期末复习专项训练2　解三角形-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

高一下学期数学期末【考前专项训练】【02】解三角形 题型探究 【题型01】判断三角形形状 【题型02】证明三角形中的恒等式或者不等式 【题型03】求三角形边长、周长的最值或者取值范围 【题型04】几何图形中的计算 【题型05】求三角形面积的最值或取值范围 【题型06】三角函数与解三角形的综合 【知识点总结】 一、三角函数 1.同角三角函数的基本关系 1）公式： ， =， 2）深化公式： 2.【常见三角不等式】 （1）若，则.（对比三角函数线） (2) 若，则.（辅助角公式） (3) .（三角形两边和大于第三边） 3.诱导公式 （奇变偶不变，符号看象限） 二、三角恒等变换 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ; ; . 1. 辅助角公式： 2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 . . . 3. 升幂公式、降幂公式 万能公式 3、 解三角形 1. 正弦定理 变形形式： 2. 余弦定理 变形形式： 3. 三角形中常用结论 （1） （2） 大角对大边，大边对大角 （3） 在斜三角形ABC中， （4） 三角形内角常用的三角恒等式： (5) 三角形中的射影定理： 4. 三角形面积公式 【题型01】判断三角形形状 1．记的内角的对边分别为，已知 (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 2．已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若. (1)求角A的大小； (2)若，试判断的形状. 3．（1）在中，若,判断的形状； （2）在中，若，判断的形状； （3）在中，若，判断的形状. 【题型02】证明三角形中的恒等式或者不等式 4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，三角形面积为S，若D为AC边上一点，满足，，且. (1)求角； (2)证明：； (3)求的取值范围. 5．已知锐角分别为角的对边，若. (1)求证：； (2)求的取值范围. 6．在锐角△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，设向量，，且. (1)求证： (2)求的取值范围. 【题型03】求三角形边长、周长的最值或者取值范围 7．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形，点F为的垂心，，求的取值范围. 8．在中，D是线段BC上的一点（不含端点），. (1)若，求AD的长； (2)若，求的取值范围. 9．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，外接圆面积为 (1)求A； (2)求周长的最大值. 【题型04】几何图形中的计算 10．已知是内一点，. (1)若，求； (2)若，求. 11．在中，与的角平分线交于点D，已知． (1)求角B的大小； (2)若，求面积的最大值． 12．在中，已知． (1)求． (2)若，的平分线交于点，求． 【题型05】求三角形面积的最值或取值范围 13．已知，，分别为三个内角A，，的对边，． (1)求证：； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 14．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)若，求△ABC的面积S的最小值． 15．记锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，. (1)求. (2)求面积的取值范围. 【题型06】三角函数与解三角形的综合 16．在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 17．在中，角所对的边分别为，且满足 (1)求角的值； (2)若且，求的取值范围． 18．已知的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的最大值. 19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为，已知. (1)求A； (2)设，当的值最大时，求△ABC的面积. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 2 1 学科网（北京）股份有限公司 1．(1)是直角三角形 (2) 【分析】（1）根据题意，求得，利用余弦定理列出方程，得到，即可求解； （2）由（1）和，得到，则周长为，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得，所以， 即，所以， 又由余弦定理得，可得，所以， 所以是直角三角形 （2）解：由（1）知，是直角三角形，且，可得， 所以周长为， 因为，可得， 所以，当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为. 2．(1) (2)等边三角形 【分析】（1）由题意得，结合余弦定理即可求解； （2）由题意在中，运用余弦定理结合已知得，联立即可得，由此即可判断. 【详解】（1）因为，所以，即， 所以，， 所以. （2）在中，由余弦定理有， 所以，联立，解得， 所以，也就是说的形状是等边三角形. 3．（1）等腰三角形或直角三角形；（2）等边三角形；（3）等腰三角形. 【分析】（1）利用正弦定理及余弦定理化角为边，即可判断形状； （2）利用余弦定理进行判断即可； （3）利用正弦定理及余弦定理化角为边，即可判断形状. 【详解】（1）结合正弦定理及余弦定理知，原等式可化为， 整理，得，所以或， 当时，，为直角三角形； 当时，，为直角三角形； 故三角形为等腰三角形或直角三角形. （2）因为，由余弦定理， 得，即，所以. 又，所以为等边三角形； （3）由条件得,即, 由正、余弦定理，得，所以. 故为等腰三角形. 4．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用三角形的面积公式和已知条件，结合正弦定理化简求得，即可求得的值； （2）先利用正弦定理求得，，进而表示出，在结合正弦定理化简为角，化简运算，即可得证； （3）结合（2），利用三角恒等变换的公式，化简得到，再结合的范围，利用正弦函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为，可得， 又因为，所以， 由正弦定理得， 又由， 所以， 即， 因为，可得，所以，所以， 又因为，所以. （2）证明：因为，所以， 在中，由正弦定理得，所以， 在直角中，， 所以，所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 .    （3）解：由（2）知，，所以， 因为，所以， 所以, 因为，所以，所以， 故的取值范围为. 5．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据题干，利用余弦定理化简可得，再由正弦定理可得即，再根据是锐角三角形，所以即可得解； （2）由是锐角三角形，所以，由正弦定理可得结合角的范围即可得解. 【详解】（1） 根据正弦定理，由 ， 即. 是锐角三角形， ，， 因此有 （2）是锐角三角形，，而， 由正弦定理，得， 则， 而 所以， 因此的取值范围为. 6．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据余弦定理，正弦定理，解三角方程即可证明； （2）根据正弦定理将边转化为角，构建关于角的函数，再利用换元法及对勾函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为，，且， 所以， 又由余弦定理，，得， 所以，即， 由正弦定理可得，， 在△ABC中，，代入上式， 得，， 即，又因为是锐角， 所以，即. （2）由和正弦定理可得， ， 因为△ABC是锐角三角形， 所以，所以， 所以，，令， 则， 因为对勾函数在上单调递增，所以， 所以的取值范围是. 7．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及余弦定理可得的值，再由角的范围，可得角的大小； （2）设，分别在两个三角形中，由正弦定理可得，的表达式，由辅助角公式可得的取值范围． 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得，， 可得； （2）延长交于，延长交于，延长交于，， 根据题意可得，，因为，所以， 设，，在中，由正弦定理可得， 即，可得， 同理在中，可得， 所以 ， 因为，所以,， 所以,， 所以,． 8．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理求解三角形即可； （2）在两个三角形中分别用正弦定理得到的表达式，作比值后化简，转化为三角函数的值域问题求解即可. 【详解】（1）在中，，， 由正弦定理得：，所以. （2）设，则，， 在三角形中，由正弦定理得：， 所以. 在三角形中，由正弦定理得：， 所以, 所以， 即， 因为，所以，所以， 所以的取值范围为：. 9．(1) (2)9 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示得，代入已知等式，结合正余弦边角关系得，最后由三角形内角性质求角的大小； （2）由（1）得，，再由正弦定理可得，结合基本不等式求周长最大值，注意取值条件. 【详解】（1）已知向量， 则， 则， 所以， 则， 所以， 又， 故且， 所以， 又， 则； （2）由（1）知：， 则， 由正弦定理可得：的外接圆半径为， 则， 即， 所以， 则，当且仅当且，即时等号成立， 故三角形周长的最大值为 10．(1) (2). 【分析】（1）在等腰中可得，进而得，在中运用正弦定理可求得的值. （2）求出的值，设，则，在、中，由正弦定理可得、，结合求解即可. 【详解】（1）如图所示，    在中，，所以. 所以. 在中，由正弦定理得，即，解得. （2）如图所示，    当时，. 设，则. 在中，由正弦定理得. 在中，由正弦定理得. 因为，所以，即， 整理得，即，解得，即. 11．(1) (2)． 【分析】（1）结合角的关系利用二倍角公式及余弦差角公式化简即可； （2）由（1）可知，由余弦定理及基本不等式可得，再根据三角形面积公式求最值即可. 【详解】（1）由题意可知， 由， 可知 ， 所以， ． 因为， 所以．因为，所以． （2）因为，所以， 所以，所以． 由余弦定理得， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立． 因为， 所以△ACD面积的最大值为． 12．(1)； (2)． 【分析】（1）根据题目条件和三角恒等变换，化简原式得到，利用三角形中角的范围可得. （2）条件中有边长的比值关系，因此可设一边长，在中利用余弦定理解得；条件中出现角平分线，可利用等面积法推导得，所以；再在中由正弦定理解得，因此. 【详解】（1）解：因为， 又， 所以．又，所以，所以． 因为，所以． （2）解：设，则． 由余弦定理，得，故． 由角平分线的性质及三角形的面积公式，知，故． 在中，由正弦定理，得． 因为，所以，所以． 因为，所以，所以，即． 又，所以为锐角，故． 13．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得，利用三角恒等变换分析可得，即可得结果； （2）根据题意利用余弦定理可得，，利用正弦定理边化角，结合正弦函数可得，即可得结果. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又因为， 代入整理得， 且，则， 可得，整理得， 由可知，则，解得， 可知，所以． （2）因为，即， 由余弦定理可得，即， 所以， 由正弦定理可得， 则，， 则， 可得 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，可得， 则，可知， 所以． 14．(1)； (2)． 【分析】（1）结合已知条件，先利用进行化简，再利用二倍角公式即可求，从而可求A； （2）结合三角形面积公式、基本不等式、余弦定理即可得到答案. 【详解】（1）由题意可得， 因为， 所以． 因为，所以， 即， 因为， 所以， 所以， 所以， 可得， 即． （2）由（1）知；且， 由余弦定理得， 整理得， 解得或（当时，，故舍去），（当且仅当时取等号）． 从而， 即△ABC面积S的最小值为． 15．(1)； (2). 【分析】（1）方法一：由余弦定理角化边求解；方法二：由正弦定理边化角求解. （2）利用正弦定理得，结合为锐角三角形，求得，进而求得，即可求解. 【详解】（1）方法一：由余弦定理，得，解得. 又，所以由正弦定理，得.     又为锐角三角形，所以. 方法二：由题意知，. 由正弦定理得， 所以， 所以，即； 又因为，所以，又因为，所以. （2）由正弦定理，得；   因为为锐角三角形，所以， 解得，所以，所以. 因为，所以，所以. 故面积的取值范围为. 16．(1)； (2). 【分析】（1）分别利用余弦定理或者正弦定理对原式进行边角互化，结合三角形面积公式，求得，即可求得； （2）利用正弦定理，将转化为关于的三角函数，结合的范围，求得该三角函数值域，即可求得结果. 【详解】（1）方法一：因为； 又因为，所以，即； 又因为为锐角三角形，所以. 方法二：，所以， 即，， 则，得；因为为锐角三角形，所以. （2）由正弦定理得：， 因为为锐角三角形，所以， 即所以，所以，即. 17．(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简求得，进而求得的值； （2）根据题意，得到因，求得，，化简得到，结合，利用三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以， 因为，所以或， （2）解：因为且，所以， 由正弦定理得，所以， 则， 又由，可得，所以，可得， 则，所以即的取值范围． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，再利用两角和的正弦公式，化简得到，求得，即可求解. （2）由（1），利用正弦定理得到，可得，进而得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，可得，所以， 因为，可得， 可得，即， 又因为，可得，所以， 因为，所以. （2）由（1）知，，可得， 因为，由正弦定理可得，则， 所以 ，其中， 因为，可得， 所以，当时，，此时取得最大值，最大值为. 19．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换分析运算； （2）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换化简得，进而分析最值，运算求解即可. 【详解】（1）因为，即， 可得， 整理得， 且，则，可得， 且，则， 所以，解得. （2）由正弦定理可知:，则， 可得 ， 其中， 当时，取得最大值， 此时， 则，， 所以. $$