数轴、相反数讲义2023-2024学年人教版数学七年级上册

数轴、相反数 一、知识梳理 知识点一、数轴 1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 要点诠释： （1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. （2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等． （3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动． 2. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如. 要点诠释： （1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示. （2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 3.在数轴上表示数的大小 1） 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大 2）正数都大于0,负数都小于0； 正数大于一切负数； 3）所有有理数都可以用数轴上的点表示。 4.点的移动问题 解决办法：画出数轴找到相对应的点，数形结合 移动规则：向右移动几个单位就加上几；向左移动几个单位就减去几。 知识点二、相反数 1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 要点诠释： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同. （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉. （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数. （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 2.性质： （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 知识点三、多重符号的化简 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 . 要点诠释： （1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5. （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3. 二、考点讲解 【考点一、数轴的概念】 【例】如图所示是几位同学所画的数轴，其中正确的是 ( ) A．(1)(2)(3) B．(2)(3)(4) C．只有(2) D．(1)(2)(3)(4) 【变式训练】 1.数轴上的点A到原点的距离是3,则点A表示的数为( ) A.3或-3 B.6 C.-6 D.6或-6 2.在下列表示数轴的图示中,正确的表示是( ) 3.如图,数轴上有A,B,C,D四个点,其中到原点距离相等的两个点是 ( 　) A.点B与点D B.点A与点C C.点A与点D D.点B与点C 4.在数轴上到表示3的点的距离为5个单位长度的正数是( 　) A.-2 B.8 C.-2或8 D.5 5.一只蚂蚁从数轴上一点A出发,爬了7个单位长度到了原点,则点A所表示的数是 　.  6.在数轴上,点A表示数-1,距点A 2.5个单位长度的点表示的数是 .  7.从数轴上表示-1的点开始,向右移动6个单位长度,再向左移动5个单位长度,最后到达的终点所表示的数是 　.  8.如图,将一刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是1 cm),刻度尺上“1 cm”和“9 cm”分别对应数轴上的-3和x,那么x的值为 　.  9.画出数轴,并在数轴上标出表示下列各数的点:-100,250,300,400. 10.如图,有几滴墨水滴在了数轴上,根据图中标出的数值,写出墨迹盖住的整数. 11、利用数轴解答:有一座三层楼房不幸起火,一位消防员搭梯子爬往三楼去救人.当他爬到梯子正中一级时,二楼窗口喷出火来,他就往下退了3级,等到火过去了,他又爬了7级,这时屋顶有砖掉下,他又往后退了2级,幸好没事,他又爬8级,这时他距离梯子最高层还有1级,问这个梯子共有几级? 【考点二、相反数的概念 】 【例】﹣的相反数是（　　） A．5 B． C．﹣ D.-5 【变式训练】 【变式1】填空： (1) －(－2.5)的相反数是 ；(2) 是-100的相反数；(3) 是 的相反数； (4) 的相反数是-1.1；(5)8.2和 互为相反数.（6）a和 互为相反数 . （7）______的相反数比它本身大， ______的相反数等于它本身． 【变式2】下列说法中正确的有( ) ①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个或更多 【变式3】如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示2的相反数的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【考点三、多重符号的化简 】 【例】化简下列各数中的符号． （1） （2）-(+5) （3）-(-0.25) （4） （5）-[-(+1)] （6）-(-a) 【考点四、利用数轴比较大小】 【例】在数轴上表示2.5，0，，-1，-2.5，，3有理数，并用“＜”把它连接起来． 【变式训练】 【变式1】有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式不成立的是（　　） A．b﹣a＞0 B．﹣b＜0 C．﹣a＞﹣b D．﹣ab＜0 【变式2】填空： 大于且小于的整数有______个； 比小的非负整数是____________． 【考点五、数轴与相反数的综合应用（数形结合的应用）】 【例】已知数轴上点A和点B分别表示互为相反数的两个数a，b(a＜b)并且A、B两点间的距离是，求a、b两数． 【变式训练】 1.4的相反数是( 　) A.4 B.-4 C. D.- 2.A,B是数轴上两点,线段AB上的点表示的数中,有互为相反数的是( 　) 3.计算:-(-1)=( 　) A.±1 B.-2 C.-1 D.1 4.如果a与-3互为相反数,那么a等于( 　) A.3 B.-3 C. D.- 5.下列各组数中,互为相反数的是( 　) A.3和 B.3和-3 C.3和- D.-3和- 6.数a的相反数是( 　) A.-a B. C.- D.a 7. 如图,在单位长度为1的数轴上,点A,B表示的两个数互为相反数,那么点A表示的数是( 　) A.2 B.-2 C.3 D.-3 8.如图所示,数轴上点A所表示的数的相反数是 　.  9.-(-13)是 　的相反数.  10.在数轴上画出表示下列各数以及它们的相反数的点:-4,0.5,3. 11若a-5和-7互为相反数,求a的值. 12.如图,图中数轴的单位长度为1. (1)如果点B,E表示的数互为相反数,那么点D表示的数是多少? (2)如果点C,E表示的数互为相反数,那么点D表示的数的相反数是什么? 13.填空：（1）数轴上离原点5个单位长度的点表示的数是________；（2）从数轴上观察，-3与3之间的整数有________个． 三、强化练习 一、选择题 1.﹣5的相反数是（　　） A．5 B．-5 C．±5 D．﹣ 2．下列说法正确的是( ) A．数轴上一个点可以表示两个不同的有理数 B．数轴上的两个不同的点表示同一个有理数 C．有的有理数不能在数轴上表示出来 D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 3．（呼和浩特）互为相反数的两个数的和为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．2 4．如图，有理数a，b在数轴上对应的点如下，则有( )． (A)a＞0＞b (B)a＞b＞0 (C)a＜0＜b (D)a＜b＜0 5. 一个数比它的相反数小，这个数是（ ） A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 6. 如果，那么两个数一定是 （ ） A.都等于0 B.一正一负 C.互为相反数 D.互为倒数 二、填空题 1．________________的两个数，叫做互为相反数；零的相反数是________． 2.若3a﹣4b与7a﹣6b互为相反数，则a与b的关系为　 　． 3.如图所示，数轴上点A所表示的数的相反数是　 　． 4．数轴上离原点5个单位长度的点有______个，它们表示的数是 ，它们之间的关系是 . 5．化简下列各数： (1)________ ；(2)________ ；(3)________. 6.已知－1＜a＜0＜1＜b，请按从小到大的顺序排列－1，－a，0，1，－b为__________． 三、解答题 1．小敏的家、学校、邮局、图书馆坐落在一条东西走向的大街上，依次记为A、B、C、D，学校位于小敏家西150米，邮局位于小敏家东100米，图书馆位于小敏家西400米． (1)用数轴表示A、B、C、D的位置(建议以小敏家为原点)． (2)一天小敏从家里先去邮局寄信后．以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟．试问这时小敏约在什么位置?距图书馆和学校各约多少米? 2.已知：a是﹣（﹣5）的相反数，b比最小的正整数大4，c是最大的负整数．计算：3a+3b+c的值是多少？ 3．化简下列各数，再用“<”连接. (1)-(-54) (2)-(+3.6) (3) (4) 4．已知3m-2与-7互为相反数，求m的值． 数轴、相反数（答案版） 一、知识梳理 知识点一、数轴 1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 要点诠释： （1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. （2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等． （3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动． 2. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如. 要点诠释： （1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示. （2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 3.在数轴上表示数的大小 1） 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大 2）正数都大于0,负数都小于0； 正数大于一切负数； 3）所有有理数都可以用数轴上的点表示。 4.点的移动问题 解决办法：画出数轴找到相对应的点，数形结合 移动规则：向右移动几个单位就加上几；向左移动几个单位就减去几。 知识点二、相反数 1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 要点诠释： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同. （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉. （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数. （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 2.性质： （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 知识点三、多重符号的化简 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 . 要点诠释： （1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5. （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3. 二、考点讲解 【考点一、数轴的概念】 【例】如图所示是几位同学所画的数轴，其中正确的是 ( ) A．(1)(2)(3) B．(2)(3)(4) C．只有(2) D．(1)(2)(3)(4) 【答案】C 【解析】对数轴的三要素掌握不清.（1）中忽略了单位长度，相邻两整点之间的距离不一致；（3）中负有理数的标记有错误；（4）图中漏画了表示方向的箭头. 【总结】数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可． 【变式训练】 1.数轴上的点A到原点的距离是3,则点A表示的数为( A ) A.3或-3 B.6 C.-6 D.6或-6 2.在下列表示数轴的图示中,正确的表示是( C ) 3.如图,数轴上有A,B,C,D四个点,其中到原点距离相等的两个点是 ( C 　) A.点B与点D B.点A与点C C.点A与点D D.点B与点C 4.在数轴上到表示3的点的距离为5个单位长度的正数是( C 　) A.-2 B.8 C.-2或8 D.5 5.一只蚂蚁从数轴上一点A出发,爬了7个单位长度到了原点,则点A所表示的数是 7或-7 　.  6.在数轴上,点A表示数-1,距点A 2.5个单位长度的点表示的数是 1.5或-3.5 .  7.从数轴上表示-1的点开始,向右移动6个单位长度,再向左移动5个单位长度,最后到达的终点所表示的数是 0 　.  8.如图,将一刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是1 cm),刻度尺上“1 cm”和“9 cm”分别对应数轴上的-3和x,那么x的值为 5 　.  9.画出数轴,并在数轴上标出表示下列各数的点:-100,250,300,400. 10.如图,有几滴墨水滴在了数轴上,根据图中标出的数值,写出墨迹盖住的整数. -30、-31、-32、-33、-34、-35、-36、-37、-38 11、利用数轴解答:有一座三层楼房不幸起火,一位消防员搭梯子爬往三楼去救人.当他爬到梯子正中一级时,二楼窗口喷出火来,他就往下退了3级,等到火过去了,他又爬了7级,这时屋顶有砖掉下,他又往后退了2级,幸好没事,他又爬8级,这时他距离梯子最高层还有1级,问这个梯子共有几级? 设中间一级为X，全梯共有2X-1级。 X-3+7-2+8+1=2x-1 X=12 2x-1=23 【考点二、相反数的概念 】 【例】﹣的相反数是（　　） A．5 B． C．﹣ D.-5 【思路点拨】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数. 【答案】B 【总结】求一个数的相反数，只改变这个数的符号，其他部分都不变. 【变式训练】 【变式1】填空： (1) －(－2.5)的相反数是 ；(2) 是-100的相反数；(3) 是 的相反数； (4) 的相反数是-1.1；(5)8.2和 互为相反数.（6）a和 互为相反数 . （7）______的相反数比它本身大， ______的相反数等于它本身． 【答案】（1）－2.5；（2）100；（3）；（4）1.1；（5）-8.2；（6）-a；（7）负数， 0 . 【变式2】下列说法中正确的有( ) ①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个或更多 【答案】B 【例】（泰安模拟）如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示2的相反数的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【思路点拨】考查相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数．根据定义，结合数轴进行分析． 【答案】A 【解析】解：∵表示2的相反数的点，到原点的距离与2这点到原点的距离相等，并且与2分别位于原点的左右两侧，∴在A，B，C，D这四个点中满足以上条件的是A．故选A． 【总结】本题考查了互为相反数的两个数在数轴上的位置特点：分别位于原点的左右两侧，并且到原点的距离相等． 【考点三、多重符号的化简 】 【例】化简下列各数中的符号． （1） （2）-(+5) （3）-(-0.25) （4） （5）-[-(+1)] （6）-(-a) 【答案】 (1) （2）-(+5)＝-5 （3）-(-0.25)＝0.25 （4） （5）-[-(+1)]＝-(-1)＝1 (6)-(-a)＝a 【解析】 (1) 表示的相反数，而的相反数是，所以 ； （2）-(+5)表示+5的相反数，即-5， 所以-(+5)=-5； （3）-(-0.25)表示-0.25的相反数，而-0.25的相反数是0.25，所以-(-0.25)＝0.25； （4）负数前面的“+”号可以省略，所以； （5）先看中括号内-(+1)表示1的相反数，即-1，因此-[-(+1)]＝-(-1)而-(-1)表示-1的相反数，即1，所以-[-(+1)]＝-(-1)=1；(6)-(-a)表示-a的相反数，即a． 所以-(-a)= a 【总结】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负． 【考点四、利用数轴比较大小】 【例】在数轴上表示2.5，0，，-1，-2.5，，3有理数，并用“＜”把它连接起来． 【答案与解析】如图所示，点A、B、C、D、E、F、G分别表示有理数2.5，0，，-1，-2.5，，3． 由上图可得： ∴ 【总结】根据数轴的三要素先画好数轴，表示数的字母要依次对应有理数，然后根据在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，比较大小． 【变式训练】 【变式1】有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式不成立的是（　　） A．b﹣a＞0 B．﹣b＜0 C．﹣a＞﹣b D．﹣ab＜0 【答案】D 【变式2】填空： 大于且小于的整数有______个； 比小的非负整数是____________． 【答案】11；0，1，2，3 【考点五、数轴与相反数的综合应用（数形结合的应用）】 【例】已知数轴上点A和点B分别表示互为相反数的两个数a，b(a＜b)并且A、B两点间的距离是，求a、b两数． 【思路点拨】因为a、b两数互为相反数(a＜b)，所以表示a，b的两点A、B离原点的距离相等，而A、B两点间的距离是，所以A、B两点到原点的距离就是． 【答案与解析】 解：由题意A、B两点到原点的距离都是：而a＜b，所以，． 【总结】(1)理解相反数的几何意义． (2)从相反数的意义入手，明确互为相反数的两数关于原点对称． 【变式训练】 1.4的相反数是( B 　) A.4 B.-4 C. D.- 2.A,B是数轴上两点,线段AB上的点表示的数中,有互为相反数的是( B 　) 3.计算:-(-1)=( D 　) A.±1 B.-2 C.-1 D.1 4.如果a与-3互为相反数,那么a等于( A 　) A.3 B.-3 C. D.- 5.下列各组数中,互为相反数的是( B 　) A.3和 B.3和-3 C.3和- D.-3和- 6.数a的相反数是( A 　) A.-a B. C.- D.a 7. 如图,在单位长度为1的数轴上,点A,B表示的两个数互为相反数,那么点A表示的数是( D 　) A.2 B.-2 C.3 D.-3 8.如图所示,数轴上点A所表示的数的相反数是 2 　.  9.-(-13)是 -13 　的相反数.  10.在数轴上画出表示下列各数以及它们的相反数的点:-4,0.5,3. 11若a-5和-7互为相反数,求a的值. a-5=7 a=13 12.如图,图中数轴的单位长度为1. (1)如果点B,E表示的数互为相反数,那么点D表示的数是多少? (2)如果点C,E表示的数互为相反数,那么点D表示的数的相反数是什么? (1)D为原点（2）D为-1，D的相反数为1 13.填空：（1）数轴上离原点5个单位长度的点表示的数是________；（2）从数轴上观察，-3与3之间的整数有________个． 【答案】（1）±5， 提示：要注意两种情况，原点左右各一个点；（2）5，提示：画出数轴，容易看出-3和3之间的整数是-2，-1，0，1，2共5个． 三、强化练习 一、选择题 1.﹣5的相反数是（　　） A．5 B．-5 C．±5 D．﹣ 2．下列说法正确的是( ) A．数轴上一个点可以表示两个不同的有理数 B．数轴上的两个不同的点表示同一个有理数 C．有的有理数不能在数轴上表示出来 D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 3．（呼和浩特）互为相反数的两个数的和为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．2 4．如图，有理数a，b在数轴上对应的点如下，则有( )． (A)a＞0＞b (B)a＞b＞0 (C)a＜0＜b (D)a＜b＜0 5. 一个数比它的相反数小，这个数是（ ） A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 6. 如果，那么两个数一定是 （ ） A.都等于0 B.一正一负 C.互为相反数 D.互为倒数 二、填空题 1．________________的两个数，叫做互为相反数；零的相反数是________． 2.若3a﹣4b与7a﹣6b互为相反数，则a与b的关系为　 　． 3.如图所示，数轴上点A所表示的数的相反数是　 　． 4．数轴上离原点5个单位长度的点有______个，它们表示的数是 ，它们之间的关系是 . 5．化简下列各数： (1)________ ；(2)________ ；(3)________. 6.已知－1＜a＜0＜1＜b，请按从小到大的顺序排列－1，－a，0，1，－b为__________． 三、解答题 1．小敏的家、学校、邮局、图书馆坐落在一条东西走向的大街上，依次记为A、B、C、D，学校位于小敏家西150米，邮局位于小敏家东100米，图书馆位于小敏家西400米． (1)用数轴表示A、B、C、D的位置(建议以小敏家为原点)． (2)一天小敏从家里先去邮局寄信后．以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟．试问这时小敏约在什么位置?距图书馆和学校各约多少米? 2.已知：a是﹣（﹣5）的相反数，b比最小的正整数大4，c是最大的负整数．计算：3a+3b+c的值是多少？ 3．化简下列各数，再用“<”连接. (1)-(-54) (2)-(+3.6) (3) (4) 4．已知3m-2与-7互为相反数，求m的值． 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A 2.【答案】D 【解析】A、B、C都错误，因为所有的有理数都能在数轴上表示出来，但数轴上的点不都表示有理数；一个有理数在数轴上只有一个表示它的点．数轴上表示有理数的点一个点对应一个有理数． 3.【答案】A 【解析】解：互为相反数的两个数的和为0． 故选：A． 4. 【答案】C 5. 【答案】B 【解析】因为一个负数的相反数是一个正数，负数小于正数，所以选B 6. 【答案】C 【解析】若，则一定互为相反数；反之，若互为相反数，则. 二、填空题 1. 【答案】只有符号不同，零 【解析】相反数的定义 2.【答案】a=b. 【解析】∵3a﹣4b与7a﹣6b互为相反数，∴3a﹣4b+7a﹣6b=0，∴a=b. 3.【答案】2. 【解析】解：数轴上点A所表示的数是﹣2，﹣2的相反数是2， 故答案为：2． 4. 【答案】两个，±5，互为相反数 5. 【答案】 【解析】多重符号的化简是由“-”的个数来定，若“-”个数为偶数个时，化简结果为正，；若“-”个数为奇数个时，化简结果为负. 6. 【答案】－ b ＜-1＜0＜-a＜1. 三、解答题 1. 【解析】 (1)如图所示 (2)小敏从邮局出发，以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟，其路程为50×8＝400(米)，由上图知，此时小敏位于家西300米处，所以小敏在学校与图书馆之间，且距图书馆100米，距学校150米． 2. 【解析】∵a是﹣（﹣5）的相反数，∴a=﹣5，∵b比最小的正整数大4，∴b=1+4=5，∵c是最大的负整数， ∴c=﹣1，∴3a+3b+c=3×（﹣5）+3×5﹣1，=﹣15+15﹣1，=﹣1． 3．【解析】 (1)-(-54)＝54 (2)-(+3.6)＝-3.6 (3) （4）， 将化简后的数表示在数轴上，由图可得： -(+3.6) ＜＜＜-(-54). 4．【解析】依题意：3m-2＝7，故m＝3． 4 学科网（北京）股份有限公司 $$