甲、乙两地火车线路比汽车线路长30千米，汽车从甲地先开出，速度为40千米/时，开出半小时后，火车也从甲地开出，速度为60千米/时，结果汽车仅比火车晚1小时到达乙地，求甲、乙两地的火车与汽车线路长． 3．甲乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇．相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回，汽车在返回后半个小时追上了拖拉机． （1）在这个问题中，1小时20分=_____小时； （2）相向而行时，汽车行驶_____小时的路程+拖拉机行驶_____小时的路程=160千米；同向而行时，汽车行驶_____小时的路程=拖拉机行驶_____小时的路程； （3）全程汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 易错点3 图形图表问题 例3-1 .阅读理解 （Ⅰ）我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收录在中国古代数学著作《九章算术》中，它的方程章中就有许多关于一次方程组的内容． 下面的两幅算筹图就表示了两个二元一次方程组： 把它们写成我们现在的方程组是与． （Ⅱ）对于二元一次方程组的解法，我们可以将，的系数和相应的常数项排成一个数表，通过运算使数表变为，即可求得的方程组的解为．用数表简化解二元一次方程组的过程如下： 所以方程组的解为． 解答下列问题： （1）直接写出下面算筹图表示的关于，的二元一次方程组； （2）仿照阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解（1）中你写出的二元一次方程组． 易错点拨 观察图形，读懂题意，正确列出二元一次方程组 变式训练3 1．如图，把7个相同的小长方形放入大长方形中，则此大长方形的面积是（　　） A. 60 B. 84 C. 108 D. 132 2．如图，在周长为60的长方形ABCD中放入六个相同的小长方形，若小长方形的面积为5，长为x,宽为y,则（　　） A. 若x=2，则S=20 B. 若y=2，则S=20 C. 若x=2y,则S=10 D. 若x=4y,则S=10 3．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和是（　　） A. 39cm2 B. 43cm2 C. 47cm2 D. 51cm2 易错点4 古代问题 例4-1 .我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？”该问题中的人数为 _____． 易错点拨 读懂题意，找准等量关系，列出二元一次方程组 三、专题检测卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x，y的二元一次方程组正确的是( ) A. B. C. D. 2．一支部队第一天行军，第二天行军，两天共行军，且第一天比第二天少走.第一天和第二天行军的平均速度各是多少？设第一天和第二天行军的平均速度分别为和，则可列二元一次方程组为( ). A. B. C. D. 3．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项.把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为( ) A. B. C. D. 4．作业本中有这样一道题：“小明去郊游，上午9时从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息后沿原路返回，正好下午3时到家.若他平路每小时走，登山每小时走，下山每小时走，求小明家到山顶的路程.”小李查看解答时发现此题答案中的方程组因有污损，只看清其中一个方程为“”，则答案中另一个方程应为( ) A. B. C. D. 5．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒.现有60张正方形纸板和140张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，设做x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，则可列方程组( ) A. B. C. D. 6．张师傅要制作一个无盖长方体玻璃鱼缸，切割出来的几块玻璃的尺寸如图所示（单位：dm），则其体积为( ) A. B. C. D. 7．有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，1张小长方形卡片的面积是( ) A.72 B.68 C.64 D.60 8．一条船顺水行驶36千米和逆水行驶24千米的时间都是4小时.设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则可得方程组为( ) A. B. C. D. 9．打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由A，B两个工程小组先后接力完成，A工程小组每天整治12米，B工程小组每天整治8米，共用时20天.设A工程小组整治河道x米，B工程小组整治河道y米，依题意可列方程组为( ) A. B. C. D. 10．同学们喜欢足球吗？足球一般是用黑白两种颜色的皮块缝制而成的，如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形.若一个球上共有黑白皮块32块，请你计算一下，黑色皮块和白色皮块的块数依次为( ) A.16块，16块 B.8块，24块 C.20块，12块 D.12块，20块 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为______. 12．《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来.某日，戴宗去160里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了4小时，则戴宗在无风时的平均速度为_____里小时. 13．我国古典数学文献《增删算法统宗正六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”，其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊.如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意，可列方程组为_____. 14．如图，利用两个外形一致的长方形木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是________. ① ② 15．李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟;加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需 分钟. 三、解答题（共8小题，75分） 16．（8分）巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为360米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用时20天. （1）求A、B两工程队分别整治河道多少天？(用二元一次方程组解答) （2）若A工程队整改一米的工费为200元，B工程队整改一米的工费为150元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？ 17．（10分）某包装生产企业承接了一批包装盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产.他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材.如图甲，（单位：cm） （1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值； （2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种包装盒. ①两种裁法共产生A型板材___________张，B型板材___________张； ②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖包装盒x个，横式无盖包装盒y个，求x、y的值. 18．（8分）一艘轮船在相距90 km的甲、乙两地之间匀速航行,从甲地到乙地顺流航行用6 h,逆流航行比顺流航行多用4 h. (1)求该轮船在静水中的速度和水流速度; (2)若在甲、乙两地之间建立丙码头,使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同,问甲、丙两地相距多少千米. 19．（7分）一辆汽车从A地驶往B地,前路段为普通公路,其余路段为高速公路.已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h,在高速公路上行驶的速度为100km/h,汽车从A地到B地一共行驶了2.2h. 请你根据以上信息,就该汽车行驶的“路程”或“时间”,提出一个用二元一次方程组解决的问题,并写出解答过程. 20．（8分）小明与哥哥在环形跑道上练习长跑，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒相遇一次.现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上小明，并且比小明多跑20圈. 求： （1）若哥哥的速度为8米秒，小明的速度为4米秒，环形跑道的长度为多少米？ （2）若哥哥的速度为6米秒，则小明的速度为多少？ （3）哥哥的速度是小明的多少倍？ （4）哥哥追上小明时，小明跑了_______圈（直接写出答案）. 21．（9分）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线，在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为小时. (1)当时，两条生产线的加工时间分别时多少小时？ (2)第一天，该企业把5吨原材料分配到A、B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的的吨数是多少？ (3)第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则m和n有怎样的数量关系？若此时m与n的和为6吨，则m和n的值分别为多少吨？ 22．（12分）根据以下素材完成任务 如何设计板材裁切、销售方案？ 素材1 图1中是一张椅子，主要由靠背、座垫及铁架组成，经测量，该款椅子的靠背尺寸为，座垫尺寸为图2是靠背与座垫的尺寸示意图. 素材2 某工厂制作该款椅子时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款椅子的靠背与座垫已知该板材长为，宽为.(裁切时不计损耗) 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方法 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法. 方法一：裁切靠背______个和坐垫______个 方法二：裁切靠背______个和坐垫______个 方法三：裁切靠背______个和坐垫______个 任务二 确定裁切方案 现需要制作800张学生椅，该工厂仓库现有10个座垫和20个靠背，用拟定裁切方法，还需要购买该型号板材多少张用来制作靠背和坐垫正好配套且板材全部用完？ 任务三 解决实际问题 售出一张椅子获利15元，若使总获利不少于7500元，则至少售出多少张椅子？ 23．（13分）小明家需要用钢管做防盗窗,按设计要求,其中需要长为0.8m,2.5m且粗细相同的钢管分别为100根,32根,并要求这些用料不能是焊接而成的.现钢材市场的这种规格的钢管每根为6m. (1)试问一根6m长的钢管有哪些裁剪方法呢?请填写下空(余料作废). 方法①:当只裁剪0.8m长的用料时,最多可裁剪__________根; 方法②:当先裁剪下1根2.5m长的用料时,余下部分最多能裁剪0.8m长的用料____________根; 方法③:当先裁剪下2根2.5m长的用料时,余下部分最多能裁剪0.8m长的用料______________根. (2)分别用(1)中的方法②和方法③各裁剪多少根6m长的钢管,才能刚好得到所需要的相应数量的用料? (3)试探究:除(2)中方案外,在(1)中还有哪两种方法联合,所需要6m长的钢管与(2)中根数相同? 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024年人教版七年级下期末培优专题复习 专题十四 二元一次方程组实际应用二（解析版） （知识点精讲+易错点点拨+专题检测卷） 1、 知识点精讲 知识点1 二元一次方程组中的工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 名师点拨 工程问题中的基本等量关系是工作效率x工作时间=工作总量，各部分工作量之和=总工作量，各部分工作效率之和=总工作效率 知识点2 二元一次方程组中的行程问题 行程问题 ： 速度x时间=路程，符号语言： 速度=路程÷时间，符号语言： 时间=路程÷速度，符号语言： 航行问题： 顺水速度=船在静水中的平均速度+水流速度 逆水速度=船在静水中的平均速度-水流速度 相遇问题： 总路程=速度和x时间 相遇时间=总路程÷速度和 列车过桥问题： 列车速度x过桥时间=车长+桥长 追及问题： 追及时间x速度差=追及路程 追及时间=追及路程÷速度差 钟面问题： 时针转动的速度= 分针转动的速度= 超车问题： 超车时间=两车车长之和÷速度差 名师点拨 行程问题中关键是分清属于行程问题中的那种类型，相遇问题等量关系是两人（车）所走路程之和等于总路程。追及问题的等量关系是（1）同地不同时：两人所走路程相等。（2）同时不同地：等量关系是两人所走路程之差等于两地之间的距离，（3）不同时也不同地：等量关系是两人所走路程之差等于两地之间的距离， 知识点3 二元一次方程组中图形图表问题 挖掘图形中的隐含条件，由隐含条件找等量关系，运用数形结合思想，将图形中存在的等量关系，通过列二元一次方程组建立数学模型，进而解决所求问题。 名师点拨 认真读懂图表，从图表中获取有用信息，利用数形结合，找出题目中蕴含的相等关系，建立二元一次方程组的数学模型求解。 知识点4 二元一次方程组中的古代问题 利用方程组解决古代问题时，弄懂题意是关键，要先用通俗的文字把题目叙述出来，然后找出题目中的等量关系，列出方程求解。 名师点拨 古代数学问题，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键。 2、 易错点点拨 易错点1 工程问题 例1-1 .古运河是扬州的母亲河．为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：；乙：. 根据甲、乙两名问学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示______，y表示_______； 乙：x表示_____，y表示_______． (2)求A、B两工程队分别整治河道多少米．(写出完整的解答过程) 易错点拨 利用基本数量关系：A工程队用的时间+B工程队用的时间=20天，A工程队整治河道的米数+B工程队整治河道的米数=180 【答案】(1)20，180，180，20，A工程队用的时间，B工程队用的时间，A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数；(2)A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 【解析】（1）此题蕴含两个基本数量关系：A工程队用的时间+B工程队用的时间=20天，A工程队整治河道的米数+B工程队整治河道的米数=180，由此进行解答即可； （2）选择其中一个方程组解答解决问题． (1)甲同学：设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，由此列出的方程组为； 乙同学：A工程队整治河道的米数为x，B工程队整治河道的米数为y，由此列出的方程组为； 故答案依次为：20，180，180，20，A工程队用的时间，B工程队用的时间，A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数； (2)选甲同学所列方程组解答如下： ， ②﹣①×8得4x＝20， 解得x＝5， 把x＝5代入①得y＝15， 所以方程组的解为， A工程队整治河道的米数为：12x＝60， B工程队整治河道的米数为：8y＝120； 答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 【点睛】此题主要考查利用基本数量关系：A工程队用的时间+B工程队用的时间=20天，A工程队整治河道的米数+B工程队整治河道的米数=180，运用不同设法列出不同的方程组解决实际问题． 变式训练1 1.巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为360米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用时20天. （1）求A、B两工程队分别整治河道多少天？(用二元一次方程组解答) （2）若A工程队整改一米的工费为200元，B工程队整改一米的工费为150元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？ 答案：（1）A工程队整治河道5天，B工程队整治河道15天 （2）这两工程队的工费共是60000元 解析：（1）设A工程队整治河道x天，B工程队整治河道y天， 根据题意得：， 解得：. 答：A工程队整治河道5天，B工程队整治河道15天； （2）根据题意得： 元. 答：完成整治河道时，这两工程队的工费共是60000元. 2.一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． （1）甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元； （2）已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？ （3）若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结论） 【答案】（1）甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元 （2）单独请乙组，商店所需费用少 （3）安排甲乙合作施工更有利于商店 【解析】（1）根据题意建立方程组并求解； （2）将单独请甲乙组的费用计算出来，再进行比较，得出答案； （3）将三种方案损失费用计算出来进行比较，得出答案． 【小问1详解】 设甲组工作一天，商店应付x元，乙组工作一天，商店应付y元， 依题意得：， 解得：． 答：甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元． 【小问2详解】 300×12＝3600（元）， 140×24＝3360（元）． ∵3600＞3360， ∴单独请乙组，商店所需费用少． 【小问3详解】 选择①：（300+200）×12＝6000（元）； 选择②：（140+200）×24＝8160（元）； 选择③：（300+140+200）×8＝5120（元）． ∵5120＜6000＜8160， ∴安排甲乙合作施工更有利于商店． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际运用，熟练掌握方程组的实际运用是本题解题关键． 3．已知，某医用材料厂商有甲、乙两条口罩生产线，在原有产能下，每天甲生产线比乙生产线少生产56万只，两条生产线3天共生产口罩336万只． （1）在原有产能下，求甲、乙两条生产线每天各生产口罩多少万只？ （2）该厂家收到订单，需要生产840万只口罩，两条生产线同时工作了2天后，该厂家加快了生产速度，又用5天时间完成了全部订单，求提升产能后，该厂家的日产量增加了多少万只？ 【解析】（1）设甲、乙两条生产线每天分别生产口罩x万只、y万只，根据“每天甲生产线比乙生产线少生产56万只，两条生产线3天共生产口罩336万只”列二元一次方程组，求解即可； （2）设提升产能后，该厂家的日产量增加了m万只，列一元一次方程求解即可． 解：（1）设甲、乙两条生产线每天分别生产口罩x万只、y万只， 由题意得：， 解得：， 答：甲、乙两条生产线每天分别生产口罩28万只、84万只； （2）设提升产能后，该厂家的日产量增加了m万只， 由题意得：2×（28+84）+5×（28+84+m）=840， 解得：m=11.2， 答：提升产能后，该厂家的日产量增加了11.2万只． 4．为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）-益（阳）-常（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开通后的高铁的． （1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？ （2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成；施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？ 【解析】（1）设长益段高铁全长为x千米，长益城际铁路全长为y千米，由题意得到二元一次方程组，求解即可． （2）设甲队后期每天施工a千米，甲原来每天的施工长度为64÷40×=0.7（千米），乙每天的施工长度为64÷40×=0.9（千米），根据题意列出一元一次不等式即可． 解：（1）设长益段高铁全长为x千米，长益城际铁路全长为y千米， 根据题意， 得：， 解得：， 答：长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米． （2）设甲队后期每天施工a千米， 甲原来每天的施工长度为64÷40×=0.7（千米）， 乙每天的施工长度为64÷40×=0.9（千米）， 根据题意，得：0.7×5+0.9×（40-3）+（40-3-5）a≥64， 解得：a≥0.85， 答：甲工程队后期每天至少施工0.85千米，可确保工程提早3天以上（含3天）完成． 易错点2 行程问题 例2-1 .甲乙二人相距18千米，二人同时出发相向而行，1小时相遇；同时出发同向而行，甲3小时可以追上乙．求二人的平均速度各是多少？ 易错点拨 相遇问题：总路程=速度和x时间，追及问题：追及时间x速度差=追及路程 【解析】设甲的平均速度为x千米/小时，乙的平均速度为y千米/小时，根据“甲乙二人相距18千米，二人同时出发相向而行，1小时相遇；同时出发同向而行，甲3小时可以追上乙”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 解：设甲的平均速度为x千米/小时，乙的平均速度为y千米/小时， 依题意，得：， 解得：． 答：甲的平均速度为12千米/小时，乙的平均速度为6千米/小时． 变式训练2 1．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是（　　） A. 3分钟 B. 4分钟 C. 5分钟 D. 6分钟 【答案】B 【解析】设同向行驶的相邻两车的距离及车、小王的速度为未知数，等量关系为：6×车速-6×小王的速度=同向行驶的相邻两车的距离；3×车速+3×小王的速度=同向行驶的相邻两车的距离；把相关数值代入可得同向行驶的相邻两车的距离及车的速度关系式，相除可得所求时间． 解：设18路公交车的速度是x米/分，小王行走的速度是y米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s米． 每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则6x-6y=s.① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则3x+3y=s.② 由①，②可得s=4x,所以． 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟． 故选：B． 2．甲、乙两地火车线路比汽车线路长30千米，汽车从甲地先开出，速度为40千米/时，开出半小时后，火车也从甲地开出，速度为60千米/时，结果汽车仅比火车晚1小时到达乙地，求甲、乙两地的火车与汽车线路长． 【解析】设汽车线路x千米，火车线路y千米，根据两路线之差为30千米以及时间差为1小时30分钟列出x和y的二元一次方程组，解方程组即可． 解：设汽车线路x千米，火车线路y 千米． 则， 解得：， 答：汽车线路240千米，火车线路270千米． 3．甲乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇．相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回，汽车在返回后半个小时追上了拖拉机． （1）在这个问题中，1小时20分=_____小时； （2）相向而行时，汽车行驶_____小时的路程+拖拉机行驶_____小时的路程=160千米；同向而行时，汽车行驶_____小时的路程=拖拉机行驶_____小时的路程； （3）全程汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 【答案】(1);(2);(3);(4);(5); 【解析】（1）由1小时=60分钟可得出1小时20分=小时； （2）分析全程中两个路程相等的量，即可得出结论； （3）设汽车的速度为x千米/小时，拖拉机的速度为y千米/小时，由路程=速度×时间，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出x,y的值，再利用路程=速度×时间可分别求出汽车、拖拉机全程行驶的路程． 解：（1）1小时20分=小时． 故答案为：． （2）相向而行时，汽车行驶小时的路程+拖拉机行驶小时的路程=160千米；同向而行时，汽车行驶小时的路程=拖拉机行驶（1+）=小时的路程． 故答案为：；；；． （3）设汽车的速度为x千米/小时，拖拉机的速度为y千米/小时， 依题意，得：， 解得：． 全程汽车行驶的路程为（+）x=（+）×90=165（千米）； 全程拖拉机行驶的路程为（+1+）y=（+1+）×30=85（千米）． 答：汽车全程行驶了165千米，拖拉机全程行驶了85千米． 易错点3 图形图表问题 例3-1 .阅读理解 （Ⅰ）我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收录在中国古代数学著作《九章算术》中，它的方程章中就有许多关于一次方程组的内容． 下面的两幅算筹图就表示了两个二元一次方程组： 把它们写成我们现在的方程组是与． （Ⅱ）对于二元一次方程组的解法，我们可以将，的系数和相应的常数项排成一个数表，通过运算使数表变为，即可求得的方程组的解为．用数表简化解二元一次方程组的过程如下： 所以方程组的解为． 解答下列问题： （1）直接写出下面算筹图表示的关于，的二元一次方程组； （2）仿照阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解（1）中你写出的二元一次方程组． 易错点拨 观察图形，读懂题意，正确列出二元一次方程组 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）观察图形，列出关于x、y的二元一次方程组即可； （2）仿照阅读材料中数表的解法格式解二元一次方程组即可． （1）第一个方程x的系数为2，y的系数为1，相加的结果为13；第二个方程x的系数为2，y的系数为3，相加的结果为19， 所以可列方程为：； （2）解： 所以方程的解为． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，观察图形，读懂题意，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 变式训练3 1．如图，把7个相同的小长方形放入大长方形中，则此大长方形的面积是（　　） A. 60 B. 84 C. 108 D. 132 【答案】C 【解析】设小长方形的长为x,宽为y,根据小长方形的长与宽之间的关系，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 解：设小长方形的长为x,宽为y, 依题意得：， 解得：， ∴12（x+2y）=12×（5+2×2）=108， 即此大长方形的面积是108， 故选：C． 2．如图，在周长为60的长方形ABCD中放入六个相同的小长方形，若小长方形的面积为5，长为x,宽为y,则（　　） A. 若x=2，则S=20 B. 若y=2，则S=20 C. 若x=2y,则S=10 D. 若x=4y,则S=10 【答案】B 【解析】由长方形的性质得2x+5y=30，再分别对各个选项进行判断即可． 解：∵长方形ABCD的周长为60， ∴AB+AD=30， 由题意得：x+2y+x+3y=30， 即2x+5y=30， A、若x=2时，则y=， ∴S=xy=，故选项A不符合题意； B、若y=2时，则x=10， ∴S=xy=20，故选项B符合题意； C、若x=2y,则4y+5y=30， 解得：y=， ∴x=， ∴S=xy=，故选项C不符合题意； D、若x=4y,则8y+5y=30， 解得：y=， ∴x=， ∴S=xy=，故选项D不符合题意； 故选：B． 3．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和是（　　） A. 39cm2 B. 43cm2 C. 47cm2 D. 51cm2 【答案】B 【解析】设每个小长方形的长为x cm,宽为y cm,根据图中给定各边之间的关系，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出x,y的值，再利用阴影部分的面积=大长方形的面积-6×小长方形的面积，即可求出结论． 解：设每个小长方形的长为x cm,宽为y cm, 依题意得：， 解得：， ∴阴影部分的面积之和为17×（2y+5）-6xy =17×（2×3+5）-6×8×3 =17×11-6×8×3 =187-144 =43（cm2）． 故选：B． 易错点4 古代问题 例4-1 .我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？”该问题中的人数为 _____． 易错点拨 读懂题意，找准等量关系，列出二元一次方程组 【答案】7人 【解析】设该问题中的人数为x人，物品的价格为y钱，根据“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱”，可列出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 解：设该问题中的人数为x人，物品的价格为y钱， 根据题意得：， 解得：， ∴该问题中的人数为7人． 故答案为：7人． 三、专题检测卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x，y的二元一次方程组正确的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：根据题意得故选B. 2．一支部队第一天行军，第二天行军，两天共行军，且第一天比第二天少走.第一天和第二天行军的平均速度各是多少？设第一天和第二天行军的平均速度分别为和，则可列二元一次方程组为( ). A. B. C. D. 答案：A 解析：根据题意可列方程 故选：A. 3．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项.把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：图2所示的算筹图我们可以表述为， 故选：B. 4．作业本中有这样一道题：“小明去郊游，上午9时从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息后沿原路返回，正好下午3时到家.若他平路每小时走，登山每小时走，下山每小时走，求小明家到山顶的路程.”小李查看解答时发现此题答案中的方程组因有污损，只看清其中一个方程为“”，则答案中另一个方程应为( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：由题意知，表示上山的路程等于下山的路程， x表示上山用的时间，b表示下山用的时间， 由题意知，小明从家到山顶所用时间为， 从山顶回到家所用时间为， 上山比下山多用时间为：， ， 故选：A. 5．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒.现有60张正方形纸板和140张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，设做x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，则可列方程组( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：设做x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒， 根据竖式无盖纸盒用到1个正方形纸板和4个长方形纸板，横式无盖纸盒用到2个正方形纸板和3个长方形纸板， 则， 故选：B. 6．张师傅要制作一个无盖长方体玻璃鱼缸，切割出来的几块玻璃的尺寸如图所示（单位：dm），则其体积为( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：设长方体底面的长和宽分别，， 由平面图可知，，解得； 故鱼缸的体积为. 故选：A. 7．有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，1张小长方形卡片的面积是( ) A.72 B.68 C.64 D.60 答案：B 解析：设小长方形卡片的长为x，宽为y， 由题意可得，， 解得， 1张小长方形卡片的面积是， 故选：B. 8．一条船顺水行驶36千米和逆水行驶24千米的时间都是4小时.设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则可得方程组为( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为此船的顺水速度，逆水速度， 所以可列方程组为 故选B. 9．打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由A，B两个工程小组先后接力完成，A工程小组每天整治12米，B工程小组每天整治8米，共用时20天.设A工程小组整治河道x米，B工程小组整治河道y米，依题意可列方程组为( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：根据河道总长为180米和A，B两个工程队共用时20天， 可列出方程组为 故选A. 10．同学们喜欢足球吗？足球一般是用黑白两种颜色的皮块缝制而成的，如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形.若一个球上共有黑白皮块32块，请你计算一下，黑色皮块和白色皮块的块数依次为( ) A.16块，16块 B.8块，24块 C.20块，12块 D.12块，20块 答案：D 解析： 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为______. 答案：5 解析：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d， “优美矩形”ABCD的周长为26， ， ，，， ，则， ，则， ， ， 正方形d的边长为5， 故答案为：5. 12．《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来.某日，戴宗去160里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了4小时，则戴宗在无风时的平均速度为_____里小时. 答案：40 解析：戴宗顺风行走的速度为：（里小时）， 戴宗逆风行走的速度为：（里小时）， 设戴宗的速度为x里小时，风速为y里小时， 由题意得：， 解得：， 设戴宗的速度为40里小时， 答：戴宗的速度为40里小时. 故答案为：40. 13．我国古典数学文献《增删算法统宗正六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”，其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊.如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意，可列方程组为_____. 答案： 解析：设甲有羊x只，乙有羊y只. “如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍”， ； “如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同”， . 联立两方程组成方程组. 故答案为：. 14．如图，利用两个外形一致的长方形木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是________. ① ② 答案： 解析：设桌子的高度为，长方形木块的长比宽长， 根据题意得：， 解得：. 故答案为：. 15．李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟;加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需 分钟. 答案：40 解析： 设李师傅加工1个甲种零件需要分钟，加工1个乙种零件需要分钟， 依题意得 ，得，所以，所以 三、解答题（共8小题，75分） 16．（8分）巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为360米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用时20天. （1）求A、B两工程队分别整治河道多少天？(用二元一次方程组解答) （2）若A工程队整改一米的工费为200元，B工程队整改一米的工费为150元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？ 答案：（1）A工程队整治河道5天，B工程队整治河道15天 （2）这两工程队的工费共是60000元 解析：（1）设A工程队整治河道x天，B工程队整治河道y天， 根据题意得：， 解得：. 答：A工程队整治河道5天，B工程队整治河道15天； （2）根据题意得： 元. 答：完成整治河道时，这两工程队的工费共是60000元. 17．（10分）某包装生产企业承接了一批包装盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产.他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材.如图甲，（单位：cm） （1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值； （2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种包装盒. ①两种裁法共产生A型板材___________张，B型板材___________张； ②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖包装盒x个，横式无盖包装盒y个，求x、y的值. 答案：（1）图甲中a与b的值分别为：60、40 （2）①64，38 ②x、y的值分别为7、12 解析：（1）由题意得：， 解得：， 答：图甲中a与b的值分别为：60、40. （2）①由图示裁法一产生A型板材为：， 裁法二产生A型板材为：， 所以两种裁法共产生A型板材为（张）， 由图示裁法一产生B型板材为：， 裁法二产生A型板材为，， 所以两种裁法共产生B型板材为（张）， 故答案为：64，38. ②根据题意竖式有盖包装盒x个，横式无盖包装盒y个， 则A型板材需要个，B型板材需要个， 所以， 解得. 答：x、y的值分别为7、12. 18．（8分）一艘轮船在相距90 km的甲、乙两地之间匀速航行,从甲地到乙地顺流航行用6 h,逆流航行比顺流航行多用4 h. (1)求该轮船在静水中的速度和水流速度; (2)若在甲、乙两地之间建立丙码头,使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同,问甲、丙两地相距多少千米. 答案：(1)12，3 (2) 解析：(1)设该轮船在静水中的速度是,水流速度是. 由题意,得 解得 ∴该轮船在静水中的速度是12 km/h,水流速度是3 km/h. (2)设甲、丙两地相距,则乙、丙两地相距. 由题意,得,解得. 甲、丙两地相距km. 19．（7分）一辆汽车从A地驶往B地,前路段为普通公路,其余路段为高速公路.已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h,在高速公路上行驶的速度为100km/h,汽车从A地到B地一共行驶了2.2h. 请你根据以上信息,就该汽车行驶的“路程”或“时间”,提出一个用二元一次方程组解决的问题,并写出解答过程. 答案：见解析 解析：问题一:汽车行驶的路段中,普通公路和高速公路的长各为多少千米? 解：设汽车行驶的路段中,普通公路长为,高速公路长为. 根据题意,得 解得 答：汽车行驶的路段中,普通公路长为60km,高速公路长为120km. 问题二：汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时? 解:设汽车在普通公路上行驶了,在高速公路上行驶了. 根据题意,得 解得 答:汽车在普通公路上行驶了1h,在高速公路上行驶了1.2h. 20．（8分）小明与哥哥在环形跑道上练习长跑，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒相遇一次.现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上小明，并且比小明多跑20圈. 求： （1）若哥哥的速度为8米秒，小明的速度为4米秒，环形跑道的长度为多少米？ （2）若哥哥的速度为6米秒，则小明的速度为多少？ （3）哥哥的速度是小明的多少倍？ （4）哥哥追上小明时，小明跑了_______圈（直接写出答案）. 答案：（1）300（米） （2）小明的速度为3米秒 （3）哥哥速度是小明速度的2倍 （4）20 解析：（1）（米； （2）设小明的速度为x米秒， 由题意得，， 解得：， 答：小明的速度为3米秒； （3）设哥哥的速度是米秒，小明的速度是米秒.环形跑道的周长为s米. 由题意得，， 整理得，， 即. 答：哥哥速度是小明速度的2倍； （4）设小明跑了x圈，那么哥哥跑了2x圈. 根据题意，得， 解得，. 故经过了25分钟小明跑了20圈. 21．（9分）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线，在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为小时. (1)当时，两条生产线的加工时间分别时多少小时？ (2)第一天，该企业把5吨原材料分配到A、B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的的吨数是多少？ (3)第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则m和n有怎样的数量关系？若此时m与n的和为6吨，则m和n的值分别为多少吨？ 答案：(1)两条生产线的的加工时间分别为5小时和5小时 (2)分配到A生产线2吨，分配到B生产线3吨 (3)m与n的关系为，当吨时，m为2吨，n为4吨 解析：（1）当时，，， 即两条生产线的的加工时间分别为5小时和5小时. （2）设分配到A生产线x吨，则分配到B生产线y吨，根据题意得： ， 解得， 即分配到A生产线2吨，则分配到B生产线3吨； （3）根据题意得：， 整理得：， ， ，. 答：m与n的关系为，当吨时，m为2吨，n为4吨. 22．（12分）根据以下素材完成任务 如何设计板材裁切、销售方案？ 素材1 图1中是一张椅子，主要由靠背、座垫及铁架组成，经测量，该款椅子的靠背尺寸为，座垫尺寸为图2是靠背与座垫的尺寸示意图. 素材2 某工厂制作该款椅子时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款椅子的靠背与座垫已知该板材长为，宽为.(裁切时不计损耗) 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方法 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法. 方法一：裁切靠背______个和坐垫______个 方法二：裁切靠背______个和坐垫______个 方法三：裁切靠背______个和坐垫______个 任务二 确定裁切方案 现需要制作800张学生椅，该工厂仓库现有10个座垫和20个靠背，用拟定裁切方法，还需要购买该型号板材多少张用来制作靠背和坐垫正好配套且板材全部用完？ 任务三 解决实际问题 售出一张椅子获利15元，若使总获利不少于7500元，则至少售出多少张椅子？ 答案：任务一：8，3；1，6；15，0； 任务二：见解析； 任务三：500张； 解析：任务一：设裁切靠背x个，坐垫y个， 根据题意得：， ， x，y为非负整数， 或或. 方法一：裁切靠背8个和坐垫3个； 方法二：裁切靠背1个和坐垫6个； 方法三：裁切靠背15个和坐垫0个. 故答案为：8，3；1，6；15，0. 任务二：若用m张板材按方法一裁切，n张板材按方法二裁切， 根据题意得：，解得不符合题意，舍去. 若用m张板材按方法一裁切，n张板材按方法三裁切， 根据题意得：，解得不符合题意，舍去. 若用m张板材按方法二裁切，n张板材按方法三裁切， 根据题意得：，解得不符合题意，舍去. 若用m张板材按方法一裁切，n张板材按方法二裁切，p张板材按方法三裁切， 根据题意得：，得. 又m，n，p为非负整数，故无解. 任务三：设售出z张椅子， 则，解得. 故至少售出500张椅子. 答：至少售出500张椅子. 23．（13分）小明家需要用钢管做防盗窗,按设计要求,其中需要长为0.8m,2.5m且粗细相同的钢管分别为100根,32根,并要求这些用料不能是焊接而成的.现钢材市场的这种规格的钢管每根为6m. (1)试问一根6m长的钢管有哪些裁剪方法呢?请填写下空(余料作废). 方法①:当只裁剪0.8m长的用料时,最多可裁剪__________根; 方法②:当先裁剪下1根2.5m长的用料时,余下部分最多能裁剪0.8m长的用料____________根; 方法③:当先裁剪下2根2.5m长的用料时,余下部分最多能裁剪0.8m长的用料______________根. (2)分别用(1)中的方法②和方法③各裁剪多少根6m长的钢管,才能刚好得到所需要的相应数量的用料? (3)试探究:除(2)中方案外,在(1)中还有哪两种方法联合,所需要6m长的钢管与(2)中根数相同? 答案：(1)7；4；1 (2)用方法②裁剪24根，用方法③裁剪4根6m长的钢管 (3)方法①与方法③联合,所需要6m长的钢管与(2)中根数相同 解析：(1)7;4;1. (2)设用方法②裁剪x根,方法③裁剪y根6m长的钢管,由题意,得解得 答:用方法②裁剪24根,方法③裁剪4根6m长的钢管. (3)设方法①裁剪m根,方法③裁剪n根6m长的钢管,由题意,得解得 . , . 设方法①裁剪a根,方法②裁剪b根6m长的钢管, 由题意,得解得无意义. ∴方法①与方法③联合,所需要6m长的钢管与(2)中根数相同. 学科网（北京）股份有限公司 $$