22.1 二次函数的图象和性质-【众相原创】2024-2025学年九年级全一册数学吃透教材（人教版）广西专版

吃透教材九上·第二十二章 第二十二章二次函数 22.1二次函数的图象和性质 22.1.1二次函数 教材知识梳理 二次函数的定义：一般地，形如① (a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函 数，其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和② 【特别提醒】等式的右边最高次数为③ ,可以没有一次项（如y=ax2,y=ax+c)和常数项 (如y=ax2+bx,y=ar2),但不能没有④ 教材经典母题变式 教材母题1)二次函数的定义 例1判断下列函数是不是二次函数.如果是，请写出它的二次项系数、一次项系数和常 数项 (1)y=2x2-3: (2)y=3x-1: (3)y=(2x-1)(1-x): (4)y= 5+1 【变式】若y=(a+1)x2+x+1是关于x的二次函数，则a的取值范围是 A.a≠0 B.a≥1 C.a≤-1 D.a≠-1 【方法总结】运用定义判断一个函数是否为二次函数的步骤： (1)整理函数解析式：等号左边为因变量，其余项均移至等号右边，并进行化简： (2)判断等号右边是否是整式： (3)判断等号右边自变量的最高次数是否是2： (4)判断二次项系数是否不为0 918 众相原创分层练·广西数学() 吃透教材九上·第二十二章 教材母题2)实际问题中的二次函数 例2（教材28问题1变式）n个人参加聚会，每两人都握一次手，所有人共握手m次，写出 m与n之间的函数关系式： ,它 (填“是”或“不是”)二次函数 例3（教材28问题2变式）某印刷厂一月份印书50万册，如果第一季度从二月份起，每月 印书量的增长率都为x,三月份的印书量为y万册，则y关于x的函数解析式 是 例4（教材P29练习T1变式）已知长方体的高是6cm,底面是边长为xcm的正方形，它的 表面积是Scm2,体积是Vcm3 (1)分别写出S与x、V与x之间的函数关系式： (2)在(1)中的两个函数中，它们是关于x的二次函数吗？ 易错剖析 易错点忽视二次函数解析式中二次顶系数不为零的前提 例5若y=(m+2)xm-5是关于x的二次函数，则m的值为 【变式】若y=(m-3)x-2m-1+2x+1是关于x的二次函数，则m的值为 易错提园判定二次函数时，需同时满足两个条件：①最高次数为2：②二次项系数不为0. 众相原创分层练·广西数学() 919 吃透教材九上·第二十二章 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 教材知识梳理 1.二次函数y=ax的图象是一条开口向上或向下的① 一般地，二次函数y=ax2+ bx+c的图象叫做② y=ax +bx +c. 2.二次函数y=ax2的图象和性质 解析式 y=a.x2(a≠0) a的符号 a>0 a<0 图象 州 开口方向 开口3 开口④ 开口大小 1al越大，开口⑤ ;lal越小，开口⑥ 对称轴 ⑦ (直线x=0) 顶点 原点(0,0) 最高（低）点 顶点是抛物线的最⑧ 点 顶点是抛物线的最⑨ 当x<0时，y随x的增大而⑩ 当x<0时，y随x的增大而2 增减性 当x>0时，y随x的增大而① 当x>0时，y随x的增大而3 教材经典母题变式 教材母题二次函数y=a的图象和性质 例1（教材29内容）在平面直角坐标系中画出y=x2的图象，并写出三条二次函数y=x2 的图象特征 解：列表： … -2 -1 0 2 描点、连线： 图象的特征有： (1) 3 (2) (3) 654-3-2-1 0123456x 920 众相原创分层练·广西数学(U) 吃透教材九上·第二十二章 例2（教材30例1变式）在如图所示的平面直角坐标系中，画出二次函数y=2x,y= 之，y=-2与y=-的图象，并从开口方向、最值、增减性方面说说这些抛物线有 什么共同点和不同点， 54321]012345元 【变式】如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数①y=-3x,②y=-2,③y=-的图 象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是 .(填序号) 众相原创分层练·广西数学() 921 吃透教材九上·第二十二章 22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 教材知识梳理 1,二次函数y=ax2+k的图象和性质 解析式 y=ax2+k(a≠0) a,k的符号 a>0,k>0 a>0,k=0 a>0.k<0 a<0,k>0 a<0.k=0 a<0,k<0 图象 开口 开口① 开口② 对称轴 ③ (直线x=0) 顶点坐标 ④ 增减性 当x<0时，y随x的增大而⑤ 当x<0时，y随x的增大而⑦ 当x>0时，y随x的增大而⑥ 当x>0时，y随x的增大而⑧ 当x=0时，y取得最小值，最小值 当x=0时，y取得最大值，最大值为 最值 为⑨ 0 2.抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的关系 抛物线y=ax 向上平移k个单位长度一抛物线y=a2+1上加，下减， 向下平移k个单位长度→抛物线y=ax2-k且只变常数项 教材经典母题变式 教材母题1)二次函数y=ar2+k的图象和性质 例1（教材P32例2变式)在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y=2x2,y=2x2+1,y 2x2-1的图象，观察三条抛物线的位置关系并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标 解：列表： -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 y-2.x2 y=2x2+1 … y=2x2-1 922 众相原创分层练·广西数学(U) 吃透教材九上·第二十二章 描点、连线： 10 以 6 3 -3-2-10123 -1 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2x2 y=2.x2+1 y=2x2-1 【思考1】抛物线y=ax2+k中的a决定什么？怎么决定？ 【思考2】抛物线y=ax2+k中的k决定什么？ 教材母题2抛物线y=a2+k与抛物线y=ar的关系 例2（教材P33思考变式）(1)把抛物线y=2x2向平移 个单位长度，就得到抛物 线y=2x2+1: (2)把抛物线y=2x2+1向 平移个单位长度，就得到抛物线y=2x2; (3)把抛物线y=2x向 平移 个单位长度，就得到抛物线y=2x2-1: (4)把抛物线y=2x2-1向 平移个单位长度，就得到抛物线y=2x2; (5)把抛物线y=2x2+1向 平移 个单位长度，就得到抛物线y=2x2-1: (6)把抛物线y=2x2-1向 平移 个单位长度，就得到抛物线y=2x2+1. 【思考】抛物线y=ax2+k(a≠0)与抛物线y=ax2(a≠0)之间有什么关系？ 答：抛物线y=ax2+k相当于把抛物线y=ax向 (k>0)或向 (k<0)平移 个单位长度 易错剖析 易错点求二次函数的函数值的范围时忽视顶点处的取值 例3已知二次函数y=-x2-2,当-1≤x≤2时，y的取值范围是 易错提国求二次函数在某一区间的取值范围时，不能只考虑自变量两端，点处的取值而忽视顶，点 处的取值 众相原创分层练·广西数学() 923 吃透教材九上·第二十二章 第2课时二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 教材知识梳理 1.二次函数y=a(x-h)的图象和性质 解析式 y=a(x-h)2(a≠0) a,h的符号 a>0,h>0 a>0,h<0 a<0,h>0 a<0,h<0 图象 开口 开口① 开口② 对称轴 ③ 顶点坐标 ④ 当x<h时，y随x的增大而⑤ 当x<h时，y随x的增大而⑦ 增减性 当x>h时，y随x的增大而⑥ 当x>h时，y随x的增大而⑧ 当x=h时，y取得最小值，最小值为 当x=h时，y取得最大值，最大值 最值 ⑨ 为① 2.抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ar2的关系 向左平移h个单位长度→抛物线y=a(x+h)2 抛物线y=ax 自变量左加右减 1向右平移h个单位长度→抛物线y=a(x-h)2 教材经典母题变式 教材母题1)二次函数y=a(x-h)的图象和性质 例1（教材3探究变式在同一-平面直角坐标系中，画出二次两数了=，=(x+ 1)尸，y=-2(x-1)'的图象，观察三条抛物线的位置关系并分别指出它们的开口方向、对 称轴和顶点坐标 解：列表： -3 -2 -1 0 2 3 924 众相原创分层练·广西数学(U) 吃透教材九上·第二十二章 描点、连线： 4-32-01234 -1 -2 -4 -6 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2 y=-2x+10 y 【归纳】对于抛物线y=a(x-h)2,当a>0时，开口 ,最 点是顶点：当a<0 时，开口 ,最 点是顶点；对称轴是直线 ,顶点坐标是 教材母题2抛物线y=a(r-h)与抛物线y=ar2的关系 例2（教材34思考变式）(1)抛物线y=-向 平移个单位长度，就得到抛 物线)=-(x+1)只； (2)抛物线y=x+1)间平 多一个单位长度，就得到抛物线y=: (3)抛物线y=-分向 平移 一个单位长度，就得到抛物线)=-2(x-1): (④)抛物线y=一(x-1)向 平移 个单位长度，就得到抛物线)=一 (5)抛物线y=-2(x+1)向—平移一个单位长度，就得到抛物线y=2x-1)； (6)抛物线y=-（x-1)向—平移一个单位长度，就得到抛物线y=-(x+1月。 【思考】抛物线y=a(x-h)(a≠0)与抛物线y=ax2(a≠0)之间有什么关系？ 答：抛物线y=a(x-h)相当于把抛物线y=ax向 (h>0)或向 (h<0)平移 个单位长度. 众相原创分层练·广西数学() 925 吃透教材九上·第二十二章 第3课时 二次函数y=a(x-h)之+k的图象和性质 教材知识梳理 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 解析式 y=a(x-h)2+(a,h,k为常数，a≠0)】 a的符号 a>0 a<0 >0 h<0 k<0 图象 k>0 k<0 h>0 k>0 <0 开口方向 开口① 开口② 对称轴 ③ 顶点坐标 ④ ;当 当x<h时，y随x的增大而 当x<h时，y随x的增大而⑤ 增减性 ⑦ ;当x>h时，y随x的增 x>h时，y随x的增大而⑥ 大而⑧ 当x=h时，y取得最小值，最小值为 当x=h时，y取得最大值，最大值为 最值 ⑨ 0 平移规律：二次项系数a不变，括号内① ,括号外上加下减。 教材经典母题变式 教材母题【①)二次函数y=a(x-h)产+k的图象和性质 例1（教材P35例3变式）对于抛物线y=之(x-1)2-1,开口方向是 ,顶点坐标是 ,对称轴是直线 当x 时，y随x的增大而增大：当x 时，y随x的增大而减小；当x= 时，函数取得最 值，为 【思考)怎样移动抛物线)=，可以得到抛物线y=(x-1)2-1? 答：把抛物线)=之先向右平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度，可以 得到抛物线y=x-1)2-1 926 众相原创分层练·广西数学() 吃透教材九上·第二十二章 教材母题2)抛物线y=a(x-h)2+k的应用 例2（教材36例4变式）如图1为某居民小区计划修建的圆形喷水池的效果图，在池中心 需安装一个柱形喷水装置OA,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处 达到最高高度为3m,水柱落地处离池中心的水平距离为3m.小刚以柱形喷水装置OA 与地面的交点O为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，柱形喷水装置所在的直线 为y轴，建立平面直角坐标系.水柱喷出的高度y(m)与水注离池中心的水平距离x(m) 之间的函数关系如图2 (1)求该抛物线对应的函数解析式； (2)若不计其他因素，求柱形喷水装置的高度 y(m) 末(m 图1 图2 易错剖析 易错点将图象平移与坐标轴平移混淆 例3在平面直角坐标系中，抛物线y=2x保持不动，将x轴向上平移1个单位长度(y轴和 抛物线不动)，则在新坐标系中，该抛物线的解析式是 () A.y=2x2+1 B.y=2x2-1 C.y=2(x-1)2 D.y=2(x+1)2 【变式】在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移5 个单位长度，那么在新坐标系中，此抛物线的解析式是 ( A.y=3(x-5)2+5 B.y=3(x-5)2-5 C.y=3(x+5)2+5 D.y=3(x+5)2-5 易错提国解决此类问题，一定要分清是坐标轴的平移还是图象的平移. 众相原创分层练·广西数学() 927州主解：设方程的另一以为新”+1=1，六所主一2 花：同养直角边的长分制为方，4 离上：月<0时，月口向，a罐大.开中蓝小 侧之解：授抛物线的解析式为y三4(：++(。0明 V,:了年-23=.r。-6 I变式1A 【要考2】答，专说定演点的凤坐标（算案不率一，介理国） 把0，-)代入解析式，得a-们， 【立式1]7【空式力 制玉解：授上，下奇材的宽均为，左，右站村的度岭为 例21上12下1(31下144)上15)下3 ▣=7(3++9==7-34t-8 天越：64h子4为"了4为“7了 ()上21恩考1上下1例3-6≤1≤-2 甲此楚侧线的解析式为y-7一14：-风 第2射二次意，■(x一)的图象灯性质 1变式】解：设抛物线的解所式为y■u(:-2一5140)，园 2以曾碧 整厘科、-10+50，解因=9+25 1料上2向下3直线事=4到6,0)减小6情大 053n.47房去》，则4红-21,3红=1,6 正塔大E或小，男0静0 脑：上，F边的宽均为21，么.动利拉的减均为玉6 4 到1.列青府.情点连线路月下轴。0)科国 红.耳抛物践的能析式为)一子-5 4-1 1童式 线。-1(-10下直级s110 酬3星口A0为xm,周8为兴静-2■ 明3，解：设t种将线的解所式为y=·1):+3)(0》 21.3实际问题与元次方程 【日纳]科上底有下高1=南(A,0) 1据题立，得(0-：1■10， 抛1物)代人解析式，得a=5 侧11)左1(2)右111右114》左15)右1 零引时传福、葡环、数零同琴 厚2山-物+100解释与=15,15 =5列a·1)x43)=5,+20h+15 《6)左21是考1右左日 1a1+2a》3a- .40-2rG25.x225,-年=5 即此抛物线的解转式为y=5x2+卡5 第3课时二灰的敬y=￥(x-于+是的图象和性因 溶：泽直于墙的山AW的长度为5 例4y-4-4设)量一2：中4+4 明，.解：让的轮传中平到一个入乾鼻了，人 ①科上2下直线x-4量，)5减小6情大 限累划总，得2(1+4》'=第，解得天=6，三一不程合则 第二十二章二次函数 22二次函数与元次方程 工异大多减小9左知右减 意，含去》，每轮何量中平均个人转是了年个人 1.上(，=11=13111- 门有再个不相每们数根2件个相等你天数相8无实数相 22.1。二瓷滴敷的阁象和性质 (立式]解：设每轮传地中平均一个人售是·个人：渊您一轮伯 1是考山下 角有2：人被转最，第二轮传中中有式2+2)人着传角， 221.1二次函敬 刷2解)题意可知，物物线的顶点为13引， 例1解：1)闲象略 限据题意，用24+7+2)0.整理.博+24-350 Ty+每+：常数精？不二文调 设流抛到线时向的国数解析式为(4一1)'+（￥9 42周象与言输的突点坐标为-1,0)，小，0). 聊得=5,3=-7不许介远意，奢去1 例1.幅：11y=2名-3是次诉数，二次系酸是1，一次项系 0≤r3，物是过点501 7》5，=-1流=方时，y=0,这甲的牌值基方程一 :每轮特是中早身一个人程康了5个人 数是0.拿数明是~3. 与-3自的根 例之解(1)”-4，=1 例25【变式1A例33 ()力■4-1不是二我函数.是一次南数 无2课时平阅蛮化零、销售利闻间整 (31厅(2-1)1-1"-2+c-1是二代函藏。 新板式为E一季-1+301 次项额数是~2，一次更系数量3.常数调是一1 4)》当-4cr<1明，ycL a(1·”42a(1=）于=3航传司 290时-20-+3是 例3解：州路 例，解：（小设该公词授使送总件数的月平安增率有+。 (4一子+1不见二次两数 11》脸线与年轴的交点生体分射作-15P),50)影置 依圈意，得0(1+=33.， 答：柱形璃术装置的来度为子 所以方程x-r-20的近氨根为=-05，-3.线 邮料真5n%与=-15（不节合短位.会左） 1变式1D例2期了a-1)是倒王y-0(1+a 例线B1变式1D 42物与直践y-2的交点坐标分刺量(-1,2).(421 作：该公可搜溪快还丝件数的月平均增长幸为3% 例4留11》5-2+46加=22+24，=62 年以方程一：-22的实数根为1一1与4 (2)戏，×(1+0%)=4394（方作） 22,1,4二次角毁y=+r+c的 (2它门库是美上年的二次函数 》整物低与直质y=一3的交点坐标分洲在且4，一) :4从四45，5月骨总件数不塑5厅件 例521变式引-1 图象和性质 41.6,-3)牌逐 (变式1% 221.2二次西散y=x”的圆像和质 第1课时次函数F=+br+c的图象和住圆 等以方程一r-2=-小的近自为4=044-2.6 】箱物线2m物悦8构上年同下34木越大 上球玉-去③六减小媚大 例4Dm5.C 佩解感意，得(44)20+5x=1国 1,轴爆餐9有减小增大增大1被布 223实际问题与二武雨数 觉，得-+1制=0.4（年-4》g-3)0, 例1.解：到表路线成定线绵 8W大减小小大单-会国兰 4 第1课时置极问圆 量得=4，=6（食去》.挥，片风停像4无 (1)随物线开向上(2》对称轴是y物(3)当难c0明，y (童式1解：155 例1.解：22-4+6■2-2x+1)-2+6=2(离-1)°+4 例1解：(1)有量小值，最小耸为-7 陆4的增大减小：气0时，随·的暗大向塘大（容室不 (2)设这种情包的销挥卓价为3尾，由聪意.得《事一30)· 位接二改函数用象的时将轴为车=1，谓点中标为141 4)有最大置，量大值为五 2的-10(：-0)j3130.整厘.得-第：+235对里0 例之解：1)y-4+32-4斯+1-1+3u(e-2-1 倒2451350 到3解：冈表磨坊点直规磨 佩得42，利▣所（不许介题意，名 石的线的对释翰为直线-2，质点平标为兴2，=1 例生解：1)根蜜题直，得4信a4,则m={相-2山a 达先随物视的料点：当a>0时，开口利上，有量小值，在对释 鉴：直种行仙的销售单价为口元，物售料是)面元 (21ih1)料=-4c+3=1x-21-1 了（期-五1，厚手11之间的网数关吊式为y▣-224 的左同，y陆的惜大面域小：直林格陆钢了周r的者大 (3)这种行包的销售利澜不可能达河3面无是油如下 方前料线y网4g专3写以香作路血周到选手=头向 40 南墙大 由度，月(-0}[20-10(-40)330： 平移2个单位长度，出向下平移1下单位长度行判的 12》y-21山444Hg-2e-01+230,-1c0 号心时，开口内下，有最大四，在对降轴左网，随的婚 整程，周x3-:+2410,0. 3引易知，就物性手=于▣4，年3前开口何上，m点坐标为(2 一当x=0时，J重得最大值20 大惜大：在对岸自有侧，：随的神大减内 r1=-981-4￥1×1410=-360 -11,与：轴的交或坐标为1,0).10引，商h朝单路 答：当果直的长为©时.之园的商最大，量大自L为 I变式1 4我方程设有天数根 倒5B 厚这种青包的请肉刺国不耳律达翼30元 221.3二次偶殖y=8(x-和)+素的 第2课时用特定系盖法求二灰区慧的解析式 电3时面积题 围象和性质 11=0)52(年=，》() 1ta-2占(4-2士)2a-6-8e-e-1 雾1课时二观数三+（的图象和性质 倒，解：能夏这个一次雨数的解折式为事四+越+民。* 例1，解：化其中一条直角边的长为，则月一条直角边的茶 风上有下3编(0，)5域小培大增 将-1,5)，113引.(26)分例代人.料 大，悬就个9号压 ,3-+ 7-由最，得7-)， 41 制1，列表路：描点连线略向上)粉(00)向上 3▣#+k卡。铜得A-0。 装月.得x3-正+20，解得4，年3与■4 铺0,1)有上y第(0，-10 6a4e+26+e, e2 x=3月，7==4：背=4时，7==1 【围考11有度读的升口去向和并口大小：博4x0时.开口 所以站个大用数的明挥式为文=本+2 鲁考爸案