期末复习专项训练1平面向量-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

高一下学期数学期末【考前专项训练】【01】平面向量 题型探究 01向量的运算 02求投影向量 03数量积的最值问题 04数量积的取值范围问题 05平面向量在几何上的应用 知识点总结（略） 各个击破 【题型01】向量的运算 1.向量的线性运算 运算 注意 法则（或几何意义） 运算律 加法 三角形法则：首尾相连 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 三角形法则：共起点，连终点，指向被减向量 三角形法则 数乘 实数的正负决定方向的同，反。 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相反； 当时， 2.平面向量的数量积 1）.·，即·=||||cos θ. 2. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 【专项训练】 一、单选题 1．已知向量满足，向量与的夹角为，则（   ） A．12 B．4 C． D．2 2．已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（    ） A．9 B．3 C． D．10 3．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，若在上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A．60° B．120° C．135° D．150° 5．设是非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若向量满足，，且，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【题型02】求投影向量 1. 如图，设，是两个非零向量， =， =，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，则称上述变换为向量向向量投影， 叫做向量在向量上的投影向量. 2. 设与方向相同的单位向量为，与的夹角为θ，则向量在向量上的投影向量是||cos θ. 【专项训练】 7．已知两个非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 9．已知平面向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 10．已知向量，满足，，且，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 11．已知为单位向量，向量和的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【题型03】数量积的最值问题 1.向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，则 (1)·=·=||cos θ. (2)⊥b⇔·=0. (3)当与同向时，·=||||；当与反向时，·=-|||. 特别地，·=||2或||=. (4)|a·|≤|a|||. 2.向量数量积的运算律 (1)·=·；(2)(λ)·=λ(·)=·(λ)；(3)(+)·=·+·. 3.向量数量积的运算及性质 (1)(±)2=|±|2=||2±2·+||2=2±2·+2； (2)2-2=(+)·(-)=||2-||2； (3)(+)2+(-)2=2(||2+||2)； (4)2+2=0⇔==0. 【专项训练】 12．已知点A，点B，点P都在单位圆上，且，则的最大值是（    ） A． B．3 C．1 D．2 13．已知，，且，则的最大值为（    ） A．5.5 B．5 C．6.5 D．6 14．已知内角的对边分别为，动点位于线段上，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 15．已知，为非零向量，且，，若的最小值为，则的值为（    ）． A． B． C．4 D． 【题型04】数量积的取值范围问题 【专项训练】 二、填空题 16．已知平面向量满足与的夹角为60°，若与的夹角为钝角，则满足条件的的取值范围为 . 17．已知菱形的边长为1，设，若恒成立，则向量在方向上投影向量的模的取值范围是 . 18．已知点是边长为3的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是 . 19．向量，若存在实数，使得，则的取值范围是 20．在中，，则 ；若点为所在平面内的动点，且满足，则的取值范围是 ． 【05】平面向量在几何上的应用 平面向量数量积的几何意义 1.数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 2.相关运算和坐标运算对比 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与 的关系 (当且仅当时等号成立) 【专项训练】 21．在四边形中，，则四边形的形状是 . 22．已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为 23．在△ABC中，，，，， . 24．已知向量满足，，则的取值范围是 ． 25．已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则 . 26．若实数a，b，c，d满足，，则的最大值为 . 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【详解】因为，向量与的夹角为．所以， 所以． 故选：C． 2．C 【详解】根据条件得， 得到，所以，即的最大值为， 故选：C. 3．B 【详解】， 所以， 故选：B 4．B 【详解】易知在上的投影向量为， 而，所以与的夹角为. 故选：B 5．A 【详解】因为，所以， 则，解得，所以，故充分性成立； 当时，或，则或，故必要性不成立； 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6．B 【详解】设向量与的夹角为， 由得，，即， 因为，所以， 故选：B． 7．D 【详解】由，则，整理可得， 所以在方向上的投影向量为. 故选：D. 8．A 【详解】因为， 所以， 所以， 因为向量在向量上的投影向量是， 所以， 即，所以， 又因为， 所以与的夹角是. 故选：A. 9．C 【详解】设与夹角为，则， 在上的投影向量为：， 故选：C． 10．D 【详解】向量在向量方向上的投影向量， 故选：D． 11．B 【详解】因为，所以， 又向量为单位向量，向量和的夹角为， 所以向量在向量上的投影向量为：. 故选：B. 12．A 【详解】设的中点为，因为，， 所以，， 则 ， 因为，所以， 即的最大值是. 故选：A. 13．A 【分析】根据向量模长的计算公式，结合以及已知数据，直接求解即可. 【详解】， 又，当且仅当与同向时取得等号； 故. 故选：A. 14．C 【详解】由题知 ， 而，所以当时，有最小值为， 故选：C. 15．D 【详解】因为，， 由题意得， 所以当时，取得最小值， 由得，所以． 故选：D． 16． 【详解】因为平面向量满足与的夹角为60°， 所以， ， 因为与的夹角为钝角， 所以，且不反向共线， 由，解得， 由，则， 则，解得， 所以且， 所以的取值范围为， 故答案为： 17． 【详解】因为菱形的边长为1，所以， 且向量在方向上的投影为， 若恒成立，则恒成立， 所以，即. 令，则，即， 要使恒成立， 则，解得， 又向量在方向上的投影向量为， 故其模的取值范围为：. 故答案为： 18． 【详解】画出图形如图，， 它的几何意义是的长度与在向量上的投影的乘积， 由图可知，在处时，取得最大值，， 此时，可得，即最大值为. 在处取得最小值， 此时， 最小值为， 因为是边长为3的正六边形内的一点，取不到临界值， 所以的取值范围是. 故答案为：.    19． 【详解】向量，由两边平方，得， 整理得， 依题意，关于的方程有实根，显然，否则， 则，即，解得或， 由，得，因此，， 所以的取值范围是. 故答案为： 20． 【详解】， 故， ， 取中点，则， ，， 故， 故. 故答案为：；. 21．矩形 【详解】由可知,进而， 由可得且，所以四边形为矩形， 故答案为：矩形 22．/ 【详解】因为在正三角形中，点为边的中点，所以， 如图以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 因为，所以，则， 则，又， 所以. 故答案为：. 23．/ 【详解】由题意可得：， 故. 故答案为： 24． 【详解】. ∴， 反向共线，左侧等号成立，同向共线，右侧等号成立 ∴的取值范围是. 故答案为： 25．2 【详解】因为， 所以， 所以，取的中点，则， 所以为的中点，如图所示，则的面积为，的面积为，, 所以. 故答案为：2 26．0 【详解】令，，则 令，，则，，，， ∴， 当时，最大值为0， ∴的最大值为0，当且仅当，且时等号成立. 故答案为：0 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$