专项训练6 求空间角度和空间距离 -2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册期末复习

高一下学期数学期末【考前专项训练】【06】求空间角度和空间距离 题型探究 【题型01】求异面直线的距离 【题型02】求异面直线的夹角 【题型03】求线面夹角 【题型04】求点到平面的距离 【题型05】求面面夹角或二面角 知识点总结 各个击破 【题型01】求异面直线的距离 【专项训练】 一、单选题 1．如图在棱长为2的正方体，中E为BC的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（    ）    A． B． C． D． 2．在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，异面直线与所成角的余弦值为，则直线与直线的距离为（    ） A．2 B．1 C． D． 3．已知长方体中，，则异面直线与的距离是（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 【题型02】求异面直线的夹角 【专项训练】 5．如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在正方体中，M，N分别为棱BC和棱的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（    ）    A． B． C． D． 7．在三棱锥中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在正方体中，M，N分别为和的中点，则异面直线AM与BN所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【题型03】求线面夹角 【专项训练】 二、填空题 9．在棱长为2的正方体中，动点，分别在棱，上，且满足，当的体积最小时，与平面所成角的正弦值是 ． 10．在三棱锥中，，，，当三棱锥的体积最大时，直线与平面的夹角为 ，三棱锥的外接球的表面积为 ． 11．从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，则直线和平面所成角的余弦值为 ． 12．如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，从，到直线（库底与水坝的交线）的距离和分别为和，的长为，甲乙之间拉紧的绳长为，则库底与水坝所在平面夹角为 ． 13．在长方体中，，，点为的中点，点为四边形内一点，且，则直线与平面所成角的正切值的最大值为 . 【题型04】求点到平面的距离 【专项训练】 三、解答题 14．如图，棱长为6的正四面体，是的重心，是的中点过作平面，且平面.    (1)在图中做出平面与正四面体表面的交线，要求说明作法（无需证明），并求交线长； (2)求点E到平面的距离. 15．如图，正方体的棱长为，为棱的中点． （1）画出过点且与直线垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）； （2）求点到该平面的距离． 16．如图，在三棱锥中，平面平面，，，，． (1)求三棱锥的体积； (2)求点到平面的距离． 17．如图，在四棱锥中，为的中点，连接，且. (1)求证：平面平面； (2)若四棱锥的体积为，求点到平面的距离. 18．如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点． (1)证明： ∥平面； (2)若，求点到平面的距离． 19．如图，在四棱台中，底面四边形为菱形，，平面． (1)证明：； (2)若四棱台的体积为，求点到平面的距离． 【题型05】求面面夹角或二面角 【专项训练】 20．如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，. (1)证明：平面平面； (2)若，与平面的夹角为，求二面角的正弦值. 21．如图，三棱锥的底面是边长为的等边三角形，侧棱，设点分别为的中点.    (1)证明：； (2)求三棱锥的体积； (3)求平面与平面的夹角余弦值. 22．在如图所示的圆锥中，､､是该圆锥的三条不同母线，､分别为､的中点，圆锥的高为，底面半径为，，且圆锥的体积为. (1)求证：直线平行于圆锥的底面； (2)若三条母线､､两两夹角相等，求平面与圆锥底面的夹角的余弦值. 23．如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. (1)求证：平面平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 24．如图，将边长为的正方形沿对角线折起使得点到点的位置，连接，为的中点. (1)若平面平面，求点到平面的距离； (2)不考虑点与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度. 25．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是的中点，于点． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正切值． 26．如图，在正方体中，，点E在棱上，且. (1)求三棱锥的体积； (2)在线段上是否存在点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. (3)求二面角的余弦值. 27．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，点E在上，且． (1)在棱上是否存在一点F，使得平面?若存在，求点F的位置，若不存在，请说明理由； (2)求二面角的平面角的大小． 28．如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足，现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示. (1)在棱上是否存在点F，使直线平面，若存在，求出，若不存在，请说明理由； (2)求二面角的平面角的正切值. 29．如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，．    (1)证明：与平面不垂直； (2)证明：平面平面； (3)如果，二面角等于，求二面角的大小． 30．如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，．    (1)证明：； (2)求二面角的正切值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 2 1 学科网（北京）股份有限公司 1．B 【分析】取的中点F，连接，，利用线面平行的性质即可得到平面，进而得到异面直线与的距离，即为点P到直线距离的最小值． 【详解】   解：如图所示，取的中点F，连接，， ∵，底面， ∴四边形是矩形， ∴， 又平面，平面， ∴平面， ∴直线上任一点到平面的距离是两条异面直线与的距离， 过点作， ∵平面平面，平面平面， 平面， ∴平面， 过点M作交于点P，则， 取，连接，则四边形是矩形． 可得平面， 在中，， 得， ∴点P到直线的距离的最小值为． 故选：B． 2．B 【分析】根据异面直线与所成角的余弦值为求出底面正方形的边长，进而可求解. 【详解】 如图，该四棱柱为长方体，因为, 所以为异面直线与所成角， 设底面正方形边长为，则， 在中，， 解得， 因为该四棱柱为长方体，所以平面，平面， 所以,同理, 所以直线与直线的距离为， 故选:B. 3．C 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，因为面，与的距离等于与面的距离等于，所以，求出即可得答案 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、， 如图，因为面，与的距离就是与面的距离， 明显可见，面，所以，与面的距离为，又因为，则，则与面的距离为2，所以，与的距离为2 故选：C. 4．C 【分析】连接，，，，在平面中，作，为垂足，将两平行线的距离转化成点到直线的距离，结合余弦定理即同角三角函数基本关系，求得，因此可得，进而可得直线到直线的距离； 【详解】解：如图， 连接，，，，在平面中，作，为垂足， 因为，分别为，的中点， 因为，， 所以，所以，同理， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以即为直线到直线的距离， 在三角形中，由余弦定理得 因为，所以是锐角， 所以， 在直角三角形中，， 故直线到直线的距离为； 故选：C 5．B 【分析】根据题中条件连接，取的中点，连接,，作出异面直线所成的角，利用余弦定理求解即可. 【详解】连接，取的中点，连接,， 由题意知，，则异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 6．C 【分析】先由平行关系找到为异面直线AC和MN所成的角，再利用正方体的性质求出角度即可. 【详解】   ， 因为M，N分别为棱BC和棱的中点， 所以， 又在正方体中， ， 所以或其补角为异面直线AC和MN所成的角， 又在正方体中，为正三角形， 所以，即异面直线AC和MN所成的角为， 故选：C. 7．B 【分析】取的中点，连接，得，将异面直线与所成角转化为或其补角，结合余弦定理求出的余弦值即可得到答案． 【详解】取的中点，连接，如图所示，根据三角形的中位线定理可得，所以异面直线与所成的角即或其补角． ，， 在中，，，，所以， 所以，所以． 在中，，， 可得． 在中，由余弦定理可得，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B． 8．B 【分析】取AB的中点，的中点，则或其补角为AM与BN所成的角，利用余弦定理解三角形即可. 【详解】取AB的中点，的中点，连接， 又M，N分别为和的中点， 正方体中，，，四边形为平行四边形，有， 同理有，则或其补角为AM与BN所成的角， 连接EF，设正方体的边长为，则， ，， 所以， 因此，即异面直线AM与BN所成角的正弦值为. 故选：B． 9． 【分析】设，结合等积法，可求出当的体积最小时，，分别是所在棱的中点；法一，根据，可求出点到平面的距离为，结合直线与平面所成角的集合法即可求解；法二，建立空间直角坐标系，应用向量法求解. 【详解】设，则 ． 由等体积法，得 ， 当且仅当，即时，等号成立． 所以当的体积最小时，，分别是所在棱的中点． 方法一  易知，，．由余弦定理，得 ，所以， 所以． 设点到平面的距离为．根据， 得，解得． 所以与平面所成角的正弦值为． 方法二 以点为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立空间直角坐标系， 则，，，． 所以，，． 设平面的法向量为， 则即令，得，， 则．设与平面所成的角为， 则． 故答案为： 10． 【分析】根据题意，当平面，是等边三角形时，三棱锥的体积最大，利用线面角的定义可判断求解直线与平面所成的角，确定外接球球心求出半径得解. 【详解】如图，取中点，，， ，所以当平面时，三棱锥的高最大， 又，所以当是等边三角形时底面积最大， 也就是当平面，是等边三角形时，三棱锥的体积最大， 所以是直线与平面所成的角，在中，，， ，即. 取等边的中心，由题意易得，所以是三棱锥外接球的球心， 则外接球半径，所以外接球的表面积为. 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：根据题意，要使三棱锥的体积最大，当平面，是等边三角形时，利用线面角的定义，确定是直线与平面所成的角，等边的中心是三棱锥外接球的球心，运算得解. 11．/ 【分析】在PA上任取一点并作平面PBC，则就是直线PA与平面PBC所成的角．先证明点在的平分线上，通过解直角三角形PED、DOP，求出直线PA与平面PBC所成角的余弦值． 【详解】在PA上任取一点并作平面PBC，垂足为， 则就是直线PA与平面PBC所成的角． 过点作，垂足分别为，    因为平面PBC，平面PBC，所以， 又平面DOE，所以平面DOE， 因为平面DOE，所以，同理可得， 因为，所以， 所以，，则， 所以点在的平分线上，即． 设，则， 在直角中，，则， 在直角中，，则， 即直线PA与平面PBC所成角的余弦值是． 故答案为：． 12． 【分析】用几何的方法找出二面角的平面角，再用余弦定理得到夹角的余弦值，即可得到夹角. 【详解】 过点作∥，且，所以四边形为平行四边形，∥，且，由题意知，，，因为∥，∥，所以，，又，所以平面，因为平面，所以，在中，，，所以，因为，，，所以为库底与水坝所在水平面夹角的平面角，，又，所以. 故答案为：. 13． 【分析】分析题目条件，点在线段的中垂面与底面的交线上，取中点，中点，中点，证明得平面，从而点在线段上；再由平面，为直线与平面所成的角，当取得最小时，利用相似可得此时取得最大值为. 【详解】 如图，连接，取中点，中点，中点， 因为，则点在线段的中垂面与底面的交线上. 可求得，所以，所以. 又知，所以. 又，直线和直线都在平面内， 所以平面，从而点在线段上. 易得，平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 设为，则. 设的最小值为点到的距离为，取得最小时， 易得与相似，可知，所以，又， 所以的最大值为. 故答案为： 14．(1) (2) 【分析】（1）根据等边三角形三线合一，线面垂直的判定、性质作出图形即可，利用相似三角形（或者平行线段成比例）、解直角三角形知识计算交线长度即可. （2）作出图形证明点E到平面的距离即为线段的长度，然后根据平行线段成比例、中位线定理知识运算求解即可. 【详解】（1）如图所示：    作法为：取中点，连接，过点作，交于两点， 过点作交于点，连接，则即为平面与正四面体表面的交线. 连接交于点， 由以上可知，，同理,且是的重心， 所以， 所以， 而， 所以，即交线长为. （2）如图所示：    由（1）以及三线合一可知面， 所以面， 又由（2）可知，面，面， 所以面，同理面， 又面，面， ， 所以面面， 又面， 所以面， 过的中点作，交分别于三点， 所以面，垂足为点，且， 所以点E到平面的距离即为线段的长度， 而由平行线段成比例可知， 从而, 即点E到平面的距离为. 15．（1）见解析；（2）. 【分析】（1）直接作出符合条件的截面即可； （2）设点到该平面的距离为，利用等体积法得出，进而求得的值. 【详解】（1）截面如下图所示：其中、、、、分别为边、、、、的中点． （2）设点到该平面的距离为， 则由可知， 所以． 因此，点到该平面的距离为. 【点睛】本题考查截面的作法，同时也考查了利用等体积法计算点到平面的距离，考查计算能力，属于中等题. 16．(1) (2) 【分析】（1）先求到平面的距离，然后求得三棱锥的体积. （2）利用等体积法求得点到平面的距离. 【详解】（1） 过作交于点， 因为平面平面，且交线为，平面， 所以平面. 在中，，，则，. 面积. 三棱锥体积. （2）在中，连接. 则， ，. 在中，，，，所以， . ， 设点到平面距离为，由等体积法可知:. ，从而. 点到平面距离为. 17．(1)证明见解析; (2)1. 【分析】（1）先证明四棱锥为正四棱锥，且所有棱长均相等，然后再证明平面，即可得证面面垂直； （2）可利用第一问的结论，把点到平面的距离等价转化到点到平面的距离的一半，即等于，然后再利用体积去求出这些相等的棱长，就可以得到答案;也可以利用等体积法去求点到平面的距离. 【详解】（1） 如图，连接，由得，四边形是菱形， 再由得，四边形是正方形，设正方形的中心为， 由，可知， 由底面是正方形可知：，又因为， 所以，即， 又因为，所以，即， 又因为平面，平面，， 所以平面， 即可得到四棱锥为正四棱锥，且所有棱长均相等， 所以，所以. 在中，，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）解法一： 由题意，得正方形的面积是梯形面积的. 因为四棱锥的体积为，所以正四棱锥的体积为. 设正四棱锥的棱长为，则正方形的面积为. 设与交于点，连接，则为正四棱锥的高. 因为，所以， 所以正四棱锥的体积为，解得. 由（1），知平面，所以点到平面的距离为2. 易知，且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面平面，所以平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离. 又是的中点，所以点到平面的距离等于点到平面距离的， 即点到平面的距离等于点到平面距离的， 所以点到平面的距离为1. 解法二： 由题意，知四棱锥的体积为，解得， 所以. 易知，且，所以四边形是平行四边形，所以. 在中，易得，所以在中，， 所以， 所以.连接，则. 设点到平面的距离为，由， 得，即，解得， 所以点到平面的距离为1. 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意可证∥平面，∥平面，可得平面∥平面，结合面面平行的性质分析证明； （2）利用余弦定理求AD，根据题意利用等体积法求点到面的距离. 【详解】（1）如图，取的中点，连接． 因为都是所在棱的中点，则∥，∥， 所以∥， 且平面，平面，所以∥平面． 因为分别是和的中点，则∥，， 可得∥，，可知四边形是平行四边形，则， 且平面，平面，所以∥平面， 且，平面， 所以平面∥平面， 由平面可得∥平面． （2）三棱锥的体积， 且， 利用余弦定理可得， 因为，可知， 所以． 设点到平面的距离为， 则，即，解得， 所以点到平面的距离为． 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质得到，由菱形的性质得到，即可得到平面，即可得证； （2）设，由棱台的体积公式求出，取的中点，连接、，即可得到平面，再由利用等体积法计算可得. 【详解】（1）在四棱台中，延长后必交于一点，故共面， 因为平面，平面， 所以， 连接，因为底面四边形为菱形，故， 平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）设，又， 所以， 则， 所以， 即，解得， 所以，则， 取的中点，连接、， 则且，所以为平行四边形，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 因为为菱形且，所以为等边三角形， 所以，，， 所以， 所以， 又， 设点到平面的距离为， 所以，则， 解得，即点到平面的距离为. 20．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，连接，即可证明、，从而得到平面，即可得证； （2）过点作交于点，即可证明平面，则即为与平面所成的角，即可求出，过点作交于点，连接，即可证明平面，从而得到即为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）设，连接，因为为正方形，所以且为的中点， 又，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）在平面中过点作交于点， 因为平面，又平面， 所以， 又，平面，所以平面， 所以即为与平面所成的角，即， 又，所以， 过点作交于点，连接， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 又，所以 因为为正方形，所以，则， 所以，即，解得， 又平面，平面，所以， 所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 21．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理即可得证. （2）利用等积法即可求解. （3）取的中点，连接，结合线面平行的性质定理，得出就是面与面的夹角，然后求解即可. 【详解】（1）由知，， 又分别为的中点，所以， 所以 由等边三角形及为的中点知，， 且平面. 所以平面，又平面， 所以 （2）在中，， 又， 可得，故， 所以三棱锥的体积， 又. （3）记平面与平面的的交线为， 由面面， 得平面， 又面，面面，故有， 又由（1）（2）可知，所以， 取的中点，连接， ，又， 则就是面与面的夹角， 在中，， ，， 则.    22．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明即可； （2）设的中点为，点在底面的投影为，可得为平面与圆锥底面的夹角，求出即可. 【详解】（1）连接，在中，､分别为､的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2）由，且，可解得，则母线长为， 因为三条母线､､两两夹角相等，所以为等边三角形，则边长为， 设的中点为，点在底面的投影为，则， 连接，则为平面与圆锥底面的夹角， 在中，， 则在中，， 所以， 则， 所以. 所以平面与圆锥底面的夹角的余弦值为. 23．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质于判定定理可证平面，结合面面垂直的判断定理即可证明； （2）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解. 【详解】（1）由平面，平面，得， 连接，由且， 所以四边形为平行四边形， 又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又由且， 所以四边形为平行四边形， 则，所以， 又 平面， 所以平面， 由平面，所以平面平面； （2）由平面，平面，所以， 又， 平面， 所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即， 在中，，作，垂足为M， 由（1）知，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则为直线在平面上的投影， 所以为直线与平面所成的角， 在中，，所以， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为 24．(1)； (2) 【分析】（1）利用等体积法求解点到平面的距离； （2）根据二面角的定义找出二面角的平面角，结合余弦值得出，利用勾股定理可得答案. 【详解】（1）连接，则， 平面平面，平面平面＝AC，平面， 平面，又平面， ，又正方形的边长为， ，， 设点到平面的距离为，则， ， ，即点到平面的距离； （2）取的中点，连接，， ， ，， 为二面角的平面角，， 由题可知与全等， 在中，，， ，， ，. 25．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理即可证明出平面平面； （2）先根据条件作出二面角的平面角，假设边长后利用即可求出结果. 【详解】（1）证明：由条件有， 且平面，， 平面，又平面，； 又，是的中点，； 又平面，， 平面，平面，． 由已知，且平面，， 平面．又平面， 平面平面． （2）取中点，则，作于，连结． 底面，底面． 为在平面内的射影， ，， 为二面角的平面角． 设， 在中，，， ； 二面角的正切值为． . 26．(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）过作，垂足为，可得中为高，求出高和底面，进而可得体积； （2）假设在线段上存在点F，使得平面，取的三等分点，得到面面，取的三等分点（靠近），再通过线面平行的性质得到，进而可得的位置； （3）延长交于点，作，垂足为，连接可得为二面角的平面角，在中求解即可. 【详解】（1）过作，垂足为， 因为，所以面即面 明显面， 所以面， 又，， 所以 （2）假设在线段上存在点F，使得平面， 取的三等分点，使，则四边形是平行四边形， 所以，又面，面， 所以面，又面，， 所以面面，又面， 所以面， 取的三等分点（靠近），则， 所以面面，又面，面， 所以，又为的中点， 所以； （3）延长交于点，作，垂足为，连接，则面， 从而， 所以为二面角的平面角， 在中，， 所以， 所以. 27．(1)当F是棱的中点时，平面，证明见解析 (2) 【分析】（1）分别取中点，中点，连接，先证明面面平行即平面平面，从而得线面平行平面. （2）作交于，作于，连接，然后由线面垂直证明线线垂直即，从而得即为所求二面角，再结合几何知识从而可求解. 【详解】（1）当是棱的中点时，平面，证明如下： 取的中点，连接，记与交于点O，连接． 易得平面平面 平面． 由是的中点，知是的中点， 由四边形是正方形，知O为的中点，所以， 平面平面平面． 又，平面，∴平面平面， 平面平面. （2）作交于G，作于H，连接， 由平面，知平面， 平面，平面， 又平面，， 是二面角的平面角． 由题意得， 在中，， ∴二面角的平面角的大小为. 28．(1)存在， (2)2 【分析】（1）设的中点为N，证得四边形DENF是平行四边形，得到，得出平面，进而得到结论； （2）连接CE，取BE中点O，作于M，证得，得到为二面角的平面角，在直角中，即可求解． 【详解】（1）解：当F是AC的中点时，直线平面. 证明如下： 设的中点为N，连接EN，FN， 因为，，且，， 所以且，所以四边形DENF是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 所以存在点F，使平面，且. （2）解：在平面图形中，连接CE，则，， 所以， 如图所示，取BE中点O，连接，则， 因为平面，平面平面，且平面平面， 所以平面，又因为平面，所以 作于M，连接， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在直角中，，，可得， 故二面角的平面角的正切值为． 29．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）若平面，则，由，得，所以与平面不垂直． （2）取、的中点、，由，，得为直角梯形的中位线，故，又，所以平面，由此能够证明平面平面． （3）由二面角的定义知为二面角的平面角，作于，连，由三垂线定理得，故为二面角的平面角，由此能求出二面角的大小． 【详解】（1）若平面， 则， 由已知， 得， 这与矛盾，所以与平面不垂直． （2）取、的中点、，连接、、， 由，，得， ， 为直角梯形的中位线， ，又， 平面， 由平面，得，又且梯形两腰、必交， 平面, 又平面， 平面平面, （3）由（2）及二面角的定义知为二面角的平面角, 作于，连， 由于平面,平面,故, ,平面,故平面 平面,所以 故为二面角的平面角, 即， 由已知，得， 又． ， ． ， 故二面角的大小为．    30．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直及面面垂直的性质证明即可； （2）利用几何法，取中点，并连接、，结合条件证线线垂直，利用二面角定义解三角形即可， 【详解】（1）依题意，面，且面， 所以，， 因为面面，面面，面，且， 所以面， 因为面， 所以. （2）取中点，并连接、.      因为，所以， 由勾股定理可知. 因为，所以； 则根据二面角定义可知是二面角的一个平面角， 且由图可知为锐角. 由（1），，面， 所以面， 又因为面， 所以， 设，可得，则， 即二面角的正切值为. $$