24.1 圆的有关性质-【众相原创】2024-2025学年九年级全一册数学吃透教材（人教版）广西专版

吃透教材九上·第二十四章 第二十四章 圆 24.1圆的有关性质 24.1.1圆 教材知识梳理 内容 温馨提示 如图1，在一个平面内，线段OA绕它固定的 个端点0旋转一周，另一个端点A所形成 0 圆的 的图形叫做① .其固定的端点O叫做 定义 ② 线段OA叫做③ 图I 1.确定一个圆需要“两个要 以④ 为圆心的圆，记作⊙0，读作 素”，一是圆心：圆心确定位 “圆0” 置，二是半径：半径确定大小： 2.圆是一条封闭的曲线，曲线是 (1)圆上各点到定点（圆心O)的距离都等于 “圆周”，而不能认为是“圆面”： ⑤ 圆的 3.“圆上的点”指圆周上的点 (2)到定点的距离等于定长的点都在⑥ 特征 因此，圆心为0、半径为r的圆可以看成所有到定点O的距 离⑦ 定长r的点的集合 连接圆上任意两点的线段叫做⑧ 1.弦和直径都是线段： 如图2中的AB,AC 2.直径是半径的2倍： 经过圆心的弦叫做⑨ 如图2 3.直径是经过圆心的特殊弦，是圆 中的AB 图2 中最长的弦，但弦不一定是直径 圆上任意两点间的部分叫做0 ,简称① 以A,B为端点的弧记作AB,读作“圆弧AB”或“弧AB” 与圆有 关的概 2 的弧（用三个点表示），叫做优弧，如ABC: 孤包含优孤、劣孤和半圖 念 B 的弧，叫做劣弧，如AC 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧 都叫做4 能够5 的两个圆叫做等圆 长度相等的孤不一定是等孤： (半径相等的两个圆是等圆：同圆或等圆的半径相等) 等孤仅仅存在于同圆或等 在6 中，能够互相⑦ 的弧叫做 国中 等弧 946 众相原创分层练·广西数学() 吃透教材九上·第二十四章 教材经典母题变式 教材母题1)圆的定义 例1（教材P80例1变式)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，求证：A,B,C,D四个 点在同一个圆上 B 【方法总结】用定义证明几个点在同一个圆上的方法：只要证明这几个，点到定点的距离相等即可 教材母题2与圆有关的概念 例2如图，A,B,C,D,E,F均为⊙0上的点，AB过点O. (1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧： (2)请写出以点A为端点的弦及直径； (3)请任选一条弦，写出这条弦所对的弧. 教材母题3利用圆的相关概念解决简单的几何问题 例3（教材89习题T2变式）如图，⊙0的半径为4cm,∠A0B=60°，则弦AB 的长为 cm. 【方法总结】因为圆中的半径都相等，所以在圆中易得等腰三角形，常利用等腰三角形的性质求角 度或线段长 易错剖析 易错点对圆的有关概念理解不透彻而出错 例4有下列说法，其中正确的是 ,(填写所有正确结论的序号) ①圆中的线段是弦： ②经过圆心的线段是直径： ③经过圆心的弦是直径； ④直径是同一个圆中最长的弦： ⑤弧分为优弧和劣弧： ⑥优弧大于劣弧； ⑦长度相等的弧是等弧： ⑧长度相等的弧所对的弦相等： ⑨半径相等的两个圆是等圆： 0弧是半圆，半圆是弧 易错锡混在利用圆的相关概念解题时，一定要牢记各概念的前提条件，详见本课时教材知识梳理 中的【温馨捉示】。 众相原创分层练·广西数学() 947 吃透教材九上·第二十四章 24.1.2 垂直于弦的直径 教材知识梳理 1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条① 都是圆的对称轴， 2.垂径定理及其推论 定理：垂直于弦的直径② 弦，并且③ 弦所对的两条弧。 推论：平分弦（不是④ )的直径⑤ 于弦，并且⑥ 弦所对的两条弧。 【特别提醒】注意推论中“不是直径”这一条件不能缺少，因为直径之间肯定是互相平分的，如果缺 少了这个条件，结论不一定成立。 【知识拓展】五个条件：(1)过圆心；(2)垂直于弦；(3)平分弦；(4)平分弦所对的优弧； (5)平分弦所对的劣孤满足其中任意两个，必定同时满足另外三个，即“知二推三” 教材经典母题变式 教材母题【①圆的轴对称性 例1下列命题中，正确的是 A.圆只有一条对称轴 B.圆的对称轴不止一条，但只有有限条 C.圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴 D.圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是它的对称轴 【温馨提示】因为对称轴是直线，而直径是线段，所以不能说圆的直径是圆的对称轴 教材母题2)垂径定理及其推论 例2下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不具备，请说明为什么. 图1 图2 图3 E 0 图4 图5 阳6 【方法总结】垂径定理使用的前提：(1)过圆心：(2)垂直 948 众相原创分层练·广西数学() 吃透教材九上·第二十四章 例3（教材PI22复习题T1变式）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD,垂足为M,若CM= 8,DM=12,则AB等于 A.43 B.82 C.86 D.46 【方法总结】 (1)常用的辅助线作法：①连半径：②过圆心向弦作垂线； (2)解题的关键是构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解： (3)常用结论：（孩）2+孩心距=半径（孩心距为圆心到孩的距离）。 教材母题3)垂径定理的应用 例4（教材P82例2变式）某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m, 半径OA=10m,求蔬菜大棚的高度CD. 易错剖析 易错点无图时，未分情况讨论弦的位置而出错 例5（教材90习题TI0变式）已知⊙0的半径为5，弦AB∥CD,AB=6,CD=8,则AB与 CD间的距离为 () A.1 B.7 C.1或7 D.3或4 易错提圍当题千中未给出图形，需要自己作图计算时，一定要考虑全面，不要漏解、如本题需要分 类讨论两弦在圆心的同侧还是异侧. 众相原创分层练·广西数学() 949 吃透教材九上·第二十四章 24.1.3 孤、弦、圆心角 教材知识梳理 1,圆的中心对称性：圆是中心对称图形，① 就是它的对称中心 2.圆的旋转不变性：把圆绕② 旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形③ 3.圆心角的定义：顶点在④ 的角叫做圆心角。 【注意】一条孤所对的圆心角只有一个 4.圆心角及其所对的弧、弦之间的关系： 内容 关系图示 在5 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的 ⑥ 也相等 在⑦ 中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆 心角⑧ ,所对的弦⑨ 在同图或等圆中 在0 中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆 圆心角 相等 心角① ,所对的优弧和劣弧分别2 【注意】前提条件是“在同圆或等圆中”，如果丢掉了这个前 提，结论不一定成立。 相等 相等 【总结】在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条孤、两条弦中有 一组量相等，则它们所对应的其余各组量均相等，即“知一 得二” 教材经典母题变式 教材母题1)认识圆心角 例1（教材P88练习T1变式）下面四个图形中的角，是圆心角的是 A B 【变式】如图，下列各角是圆心角的是 A.∠ABC B.∠AOB C.∠OAB D.∠OBC 950 众相原创分层练·广西数学() 吃透教材九上·第二十四章 教材母题2)圆心角及其所对的弧、弦之间的关系 例2（教材P84例3变式）如图，△ABC为等边三角形，以AB为直径的⊙O分别交AC,BC 于点D,E.求证：AD=DE=EB. 0 (0 【方法总结】圖心角、弧、弦之间等量关系的灵活转化是解决圆相关问题的重要法宝， 易错剖析 易错点对那、弦、圆心角的关系理解有误而出错 例3如图，在⊙0中，若AB=2CD,则AB与CD的大小关系为 A.AB=2CD B.AB<2CD C.AB>2CD D.无法确定 易错提醒“在同圆或等圆中，相等的圆心角等孤等弦”只存在于“单倍相等”关系，“多倍”时，结论 不成立 众相原创分层练·广西数学() 951 吃透教材九上·第二十四章 24.1.4圆周角 第1课时 圆周角定理及其推论 教材知识梳理 1.圆周角的定义：顶点在① 并且两边都与圆② ,这样的角叫做圆周角. 【温馨提示】圆周角与圆心角的区别与联系： 角 区别 联系 图示 一条弧所对的圆周角有 圆周角 顶点在③ ④ 个 角的两边都与圆 一条弧所对的圆心角只⑦ 圆心角 顶点在⑤ 有⑥ 个 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑧ 3.圆周角定理的推论：⑨ 所对的圆周角0 半圆（或直径）所对的圆周角是① 90°的圆周角所对的弦是② 教材经典母题变式 教材母题【①) 认识圆周角 例1如图，在图中标出的∠1~∠5这5个角中，AD所对的圆周角是 A.∠5 B.∠1和∠2 C.∠3和∠4 D.∠1和∠3 【温馨提示】圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上；②两边都与圆相交.二者缺一不可 教材母题2圆周角定理 例2（教材P88练习3变式）如图，在⊙0中，∠AOC=140°，∠ACB=50°.求∠BAC的 度数. 952 众相原创分层练·广西数学() 吃透教材九上·第二十四章 教材母题3)圆周角定理的推论 例3（教材P88练习T2变式)如图，点A,B,C,D都在⊙0上，AC,BD为 D 四边形ABCD的对角线， 完成下列填空： ,062 (1)∠1= ,∠2= ,∠3= ∠5= (2)若BC=CD,则∠1= 例4如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C,使AC=AB,BD与CD的大小 有什么关系？为什么？ 【方法总结】一般地，如果题目中有直径出现，常作辅助线构造直径所对的圆周角一一直角：当圆中 要证明垂直或得到90°的角时，常作出直径.常见的辅铺助线作法有： 例5如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过原点O,并且分别与x轴、y轴相交于A、B两点， 已知A(-3,0)、B(0,4),则⊙P的半径为 【方法总结】在平面直角坐标系中，若原点在圆上，则坐标轴与圆的另外两交点的连线一定是圆的 直径 易错剖析 易错点忽略弦所对的圆周角不唯一而出错 例6若⊙0的半径为1，弦AB的长为1，则弦AB所对的圆周角为 易错提国一条弦对应两条孤，所对的圆周角有两种情况：优孤上的圆周角和劣孤上的圆周角.在 遇到此类问题时，需要分类讨论，避免漏解 众相原创分层练·广西数学() 953 吃透教材九上·第二十四章 第2课时 圆内接四边形 教材知识梳理 1.圆内接多边形的定义：如果一个多边形的所有顶点都在① 上，这个多边形叫 做② 这个圆叫做这个多边形的③ 2.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角④ 【拓展】圆内接四边形的任何一个外角都⑤ 它的内对角 教材经典母题变式 教材母题 圆内接四边形 例1（教材90习题TI3变式）如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，∠C=130°.求 ∠BOD的度数. 例2已知四边形ABCD的内角∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比为3：1：2：5，判断这个四边形 是不是圆内接四边形，并说明理由 例3如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD,∠C=100°若点E在AD上，求∠E的 度数 954 众相原创分层练·广西数学()答:这个短的民为1第时,第药到大,路1C2(1(20'00”(3云ACAC” 图2100 例3:画出阳彬加图. -c5nBb 大10”. 71赴C:弦文是径 第?课时 利问题 AC&D·图内 内国达的对角互计,国内撞边对的相等 ###_## (3苍F文的死到[案王一 a1.25 例3A4.③ 例3.:连接1现形A是内择码过. 例2.:没要春联的拾记为:无时,整利泪为无。 24.1.2 垂直于弦的直图 -乙C-1-D-1%-100-0 (.-2-(-25)-10].-10 ①直径听在直线 ②早分 ③平分 ①直径 5直 平分 ·Aw:A乙An.CAo. 0-10000-10-35]+2250 1.D 乙.-(1r-01-50 --10c25,3寸3时大7 例2:图1356且径理的件 答,出每阻春的物径室为3元时,铅程留最大,最大 阅)料图 a4陆起 ·过A活为同的内提国形. 图?担为没有直,析口不具备。 日判是730元 4.:方一:选接D”用刻度只技点的中点,即对称 图4因为两部书是直径,所不其路 二+-10F-1-%-1r 3.(1.-10.u t0 13.C 24.2 点和圆.直线和罔的位置关系 (2)设每天获得的元。 二:”C”其完点为中8图所示: 4.--16n.0c:AA--80 ①②-③④不在-直线上 平 24.2.1 点和司的位置关系 图-30-10+80-101100-000 23.2.2 中对形 -10:-55)6250 ①一个图 ②旋转10 ③重合 ③中心对弥用那 对 在品A0由句段冠理得0-A0-A. ①平分线 ③心不 不正 ① 一件这音品的和不起过60%.1-30×100% 中经过 平分 B对中心一个 -0-v10-8-60n-0-0-1. 1.:(1选一-3c4A-4.t。v4-55 两个 B一个图形上 两个图形上 中心对 15.C 60%.哥:648. 4点在内.点C在04,点D②上 中心 一个整体 中心图 两分 ②心对称 --10cD:,-时在最大前,最大为5760 24.1.3 营.ō.阅角 17c5 点 2线 旋1如折 ② 翻折 ①心②现:概因 ,结单价定%43元时,商家陪哲该度品无铁得的利 树3.幅:(1)图.③0即为%永 删2A 大,最大%5760元 1.(1)(31(5)(6)(9)是中0过图形(2)(4)(7)) 中心阳阳 线到 等 词或图 D 幅等 第3课时 物形问题 (7)加%,0%交基平点B !题没1:(1)2)(3)(4(55)16)(8)(0)是对称1所 图1.D过I 1:8 AAc-13.-. (7)不是轴对梅图系 删2证朗:(o0 2.(1)由题料.物线是过点10.D).(12.0) 2224n例3路 :08分1. )C为答三A-:8-60 2.可以段物线的析式为,-:-32)(D)把A2 4.幅:连挂80空于点 即品-o-tc-12.0p.an ..- 一正古形A与新线况---构度了中心对称医形。 △80D和△0BE是等边三. 在△A0--1-3 .or--rr.on--ō -0.n0r-60 一.t式v.- 一△C的外圆o0的社为. .00-60。 -:0--/%50-505 0r0m-5. (2312-9-3,相对那性..-.n.-×。。 0n-zp-0. 00-1语好-..]·28 将_ 在&pr中1.25-25 例.11 .△的外丰校, 得-5减.-2().-5x7:1 24.1.4 阁圈期 -4.5三.高陵不超过4.5n的车交余过该链道. 23.2.3 关于原点对称的点的坐标 图4.A0C4没有一十内角小于或于sA560二5 第1请时 角定理具推论 ① -1.- ③-)④-1) 6.360+.38+060-180 .D ①上 ②交 ③上 ④无数 心②文 -.) 等干60 三角形角标为1期A中至少有一个内角小王或 第二十三章 旋转 111.-3)(2340.3(31(-14-1! B一 国 等 非者 直段 遍10 2.:(1)画用略(2)画图. 例5.11霞) 23.1 阐的转 (3)△4点C与△4&七吴干,称 例2AC-530-4CW100 24.2.2 直线和回的位置关率 C00.oc-乙A0C-:AW-14-10- 第1课时 封的概与性 23.3 题学习 图案设计 ① ② s ④0 第1课时 直和的位首关系 去心②转 ③点 ④相 5转 全答 ①对称 ②平 ③ 402c-10r-20 .{ 别1C2略 删(1174367(24△1 例2.幅(1数较中心是时与分计的交点 第二十四章 圈 例4:助-(2.理由加下:连AD. 图1(1)51253n5 (2)7360°4-6'6.20-120.了1度 ·A游A-即AD0 (2(概(2相 3幅1中心%点A 24.1 的有关性盾 一这:望:人是三心: (2)也0是00 例5.2.56.30霞150 24.1.1四 例3.D附415 (3)院的料&.一A品答 ②概心③半 ③点长(半是+}一个 第时 内四动形 第澜时 切线的判定和性 三短. 喝上 等子 弦 直 网 大子园 ①一回 ②调内多过 ③斗 ① ② ①确 ②考页 ③一个 ③段 直 点 一个 第时 转作图 B4干丰 B B重分 洞 主分 例1.:7c:135°2An是00的内边。 21.路 例2.略 3.B 例4.B 1证霸:画、品的中 .A-1--C-0. 1.证:连接P一A&C为等三角用段C是实 23.2 中心封称 点700. 心高-C -7A-10% 23.21 中对称 乙8--00-. 0s0P..8-00-C.0PA0 例2:阻这形ACB本照内接阻形,阻由下 ②重合 2文下这点对称 ④中心封称 -8n-0n:0CA.ACa 四5ABCD的内角2A.7B.2C2D的度数之比为 为00的是为0题 心高: 心对点 平分会等 个点回一个昌上 3:1:5.A-8.”r-”p5. 2:H点BB1AC子E