题型3 勾股定理的实际应用&题型4 与平行四边形有关的计算与证明-【名校课堂】2023-2024学年八年级下册数学单元+期末卷（人教版 河北专版）

题型3勾股定理的实际应用 1.(邯郸广平县期中)如图，湖面上有一朵盛 3.(唐山路北区期中)一艘轮船从A港向南偏 开的红莲，它高出水面30cm,大风吹过，红 西48°方向航行100km到达B岛，再从B 莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面.已 岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港 知红莲移动的水平距离为60cm,则水深是 到航线BM的最短距离是60km. 多少？ (1)若轮船速度为25km/h,求轮船从C岛 沿CA返回A港所需的时间 (2)C岛在A港的什么方向？ 30 cm 2.(石家庄赞皇县期中)图1是超市的儿童玩 4.(保定期中)海滨公园是珠海市市民放风筝 具购物车，图2为其侧面简化示意图，测得 的最佳场所，某校八年级(1)班的小华和小 支架AC=24cm,BC=18cm,两轮中心的 轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝 距离AB=30cm,求点C到AB的距离. 的垂直高度CE,他们进行了如下操作： (结果保留整数) ①测得水平距离BD的长为12米； 儿童玩购物车 ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC的长为20米： ③牵线放风筝的小明的身高为1.62米 (1)求风筝的垂直高度CE 图1 图2 (2)如果小明想风筝沿CD方向下降11 米，则他应该往回收线多少米？ 单元+期末卷·数学河北)八下跟17 题型4与平行四边形有关的计算与证明 1.(唐山路北区期末)如图，在□ABCD中， 3.(石家庄藁城区期末)如图，在□ABCD中， AE平分∠BAD交BD于点E,交BC于 M为AD的中点，N为BC的中点，且 点M. MN⊥BC. (1)尺规作图：作∠BCD的平分线CN,交 (1)求证：四边形ABCD是矩形. AD于点N,交BD于点F.(保留作图 (2)若MN=2BC,则四边形ABNM是什 痕迹，不写作法，并标明字母)》 (2)求证：AE=CF 么特殊的平行四边形？请说明理由. 2.(唐山路北区期末)如图所示，在正方形 4.(廊坊安次区期中)如图，已知在菱形 ABCD中，AB=4,E为边BC的中点，F为 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,延 边CD上一动点，满足∠AEF=90°. 长DC到点E,使CE=CD,延长BC到点 (1)求CF的长. F,使CF=BC,顺次连接点B,E,F,D,且 (2)求△AEF的面积. BD=1,AC=√3. (1)求菱形ABCD的面积. (2)求证：四边形BEFD是矩形 (3)四边形BEFD的周长为 D 单元+期末卷·数学河北八下取1850%)=17(元)，即当天学生购买盒饭费用的平均数是17 的周长为CD+AD+BC+AB=45+√26. 元，故选：C (2)是.证明：如图，连接BD. 专项突破 题型1二次根式的运算 1.解：原式=9-8-5=9-8-3=一2 2.解：两人的做法都正确. (1)35×W15=33×3×5=95. 由题意.得BD=42+3=25.:AD+AB=5+20=25, (2) 5 11 元=V45=V=3 ·.BD=AD十AB,∴△BAD是直角三角形，∠BAD =90°. 3解：0)原式=号+2反-3厚-4厄- .解：(1)①BD平分∠ABC,∠C=90°，DE⊥AB,.DE= 2 DC=6,∠AED=90,在Rt△ADE中，根据勾股定理，得 4 AE=VAD-DE=8. ②设BC=x,则BE=x,AB=8十x.在R1△ABC中，AC+ 反=-13巨：3巨-4厚=-13巨，口”内的符号为 4 4 4 BC=AB,即(10+6)+x2=(8+x),解得x=12,即BC =12.六Sam=zAC,BC-2×(10+6)X12=96. (:号<1.唇>2>4在号知80-42 (2)在R1△ABC中，∠C=90°，AB=10,BC=6,.AC 的“口”内填入运算符号后，要使计算所得的数最大，则“☐” AB-BC=8.:∠C=90°.BD平分∠ABC.DE⊥AB, 内应分捌填+×”：要+⑧×⑧一4反=要+12 CD=DE设CD=DE=x:S.e=Sam+Sam号 2 2 48-2-2 ×6×8=号×10r+号×6，解得=8.DE的长为3 题型3勾股定理的实际应用 4.解：(1)：4-23=1+3-23=1+(3)-2×1×5= 1.解：如图，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，即AC为红 (3-1)2,∴.√1-23=√(3-1)=5-1. 莲的长.设水深hcm.由题意，得AB=hcm,AC=(h十 (2),7+210=2+5+2√/10=(2)*+(5)2+2×2× 30)cm,BC=60cm.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC 5=(2+5).:√7+2√而=√(W2+5)=2+5. AB+BC,即(h+30)=方+60，解得h=45.答：水深是 题型2与勾股定理有关的计算与证明 45 cm. 1.解：设BD=x,则CD=14一x,由勾股定理，得AD=AB -BD=15-x,AD=AC-CD=13-(14-x) 15-x2=13-(14-x),解得r=9..AD=√15-9 =12.5Sm=号BC·AD=号×14X12=84. 2.解：(1)证明：：Rt△ABC≌Rt△CDE,.∠BAC=∠DCE. 2.解：如图，过点C作CE⊥AB于点E ·∠BAC+∠BCA=90°，，.∠DCE+∠BCA=90 D ∠ACE=180°-∠DCE-∠BCA=90°.Smt=SAm +5.e+Sa,即a+a+-b+号2+名ak整 2 厘，得2=a十b, (2):△ABC的面积为4，△ACE的面积为20.之ab=4, 在△ABC中，：AC=24cm,BC=18cm,AB=30cm. ,.AC°+B=242+18=900,AB=303=900.,.A(°+ 2C=20.∴ob=8,=40,由(1)知d=0+8=40, BC=AB..△ABC为直角三角形，∠ACB=90°.∴Sam .(b-a)2=a2+一2ab=40-16=24.由图可知，b一a> -AC.BC-CE·AB,即×24X18=CEx30. 0,.b-a=2w6. 解得CE=14.4≈14.答：点C到AB的距离约为14cm. 3解：1)四边形ABCD的面积为X5-号×2X1-号×5 3.解：1)由题意，得AB=100km,BC=125km,AD=60km. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=√AB一AD= ×1-号×2×4-号×(1+3)×1=20-1-2.5-4-2= √100-60=80(km).∴CD=BC-BD=125-80=45(km. 10.5.:CD=√+2=5，AD=√+2=5，BC= ∴.AC=√CD+AD■45+G60=75(km).75÷25■3(h). √+了=√26，AB=√②+4=25，∴.四边形ABCD 答：轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h 单元+期末卷·数学河北K八下·答案详解取52 (2).AB+AC=1002+75=15625,BC=125= (3)2+25【答案详解】：四边形ABCD是菱形..(OC= 15625,.AB+AC=BC..∠BAC=90°，.∠NAC 180°-90°一48°=42°.答：C岛在A港的北偏西42”方向. OA-号AC.由(2)可知，OC是△BDE的中位线，：BE 4.解：(1)在R:△CDB中.CD= 2OC=AC=√3.四边形BEFD是矩形，.EF=BD=1, BC-BD=√20-12=16（米）. BE=DF=√3，.四边形BEFD的周长为2(BD+BE)=2 CE=CD+DE=16+1.62=17.62(米). +23.故容案为：2+2尽. 答：风筝的垂直高度CE为17.62米， 题型5一次函数的图象与性质 (2)如图，在CD上截取CM=11米..% 1.解：(1)：y与x一3成正比例，.设y与x之间的函数解析 DM=CD-CM=5米.∴.BM=√DM+BD=√5+12 式为y=(x-3.把x=2,y=3代人y=k(x-3),得3= =13(米)..BC-BM=20一13=7（米）.答：他应该往回 k(2-3),解得k=一3..y与x之间的函数解析式为y 收线7米 -3x+9. 题型4与平行四边形有关的计算与证明 (2)对于y=一3r+9,当x■4时，y=-3×4+9=-3, 1.解：(1)如图所示. .点A(4,一3)在这个函数图象上， (2)证明：，四边形ABCD是平行四 (3)对于y=一3x十9，k=一3<0，y随r的增大而减小 边形，.AB=CD,AB∥CD.∠BAD :点B(”),C(为)在该函数图象上，且> =∠BCD.·,∠ABE=∠CDF.: <为. AE平分∠BAD,CN平分∠BCD,∠BAE=豆∠BAD, 2.解：(1)把点A(-6,0).B(-1.5)代人为=kx+b,得 6k+b=0 解得：直线AB的解析式为y= ∠DCF-专∠BCD.·∠BAE=∠DCE.在△ABE和 -k+b=5, b=6. +6. Y∠BAE=∠DCF, △CDF中，AB=CD, .△ABE≌△CDF(ASA) (2)-33【答案详解】联立>=1+6， 解得=-3， y=3. ∠ABE=∠CDF, y=-2r-3, ∴.AE=CF M(-3,3).故答案为：-33. (3)根据图象可得.关于x的不等式kr十b<一2x一3的解 2.解：(1)四边形ABCD为正方形，.AB=BC=CD=AD =4,∠B=∠C=∠D=90°，·.AB+BE=AE,CE+CF 集为x<-3 3.解：(1)在y=x十4中，令x=0,得y=4..点C的坐标为 =EF,AD+DF=AF,E为BC的中点，.BE=CE= (0,4). 2.设CF=x,则DF=4-x.:∠AEF=90°，.AE+EF =AF..AB十BE+CE十CF=AD+DF,即4十2 (2)A(2,0),B(4,2),C(0,4),.AC=2+4=2/5, +2+x2=4+(4-),解得x=1.CF的长为1. BC=√④+(4-2)F=25.∴.AC=BC (2)由(1)可知，AE=√AB+BE=25,EF= (3)当直线AB与一次函数y一kx+4(k≠0)的图象平行时， 2m十■0， CE+CF=5,58m=AE·EF=×25×5 设直线AB的解析式为y=mx十n. 解得 4m十n=2, =5 m=1, .k=1:当一次函数y=x十4(k≠0)的图象过线 3.解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC, =-2. AD=BC,M为AD的中点，N为BC的中点，AM= 段AB的中点时，设线段AB的中点为D.,CA=CB,.CD 号AD.BN=号BC,AM=BN.∴四边形ABNM是平行 ⊥AB.∴.k=一1.综上所述，k的值为士1 4.解：(1)A(一5,2)，B(-1,2), 四边形.，MN⊥BC,,.∠MNB=90°，.□ABNM是矩形 ,AB∥x轴.如图，延长线段AB .∠A=90°..ABCD是矩形. 交y轴于点D,则AD⊥y轴.当x (2)四边形ABVM是正方形.理由如下：由(1)可知，四边形 =0时，y=-1C(0,-1).CD ABNM是矩形，：N为BC的中点BN=号BC.?MN =2-(-1)=3,AB=-1-(-5) =BC,BN=MN.∴矩形ABNM是正方形. =4.∴Sam=ABCD=号X4X3=6。 (2)设直线AC的解析式为y=x+b(k≠0)， 4.解：(1)四边形ABCD是菱形，BD=1,AC-3, -5k+b=2, 5m=古4C·BD=号×有X1=g k=一'直线AC的解析式为v 解得) b=-1. b=-1. (2)证明：：四边形ABCD是菱形，AC⊥BD,OB=OD. = 'CE=CD,CF=BC,四边形BEFD是平行四边形，O 后x一1.设直线BC的解析式为y=mr十n(m≠0)，： 3 是△BDE的中位线..OC∥BE..BE⊥BD,.∠DBE= 一m十#=2， 90°，.平行四边形BEFD是矩形， 解得/=一3， ,直线BC的解析式为y= n=一1， 12=-1. 单元+期末卷·数学河北)八下·答案详解取53