专项训练5　直线、平面的平行与垂直的证明-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册期末复习

高一下学期数学期末【考前专项训练】【05】直线、平面的平行与垂直的证明 题型探究 【题型01】直线与平面平行 【题型02】平面与平面平行 【题型03】直线与平面垂直 【题型04】平面与平面平行 知识点总结 各个击破 【题型01】直线与平面平行 1.直线与平面平行的判定定理 1） 文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行，简记为线线平行⇒线面平行. 2）图形语言：   3）符号语言： l⊄α，a⊂α，l∥a⇒l∥α. 2.直线与平面平行的性质定理 1）文字语言：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行，简记为线面平行⇒线线平行. 20 图形语言：   3) 符号语言： a∥α，a⊂β，α∩β=b⇒a∥b. 【专项训练】 1．如图，直棱柱中，为的中点，，，． (1)求棱柱的表面积； (2)求证：平面； (3)在答题卡的图上做出平面与平面的交线，并写出作图步骤． 2．如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 3．如图，在三棱柱中，D在线段AC上． (1)若D是AC中点，求证：平面； (2)若M为BC的中点，直线平面，求． 4．如图，在四棱锥中，底面是矩形，点分别在棱上，其中E是的中点，连接．    (1)若M为的中点，求证：平面； (2)若平面，求点M的位置． 【题型02】平面与平面平行 平面与平面平行 1.平面与平面平行的判定定理 1）文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，简记为线面平行⇒面面平行. 2） 图形语言： 3）符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b=P，a∥β，b∥β⇒α∥β. 2.平面与平面平行的性质定理 1） 文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行，简记为面面平行⇒线线平行. 2）图形语言： 3）符号语言：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b⇒a∥b. 【专项训练】 5．如图，在正四棱柱中，分别为的中点. (1)求证:平面； (2)棱(含端点)上是否存在点，使得平面平面?若存在求出点，若不存在说明理由. 6．如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)若为侧棱的中点，求证：平面； (3)设平面平面，求证：. 7．已知四棱锥，底面为矩形，，，分别是，，的中点.证明： (1)平面平面； (2)平面. 8．如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）； (1)求证：平面． (2)在上确定一点，使平面平面，并证明. 9．如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． (1)求三棱锥的体积． (2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. 【题型03】直线与平面垂直 直线与平面垂直 1.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a∩b=P，a⊂α，b⊂α⇒l⊥α 图形语言   1. 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 图形语言   符号语言 a⊥α，b⊥α⇒a∥b 作用 线面垂直⇒线线平行；作平行线 【专项训练】 10．如图，正方体的棱长是. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 11．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，为PD的中点，，垂足为，且.    (1)求证:平面ACE; (2)求证:平面ABCD. 12．如图①，在直角梯形ABCD中，，，，．沿DE将折起到的位置．连接，，M，N分别为，BE的中点，如图②． (1)求证：． (2)求证：平面． (3)在棱上是否存在一点G，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 13．如图，四棱锥中，菱形所在的平面，，E是的中点，M是的中点． (1)求证：平面； (2)若，求点P到平面的距离． 【题型04】平面与平面平行 平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 图形语言   符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 2.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 图形语言   符号语言 α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 【专项训练】 14．如图三棱锥分别在线段AB，CD上，且满足. (1)求证:平面平面; (2)求AD与平面BCD所成角的正弦值. 15．如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. (1)求证：平面平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 16．如图，在四棱锥中，平面平面，，底面为等腰梯形，，且． (1)证明：平面平面； (2)若点A到平面PBC的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 17．如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 2 1 学科网（北京）股份有限公司 1．(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据题意，由余弦定理可得，再由三角形的面积公式可得的面积，即可得到结果； （2）根据题意，由线面平行的判定定理即可证明； （3）根据题意，在平面中，延长直线，交于点，连接，即可得到结果. 【详解】（1）直棱柱侧面都是矩形，则侧面积为； 中，，又，故 故面积为 故棱柱表面． （2）连接交于点，连接， ∵四边形为矩形，∴为的中点； ∵因为为的中点，∴． ∵平面，平面， ∴平面． （3）在平面中，延长直线，交于点，连接， 则平面平面． 2．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，依题意可得为的中点，从而得到，再由正方体的性质得到，从而得到，即可得证； （2）求出和时的长度，即可得到的取值范围. 【详解】（1）连接， 因为为的中点，当时， 所以为的中点，所以， 又且，所以四边形为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面，所以平面； （2）当时为的中点，连接交于点，连接， 连接交于点，取的中点，连接、， 因为分别为的中点，所以， 则为的中点，所以， 又且，所以为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面平面，平面， 所以，所以和重合， 又，此时， 当时与点重合，在上取点使得，连接， 由前述说明可知为的中点，则， 又，所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以， 综上可得当时，求长度的取值范围为. 3．(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）连接交于点O，连接OD，证明，证明平面； （2）设交于点E，连接DE，得到，利用平行即可求解. 【详解】（1）连接交于点O，连接OD， ∵三棱柱，∴四边形为平行四边形，∴O为的中点， 又∵D为AC的中点，∴ ∴平面，平面，∴平面 （2）设交于点E，连接DE, ∵平面，平面，平面平面 ∴，∴ 又∵四边形为平行四边形，M为BC的中点 ∴，∴ 4．(1)证明见解析 (2)点M为的中点 【分析】（1）取的中点N，连接，先证明四边形为平行四边形，得出，即可证明； （2）设过三点的平面与交于点N，连接，由线面平行的性质证明出四边形为平行四边形，即可证明点M为的中点． 【详解】（1）证明：如图，取的中点N，连接， 因为分别为的中点，所以，且CD，    又底面是矩形，且E是的中点， 所以，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面． （2）设过三点的平面与交于点N，连接， 因为平面平面，平面平面， 所以， 因为底面是矩形，所以， 又平面平面，所以平面， 同理得，所以四边形为平行四边形， 所以， 又，且，所以， 且，所以点M为的中点．    5．(1)证明见解析 (2)存在，点为点，理由见解析. 【分析】（1）取线段的中点，连接，通过证明可得线面平行； （2）通过证明面面可得点的位置. 【详解】（1）由分别为线段的中点可得， 所以四点共面， 取线段的中点，连接， 因为分别为线段的中点， 所以，且， 又根据正四棱柱的性质可得，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又面，面， 所以平面； （2）连接， 由分别为线段的中点可得，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又又面，面， 所以平面，同理平面， 又，且面， 所以平面平面， 故棱(含端点)上存在点，使得平面平面，此时点即为点. 6．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设，再证明即可； （2）根据线面平行与面面平行的判定证明平面平面即可； （3）根据线面平行的判定与性质证明即可. 【详解】（1）设，连接，因为是平行四边形，故， 又为侧棱的中点，故. 又平面，平面，故平面. （2）若为侧棱的中点，，则， 又平面，平面，故平面. 又，平面，平面，故平面. 又，平面，故平面平面. 又平面，故平面. （3）因为，平面，平面，故平面. 又平面平面，平面，故    7．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由线面平行的判定定理分别证明面，平面，进而由面面平行的判定定理即可得证； （2）由面面平行的性质即可得证. 【详解】（1）证明：因为，，分别是，，的中点，所以,， 又因为底面为矩形，所以,所以, 又平面,平面， 所以面. 又因为平面,平面， 所以平面. 因为,平面, 所以平面平面. （2）证明：因为平面，平面平面， 所以平面. 8．(1)证明见解析 (2)点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明见解析 【分析】（1）过点作，交于点，连接，证得证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可求解； （2）取取一点，使得，证得，得到平面，结合（1）中平面，利用面面平行的判定定理，证得平面平面． 【详解】（1）过点作，交于点，连接， 因为为的三等分点，可得， 又因为为的三等分点，可得， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又由平面，平面，所以平面. （2）当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明如下： 取取一点，使得，即点为上靠近点的三等点， 在中，因为分别为的三等分点，可得，所以， 因为平面，平面，所以平面； 又由（1）知平面，且，平面， 所以平面平面， 即当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面． 9．(1) (2)存在，为的中点 【分析】（1）根据计算可得； （2）当为的中点时满足平面平面，设，连接，即可证明、，从而得到平面，平面，即可得证. 【详解】（1）在直四棱柱中，底面为正方形， 所以平面， 所以. （2）当为的中点时满足平面平面， 设，连接， 因为为正方形，所以为的中点，又为棱的中点， 所以，又平面，平面，所以平面， 又为的中点，所以且，所以为平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 10．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出，，再利用线面垂直的判定定理即可证得结论成立； （2）设点到平面的距离为，计算出三棱锥的距离，以及的面积，利用等体积法可求得点到平面的距离，再求出. 【详解】（1）证明：连接、，如下图所示： 因为四边形为正方形，则， 平面，平面，， ，平面，平面，平面， 平面，， 四边形为正方形，则， 平面，平面，， ，平面，平面，平面， 平面，， 又因为，平面，平面， 平面. （2）设点到平面的距离为，， ， 易知，则是边长为的正三角形， 所以，， 所以，，解得， 因此，点到平面的距离为 因为， 所以平面所成角的正弦值为. 11．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）如图，由题意可得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）如图，先证，进而，则，利用线面垂直的判定定理与性质可得，由直角三角形的性质可得，结合线面垂直的判定定理即可证明. 【详解】（1）如图，连接，交于点，连接，则， 又平面，平面，所以平面； （2）由（1）知且， 又，所以为的中点，因为， 所以为等腰三角形，则，又， 所以，连接，则， 又平面， 所以平面，而平面， 则. 因为，，所以，即， 又平面， 所以平面. 12．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）根据折叠过程中AE与DE垂直不变，DE与BE垂直不变，可以推出，，从而平面，即可证明． （2）通过作辅助线，利用中位线证明线线平行，进而得到平面平面MNH，然后利用面面平行的性质可得 （3）因为平面，即BC垂直平面内任一直线，那么只要在平面内找到一条过点E，且垂直的直线，则这条直线与的交点就是点G，然后利用线面垂直的判定证明即可 【详解】（1）∵在直角梯形ABCD中，，沿DE将折起到的位置， ∴，． ∵，平面， ∴平面， 又平面，∴． （2）取CD中点H，连接NH，MH，如图． ∵M，N分别为，BE的中点， ∴，． 因为，平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 又，NH，平面MNH，平面，平面， ∴平面平面MNH，又平面MNH ∴平面． （3）取的中点G，连接EG，如图． 在直角梯形ABCD中，，， 所以，又，所以DCBE是矩形，所以， 因为，所以即是折后的， ∴， 由（1）知平面， 又∵，∴平面， 又平面，∴， 又，平面，∴平面． 故棱上存在中点G，使得平面，且此时． 13．(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）利用几何体的结构特征，通过证明和，得证平面； （2）由，由体积法求点P到平面AMC的距离． 【详解】（1）证明：因为底面为菱形，，所以为正三角形， 因为E是BC的中点，所以，因为，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面， 所以平面. （2）因为，则，， 所以， 设点P到平面AMC的距离为h，即 易知 所以在和中，由余弦定理得， 所以， 在中， ，， 所以， 所以，所以， 即点P到平面AMC的距离为. 14．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据垂直关系，结合勾股定理可得即可求证，根据线线垂直可得平面，进而可得，进而可得平面，即可求证面面垂直， （2）根据勾股定理以及线线垂直可证明平面,即可得为直线与平面所成的角，即可求解. 【详解】（1）连接, 由于所以 由于，所以 故，即， 又，，平面， 故平面，平面,故, 平面， 所以平面，平面， 故平面平面 （2）由于所以 由于，所以 故，即， 又，，平面， 故平面，平面,故, 平面， 故平面,故即为直线与平面所成的角， ,, 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质于判定定理可证平面，结合面面垂直的判断定理即可证明； （2）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解. 【详解】（1）由平面，平面，得， 连接，由且， 所以四边形为平行四边形， 又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又由且， 所以四边形为平行四边形， 则，所以， 又 平面， 所以平面， 由平面，所以平面平面； （2）由平面，平面，所以， 又， 平面， 所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即， 在中，，作，垂足为M， 由（1）知，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则为直线在平面上的投影， 所以为直线与平面所成的角， 在中，，所以， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由题意中的面面垂直得到平面，从而得到，再由题意中给出的棱长信息得到，进而得到平面即可求证. （2）延长交于点S，得，且平面平面，过作的垂面即可找到二面角的平面角，进而通过求即可求出平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 又平面，， 所以平面，又平面， 所以， 过C作交于点G，则由题意， 所以，， 所以，即，又，、平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. （2）过A作交于点E， 由（1）可得平面平面，又平面平面， 所以平面，点A到平面PBC的距离为， 所以， 又由（1）平面可得， 所以，所以， 延长交于点S，则平面平面， 又由为等腰梯形，且以及，可得 ，分别为的中点， 连接，则，且， 又由平面，可得，又，、平面， 所以平面，又平面， 所以，过D作，交于点，连接， 则由得平面，所以为二面角的的平面角， 又在和中，， 所以，故， 所以. 故平面与平面夹角的余弦值为. 17．(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）利用正三棱柱的特征及线面垂直的判定证明即可； （2）取的中点，不妨设，利用平行直线转化结合余弦定理解三角形求异面直线夹角即可； （3）先作于E点，利用线面垂直的判定证明面面垂直即可，再根据等面积法计算线段比即可. 【详解】（1）由正三棱柱的定义可知是等边三角形，平面． 因为平面，所以. 因为是等边三角形，D为的中点，所以. 因为，平面，且， 所以平面． （2）如图，取的中点，连接，，则， 则是异面直线与CD所成的角或补角. 设，则，，，， 故， 即异面直线与CD所成角的余弦值为. （3）在中，作，垂足为E. 因为平面，且平面， 所以. 因为平面，且， 所以平面. 因为平面BCE，所以平面平面. 设，则，，故. 因为， 所以， 则，， 所以. 故在上存在点E，使得平面平面，此时. $$