2023-2024学年人教版数学七年级下册期末培优专题复习专题十四 二元一次方程组实际应用一

2023-2024年人教版七年级下期末培优专题复习 专题十四 二元一次方程组实际应用一 （知识点精讲+易错点点拨+专题检测卷） 1、 知识点精讲 知识点1 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤 （1）.审:分析题意，找出已知、未知之间的数量关系和包含全部含有的两个相等关系； （2）.设:选择恰当的两个未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整； （3）.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程组 （4）.解:解所列的方程组； （5）.验: (有三次检验 ①是否是所列方程组的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义)； （6）.答:注意单位和语言完整. 名师点拨 列方程组应注意：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边单位一定要统一；（3）方程两边的数值相等. 知识点2 1.和差倍分问题 根据问题中的和差倍分找出等量关系，选择恰当的两个未知数，根据数量关系与等量关系列出两个方程组成二元一次方程组。 2.配套问题 比例的性质：若，则 将配套问题转化为比例问题解决。 3.数字问题 数字表示方法： （1）.两位数 . (十位数字为、个位数字为，且、均为整数，1≤≤9，0≤≤9) ; （2） 三位数 . (百位数字为，十位数字为，个位数字为，且均为整数，1≤≤9，0≤≤9，0≤≤9)； （3） 偶数：2；奇数：21； (其中表示整数) （4）. 三个相邻的整数：可设中间一个整数为，则这三个相邻的整数可表示为. 4.方案设计问题 解方案选择问题的一般步骤; （1）设未知数，用含未知数的式子分别表示两种方案的费用。 （2）利用方程求出两种方案的费用相等时未知数的值。 （3）依据情况分大于、等于、小于三种状况讨论分别确定如何选择更优惠。 2、 易错点点拨 易错点1 和差倍分问题 例1-1．某校开展以感恩为主题的有奖征文活动，并到文教商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品．若买甲种笔记本20本，乙种笔记本10本，需用110元，且买甲种笔记本30本比买乙种笔记本20本少花10元． （1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元； （2）若该学校决定购买甲、乙两种笔记本共80本，总费用不超过300元，那么该中学最多可以购买乙种笔记本多少本？ 易错点拨 根据问题中的和差倍分找出等量关系，选择恰当的两个未知数，根据数量关系与等量关系列出两个方程组成二元一次方程组。 变式训练1 1．“绿水青山就是金山银山”，希望中学每年都会组织学生进行植树活动．今年该校又买了一批树苗，并组建了植树小组．如果每组植5棵，就会多出6棵树苗；如果每组植6棵，就会缺少9棵树苗．求学校这次共买了多少棵树苗？ 2．冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉样物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元． （1）求两种玩偶的进货价分别是多少？ （2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 3．1号仓库与2号仓库共存粮．现从1号仓库运出存粮的60%，从2号仓库运出存粮的40%，结果2号仓库所余粮食比1号仓库所余粮食多．1号仓库与2号仓库原来各存粮多少吨？ 易错点2配套问题 例2-1．某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（　　） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 易错点拨 配套问题中关键是两个量如何配套，根据两个量配套的数量关系列出比例式，将比例式转化为二元一次方程。 变式训练2 1．用白铁皮制作罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一个罐头盒，现有150张铁皮，用 _____张铁皮制作盒身，正好使得这150张铁皮制作出来的盒身和盒底全部配套． 2．某车间有技术工人85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个．两个甲种部件和三个乙种部件配成一套，问加工甲乙部件各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？ 易错点3数字问题 例3-1．一个两位数的个位上的数字与十位上的数字的和为14，若调换个位上的数字与十位上的数字，所得的新两位数比原两位数小36，则原两位数为( ) A.86 B.95 C.59 D.68 易错点拨 数字问题的关键是正确表示两位数（10a+b）、三位数(100a+10b+c)，再关键它们之间的数量关系列出二元一次方程组。 变式训练3 1．已知某首歌曲的歌词的字数是一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大4，则这首歌的歌词的字数是( ) A.84 B.48 C.41 D.14 2．一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的2倍多10.求原来的两位数. 3．有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，得到的数比原来的数小45，又已知百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3，求原来的三位数. 易错点4方案决策问题 例4-1．面对当前疫情形势，某工厂迅速反应，研发出两种新型口罩和消毒液．已知1平方米甲型布料可以制成20个A型口罩和10个B型口罩．1平方米乙型布料可以制成10个A型口罩和20个B型口罩，现需要制作1500个A型口罩和1800个B型口罩．为了支援某灾区，现有消毒液19吨．计划同时租用甲型车a辆，乙型车b辆，一次运完，甲型车一次满载2吨，乙型车一次满载3吨，且恰好每辆车都载满消毒液． 根据以上信息，解答下列问题： （1）恰好需要甲，乙布料各多少平方米？ （2）在运送消毒液时，请你设计所有可能的租车方案． 易错点拨 解决决策问题时，先利用分类讨论的思想列举出所有可能的方案，分情况讨论、求解、再根据题目要求确定最终方案。 变式训练4 1．某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别是：甲每台1500元，乙每台2100元，丙每台2500元． （1）若商场购进甲x台，乙y台，则购进甲、乙一共花费______元．（用含x、y的代数式表示） （2）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案． （3）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售获利最多，你会选择哪种进货方案？ 2．某商场计划用7.8万元从同一供应商处购进A，B两种商品，供应商负责运输．已知A种商品的进价为120元/件，B种商品的进价为100元/件．如果售价定为：A种商品135元/件，B种商品120元/件，那么销售完后可获得利润1.2万元． （1）该商场计划购进A，B两种商品各多少件？ （2）供应商计划租用甲、乙两种货车共16辆，一次性将A，B两种商品运送到商场，已知甲种货车可装A种商品30件和B种商品12件，乙种货车可装A种商品20件和B种商品30件，试通过计算帮助供应商设计几种运输用车方案？ 3．今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨，某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． （1）1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案； （3）若A型车每辆需租金每次100元，B型车租金每次120元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 4．2022年3月1日，新冠疫情卷土重来，疫情发生后，市政府高度重视，并第一时间启动应急预案，迅速做好疫情防控工作，由于疫情原因，市急需大量物资．某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元． （1）甲、乙两种物资各采购了多少吨？ （2）现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资，A种卡车每辆需付运输费1500元，B种卡车每辆需付运输费1300元．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有几种运输方案？哪种运输方案的运输费最少，并求此时的运输费． 三、专题检测卷 一、选择题(共10题，每小题3分，共30分) 1．小张以两种形式共储蓄了5000元，假设第一种的年利率为3.7%，第二种的年利率为2.25%，一年后得到利息156元，那么小张以第一种形式储蓄的钱数是（　　） A. 2000元 B. 2500元 C. 3000元 D. 3500元 2．甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，则（　　） A. 甲比乙大6岁 B. 乙比甲大6岁 C. 甲比乙大4岁 D. 乙比甲大4岁 3．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次共可运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次共可运货35吨，则每辆小货车一次可运货（　　） A. 2吨 B. 2.5吨 C. 3吨 D. 3.5吨 4．6月18日最开始是京东的周年庆，相当于淘宝的双十一活动，在2013年之前，京东就将每年的6月18日定为年庆．2013年后，618就成了各大电商平台的网购节了．在618当日，小李在某电商平台上选择了甲乙丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各一件时应该付款（　　） A. 580元 B. 500元 C. 420元 D. 200元 5．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折后再量木条，木条还剩余1尺，木条长多少尺？这个问题的答案是（　　） A. 6尺 B. 6.5尺 C. 10.5尺 D. 11尺 6．某商场2020年的总利润为100万元，2021年的总收入比2020年增加10%，总支出比2020年减少5%，2021年的总利润为140万元，则2020年的总收入和总支出分别是（ ） A. 300万元，210万元 B. 300万元，200万元 C. 400万元，300万元 D. 410万元，310万元 7．某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人；设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为（　　） A. B. C. D. 8．一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大1,若将个位与十位上的数字对调,得到的新数比原数小9,设个位上的数字为x,十位上的数字为y,根据题意,可列方程为（ ） A. B. C. D. 9．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为，买鸡的钱数为，可列方程组为（　 　） A. B. C. D. 10．我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？若大和尚有x人，小和尚有y人．则下列方程或方程组中①；②；③3x+（100-x）=100；④y+3（100-y）=100正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题(共5题，每小题3分，共15分) 11．幻方最早起源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则x-y的值为 _____． 12．如图，用图1中的a张长方形和b张正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒，若a+b的值在285和315之间（不含285与315），且用完这些纸板做竖式纸盒比横式纸盒多30个，则a的值可能是 _____． 13．用白铁皮制作罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一个罐头盒，现有150张铁皮，用 _____张铁皮制作盒身，正好使得这150张铁皮制作出来的盒身和盒底全部配套． 14．某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4120元．该经销商购进这两种商品共50台，购进电脑机箱不超过26台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元，则该经销商有 _____种进货方案． 15．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为7，若把十位上的数字和个位上的数字交换位置，所得的数比原数大9，则原来的两位数是 _____． 三、解答题(共8题，共75分) 16．（8分）把质量分数分别为90%和60%的甲、乙两种酒精溶液配制成质量分数为75%的消毒酒精溶液500g,求从甲、乙两种酒精中各取多少克． 17．（8分）某厂第二车间的人数比第一车间的人数的少30人．如果从第一车间调10人到第二车间，那么第二车间就是第一车间的．问这两个车间各有多少人？ 18．（12分）“利海”通讯器材商场，计划用60000元从厂家购进若干部新型手机，出厂价分别为甲种型号手机每部1800元，乙种型号手机每部600元，丙种型号手机每部1200元．若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，请你帮助商场计算一下如何购买． 19．（10分）某通讯器材商场，计划用6万元从厂家购进若干部新型手机以满足市场需求，已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别是甲种型号手机1800元/部，乙种型号手机600元/部，丙种型号手机1200元/部， （1）若商场同时购进两种不同型号的手机共40部，并恰好将钱用完，请你通过计算分析进货方案； （2）在（1）的条件下，假如甲种型号手机可赚200元/部，乙种型号手机可赚100元/部，丙种型号手机120元/部，求赢利最多的进货方案． 20．（8分）某一天，蔬菜经营户王大叔花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40千克，到菜市场按零售价卖，黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如下表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价/（元/千克） 2.4 2 零售价/（元/千克） 3.6 2.8 他当天批发了黄瓜和茄子各多少千克？卖完这些黄瓜和茄子共赚了多少元？ 21．（10分）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本． （1）求每支钢笔和每本笔记本的价格； （2）校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出． 22．（9分）某车间有技术工人85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个．两个甲种部件和三个乙种部件配成一套，问加工甲乙部件各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？ 23．（10分）3.12植树节，某校决定组织甲乙两队参加义务植树活动，并购买队服．表是服装厂给出的服装的价格表： 购买服装的套数 1～39套 40～79套 80套及以上 每套服装的价格    80元   70元 60元 经调查：两个队共75人（甲队人数不少于40人），如果分别各自购买队服，两队共需花费5600元，请回答以下问题： （1）如果甲、乙两队联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省_____元． （2）甲、乙两队各有多少名学生？ （3）到了现场，因工作分配需要，临时决定从甲队抽调a人，从乙队抽调b人，组成丙队（要求从每队抽调的人数不少于10人）．现已知重新组队后，甲队平均每人需植树1棵；乙队平均每人需植树4棵；丙队平均每人需植树6棵，甲乙丙三队共需植树265棵，请直接写出所有的抽调方案． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024年人教版七年级下期末培优专题复习 专题十四 二元一次方程组实际应用一（解析版） （知识点精讲+易错点点拨+专题检测卷） 1、 知识点精讲 知识点1 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤 （1）.审:分析题意，找出已知、未知之间的数量关系和包含全部含有的两个相等关系； （2）.设:选择恰当的两个未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整； （3）.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程组 （4）.解:解所列的方程组； （5）.验: (有三次检验 ①是否是所列方程组的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义)； （6）.答:注意单位和语言完整. 名师点拨 列方程组应注意：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边单位一定要统一；（3）方程两边的数值相等. 知识点2 1.和差倍分问题 根据问题中的和差倍分找出等量关系，选择恰当的两个未知数，根据数量关系与等量关系列出两个方程组成二元一次方程组。 2.配套问题 比例的性质：若，则 将配套问题转化为比例问题解决。 3.数字问题 数字表示方法： （1）.两位数 . (十位数字为、个位数字为，且、均为整数，1≤≤9，0≤≤9) ; （2） 三位数 . (百位数字为，十位数字为，个位数字为，且均为整数，1≤≤9，0≤≤9，0≤≤9)； （3） 偶数：2；奇数：21； (其中表示整数) （4）. 三个相邻的整数：可设中间一个整数为，则这三个相邻的整数可表示为. 4.方案设计问题 解方案选择问题的一般步骤; （1）设未知数，用含未知数的式子分别表示两种方案的费用。 （2）利用方程求出两种方案的费用相等时未知数的值。 （3）依据情况分大于、等于、小于三种状况讨论分别确定如何选择更优惠。 2、 易错点点拨 易错点1 和差倍分问题 例1-1．某校开展以感恩为主题的有奖征文活动，并到文教商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品．若买甲种笔记本20本，乙种笔记本10本，需用110元，且买甲种笔记本30本比买乙种笔记本20本少花10元． （1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元； （2）若该学校决定购买甲、乙两种笔记本共80本，总费用不超过300元，那么该中学最多可以购买乙种笔记本多少本？ 易错点拨 根据问题中的和差倍分找出等量关系，选择恰当的两个未知数，根据数量关系与等量关系列出两个方程组成二元一次方程组。 【解析】（1）设甲种笔记本的单价为x元，乙种笔记本的单价为y元，利用总价=单价×数量，结合“若买甲种笔记本20本，乙种笔记本10本，需用110元，且买甲种笔记本30本比买乙种笔记本20本少花10元”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设可以购买乙种笔记本m本，则购买甲种笔记本（80-m）本，利用总价=单价×数量，结合总费用不超过300元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 解：（1）设甲种笔记本的单价为x元，乙种笔记本的单价为y元， 依题意得：， 解得：． 答：甲种笔记本的单价为3元，乙种笔记本的单价为5元． （2）设可以购买乙种笔记本m本，则购买甲种笔记本（80-m）本， 依题意得：3（80-m）+5m≤300， 解得：m≤30． 答：该中学最多可以购买乙种笔记本30本． 变式训练1 1．“绿水青山就是金山银山”，希望中学每年都会组织学生进行植树活动．今年该校又买了一批树苗，并组建了植树小组．如果每组植5棵，就会多出6棵树苗；如果每组植6棵，就会缺少9棵树苗．求学校这次共买了多少棵树苗？ 【解析】根据“如果每组植5棵，就会多出6棵树苗；如果每组植6棵，就会缺少9棵树苗，小组数目不变”列方程求解． 解：设学校这次共买了x棵树苗， 则：=， 解得：x=81， 答：学校这次共买了81棵树苗． 2．冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉样物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元． （1）求两种玩偶的进货价分别是多少？ （2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）冰墩墩进价为72元，雪容融进价为64元 （2）冰墩墩进货24个，雪容融进货16个时，利润取得最大值为992元 【解析】（1）设冰墩墩进价为元，雪容融进价为元，列二元一次方程组求解； （2）设冰墩墩进货个，雪容融进货个，利润为元，列出与的函数关系式，并分析的取值范围，从而求出的最大值． 【小问1详解】 解：设冰墩墩进价为元，雪容融进价为元． 得，解得． ∴冰墩墩进价为72元，雪容融进价为64元． 【小问2详解】 设冰墩墩进货个，雪容融进货个，利润为元， 则， ∵，所以随增大而增大， 又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍， 得，解得． ∴当时，最大，此时，． 答：冰墩墩进货个，雪容融进货个时，获得最大利润，最大利润为元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．1号仓库与2号仓库共存粮．现从1号仓库运出存粮的60%，从2号仓库运出存粮的40%，结果2号仓库所余粮食比1号仓库所余粮食多．1号仓库与2号仓库原来各存粮多少吨？ 【答案】1号仓库原来存粮240，2号仓库原来存粮210． 【解析】设1号仓库原来存粮，2号仓库原来存粮，根据题意列二元一次方程组解答． 解：设1号仓库原来存粮，2号仓库原来存粮． 根据题意，得． 解得． 【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 易错点2配套问题 例2-1．某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（　　） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 易错点拨 配套问题中关键是两个量如何配套，根据两个量配套的数量关系列出比例式，将比例式转化为二元一次方程。 【答案】C 【解析】设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为2x个，底面的数量为3y个，然后根据等量关系：底面数量=侧面数量的2倍，列出方程组即可． 解：设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面， 由题意得，， 解得 ， ∴用6张卡纸做侧面，用8张卡纸做底面，则做出侧面的数量为12个，底面的数量为24个，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个． 故选：C． 变式训练2 1．用白铁皮制作罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一个罐头盒，现有150张铁皮，用 _____张铁皮制作盒身，正好使得这150张铁皮制作出来的盒身和盒底全部配套． 【答案】90 【解析】设用x张铁皮制作盒身，y张铁皮制作盒底，根据制作罐头盒的铁皮共150张且制作的盒底总数量是制作盒身总数量的2倍，列出二元一次方程组，解之即可得出结论． 解：设用x张铁皮制作盒身，y张铁皮制作盒底，正好使得这150张铁皮制作出来的盒身和盒底全部配套． 依题意得：， 解得：， 即用90张铁皮制作盒身，60张铁皮制作盒底，正好使得这150张铁皮制作出来的盒身和盒底全部配套， 故答案为：90． 2．某车间有技术工人85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个．两个甲种部件和三个乙种部件配成一套，问加工甲乙部件各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？ 【解析】两个等量关系为：加工的甲部件的人数+加工的乙部件的人数=85；3×16×加工的甲部件的人数=2×加工的乙部件的人数×10． 解：设加工的甲部件的有x人，加工的乙部件的有y人． ，由②得：12x-5y=0③， ①×5+③得：5x+5y+12x-5y=425，即17x=425， 解得x=25， 把x=25代入①解得y=60， 所以 答：加工的甲部件的有25人，加工的乙部件的有60人． 易错点3数字问题 例3-1．一个两位数的个位上的数字与十位上的数字的和为14，若调换个位上的数字与十位上的数字，所得的新两位数比原两位数小36，则原两位数为( ) A.86 B.95 C.59 D.68 易错点拨 数字问题的关键是正确表示两位数（10a+b）、三位数(100a+10b+c)，再关键它们之间的数量关系列出二元一次方程组。 答案：B 解析：设这个两位数的十位上的数字为x，个位上的数字为y，则原两位数为，调换个位上的数字与十位上的数字后得到的新两位数为. 由题意，得解得 原两位数为95. 变式训练3 1．已知某首歌曲的歌词的字数是一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大4，则这首歌的歌词的字数是( ) A.84 B.48 C.41 D.14 答案：A 解析：设个位数字为x，十位数字为y， 则，解得， 这首歌的歌词的字数为84. 故选：A. 2．一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的2倍多10.求原来的两位数. 答案：原来的两位数为26 解析：设原来的两位数的个位数为x，十位数为y，两位数可表示为，根据题意得： ， 解得：， 则原两位数为26. 答：原来的两位数为26. 3．有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，得到的数比原来的数小45，又已知百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3，求原来的三位数. 答案：这个三位数为439 解析：设百位数字为x，由十位数字和个位数字组成的两位数为y， 由题意得，， 解得：， 则这个三位数为439. 易错点4方案决策问题 例4-1．面对当前疫情形势，某工厂迅速反应，研发出两种新型口罩和消毒液．已知1平方米甲型布料可以制成20个A型口罩和10个B型口罩．1平方米乙型布料可以制成10个A型口罩和20个B型口罩，现需要制作1500个A型口罩和1800个B型口罩．为了支援某灾区，现有消毒液19吨．计划同时租用甲型车a辆，乙型车b辆，一次运完，甲型车一次满载2吨，乙型车一次满载3吨，且恰好每辆车都载满消毒液． 根据以上信息，解答下列问题： （1）恰好需要甲，乙布料各多少平方米？ （2）在运送消毒液时，请你设计所有可能的租车方案． 易错点拨 解决决策问题时，先利用分类讨论的思想列举出所有可能的方案，分情况讨论、求解、再根据题目要求确定最终方案。 【答案】（1）恰好需要40平方米甲型布料，70平方米乙型布料 （2）共有3种租车方案，方案1：租用8辆甲型车，1辆乙型车；方案2：租用5辆甲型车，3辆乙型车；方案3：租用2辆甲型车，5辆乙型车 【解析】（1）设恰好需要x平方米甲型布料，y平方米乙型布料，根据题意列二元一次方程组即可解答； （2）设计划同时租用甲型车a辆，乙型车b辆，然后根据题意列出二元一次方程，再结合实际情况确定a，b的值即可解答． 【小问1详解】 解：设恰好需要x平方米甲型布料，y平方米乙型布料， 根据题意得：，解得：． 答：恰好需要40平方米甲型布料，70平方米乙型布料． 【小问2详解】 解：设计划同时租用甲型车a辆，乙型车b辆 根据题意得：， ∴． 又∵a，b均为正整数， ∴或或， ∴共有3种租车方案， 方案1：租用8辆甲型车，1辆乙型车； 方案2：租用5辆甲型车，3辆乙型车； 方案3：租用2辆甲型车，5辆乙型车． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，理解题意正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解答本题的关键． 变式训练4 1．某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别是：甲每台1500元，乙每台2100元，丙每台2500元． （1）若商场购进甲x台，乙y台，则购进甲、乙一共花费______元．（用含x、y的代数式表示） （2）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案． （3）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售获利最多，你会选择哪种进货方案？ 【答案】（1） （2）两种方案：方案一买25台甲，25台乙；方案二，买35台甲，15台丙 （3）选方案二，买35台甲，15台丙，理由见解析 【解析】（1）根据题意，列出代数式即可； （2）分购进甲型和乙型，购进甲型和丙型，购进乙型和丙型，三种方案，列出方程组进行求解即可； （3）求出每种方案所需费用，进行比较即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：购进甲、乙一共花费元； 故答案为：； 【小问2详解】 解：方案一：设买甲a台，乙b台． 由题意，得：，解得； 方案二：设买甲m台，丙n台． 由题意，得：，解得； 方案三：设买乙p台，丙q台． 由题意，得：，解得（不成立）； 答：两种方案：方案一买25台甲，25台乙；方案二，买35台甲，15台丙； 【小问3详解】 解：方案一，共获利：（元）； 方案二，共获利：（元）； ∵， ∴选方案二，买35台甲，15台丙． 【点睛】本题考查列代数式解决实际问题，二元一次方程组的应用．根据题意，正确的列出代数式和二元一次方程组，是解题的关键． 2．某商场计划用7.8万元从同一供应商处购进A，B两种商品，供应商负责运输．已知A种商品的进价为120元/件，B种商品的进价为100元/件．如果售价定为：A种商品135元/件，B种商品120元/件，那么销售完后可获得利润1.2万元． （1）该商场计划购进A，B两种商品各多少件？ （2）供应商计划租用甲、乙两种货车共16辆，一次性将A，B两种商品运送到商场，已知甲种货车可装A种商品30件和B种商品12件，乙种货车可装A种商品20件和B种商品30件，试通过计算帮助供应商设计几种运输用车方案？ 【答案】（1）购进A种商品400件，B种商品300件；（2）有3种用车方案：① A种车8辆，B种车8辆；② A种车9辆，B种车7辆；③A种车10辆，B种车6辆 【解析】（1）设购进A种商品件，B种商品件，根据总价78000元和利润12000元即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租甲种货车辆，则租乙种货车（）辆，由要一次性将A、B两种商品运往某城市，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数，即可找出各租车方案． 解：（1）设购进A种商品件，B种商品件， 根据题意得： 解得：， 所以购进A种商品400件，B种商品300件； （2）设租用甲种货车辆，则租用乙种货车（16﹣）辆， 则，解得， 故有3种用车方案： ① A种车8辆，B种车8辆； ② A种车9辆，B种车7辆； ③A种车10辆，B种车6辆． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 3．今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨，某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． （1）1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案； （3）若A型车每辆需租金每次100元，B型车租金每次120元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】（1）1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨 （2）该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． （3）租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元 【解析】（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据要一次运送31吨货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数即可得出各租车方程； （3）根据总租金＝每辆车的租车费用×租车辆数，分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨． 【小问2详解】 依题意，得：3a＋4b＝31， ∴， 又∵a，b均为正整数， ∴或或， ∴该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车； 方案2：租用5辆A型车，4辆B型车； 方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． 【小问3详解】 方案1所需租金为100×9＋120×1＝1020（元）； 方案2所需租金为100×5＋120×4＝980（元）； 方案3所需租金为100×1＋120×7＝940（元）． ∵1020＞980＞940， ∴最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，分别求出三种租车方案所需费用． 4．2022年3月1日，新冠疫情卷土重来，疫情发生后，市政府高度重视，并第一时间启动应急预案，迅速做好疫情防控工作，由于疫情原因，市急需大量物资．某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元． （1）甲、乙两种物资各采购了多少吨？ （2）现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资，A种卡车每辆需付运输费1500元，B种卡车每辆需付运输费1300元．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有几种运输方案？哪种运输方案的运输费最少，并求此时的运输费． 【解析】（1）设甲物资采购了x吨，乙物资采购了y吨，根据“某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，且采购两种物资共花费1380万元”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50-m）辆，根据安排的这50辆车一次可运输300吨甲物资及240吨乙物资，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各运输方案；再求出三种方案的运费比较即可． 解：（1）设甲物资采购了x吨，乙物资采购了y吨， 依题意，得：， 解得：， 答：甲物资采购了300吨，乙物资采购了240吨； （2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50-m）辆， 依题意，得：， 解得：25≤m≤27， ∵m为正整数， ∴m可以为25，26，27， ∴共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车； 方案1的运费：25×1500+25×1300=70000（元）； 方案2的运费：26×1500+24×1300=70200（元）； 方案3的运费：27×1500+23×1300=70400（元）； ∴方案1运费的运费最少，此时运费为70000元． 三、专题检测卷 一、选择题(共10题，每小题3分，共30分) 1．小张以两种形式共储蓄了5000元，假设第一种的年利率为3.7%，第二种的年利率为2.25%，一年后得到利息156元，那么小张以第一种形式储蓄的钱数是（　　） A. 2000元 B. 2500元 C. 3000元 D. 3500元 【答案】C 【解析】可以设第一种储蓄的钱数为x元，第二种为y元，根据本金×利率=利息及两种储蓄共5000元，可以列出两个方程，求方程组的解即可． 解：设第一种储蓄的钱数为x元，第二种为y元，根据题意得： ， 解得：， 即第一种储蓄的钱数为3000元，第二种储蓄为2000元． 故选：C． 2．甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，则（　　） A. 甲比乙大6岁 B. 乙比甲大6岁 C. 甲比乙大4岁 D. 乙比甲大4岁 【答案】C 【解析】设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，根据“甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出x,y的值，做差后即可得出结论． 解：设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁， 依题意得：， 解得：， ∴x-y=4， 即甲比乙大4岁． 故选：C． 3．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次共可运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次共可运货35吨，则每辆小货车一次可运货（　　） A. 2吨 B. 2.5吨 C. 3吨 D. 3.5吨 【答案】B 【解析】设每辆大货车一次可运货x吨，每辆小货车一次可运货y吨，根据“2辆大货车与3辆小货车一次共可运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次共可运货35吨”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 解：设每辆大货车一次可运货x吨，每辆小货车一次可运货y吨， 依题意得：， 解得：． 故选：B． 4．6月18日最开始是京东的周年庆，相当于淘宝的双十一活动，在2013年之前，京东就将每年的6月18日定为年庆．2013年后，618就成了各大电商平台的网购节了．在618当日，小李在某电商平台上选择了甲乙丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各一件时应该付款（　　） A. 580元 B. 500元 C. 420元 D. 200元 【答案】D 【解析】设甲、乙、丙三种商品的单价为x元、y元、z元，由题意可得方程组，用①+②即可得解得x+y+z=200，即得答案． 解：设甲、乙、丙三种商品的单价为x元、y元、z元． 根据题意可得：， ①+②得：5x+5y+5z=1000， 则x+y+z=200（元）． 即购买甲、乙、丙各一件时应该付款200元． 故选：D． 5．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折后再量木条，木条还剩余1尺，木条长多少尺？这个问题的答案是（　　） A. 6尺 B. 6.5尺 C. 10.5尺 D. 11尺 【答案】B 【解析】设木条长x尺，则绳子长（x+4.5）尺，可得：=x-1，即可解得答案． 解：设木条长x尺，则绳子长（x+4.5）尺， 根据题意得：=x-1， 解得x=6.5， 答：木条长6.5尺． 故选：B． 6．某商场2020年的总利润为100万元，2021年的总收入比2020年增加10%，总支出比2020年减少5%，2021年的总利润为140万元，则2020年的总收入和总支出分别是（ ） A. 300万元，210万元 B. 300万元，200万元 C. 400万元，300万元 D. 410万元，310万元 【答案】B 【解析】设2020年的总收入和总支出分别为，万元，根据题意列方程求解即可． 解：设2020年的总收入和总支出分别为，万元，由题意可得： ，解得 故选：B 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到题中的等量关系，正确列出方程组． 7．某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人；设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：根据组数×每组7人＝总人数﹣3人，得方程7y＝x﹣3；根据组数×每组8人＝总人数+5人，得方程8y＝x+5． 列方程组为． 故选：C． 【点睛】此题考查的是二元一次方程组的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键． 8．一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大1,若将个位与十位上的数字对调,得到的新数比原数小9,设个位上的数字为x,十位上的数字为y,根据题意,可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：根据十位上的数字y比个位上的数字x大1，得方程y=x+1； 根据对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，得方程10y+x=10x+y+9． 列方程组为 故选D． 【点睛】y本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解 9．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为，买鸡的钱数为，可列方程组为（　 　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】直接利用每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案． 解：设人数为，买鸡的钱数为，可列方程组为： 故选D 【点睛】考核知识点：二元一次方程组应用.理解题意列出方程是关键. 10．我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？若大和尚有x人，小和尚有y人．则下列方程或方程组中①；②；③3x+（100-x）=100；④y+3（100-y）=100正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】若大和尚有x人，小和尚有y人，根据列出二元一次方程组或一元一次方程即可判断. 设大和尚有x人，小和尚有y人，100个和尚分100个馒头 ∵大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头， ∴可得和3x+（100-x）=100和y+3（100-y）=100； 故②③④正确,共计3个 故选D 【点睛】本题考查了一元一次方程或二元一次方程组的应用，解答此题的关键是，根据题中的数量关系等式，找出对应量，列方程解答即可． 二、填空题(共5题，每小题3分，共15分) 11．幻方最早起源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则x-y的值为 _____． 【答案】-2 【解析】先求出已知对角线上3个数的和，然后求y,再求x,最后代入x-y计算． 解：8+2+（-4）=6， ∴y=6-7-（-4）=3，x=6-2-3=1， ∴x-y=1-3=-2． 故答案为：-2 12．如图，用图1中的a张长方形和b张正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒，若a+b的值在285和315之间（不含285与315），且用完这些纸板做竖式纸盒比横式纸盒多30个，则a的值可能是 _____． 【答案】218或225或232 【解析】设横式纸盒x个，竖式纸盒为y个，由题意得，整理得a+b=5x+5y,再由285＜a+b＜315，得285＜5x+5y＜315，然后由y=x+30，解得13.5＜x＜16.5，即可解决问题． 解：设横式纸盒x个，竖式纸盒为y个， 由题意得：， 整理得：a+b=5x+5y, ∵a+b的值在285和315之间（不含285与315）， ∴285＜a+b＜315， ∴285＜5x+5y＜315， 又∵y=x+30， ∴285＜5x+5（x+30）＜315， 解得：13.5＜x＜16.5， ∵x为整数， ∴x=14或15或16， 当x=14时，a=218；当x=15时，a=225； 当x=16时，a=232； 即a的值可能是218或225或232， 故答案为：218或225或232． 13．用白铁皮制作罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一个罐头盒，现有150张铁皮，用 _____张铁皮制作盒身，正好使得这150张铁皮制作出来的盒身和盒底全部配套． 【答案】90 【解析】设用x张铁皮制作盒身，y张铁皮制作盒底，根据制作罐头盒的铁皮共150张且制作的盒底总数量是制作盒身总数量的2倍，列出二元一次方程组，解之即可得出结论． 解：设用x张铁皮制作盒身，y张铁皮制作盒底，正好使得这150张铁皮制作出来的盒身和盒底全部配套． 依题意得：， 解得：， 即用90张铁皮制作盒身，60张铁皮制作盒底，正好使得这150张铁皮制作出来的盒身和盒底全部配套， 故答案为：90． 14．某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4120元．该经销商购进这两种商品共50台，购进电脑机箱不超过26台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元，则该经销商有 _____种进货方案． 【答案】3 【解析】设电脑机箱的单价为x元，液晶显示器的单价为y元，根据“若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4120元”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可求出电脑机箱和液晶显示器的单价，设购进电脑机箱m台，则购进液晶显示器（50-m）台，利用总价=单价×数量，结合“购进电脑机箱不超过26台，且总价不超过22240元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出该经销商有3种进货方案． 解：设电脑机箱的单价为x元，液晶显示器的单价为y元， 依题意得：， 解得：， ∴电脑机箱的单价为60元，液晶显示器的单价为800元． 设购进电脑机箱m台，则购进液晶显示器（50-m）台， 依题意得：， 解得：24≤m≤26， 又∵m为正整数， ∴m可以为24，25，26， ∴该经销商有3种进货方案． 故答案为：3． 15．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为7，若把十位上的数字和个位上的数字交换位置，所得的数比原数大9，则原来的两位数是 _____． 【答案】34 【解析】设原来的两位数十位上的数字为x,个位上的数字为y,根据“十位上的数字与个位上的数字之和为7，若把十位上的数字和个位上的数字交换位置，所得的数比原数大9”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出x,y的值，再将其代入（10x+y）中即可求出结论． 解：设原来的两位数十位上的数字为x,个位上的数字为y, 依题意得：， 解得：， ∴10x+y=10×3+4=34． 故答案为：34． 三、解答题(共8题，共75分) 16．（8分）把质量分数分别为90%和60%的甲、乙两种酒精溶液配制成质量分数为75%的消毒酒精溶液500g,求从甲、乙两种酒精中各取多少克． 【解析】本题等量关系有两个： （1）甲酒精溶液质量+乙酒精溶液质量=500； （2）甲含纯酒精质量+乙含纯酒精质量=500×75%． 根据这两个定量列方程求解． 解：设甲、乙两种酒精各取x克，y克， 根据题意得， 解得． 答：甲、乙两种酒精各取250g. 17．（8分）某厂第二车间的人数比第一车间的人数的少30人．如果从第一车间调10人到第二车间，那么第二车间就是第一车间的．问这两个车间各有多少人？ 【解析】根据题意可知，第二车间的人数=第一车间的人数×-30，（第一车间-10）×=第二车间+10，根据这两个等量关系，可列方程组． 解：设第一车间的人数是x人，第二车间的人数是y人．依题意有： ， 解得． 答：第一车间有250人，第二车间有170人． 18．（12分）“利海”通讯器材商场，计划用60000元从厂家购进若干部新型手机，出厂价分别为甲种型号手机每部1800元，乙种型号手机每部600元，丙种型号手机每部1200元．若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，请你帮助商场计算一下如何购买． 【解析】分三种情况： ①设分别购进甲乙两种手机为x、y部，根据两种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完可以列出方程组，解方程组即可解决问题； ②设分别购进甲、丙两种手机为x、z部，根据两种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完可以列出方程组，解方程组即可解决问题； ③设分别购进乙、丙两种手机为y、z部，根据两种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完可以列出方程组，解方程组即可解决问题． 解：分三种情况： ①设分别购进甲乙两种手机为x、y部， 依题意得，， 解得：， 即可以购进甲乙两种手机分别是30部、10部； ②设分别购进甲、丙两种手机为x、z部， 依题意得，， 解得：， 即可以购进甲、丙两种手机分别是20部、20部； ③设分别购进乙、丙两种手机为y、z部， 依题意得，， 解得：（不合题意，舍去）， 答：有两种购买方法：甲种型号手机购买30部，乙种型号手机购买10部；或甲种型号手机购买20部，丙种型号手机购买20部； 19．（10分）某通讯器材商场，计划用6万元从厂家购进若干部新型手机以满足市场需求，已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别是甲种型号手机1800元/部，乙种型号手机600元/部，丙种型号手机1200元/部， （1）若商场同时购进两种不同型号的手机共40部，并恰好将钱用完，请你通过计算分析进货方案； （2）在（1）的条件下，假如甲种型号手机可赚200元/部，乙种型号手机可赚100元/部，丙种型号手机120元/部，求赢利最多的进货方案． 【解析】（1）本题要分3种情况进行讨论：进的是甲乙两种，乙、丙两种，甲、丙两种这三类不同的方案．然后根据购进的两种手机的部数和=40，购机两种手机用的总费用=6万元，这两个等量关系来列出方程组，求出未知数的值，把不合题意的舍去，然后看看有几种符合题意的方案． （2）根据（1）得出的方案，计算出各方案的盈利额，然后比较哪种盈利较多． 解： （1）设甲种型号手机x部，乙种手机y部，丙种手机z部． 根据题意得：．解得． ．解得． ．解得． 答：有两种购买方案：甲种型号手机30部，乙种手机10部；或甲种型号手机20部，丙种手机20部； （2）方案一盈利：200×30+100×10=7000（元） 方案二盈利：200×20+120×20=6400（元） 所以购买甲种型号手机30部，乙种手机10部所获盈利较大． 20．（8分）某一天，蔬菜经营户王大叔花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40千克，到菜市场按零售价卖，黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如下表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价/（元/千克） 2.4 2 零售价/（元/千克） 3.6 2.8 他当天批发了黄瓜和茄子各多少千克？卖完这些黄瓜和茄子共赚了多少元？ 【解析】设他当天购进黄瓜x千克，茄子y千克，根据黄瓜的批发价是2.4元，茄子批发价是2元，共花了90元，列出方程，求出x的值，即可求出答案； 根据黄瓜和茄子的斤数，再求出每斤黄瓜和茄子赚的钱数，即可求出总的赚的钱数． 解：设王大叔当天批发了黄瓜x千克，茄子y千克．根据题意，得 ， 解得． 25×（3.6-2.4）+15×（2.8-2）=42（元）． 答：王大叔当天批发了黄瓜和茄子分别是25千克、15千克．卖完这些黄瓜和茄子共赚了42元． 21．（10分）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本． （1）求每支钢笔和每本笔记本的价格； （2）校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出． 【解析】（1）用二元一次方程组解决问题的关键是找到两个合适的等量关系．本问中两个等量关系是：1支钢笔的价钱+3本笔记本的价钱=18，2支钢笔的价钱+5本笔记本的价钱=31，根据这两个等量关系可以列出方程组． （2）本问可以列出一元一次不等式组解决．用笔记本本数=48-钢笔支数代入下列不等关系，购买钢笔钱数+购买笔记本钱数≤200，笔记本数≥钢笔数，可以列出一元一次不等式组，求出其解集，再根据笔记本数，钢笔数必须是整数，确定购买方案． 解：（1）设每支钢笔x元，每本笔记本y元． 依题意得：， 解得：， 答：每支钢笔3元，每本笔记本5元． （2）设买a支钢笔，则买笔记本（48-a）本， 依题意得：， 解得：20≤a≤24， ∴一共有5种方案． 方案一：购买钢笔20支，则购买笔记本28本； 方案二：购买钢笔21支，则购买笔记本27本； 方案三：购买钢笔22支，则购买笔记本26本； 方案四：购买钢笔23支，则购买笔记本25本； 方案五：购买钢笔24支，则购买笔记本24本． 22．（9分）某车间有技术工人85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个．两个甲种部件和三个乙种部件配成一套，问加工甲乙部件各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？ 【解析】两个等量关系为：加工的甲部件的人数+加工的乙部件的人数=85；3×16×加工的甲部件的人数=2×加工的乙部件的人数×10． 解：设加工的甲部件的有x人，加工的乙部件的有y人． ，由②得：12x-5y=0③， ①×5+③得：5x+5y+12x-5y=425，即17x=425， 解得x=25， 把x=25代入①解得y=60， 所以 答：加工的甲部件的有25人，加工的乙部件的有60人． 23．（10分）3.12植树节，某校决定组织甲乙两队参加义务植树活动，并购买队服．表是服装厂给出的服装的价格表： 购买服装的套数 1～39套 40～79套 80套及以上 每套服装的价格    80元   70元 60元 经调查：两个队共75人（甲队人数不少于40人），如果分别各自购买队服，两队共需花费5600元，请回答以下问题： （1）如果甲、乙两队联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省_____元． （2）甲、乙两队各有多少名学生？ （3）到了现场，因工作分配需要，临时决定从甲队抽调a人，从乙队抽调b人，组成丙队（要求从每队抽调的人数不少于10人）．现已知重新组队后，甲队平均每人需植树1棵；乙队平均每人需植树4棵；丙队平均每人需植树6棵，甲乙丙三队共需植树265棵，请直接写出所有的抽调方案． 【答案】800 【解析】（1）若甲、乙两个队合起来购买服装，则每套是70元，计算出总价，即可求得比各自购买服装共可以节省多少钱； （2）设甲、乙队各有x名、y名学生准备参加演出．根据题意，显然各自购买时，甲乐团每套服装是70元，乙乐团每套服装是80元．根据等量关系：①共75人；②分别单独购买服装，一共应付5600元，列方程组即可求解； （3）利用甲队平均每人需植树1棵；乙队平均每人需植树4棵；丙队平均每人需植树6棵，甲乙丙三队共需植树265棵列出方程探讨答案即可． 解：（1）买80套所花费为：80×60=4800（元）， 最多可以节省：5600-4800=800（元）．              故答案是：800． （2）解：设甲队有x人；乙队有y人． 根据题意，得 ， 解得， 答：甲队有40人；乙队有35人． （3）由题意，得6（a+b）+（40-a）+4（35-b）=265， 整理，得b= 因为要求从每队抽调的人数不少于10人且人数为正整数 得或． 所以共有两种方案：从甲队抽调13人，从乙乐团抽调10人；或者从甲队抽调11人，从乙队抽调15人． 学科网（北京）股份有限公司 $$