精品解析：2024年北京市广渠门中学中考二模数学试题

北京市广渠门中学2023—2024学年度第二学期 初三数学模拟试卷 时间120分钟 满分100分 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 下面四幅图分别是“故宫博物馆”“广东博物馆”、“四川博物馆”、“温州博物馆”的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 地处北京怀柔科学城的“北京光源”（）是我国第一台高能同步辐射光源，在施工时严格执行“防微振动控制”的要求，控制精度级别达到纳米（nm）级．1nmm．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ） A B. C. D. 4. 如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 不透明的袋子中有三个小球，上面分别写着数字“”，“”，“3”，除数字外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为4的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的方程没有实数根，则的值可以为（ ）． A. B. C. 0 D. 1 7. 古代的“矩”是指包含直角的作图工具，如图1，用“矩”测量远处两点间距离的方法是：把矩按图2平放在地面上，人眼从矩的一端A望点B，使视线刚好通过点E，量出长，即可算得之间的距离．若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，是延长线上一点，在上取一点，使点关于直线的对称点落在上，连接交于点，连接交于点，连接．现有下列结论：①；②；③；④若，，则，其中正确的是（ ） A. ②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若有意义，则的取值范围是___________． 10. 分解因式：________． 11. 分式方程的解为______． 12. 如图，的弦的延长线相交于点E，，，则___． 13. 4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读时间，统计如表： 阅读时间（x小时） x≤3.5 3.5＜x≤5 5＜x≤6.5 x＞6.5 人数 12 8 6 4 若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为_____． 14. 在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，请你写出一个符合要求的k的值_______． 15. 已知9°的圆周角所对的弧长是cm，则此弧所在圆的半径是_____． 16. 高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量分别都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下： 收费出口编号 A，B B，C C，D D，E E，A 通过小客车数量（辆） 260 330 300 360 240 在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的收费出口的编号是_______． 三、解答题（本题共54分） 17. 计算： 18. 解不等式组： 19. 已知，求的值． 20. 如图，在平行四边形中，平分，点为边中点，过点作的垂线交于点，交延长线于点． （1）连接，求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 21. 京雄高速北京段于2023年12月31日全线贯通．通车后、由西南五环至雄安新区可实现1小时通达，比原来节省了30分钟．小东爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27．5千米，如果平均车速比原来每小时多走17千米，正好和设计相符，通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多少？ 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象过点和点． （1）求的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出m的取值范围． 23. 【问题情境】大自然中的植物千姿百态，如果细心观察，就会发现：不同植物的叶子通常有着不同的特征，如果我们用数学的眼光来观察，会有什么发现呢?“数智”小组的四位同学开展了“利用树叶的特征对树木进行分类”的项目化学习活动． 【实践发现】同学们从收集的杨树叶、柳树叶中各随机选取10片，通过测量得到这些树叶的长和宽(单位：)的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 杨树叶的长宽比 2 2.4 2.1 2.4 2.8 1.8 24 2.2 2.1 1.7 柳树叶的长宽比 1.5 1.6 1.5 1.4 1.5 1.4 1.7 1.5 1.6 1.4 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 杨树叶的长宽比 2.19 m 2.4 0.0949 柳树叶的长宽比 1.51 1.5 n 0.0089 【问题解决】 （1）上述表格中： ， ； （2）①这两种树叶从长宽比的方差来看， 树叶的形状差别较小； ②该小组收集的树叶中有一片长为，宽为的树叶，这片树叶来自于 树的可能性大； （3）该小组准备从四位成员中随机选取两名同学进行成果汇报，请用列表或画树状图方法求成员小颖和小娜同时被选中的概率． 24. 如图，为的直径，C是圆上一点，D是弧的中点，弦，垂足为点F． （1）求证：； （2）P是上一点，，，求的长度． 25. “城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”如图，北京地铁（）是中华人民共和国北京市的城市轨道交通系统，规划于1953年，始建于1965年，运营于1969年，是中国第一个地铁系统．小华了解到列车从慈寿寺站开往花园桥站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后一秒滑行的距离．为了解决这个问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离（米）与滑行时间（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题． （1）建立模型 ①收集数据 （秒） （米） ②建立平面直角坐标系 为了观察（米）与（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系． ③描点连线 请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接． ④选择函数模型 观察这条曲线的形状，它可能是________函数的图象． ⑤求函数解析式 解：设，因时，，所以，则． 请根据表格中的数据，求，的值． 验证：把，的值代入中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式． （2）应用模型 列车从减速开始经过________秒，列车停止；最后一秒钟，列车滑行的距离为________米． 26. 已知抛物线的对称轴为直线． （1）当时， ①写出与满足的等量关系； ②当函数图象经过点，，时，求的最小值； （2）已知点，，在该抛物线上，若对于，都有，直接写出的取值范围． 27. 如图，，点在上，过点作的平行线，与的平分线交于点，为的中点，点在上，（不与点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． （1）①直接写出线段与之间的数量关系； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； （2）连接并延长，分别交，于点，过点作的垂线，交于点．依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，为上一点，点． 对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转90°，得到点，点关于点的对称点为，称点为点关于点，的“中旋点”． （1）如图1，已知点，点为点关于点，的“中旋点”． ①若点，在图中画出点，并直接写出的长度为______； ②当点在上运动时，直线上存在点关于点，的“中旋点”，求的取值范围； （2）点，当点在上运动时，若上存在点关于点，的“中旋点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市广渠门中学2023—2024学年度第二学期 初三数学模拟试卷 时间120分钟 满分100分 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 下面四幅图分别是“故宫博物馆”“广东博物馆”、“四川博物馆”、“温州博物馆”的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A中是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； B中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合要求； C中是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； D中既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求； 故选：D． 2. 地处北京怀柔科学城的“北京光源”（）是我国第一台高能同步辐射光源，在施工时严格执行“防微振动控制”的要求，控制精度级别达到纳米（nm）级．1nmm．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：. 故选B． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：， ， ， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等． 4. 如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：由题意得：a＜0＜b，且＜， ∴，∴A选项的结论不成立； ，∴B选项的结论不成立； ，∴C选项的结论不成立； ，∴D选项的结论成立． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a，b的取值范围是解题的关键． 5. 不透明的袋子中有三个小球，上面分别写着数字“”，“”，“3”，除数字外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为4的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用树状图列举出所有等可能的情况，确定两次记录的数字之和为4的次数，根据概率公式计算得出答案． 【详解】列树状图如下： 共有9种等可能情况，其中两次记录的数字之和为4的有3种， ∴P（两次记录数字之和为4）=， 故选：B． 【点睛】此题考查树状图法求事件的概率，概率的计算公式，根据题意正确列举出事件发生的所有可能的情况是解题的关键． 6. 若关于的方程没有实数根，则的值可以为（ ）． A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于x的方程没有实数根，判断出△＜0，求出m的取值范围，再找出符合条件的m的值． 【详解】解：∵关于的方程没有实数根， ∴△=＜0， 解得：， 故选项中只有A选项满足， 故选A. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零. 7. 古代的“矩”是指包含直角的作图工具，如图1，用“矩”测量远处两点间距离的方法是：把矩按图2平放在地面上，人眼从矩的一端A望点B，使视线刚好通过点E，量出长，即可算得之间的距离．若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和图形，可以得到，，然后根据相似三角形的性质，可以得到． 【详解】解：由图2可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8. 如图，在正方形中，是延长线上一点，在上取一点，使点关于直线的对称点落在上，连接交于点，连接交于点，连接．现有下列结论：①；②；③；④若，，则，其中正确的是（ ） A. ②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．如图1中，过点作于，证明即可判断①；过点作于，于，于．证明即可判断②；如图2中，过点作于，交于．先证明，再证明即可判断③；利用勾股定理计算，即可判断④． 【详解】解：如图1中，过点作于． ，关于对称， ， ， 四边形是正方形， ，，， ， ， ，， ， ，， ，， ， ，，故①正确， ， 过点作于，于，于． ， ， ， ， ， ， ，故②正确， 如图2中，过点作于，交于． ，关于对称， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，故③错误， ，， ，，， ，故④正确， 故选：D． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查分式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0时，分式有意义，是解题的关键． 10. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，掌握“利用完全平方公式分解因式”是解本题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 分式方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】去分母后化为整式方程求解，后检验即可． 【详解】解： ， 经检验，是原分式方程的解． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键． 12. 如图，的弦的延长线相交于点E，，，则___． 【答案】##24度 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质，由圆周角定理求出，由三角形外角的性质得到． 【详解】解： ，， ， ， ． 故答案为：． 13. 4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如表： 阅读时间（x小时） x≤3.5 3.5＜x≤5 5＜x≤6.5 x＞6.5 人数 12 8 6 4 若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为_____． 【答案】400 【解析】 【分析】用总人数×每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论． 【详解】解：1200×＝400（人）， 答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人． 故答案为：400． 【点睛】本题主要考查了用样本所占百分比估算总体的数量的知识．正确的理解题意是解题的关键． 14. 在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，请你写出一个符合要求的k的值_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由题可知，在两个象限，根据得到图象位于二、四象限，即给出符合题意的k值即可． 【详解】由题可知，在两个象限， ∵， ∴反比例函数的图象位于二、四象限， ∴， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 15. 已知9°的圆周角所对的弧长是cm，则此弧所在圆的半径是_____． 【答案】2cm 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出弧所对的圆心角，根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：设此弧所在圆的半径为r， 弧所对的圆心角为：9°×2＝18°， 则， 解得，r＝2，即此弧所在圆的半径为2cm， 故答案为2cm． 【点睛】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式是解题的关键． 16. 高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量分别都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下： 收费出口编号 A，B B，C C，D D，E E，A 通过小客车数量（辆） 260 330 300 360 240 在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的收费出口的编号是_______． 【答案】B 【解析】 【分析】根据表中数据两两相比较即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴A收费出口通过的数量小于C收费出口通过的数量；D收费出口通过的数量小于B收费出口通过的数量；E收费出口通过的数量大于C收费出口通过的数量；D收费出口通过的数量大于A收费出口通过的数量；B收费出口通过的数量大于E收费出口通过的数量； ∴， ∴每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是B． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查统计表和不等式的基本性质，正确的理解题意是解题的关键． 三、解答题（本题共54分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查实数的运算，先代入特殊角的三角函数值、化简二次根式、负整数指数次幂、绝对值，然后合并解题即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键． 19. 已知，求的值． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是关键． 利用分式的混合运算法则将化简将，再根据题意得到，将代入化简后的式子求解． 【详解】解： ， ， ， 原式． 20. 如图，在平行四边形中，平分，点为边中点，过点作的垂线交于点，交延长线于点． （1）连接，求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）12 【解析】 【分析】（1）首先根据平行四边形的性质和角平分线的定义证明，推导四边形为菱形，易知，进而证明，即可证明四边形是平行四边形； （2）首先证明，，易得，在中，借助三角函数解得，然后根据“平行四边形对角线相互平分”的性质即可获得答案． 【小问1详解】 证明：连接，交于点，如下图， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， 又∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵点为边中点， ∴， ∴在中，，即， 解得， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 21. 京雄高速北京段于2023年12月31日全线贯通．通车后、由西南五环至雄安新区可实现1小时通达，比原来节省了30分钟．小东爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27．5千米，如果平均车速比原来每小时多走17千米，正好和设计相符，通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多少？ 【答案】通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是89千米/小时 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，则通车后小东起爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，根据平均车速比原来每小时多走17千米，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题． 【详解】解：设通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，则通车后小东爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米， 由题意得：， 解得：， ， 答：通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差平均时速是89千米/小时． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象过点和点． （1）求的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法解一次函数解析式及一次函数和不等式的关系，解题关键是熟练掌握一次函数的性质． （1）通过待定系数法将，代入解析式求解． （2）解不等式，然后分和两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：将，代入解得， ， 解得； 【小问2详解】 解：∵ ∴一次函数解析式为， 不等式得，， 当时，， ， 当时，，不合题意，舍去； 解得：． 23. 【问题情境】大自然中的植物千姿百态，如果细心观察，就会发现：不同植物的叶子通常有着不同的特征，如果我们用数学的眼光来观察，会有什么发现呢?“数智”小组的四位同学开展了“利用树叶的特征对树木进行分类”的项目化学习活动． 【实践发现】同学们从收集的杨树叶、柳树叶中各随机选取10片，通过测量得到这些树叶的长和宽(单位：)的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 杨树叶的长宽比 2 2.4 2.1 2.4 2.8 1.8 2.4 2.2 2.1 1.7 柳树叶的长宽比 1.5 1.6 1.5 1.4 1.5 1.4 17 1.5 1.6 1.4 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 杨树叶的长宽比 2.19 m 2.4 0.0949 柳树叶的长宽比 1.51 1.5 n 0.0089 【问题解决】 （1）上述表格中： ， ； （2）①这两种树叶从长宽比的方差来看， 树叶的形状差别较小； ②该小组收集的树叶中有一片长为，宽为的树叶，这片树叶来自于 树的可能性大； （3）该小组准备从四位成员中随机选取两名同学进行成果汇报，请用列表或画树状图的方法求成员小颖和小娜同时被选中的概率． 【答案】（1）2.15；1.5 （2）①柳；②杨 （3） 【解析】 【分析】本题考查了众数，中位数，平均数和方差等统计量，用列表法或树状图法求概率．掌握相关定义是关键． （1）根据中位数和众数的定义解答即可； （2）①根据题目给出的方差判定即可；②根据树叶的长宽比判定即可； （3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：将杨树叶的长宽比按从小到大的顺序排序为： 1.7，1.8，2，2.1，2.1，2.2，2.4，2.4，2.4，2.8， 则其中位数是第5和第6的平均数，即：； 柳树叶的长宽比的众数为1.5； 故答案为：2.15，1.5； 【小问2详解】 解：①：杨树叶的长宽比的方差为0.0949大于柳树叶的长宽比的方差0.0089，柳树叶的形状差别较小； 故答案为：柳； ②∵该小组收集的树叶中有一片长为，宽为的树叶，则长宽比为2.3， ∴这片树叶来自于杨树的可能性大； 故答案为：杨； 【小问3详解】 四名同学用A，B，C，D表示，其中A表示小颖，B表示小娜，根据题意，列表如下： A B C D A B C D 由列表（或树状图）可知共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性都相同，其中小颖和小娜同时被选中的结果共有2种． ∴P（小颖和小娜同时被选中的概率）． 24. 如图，为的直径，C是圆上一点，D是弧的中点，弦，垂足为点F． （1）求证：； （2）P是上一点，，，求的长度． 【答案】（1）见详解 （2）2 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形，关键是由垂径定理推出，得到；由勾股定理求出的长． （1）由垂径定理推出，得到，推出； （2）由锐角的正切求出，由勾股定理求出，由垂径定理得到由勾股定理求出，即可得到． 【小问1详解】 证明：∵是的中点， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接， ∵是圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 25. “城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”如图，北京地铁（）是中华人民共和国北京市的城市轨道交通系统，规划于1953年，始建于1965年，运营于1969年，是中国第一个地铁系统．小华了解到列车从慈寿寺站开往花园桥站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后一秒滑行的距离．为了解决这个问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离（米）与滑行时间（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题． （1）建立模型 ①收集数据 （秒） （米） ②建立平面直角坐标系 为了观察（米）与（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系． ③描点连线 请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接． ④选择函数模型 观察这条曲线的形状，它可能是________函数的图象． ⑤求函数解析式 解：设，因为时，，所以，则． 请根据表格中的数据，求，的值． 验证：把，的值代入中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式． （2）应用模型 列车从减速开始经过________秒，列车停止；最后一秒钟，列车滑行的距离为________米． 【答案】（1）③见解析；④二次；⑤， （2）32， 【解析】 【分析】（1）③根据题意连线即可求解； ④根据曲线判断函数图象为二次函数图象； ⑤待定系数法求解析式即可求解； （2）根据二次函数的解析式，当时，解得，进而求得时的函数值，即可求解． 【小问1详解】 解：③如图． ④可能是二次函数图象， 故答案为：二次； ⑤设， 因为时，，所以，则． 把和代入可得， ， 解得：，， ， 【小问2详解】 应用模型： 当时，， 解得， 当时，； 当时，， ． 故答案为：32，． 【点睛】本题考查了列表、描点、连线，画二次函数图形，待定系数法求解析式，根据二次函数的性质求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 26. 已知抛物线的对称轴为直线． （1）当时， ①写出与满足的等量关系； ②当函数图象经过点，，时，求的最小值； （2）已知点，，在该抛物线上，若对于，都有，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②6 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）①利用对称轴公式求得即可；②利用二次函数的性质判断即可； （2）由题意可知点在对称轴的左侧，点，在对称轴的右侧，点到A对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，由此列不等式组，解不等式组即可得出答案． 【小问1详解】 解：①当时，对称轴为直线． ， ； ②由二次函数的性质可知，当，关于对称轴对称时取最小值， 对称轴为直线，点关于对称轴的对称点为， 与点重合，与点重合时，取最小值， 最小值为：． 【小问2详解】 解：， 抛物线开口下上， ，， 点在对称轴的左侧，点在对称轴上或对称轴的右侧，在对称轴的右侧，点到A对称轴的距离大于点C到对称轴的距离， ， 解得， ， ， ． 27. 如图，，点在上，过点作的平行线，与的平分线交于点，为的中点，点在上，（不与点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． （1）①直接写出线段与之间的数量关系； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； （2）连接并延长，分别交，于点，过点作的垂线，交于点．依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）①；②，证明见解析 （2）图见解析，，理由见解析 【解析】 【分析】（1）①由平行线的定义结合角平分线的定义得出，再由等角对等边即可得证；②由平行线的性质得出，推出，由旋转的性质可得：，，求出，证明，得出，再由为的中点得出，即可得证； （2）根据题意补全图形即可，在上截取，连接，证明得出，结合平行线的性质得出，由题意得出，在上截取，由（1）可得：，求出，证明，得出，推出垂直平分，即，从而得出，最后由平行线分线段成比例定理即可得出答案． 【小问1详解】 解：①由题意得：， ， 平分， ， ， ； ②，证明如下： 由题意得：， ， ， 由旋转的性质可得：，， ， ，即， ， ， ， 为的中点， ， ； 【小问2详解】 解：补全图形如图所示： ， ，理由如下： 在上截取，连接， 由（1）可得， ，， 平分， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 在上截取， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分，即， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、旋转的性质、平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，为上一点，点． 对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转90°，得到点，点关于点的对称点为，称点为点关于点，的“中旋点”． （1）如图1，已知点，点为点关于点，的“中旋点”． ①若点，在图中画出点，并直接写出的长度为______； ②当点在上运动时，直线上存在点关于点，的“中旋点”，求的取值范围； （2）点，当点在上运动时，若上存在点关于点，的“中旋点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①② （2）， 【解析】 【分析】（1）①过作轴，交轴于，作轴，轴，，可得，，，从而可求，即可求解； ②由①得：点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，根据图形即可求解． （2）设在第四象限的，将以为中心顺时针旋转到，连接，过作轴，交轴于，过作，交的延长线于，交轴于， 可证，可得，，可求，，，的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，在轴上运动，延长至，使，连接，可证，从而可得的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，在轴上运动，①当在的右侧时，②当运动到时，③当在与之间（不含、）时，④当运动到时，⑤当在与之间（不含、）时，⑥当运动到时，⑦当在与之间（不含、）时， ⑧当运动到时， ⑨当在的左侧时，根据图形即可求解． 【小问1详解】 解：①如图，点如图所示，过作轴，交轴于，作轴，轴， ，，， ，， ， 由旋转得：，， ， 在和中 ， ()， ，， ，，， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是关于的对称点， ． 故答案：． ②如图，由①得：点运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 当时，直线：与相切于，连接， ，，， ， ， ， 当时，同理可求直线与相切时，， 当时，同理可求直线与相一定有交点． 综上所述：． 【小问2详解】 解：如图，设在第四象限的，将以为中心顺时针旋转到，连接，过作轴，交轴于，过作，交的延长线于，交轴于， ， ， ， ， ， 在和中 ， ()， ，， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，在轴上运动， 延长至，使，连接， 在和中 ， ()， ， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，在轴上运动； ①如图，当在的右侧时，与外离没有交点， 此时不存在； ②如图，当运动到时，与外切， 此时切点是的“中旋点”， ， ， ； ③如图，当在与之间（不含、）时， 此时与相交，有两个“中旋点”； ④如图，当运动到时，内切与， 此时切点是的“中旋点”， ， ， ， ， ； ⑤如图，当在与之间（不含、）时， 此时内含于，此时没有交点，点不存在； ⑥如图，当运动到时，内切与， 此时切点是的“中旋点”， ， ， ， ， ； ⑦如图，当在与之间（不含、）时， 此时与相交，有两个“中旋点”； ⑧如图，当运动到时，与外切， 此时切点是的“中旋点”， ， ， ； ⑨如图，当在的左侧时，与外离没有交点， 此时不存在； 综上所述：，． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，旋转的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理，掌握相关的判定方法及性质，根据题意找出动点的轨迹是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$