精品解析：江苏省如皋中学2023-2024学年高二下学期教学质量调研（二）数学试题

2023 - 2024 学年度高二年级第二学期教学质量调研 （二） 数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，由期望的性质可知，求解即可. 【详解】由已知服从二项分布，， . 故选：B. 2. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】由对数函数单调性可得，再结合分段函数判断计算得解. 【详解】由，得，函数， 所以. 故选：D 3. 若函数 为偶函数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据是上的偶函数，对任意实数恒成立，列出方程求出的值； 【详解】由于函数是上的偶函数， 即， 对任意实数恒成立， 对任意实数恒成立； 又，上式变成对任意实数恒成立， ； 故选：C 4. 某校表彰大会，共表彰 6 人，每个年级两人，6 人排成一排拍照留念，则高一两名学生相邻，高二两名学生不相邻的排法有（ ）种. A. 72 B. 144 C. 240 D. 288 【答案】B 【解析】 【分析】由捆绑法、插空法以及分步乘法计数原理即可求解. 【详解】由题意先将高一两名学生捆绑起来作为一个整体，再和高三的两名学生进行全排列共有， 此时已经形成了四个空，再将高二的两名学生插进去有， 所以满足题意的排法有种. 故选：B. 5. 已知 的展开式中各项系数之和为27，则展开式中 项的系数为（ ） A. B. 6 C. 18 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】先根据系数和为27求出参数，再结合二项式定理即可求解. 【详解】由题意，解得， 所以展开式中 项的系数为. 故选：C. 6. 某圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积为，则该圆锥的全面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由圆锥侧面展开图面积可得，再由圆锥的体积公式可得底面圆的半径，再由圆锥的表面积公式，即可得到结果. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 由圆锥侧面展开图为半圆可得，即， 又圆锥的体积为，即， 又，所以，所以，解得， 则，所以圆锥的全面积为. 故选：A 7. 某袋中装有 3 个白球，2 个红球. 先从中随机摸出一个球，观察颜色后放回，并加入 3 个 与该球同色的球，再从袋中摸出一个球，则第二次摸出的球是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设事件表示第一次摸出红球，事件表示第二次摸出的是白球，利用全概率公式能求出第二次摸出的是白球的概率． 【详解】设事件表示第一次摸出红球，事件表示第二次摸出的是白球， 则第二次摸出的是白球的概率为： ． 故选：A． 8. 已知定义在上的函数 满足 ，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，利用导数说明其单调递增，将原不等式等价转换为，由此即可得解. 【详解】令，则， 所以在上单调递增， 不等式等价于，解得， 所以不等式 的解集为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键是得到，且单调递增，由此即可顺利得解. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知变量的5对样本数据为，用最小二乘法得到经验回归方程，则（ ） A. 必过点 B. C. 样本数据的残差为0.1 D. 变量和之间具有正相关关系 【答案】ABD 【解析】 【分析】由线性回归方程的相关知识即可逐一判断每个选项. 【详解】对于A项，由已知可得，，，故A正确； 对于B项，根据经验回归方程，可知，所以，故B正确； 对于C项，由B知，经验回归方程为，样本数据的预测值为，所以样本数据的残差为，故C项错误； 对于D项，根据经验回归方程，可知变量和之间具有正相关关系，故D项正确. 故选：ABD. 10. 四名医生去甲，乙，丙三个村开展义诊活动，每个医生分配到一个村且每个村至少分配一名医生. 设事件 “医生分配到乙村”，事件 “医生分配到甲村”，则（ ） A. B. 事件与事件相互独立 C. 事件与事件互斥 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用互斥事件和独立事件的判断方法可判断B,C正误，利用排列组合知识和条件概率可判断A,D正误. 【详解】四名医生去甲，乙，丙三个村开展义诊活动，每个医生分配到一个村且每个村至少分配一名医生共有种方法， 医生分配到乙村有种方法，所以，A正确. 医生分配到甲村有种方法，所以， 医生分配到乙村且医生分配到甲村有种方法，所以， 因为，所以事件与事件不独立，B不正确. 由于事件与事件能同时发生，所以事件与事件不是互斥事件，C不正确. ，D正确. 故选：AD 11. 已知函数 及其导函数的定义域为，记 ，若 为奇函数， 为偶函数，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知有，，进一步可得即可判断B，举出反例即可判断A，求导得，，进一步得以及的周期为8，由此即可判断C，在中，依次令可得，结合的对称中心以及周期性可得，由此即可判断D. 【详解】对于B，若 为奇函数， 为偶函数，则，， 所以，故B符合题意； 对于A，在中，令，可得，而由B选项分析可知的周期是8， 所以不一定成立，事实上，我们可以举出反例，， 而是奇函数，是偶函数，满足题设， 但此时，故A不符合题意； 对于C，对等式，两边关于求导并结合， 依次可得，， 所以，所以的周期为8， 在中，令，可得， 从而，故C符合题意； 对于D，在中，依次令，可得 ， 从而， 由可知是函数的对称中心， 又的周期为8，所以， 综上所述，，故D符合题意. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：判断A选项的关键构造出合适的反例，由此即可顺利得解. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题5分，共 15 分. 12. 某中学 1600 名学生参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩近似服从正态分布 ，已知成绩小于 130的有 300 人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在 次之间的人数约为_________. 【答案】500 【解析】 【分析】利用正态曲线的对称性可求答案. 【详解】因为成绩服从正态分布 ，即正态曲线关于对称， 因为成绩小于 130的有 300 人，所以， 所以，人数约为. 故答案为:500 13. 已知正三棱锥中，侧棱长为，底面边长为，则该三棱锥外接球表面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】过点作平面，垂足为，连接，设外接球的球心为，在的延长线上，球的半径为，由题意，代入即可求出，即可求出球的表面积. 【详解】过点作平面，垂足为，连接， 由已知得，， 设外接球的球心为，因为，所以在的延长线上， 设外接球的半径为，则， 由得，解得， 所以外接球的表面积为. 故答案为： 14. 已知函数，若函数 有 3 个极值点，则实数的取 值范围是_______； 若 ，则实数的取值范围是 _____ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：由题意转化为有三个不等的实数根，再参数分离为，转化为与有三个交点，利用导数分析函数的图象，即可求解；第二空：首先由，转化为，再通过构造函数，利用导数求的取值范围，再根据的单调性求参数的取值范围. 【详解】第一空：函数有三个极值点 则有三个不等实根 即方程有三个不等实根， 令，则， 由得，由得或 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 又，，且时，时， 所以； 第二空：由（1）知，， 所以，令，则， 令，则 令，则， 即，，故 在上单调递增，所以. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的第二问的关键是根据的单调性，转化为求的取值范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某社区为了推动全民健身，增加人们对体育运动的兴趣，随机抽取了男，女各 200 人做 统计调查. 统计显示，被调查的人中，喜欢运动的男性有 100 人，不喜欢运动的女性有 50 人. （1）完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过 0.005情况下认为人们喜欢运动与性别有关; 喜欢 不喜欢 合计 男性 女性 合计 （2）为了鼓励全民运动，社区开展一次趣味体育比赛，并设置3个奖项，每个奖项有且仅有 一人获取，每人最多只能获得 1 个奖项; 现从这 400 人中选出男性4人，女性4人参加 比赛，记为获奖的男性人数，求的分布列和数学期望. 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）表格见解析，能 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题意，完成列联表，计算值并根据其与的大小比较得出结论； （2）由题意，可分析得出变量服从超几何分布，按照其概率公式写出分布列，计算数学期望即得. 【小问1详解】 喜欢 不喜欢 合计 男性 100 100 200 女性 150 50 200 合计 250 150 400 零假设为：人们喜欢运动与性别无关． 根据列联表数据计算可得： ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为人们喜欢运动与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005, 即能在犯错误概率不超过 0.005的情况下认为人们喜欢运动与性别有关. 【小问2详解】 记为获奖男性的人数可能为0，1，2，3， ；； ；， 随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 所以. 16. 已知函数. （1）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围; （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由题意在恒成立，分离参数即可求解； （2）求导得，令，解得，，对分类讨论即可得解. 【小问1详解】 在恒成立，即； 设，则 所以. 【小问2详解】 且定义域为， ， 令，解得，， 若， 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增. 若， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 若，在定义域内恒成立，函数在单调递增， 若， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 综上所述： 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 当时，函数在上单调递增,在上单调递减，在上单调递增. 当时，函数在单调递增. 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 17. 如图，四棱锥的底面是菱形，平面，，点 分别是 的中点，. （1）求证：平面 （2）求证：平面 （3）求平面 与平面 所成二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质判定推理即得. （2）法一，连接，利用三角形重心定理结合线面平行的判定推理即得；法二，取的中点，利用线面平行的判定、面面平行的判定性质推理即得. （3）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面 与平面法向量，再利用面面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 连接，在菱形中，由，得， 由点为的中点，得，而，则， 又平面，平面，于，又，平面， 所以平面. 【小问2详解】 法一、连接，连接， 在三角形中，为中线，则为重心，即有， 而，于是，平面，平面， 所以平面 法二、取中点，连接，在三角形中，为的中点，则， 平面，平面，因此平面， 在三角形中，由，，得， 平面，平面，因此平面， 又平面，平面，， 于是平面平面，而平面， 所以平面. 【小问3详解】 由（1）知，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ， ，设平面的法向量为， 则，令，得， ，设平面法向量， 则，令，得，设平面与平面所成的角为， 则，因此， 所以平面与平面所成的角的正弦值为. 18. 为普及安全知识，某单位举办了一场安全知识竞赛，经过初赛、复赛，有甲、乙两个代表队（每队三人）进入决赛，决赛规则如下：共进行三轮比赛，每轮比赛中每人各答一题，每答对一题得 10 分，答错不得分. 假设甲队每人答题正确的概率均为，乙队三人答题正确的概率分别. （1）若决赛中三轮总得分大于70分就能获得特别奖，求乙队获得特别奖的概率; （2）因两队在决赛中得分相同，现进行附加赛. 规则如下：甲，乙两队抽签决定谁先答题，每队每人各答题一次为一轮，有两人及以上答对就算成功答题，并继续下一轮答题，否则换另一队答题，连续两轮成功答题的队伍获胜，比赛结束. 求附加赛中甲队恰好在第5轮结束时获胜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由独立乘法、互斥加法公式先求出、，进一步即可求解； （2）分别求出甲、乙两队成功答题的概率，分甲先答第一轮、乙先答第一轮两种情形讨论即可求解. 【小问1详解】 设乙队每轮得分为， ， ， 三轮积分超过70分， . 【小问2详解】 其中甲队成功答题的概率为， 其中乙队成功答题的概率为， 若甲先答第一轮： 甲（胜）甲（负）乙（负）甲（胜）甲（胜） ， 甲（负）乙（胜）乙（负）甲（胜）甲（胜） ， 若乙先答第一轮： 乙 （负）甲（负）乙（负）甲（胜）甲（胜） ，， 甲队恰好在第5轮结束获胜的概率为. 19. 已知函数.（其中 为自然对数的底数） （1）当时，求函数在 处的切线方程; （2）当时，若函数在上的最小值为，求实数的值; （3）当时，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分别求出，即可得解； （2）求导得，对分类讨论可得最小值的表达式，从而列方程即可得解； （3）思路一：首先证明存在使得，且：，此时，只需结合条件等式以及的范围证明即可，思路二：首先放缩、换元得到，只需证明时，有成立即可. 【小问1详解】 ，， 当时，，， 函数在处的切线方程为， 即：. 【小问2详解】 且，， 当时，，则在单调递增，不存在最小值； 当时，在上，，则单调递减； 在上，，则单调递增； ，即， （舍去）或， . 【小问3详解】 ，， 设，， 法一：， 对于， ，在单调递增. ，， 存在使得，且：.① 在上单调递减；在上单调递增. ，由①可得： ，得证； 法二： ， 令，即证：，设， ， 在上，，单调递减；在上，，单调递增； ，原式得证. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是证明的最小值大于0，或通过放缩、换元得出：只需证明时，有成立即可，由此即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023 - 2024 学年度高二年级第二学期教学质量调研 （二） 数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 9 2. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数 为偶函数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 4. 某校表彰大会，共表彰 6 人，每个年级两人，6 人排成一排拍照留念，则高一两名学生相邻，高二两名学生不相邻的排法有（ ）种. A. 72 B. 144 C. 240 D. 288 5. 已知 的展开式中各项系数之和为27，则展开式中 项的系数为（ ） A. B. 6 C. 18 D. 30 6. 某圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积为，则该圆锥的全面积为（ ） A. B. C. D. 7. 某袋中装有 3 个白球，2 个红球. 先从中随机摸出一个球，观察颜色后放回，并加入 3 个 与该球同色的球，再从袋中摸出一个球，则第二次摸出的球是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数 满足 ，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知变量5对样本数据为，用最小二乘法得到经验回归方程，则（ ） A. 必过点 B. C. 样本数据的残差为0.1 D. 变量和之间具有正相关关系 10 四名医生去甲，乙，丙三个村开展义诊活动，每个医生分配到一个村且每个村至少分配一名医生. 设事件 “医生分配到乙村”，事件 “医生分配到甲村”，则（ ） A. B. 事件与事件相互独立 C. 事件与事件互斥 D. 11. 已知函数 及其导函数的定义域为，记 ，若 为奇函数， 为偶函数，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题5分，共 15 分. 12. 某中学 1600 名学生参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩近似服从正态分布 ，已知成绩小于 130的有 300 人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在 次之间的人数约为_________. 13. 已知正三棱锥中，侧棱长为，底面边长为，则该三棱锥的外接球表面积为_________. 14. 已知函数，若函数 有 3 个极值点，则实数取 值范围是_______； 若 ，则实数的取值范围是 _____ 四、解答题：本题共5小题，共77分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某社区为了推动全民健身，增加人们对体育运动的兴趣，随机抽取了男，女各 200 人做 统计调查. 统计显示，被调查的人中，喜欢运动的男性有 100 人，不喜欢运动的女性有 50 人. （1）完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过 0.005的情况下认为人们喜欢运动与性别有关; 喜欢 不喜欢 合计 男性 女性 合计 （2）为了鼓励全民运动，社区开展一次趣味体育比赛，并设置3个奖项，每个奖项有且仅有 一人获取，每人最多只能获得 1 个奖项; 现从这 400 人中选出男性4人，女性4人参加 比赛，记为获奖的男性人数，求的分布列和数学期望. 附： 0.1 0.05 0.01 0005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数. （1）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围; （2）讨论函数的单调性. 17. 如图，四棱锥的底面是菱形，平面，，点 分别是 的中点，. （1）求证：平面 （2）求证：平面 （3）求平面 与平面 所成二面角的正弦值. 18. 为普及安全知识，某单位举办了一场安全知识竞赛，经过初赛、复赛，有甲、乙两个代表队（每队三人）进入决赛，决赛规则如下：共进行三轮比赛，每轮比赛中每人各答一题，每答对一题得 10 分，答错不得分. 假设甲队每人答题正确概率均为，乙队三人答题正确的概率分别. （1）若决赛中三轮总得分大于70分就能获得特别奖，求乙队获得特别奖的概率; （2）因两队在决赛中得分相同，现进行附加赛. 规则如下：甲，乙两队抽签决定谁先答题，每队每人各答题一次为一轮，有两人及以上答对就算成功答题，并继续下一轮答题，否则换另一队答题，连续两轮成功答题的队伍获胜，比赛结束. 求附加赛中甲队恰好在第5轮结束时获胜的概率. 19. 已知函数.（其中 为自然对数的底数） （1）当时，求函数在 处的切线方程; （2）当时，若函数在上的最小值为，求实数的值; （3）当时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$