精品解析：广东省名校教研联盟2023-2024学年高三下学期5月模拟预测考试数学试题

绝密★启用前（新高考卷） 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，若，则集合可以为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，为方程的两个虚根，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线E：的两条渐近线与抛物线C：分别相交于点O，M，N，其中O为坐标原点，若的面积为2，则E的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 5. 已知函数，，若，则所有满足条件的之和为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的函数，，若对有，成立，则（ ） A 72 B. 75 C. 77 D. 80 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若函数图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”．下列函数中为“垂切函数”的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方体的边长为4，，平面经过点，，则（ ） A. B. 直线与直线所成角的正切值为 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 若，则正方体截平面所得截面面积为26 11. 已知抛物线：的焦点为F，点在C的准线上，过点P作的两条切线，切点分别为M，N，则（ ） A. M，F，N三点共线 B. 若，则的方程为 C. 当时，直线的方程为 D. 面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为_________． 13. 如图，等边边长为4，点D为边的中点，以为折痕把折叠，在折叠过程中当三棱锥的体积最大时，该棱锥的外接球的表面积为__________． 14. 已知点，分别为双曲线的左、右焦点，点A为C的右顶点，点P为C右支上的动点，记，分别为，内切圆半径．若，，成等差数列，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 截至2月10日2时，中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》全媒体累计触达142亿人次，收视传播人次等数据创下新纪录． （1）某媒体随机抽查200名在线用户，得到2×2列联表，根据该表是否有99.5%的把握认为完整观看与年龄有关? 完整观看 未完整观看 合计 不超过30岁 60 40 100 超过30岁 80 20 100 合计 140 60 200 （2）某媒体举办“看春晚赢文创”在线活动，每个在线用户在看春晚期间有三次答题机会，三次回答正确就可以赢得文创奖品，第一题预设难度（预设难度：用户回答正确概率）0.8，后两题预设难度0.6，且每道题回答正确与否互不影响．记X为每个参加答题的用户答对题目个数，求X的分布列及期望． 参考公式和数据： ，其中． 0.025 0.010 0.005 5.024 6.635 7.879 16. 如图，在长方体中有一八面体，其中点G，H分别为正方形，正方形的中心，点M，N，P，Q分别为侧棱，，，的中点，且． （1）证明：平面//平面； （2）求钝二面角的余弦值． 17. 已知数列是公差不为0等差数列，其前n项和为，，，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，，求数列的前100项和． 18. 椭圆：的离心率为，圆：的周长为． （1）求的方程； （2）如图，是的左焦点，过的直线交圆O于点M，N，线段的垂直平分线交C于点P，Q，交于点A． （i）证明：四边形的面积为定值． （ii）记，的面积分别为，，求的取值范围． 19. 已知函数，． （1）曲线与在处的切线分别是：，，且，求的方程； （2）已知． （i）求的取值范围； （ii）设函数的最大值为，比较与（1）中的的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前（新高考卷） 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，若，则集合可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得集合或，结合，可得结论. 【详解】∵或，， ∴集合可以为． 故选：C. 2. 已知，为方程的两个虚根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可求解方程的根，，然后利用复数的加法和模的运算求解即可. 【详解】因为，解得，， 所以，， 所以 故选：. 3. 已知，则成立充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式可得，进而求解可得的范围，可得结论. 【详解】∵，， ∴，∴或， 又，∴或或． 故选：A. 4. 已知双曲线E：的两条渐近线与抛物线C：分别相交于点O，M，N，其中O为坐标原点，若的面积为2，则E的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，由，可求得，进而可得，可求E的离心率. 【详解】设，，由双曲线和抛物线的对称性知， ，解得．E的渐近线方程为：，即， ∴，所以E的离心率为． 故选：D. 5. 已知函数，，若，则所有满足条件的之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦型函数的对称性即可求解所有符合条件的. 【详解】∵，∴关于对称， ∴，且，解得满足题意的有，，． ∴所有满足条件的之和为． 故选：C 6. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，判断的单调性和奇偶性，由可得，利用函数的单调性和奇偶性即可求解. 【详解】设，， 因为在上单调递减，所以在上单调递增， 又，在上单调递增， 所以是上的单调递增， 因为， 所以为奇函数， 因为，， 所以， 所以， 因为是上的单调递增， 所以，即. 故选：. 7. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理边角化可得，即可结合可得，利用正弦定理以及和差角公式即可求解. 【详解】由得， 在中有，， 由余弦定理得，又， 所以即． 由正弦定理边角关系得， 即， , 故． 故选：D 8. 已知是定义在上的函数，，若对有，成立，则（ ） A. 72 B. 75 C. 77 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目条件得到，即函数是以8为周期的周期函数，并利用赋值法得到，，，，，，进而根据周期求出. 【详解】由有得，． 由有得， 故①，则， ∴，即函数是以8为周期的周期函数． ∴，②， 由①②得③， 令③中得． 令③中得． 由得，而，则， 且． ∴， ∴． 【点睛】结论点睛：设函数，，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； （6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为； （7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为； （8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为； （9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a； （10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”．下列函数中为“垂切函数”的是（ ） A B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可知,导函数中至少存在两个点,它们的函数值相乘为,才可能是“垂切函数”,求导相乘,逐项判断即可. 【详解】存在,,使成立,A正确． 不存,,使成立,B错误． ,存在,使得成立,C正确． 存在,，使成立,D正确, 故选:ACD. 10. 如图，正方体的边长为4，，平面经过点，，则（ ） A. B. 直线与直线所成角的正切值为 C. 直线与平面所成角正切值为 D. 若，则正方体截平面所得截面面积为26 【答案】BC 【解析】 【分析】本题四个选项逐个分析，A选项利用在勾股定理判断；B，C选项分别作出线线角，线面角算出正切值判断是否正确；D选项面面平行的性质的定理画出完整的截面进而计算面积即可. 【详解】在中，, 在中，，，， ∵，∴A错误． ∵，∴直线与直线所成角等于，，∴B正确． 因为平面，且平面 所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角，，∴C正确． 因为正方体的对面都是相互平行，且根据面面平行的性质定理可得， 在边上作点使得，则平行四边形为所求截面． 在中， ∴，， ∴平行四边形的面积为．∴D错误． 故选：BC 11. 已知抛物线：的焦点为F，点在C的准线上，过点P作的两条切线，切点分别为M，N，则（ ） A. M，F，N三点共线 B. 若，则的方程为 C. 当时，直线的方程为 D. 面积的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：设切点，，求导可得过，的切线方程，进而可得直线的方程，可判断A；对于B：联立方程组可得①，②，结合，可求判断B；对于C：求得直线的方程判断C；对于D：求得，点到直线的距离，可得，利用换元法与导数可求面积的最小值. 【详解】对于A：由已知可得，，设切点，， 则，化简得，． 同理可得，，∴切点在直线上， 焦点也在该直线上．∴A正确． 对于B：，是方程的两根，①，②． 又由，得，即③． 联立①②③解得，∴C的方程为．∴B错误． 对于C：当时，，直线的方程为．∴C正确． 对于D：，点到直线的距离， ，设，，， 所以函数在单调递减，在单调递增，， ∴面积的最小值为．∴D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题主要有两种方法： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤平面向量；⑥导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为_________． 【答案】-80 【解析】 【分析】利用的二项展开式的通项公式，可求的系数. 【详解】的二项展开式的通项为， 则的系数为． 故答案为：. 13. 如图，等边的边长为4，点D为边的中点，以为折痕把折叠，在折叠过程中当三棱锥的体积最大时，该棱锥的外接球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用折叠过程中始终有平面，从而可计算三棱锥体积，再引入变量，找到最大值解，得到的是一个直角四面体，然后利用补形为长方体来求外接球半径及表面积. 【详解】 在折叠过程中始终有平面，，． ， ∵，∴当时，三棱锥的体积最大． 此时，可以将三棱锥补成长方体， 所以可得它的外接球半径， 即三棱锥的外接球半径， ∴此时外接球的表面积为． 故答案为：． 14. 已知点，分别为双曲线的左、右焦点，点A为C的右顶点，点P为C右支上的动点，记，分别为，内切圆半径．若，，成等差数列，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】由等差中项和双曲线的定义可以直接求出与，以为圆心，以为半径作圆，圆与双曲线的交点为点P，联立方程，可得点P的坐标，再结合内切圆半径求两个三角形的面积，利用面积之比，得到与的比. 【详解】∵，，成等差数列，∴， 又∵，∴，． 由对称性可设点，，则有解得，． ， ， ∴，，， ∴， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解答该题的关键之一是利用双曲线定义结合等差中项求出P点坐标，同时另一关键点的是利用内切圆半径与三角形面积的关系：，将所求的半径之比，转化为了面积之比，从而得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 截至2月10日2时，中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》全媒体累计触达142亿人次，收视传播人次等数据创下新纪录． （1）某媒体随机抽查200名在线用户，得到2×2列联表，根据该表是否有99.5%的把握认为完整观看与年龄有关? 完整观看 未完整观看 合计 不超过30岁 60 40 100 超过30岁 80 20 100 合计 140 60 200 （2）某媒体举办“看春晚赢文创”在线活动，每个在线用户在看春晚期间有三次答题机会，三次回答正确就可以赢得文创奖品，第一题预设难度（预设难度：用户回答正确的概率）0.8，后两题预设难度0.6，且每道题回答正确与否互不影响．记X为每个参加答题的用户答对题目个数，求X的分布列及期望． 参考公式和数据： ，其中． 0.025 0.010 0.005 5.024 6.635 7.879 【答案】（1）有 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由2×2列联表得，计算，可得结论； （2）根据题意X可以取0，1，2，3，分别求得对应概率，可得分布列，进而可求数学期望. 【小问1详解】 由2×2列联表得， ． 因为9.524>7.879， 所以有99．5%的把握认为完整观看与年龄有关． 【小问2详解】 根据题意X可以取0，1，2，3． ， ， ， ． ∴的分布列为： 0 1 2 3 0.032 0.224 0.456 0.288 ∴的期望为：. 16. 如图，在长方体中有一八面体，其中点G，H分别为正方形，正方形的中心，点M，N，P，Q分别为侧棱，，，的中点，且． （1）证明：平面//平面； （2）求钝二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行、面面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦即可. 【小问1详解】 连接，，， 则H，G分别为，的中点，又Q，N分别为，的中点，故，， ∴，又平面，平面， ∴平面，同理可证，平面， 又平面，，所以平面平面． 【小问2详解】 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以， 设平面的法向量为，则， 即，令，则，所以， 设平面的法向量为，则， 即，令，则，故， 又，所以钝二面角的余弦值为． 17. 已知数列是公差不为0的等差数列，其前n项和为，，，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，，求数列的前100项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解通项， （2）利用等差等比求和公式，结合分组求和即可求解. 【小问1详解】 设数列的首项为，公差为， 根据题意得即 解得或． 又因，所以． 所以的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）得． 即数列的偶数项是以4为首项，4为公差的等差数列， 奇数项是以为首项，16为公比的等比数列． 数列的前100项中偶数项有50项，奇数项有50项， 数列的前100项和． ， ． 所以． 18. 椭圆：的离心率为，圆：的周长为． （1）求的方程； （2）如图，是的左焦点，过的直线交圆O于点M，N，线段的垂直平分线交C于点P，Q，交于点A． （i）证明：四边形的面积为定值． （ii）记，的面积分别为，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析，（ii） 【解析】 【分析】（1）根据离心率和圆的周长，得到方程组，求出，得到椭圆方程； （2）（i）考虑直线与x轴重合和与轴不重合两种情况，利用，求出四边形面积为定值； （ii）由题得，当直线与x轴重合时，A与O重合，，当直线与x轴不重合时，表达出，结合（i）知，换元得到，由基本不等式求出最值，得到答案. 【小问1详解】 由题得解得，． 又， 所以方程为． 【小问2详解】 （i）证明：由题得四边形的面积． ①当直线与x轴重合时，A与O重合，，， ． ②当直线与轴不重合时， 由圆的性质知直线过坐标原点，由椭圆的对称性知， ． 设直线的方程为，， ，． 则直线的方程为，将它代入解得，， ，． ． 综上所述四边形的面积为定值． （ii）由题得，，，． ①当直线与x轴重合时，A与O重合，． ②当直线与x轴不重合时，由圆的性质知直线过坐标原点，由椭圆的对称性知， ． 由（i）知，， ∴，令，，则， ∴， 当且仅当即时取得等号． 所以，即． 综上所述，的取值范围为． 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 19. 已知函数，． （1）曲线与在处的切线分别是：，，且，求的方程； （2）已知． （i）求的取值范围； （ii）设函数的最大值为，比较与（1）中的的大小． 【答案】（1） （2）（i），（ii） 【解析】 【分析】（1）分别求导，由已知可得，求解可得，进而可求切线的方程； （2）设，求导后令，求得，分类讨论可得若，可得程有两个不相等实根，进而可得的单调性，可求得的取值范围； （3），求导后令，可得，使得，，可得，设，可得，进而可得，得到，通过构造函数设，判断单调性可得结论. 【小问1详解】 ，，， ∵两切线平行，∴，，即， ∵，，∴． ∴直线与曲线相切于点，斜率为0． ∴的方程为． 【小问2详解】 （i）设，则，． 求导可得， 设，则．当时，，单调递增； 当时，，单调递减．因，所以． 若，则当时，，又，∴，不合题意． 若，则，不合题意． 若，则关于的方程有两个不相等实根， 设为，所以，且． 当变化时，，变化情况如下表： 1 + 0 - 0 + 0 - 极大值 极小值 极大值 设，则，同上可证． 所以，， 所以． 综上所述，的取值范围为． （ii），∴． 设，则，在单调递减． 因为，所以． 若，则，，，所以存在，使得，． 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减． 是的极大值点，且． 设，则，所以在区间单调递减， 即当时，，①． 所以，所以，即． 由，得，∴． 设，则，单调递增， 所以． 所以． 【点睛】方法点睛：本题考查函数与导数的综合应用，涉及函数的恒成立问题以及构造函数利用单调性求得函数的最值，通过最值求得参数的范围，以及分类讨论的应用，考查转化能力，运算量大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$