第8章 二元一次方程组 常见解法及利用方程组建模解决实际问题 2023-2024学年人教版七年级数学下册

2023～2024学年下学期七年级数学新课标测试 专项素养巩固训练卷 《二元一次方程组常见解法及利用方程组建模解决实际问题》 Ⅰ、二元一次方程组的常见解法 类型一 代入消元法 类型二 加减消元法 类型三 换元法 类型四 构造法 Ⅱ、方程(组)建模解决实际问题 数字问题 销售问题 配套问题 工程问题 方案设计问题 Ⅰ、二元一次方程组的解法 类型一 代入消元法 1.解下列方程组. （1） (2) 2.【跨学科·素养·运算能力】阅读以下材料： 解方程组： 小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下： 解：由①得x－y=1③，将③代入②得…… (1)请你替小亮补全完整的解题过程； (2)请你用这种方法解方程组： 类型二 加减消元法 3.解下列方程组： (1) (2) 4.解关于 x,y的方程组 (结果用含a的式子表示) 类型三 换元法 5.用换元法解二元一次方程组： (1) (2) 6.阅读探索. 知识累积：解方程组 解：设a－1=x,b+2=y,原方程组可变为 解方程组，得，即解得， 这种解方程组的方法叫换元法. (1)举一反三：运用上述方法解方程组 (2)能力运用：已知关于x,y的方程组的解为， 则关于m,a的方程组的解是______________； (3)拓展提高:若方程组的解是， 则方程组的解是______________。 类型四 构造法 7.【新考向·阅读理解试题】阅读下列解方程组的方法，然后回答问题. 解方程 解：①－②，得2x+2y=2,即x+y=1.③ ③×16，得16x+16y=16.④ ②－④,得x=－1,从而可得y=2. 故原方程组的解是。 (1)请你仿照上述的解法解方程组： (2)请大胆猜测关于x,y的方程组（a≠b)的解是什么，并利用方程组的解加以验证. Ⅱ、方程(组)建模解决实际问题 类型一 数字问题 1.某两位数，两个数位上的数字之和为11，这个两位数加上45，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数位上的数字交换位置所表示的数，求原两位数. 类型二 销售问题 2.某水果店购进甲、乙两种水 果.若购进10千克甲种水果和15千克乙种水果，则共花费260元；若购进20千克甲种水果和18千克乙种水果，则共花费376元.在销售过程中，店主将甲种水果的销售单价定为20元.对乙种水果的销售单价规定为购买量不超过30千克时，单价为25元；购买量超过30千克时，超过30千克的部分单价为15元. (1)试求两种水果的进价； (2)若不计损耗等因素，当甲、乙两种水果的销售量均为a千克时，它们的利润和为1500元，试求a的值. 类型三 配套问题 3.某车间有60名工人生产A、B两种零件，1名工人每天生产A零件200个或B零件50个.2个A零件和1个B零件配成一套，应如何分配工人，才能使每天生产的零件配套？设安排x名工人生产A零件，y名工人生产B零件，则可列方程组为( ) A. B. C. D. 4.某眼镜厂有工人25名，每人每天平均生产镜架9个或镜片12片.为了使每天生产的镜架和镜片刚好配套，设x名工人生产镜架，y名工人生产镜片，则可列出方程组：___________________________________。 类型四 工程问题 5.【跨学科·素养·应用意识】2022年12月18日，梅西率领阿根廷队勇夺卡塔尔世界杯冠军，阿根廷队第三次获得世界杯冠军殊荣.某服装厂准备将72000套阿根廷队“三星球衣”的生产任务安排给甲、乙两个车间完成.已知甲车间的工作效率是乙车间的1.5倍，那么如何安排才能使甲、乙两个车间同时完成任务？ 类型五 方案设计问题 6.【项目式学习试题】根据以下素材，探索完成任务. 如何设计采购方案 素材1 第19届亚运会期间，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣.已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元 素材2 小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣一共花费130元 素材3 已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个.为了促销，该商店对吉祥物钥匙扣进行八折销售.临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在本店同时购买若干吉祥物钥匙扣和明信片，本次交易商店一共获得600元的销售额 问题解决 任务1 假设明信片的售价为x元/套，吉祥物钥匙扣的售价为y元/个，请协助解决右边的问题 问：y=_______(用含x的式子表示) 任务2 基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信片的售价 任务3 请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买方案.在这些购买方案中，哪种方案商店获利最高 【参考答案及解析】 Ⅰ、二元一次方程组的解法 1.解析：(1) 把②代入①，得3x+2(2x－8)=5,解得x=3, 把x=3代入②，得y=2×3－8=－2, 所以原方程组的解是 （2） 把①代入②，得2(y+5)=y+7,解得y=－3, 把y=－3代入①，得2(x+3)=－3+5,解得x=－2, 所以原方程组的解是 2. 解析：(1)由①得x－y=1③， 将③代入②得4×1－y=0,解得y=4. 把y=4代入①得x－4－1=0,解得x=5. 故原方程组的解是 (2) 整理得 把③代入④得2×2+1+15y=50,解得y=3. 把y=3代人①得3x－3－2=0,解得 故原方程组的解是 3.解析：(1) ①×3+②×2得19x=76,解得x=4, 把x=4代入①,得12－4y=14,解得 所以原方程组的解为 (2) 整理得 ①×2+②，得11x=22,解得x=2. 把x=2代入①，得8－y=5,解得y=3. 所以原方程组的解为 4.解析： ①×3－②×2,得11y=14a,解得 把代入①得,解得 所以原方程组的解为 5.解析：(1)设x+2y=m,x－2y=n, 则原方程组变形为 解得，则，解得， 所以原方程组的解为。 (2)设 则原方程组变形为 解得则解得 所以原方程组的解为 【方法解读】 换元法是初中数学的一种重要解题方法，通过换元,可以把复杂问题简单化,把未知数转化为已知或可知. 6.解析:(1)设 原方程组可变为解方程组，得，即，解得 (2)关于x.y的方程解为的解为 ∴关于m+3.n－2的方程组的解为，解得。 (3)方程组的解是， ∴，∴的解是。 7.解析：(1)①－②，得2x+2y=2,即x+y=1,③ ①－③×2020，得x=－1. 把x=－1代入③，得－1+y=1,解得y=2. 所以原方程组的解是。 (2)方程组的解为 检验：把x=－1,y=2代入(a+2)x+(a+1)y=a,得左边=a,所以左边=右边； 把x=－1,y=2代入(b+2)x+(b+1)y=b,得左边=b,所以左边=右边. 故是原方程组的解。 Ⅱ、方程(组)建模解决实际问题 1.解析：设原两位数的十位上的数字为x,个位上的数字为y, 依题意，得解得 所以原两位数是38. 2.解析：(1)设甲种水果的进价是x元/千克，乙种水果的进价是y元/千克， 根据题意得 解得 答：甲种水果的进价是8元/千克，乙种水果的进价是12元/千克. (2)当a≤30时，20a－8a+25a－12a=1500, 解得a=60(不符合题意，舍去)； 当a>30时，20a－8a+25×30+15(a－30)－12a=1500, 解得a=80.故a的值为80. 3.B 由题意得 故选B. 4.答案： 解析：根据题意得 化简整理得 答案为. 5.解析：设应安排甲车间生产x套，乙车间生产y套，才能同时完成任务， 答：应安排甲车间生产43200套，乙车间生产28800套，才能同时完成任务. 6.解析：任务1：∵一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元， ∴y=x+20. 任务2:由题意得解得 答：吉祥物钥匙扣的售价为30元/个，明信片的售价为10元/套. 任务3：设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n套，根据题意得30×0.8m+10n=600, ∵m,n是正整数， ∴，或，或，或。 吉祥物钥匙扣每个的利润为30×0.8－18=6(元)，明信片每套的利润为10－5=5(元). 所以共有下面4种可行的购买方案： 方案 钥匙扣(个) 明信片(套) 商店获利(元) 1 5 48 270 2 10 36 240 3 15 24 210 4 20 12 180 综上，购买吉祥物钥匙扣5个，明信片48套，商店获利最高. 学科网（北京）股份有限公司 $$